第三章 时域分析法
3.1 时间响应性能指标
3.2 一阶系统的时域分析
3.3 二阶系统的时域分析
3.4 线性系统稳定性分析
3.5 线性系统的误差分析
3.6 顺馈控制的误差分析
End
本章作业本 章 提 要时域分析法是一种直接在时间域中对系统进行分析的方法，具有直观、准确的优点，可以提供系统时间响应的全部信息。
本章重点介绍一阶和二阶系统时间响应的分析和计算；讨论系统参数对性能指标的影响，分析改进二阶系统性能的措施；介绍高阶系统时域分析方法；介绍用劳斯稳定性判据分析系统稳定性的方法，以及计算稳态误差的方法。
3.1 时间响应性能指标
3.1.1 典型输入信号
时域分析法的特点
典型输入信号,单位阶跃,单位斜坡,单位脉冲,单位加速度,正弦
典型时间响应,单位阶跃响应,单位斜坡响应,单位脉冲响应,单位加速度响应
系统的时间响应，由 过渡 过程和 稳态 过程两部分组成。
过渡过程,指系统在典型输入信号作用下，系统输出量从初始状态到最终状态的响应过程。又称动态过程、瞬态过程。
稳态过程,指系统在典型输入信号作用下，当时间 t趋于无穷时，
系统输出量的表现形式。
相应地，性能指标分为 动态 指标和 稳态 指标。
3.53.2 3.3 3.4 3.6
动态性能
1,延迟时间 td：响应曲线第一次达到其终值一半所需时间。
2,上升时间 tr：响应从终值 10%上升到终值
90%所需时间；对有振荡系统亦可定义为响应从零第一次上升到终值所需时间。上升时间是响应速度的度量。
3,峰值时间 tp：响应超过其终值到达第一个峰值所需时间。
4,调节时间 ts：响应到达并保持在终值内所需时间。
5,超调量?%：响应的最大偏离量 h(tp)与终值 h(∞)之差的百分比，即
%100)( )()(% h hth p?
阶跃响应性能指标
p
tr
0.5
y(t)
td
tp0
1
ts t
稳态误差
3.10
稳态性能,由 稳态误差 ess描述。
动画演示
3.2 一阶系统的时域分析
3.2.1 一阶系统的数学模型
一般地,将微分方程为 传递函数为的系统叫做一阶系统 。 T的含义随系统的不同而不同 。
)()()( trtcdt tdcT 11)( )( TssR sC
)()()( tutudt tduCR rcc
TssCRsU
sU
r
c
1
1
1
1
)(
)(
Ri(t)
C
)(tur )(tuc
R(s) C(s)E(s)
(-) 1/Ts
传递函数,
结构图,
微分方程 为,
控制系统的运动方程为一阶微分方程，称为一阶系统。
如 RC电路,
3.5
3.1 3.3
3.4 3.6
3.2.2 3.2.3 3.2.4
输入 r(t)=1(t),输出
3.2.2 一阶系统的单位阶跃响应
)0(1)(
1
teth tT
j?
0P=-1/T
S平面
(a) 零极点分布
y(t)
0.632
0.8650.95 0.982
初始斜率为 1/T
h(t)=1-e-t/T
0 tT 2T 3T 4T
1
(b) 单位阶跃响应曲线特点,1） 可以用时间常数去度量系统的输出量的数值；
2） 初始斜率为 1/T；
3）无超调；稳态误差 ess=0 。
性能指标,延迟时间,td=0.69T
上升时间,tr=2.20T
调节时间,ts=3T (△ =0.05) 或 ts=4T (△ =0.02)
动画演示
3.2.1 3.2.3 3.2.4
3.2.2
输入 r(t)=?(t)，输出
3.2.3 一阶系统的单位脉冲响应
)0t(eT1)t(g tT
1
t
0.135/T
0.018/T
T 2T 3T 4T
初始斜率为
0.368/T
0.05/T
0
t / TeT1g ( t )
T1
g(t)
(c) 单位脉冲响应曲线
2T1?
特点,1) 可以用时间常数去度量系统的输出量的数值；
2) 初始斜率为 -1/T2；
3) 无超调；稳态误差 ess=0 。
3.2.1 3.2.43.2.2
3.2.5 一阶系统的单位加速度响应跟踪误差,e(t)=r(t)-c(t)=Tt-T2(1-e-t/T)随时间推移而增长，直至无穷。因此一阶系统不能跟踪加速度函数。
输入 r(t)=t，输出
一阶系统的单位斜坡响应是一条由零开始逐渐变为等速变化的曲线。稳态输出与输入同斜率，但滞后一个时间常数 T，即存在跟踪误差，其数值与时间 T相等。
稳态误差 ess=T，初始斜率 =0，稳态输出斜率 =1,
)0()(
1
tTeTttc tT
2
2
1)( ttr?输入 )1(
2
1)( /22 TteTTtttc输出
3.2.4 一阶系统的单位斜坡响应
结论：
一阶系统的典型响应与时间常数 T密切相关。只要时间常数 T小，单位阶跃响应调节时间小，单位斜坡响应稳态值滞后时间也小。但一阶系统不能跟踪加速度函数。
线性系统对输入信号导数的响应,等于系统对输入信号响应的导数 。
3.2.1 3.2.33.2.2
解,
(1)
与标准形式对比得,T=1/10=0.1,ts=3T=0.3s
例 3.1 某一阶系统如图,（ 1）求调节时间 ts,（ 2）若要求
10/1
10
10
1 0 0
1.0)/1 0 0(1
/1 0 0
)()(1
)()(
sss
s
sHsG
sGs
(2)
要求 ts=0.1s,即 3T=0.1s,即,得
h
h
h Ks
K
sK
ss
100/1
/1
/1001
/100)(
3
1.0
1 0 0
1?
hK
3.0?hK
0.1
C(s)R(s) E(s) 100/s
(-)
ts=0.1s,求反馈系数 Kh,
解题关键,化闭环传递函数为标准形式。
Kh
整理得传递函数
故得结构图
3.3 二阶系统的时域分析
)()()(2)(1 22 sRsCssCsCs
nn
)()()(2)(222 trtcdt tdcTdt tcdT
在第二章，已得微分方程,
取拉氏变换，有
22
2
2)()(
)(
nn
n
ssssR
sC
2
2
)2( nnnss
R(s) C(s)
(-) )2(
2n
n
ss
其中,ωn—自然频率； ζ—阻尼比。
又因为标准形式标准形式
3.3.1 二阶系统的数学模型控制系统的运动方程为二阶微分方程,称为二阶系统 。
)2(
1
)2(
2
2
n
n
n
n
ss
ss
3.5
3.1
3.4 3.6
3.2
3.3.3 3.3.43.3.2 3.3.5
3.3.2 二阶系统的阶跃响应
02 22 nn ss
其根决定了系统的响应形式。
其输出的拉氏变换为
))((
1
2)()()( 21
2
22
2
sssssssssRssC
n
nn
n
单位阶跃函数作用下，二阶系统的响应称为单位阶跃响应。
二阶系统特征方程
(a) 闭环极点分布
j?
1
1
2
2
3
3
45
0
5
(b) 单位阶跃 响应曲线
1.2
1.0
1.6
1.4
0.8
0.6
0.4
0.2
c(t)
16 182 4 6 8 10 12140
t
2
1
3
5
4
进一步的描述如下图：
动画演示
3.3.1 3.3.3 3.3.4 3.3.5
稳态部分等于 1，表明不存在稳态误差；
瞬态部分是阻尼正弦振荡过程，阻尼的大小由n (即 σ，特征根实部）决定；
振荡角频率为阻尼振荡角频率?d（特征根虚部），其值由阻尼比 ζ和自然振荡角频率?n决定。
欠阻尼二阶系统的单位阶响应由 稳态 和 瞬态 两部分组成：
1,欠阻尼 二阶系统 (即 0<ζ<1时 )
系统有一对共轭复根：
22,1 1 nn js dj=
阶跃响应为
ar c c os?
)0()s i n (
1
1)(
2
ttetc d
tn
其中
=cos?
0
s1
ωn
-n
s2
j?
j?d
21 nd
系统有两个相同的负实根,s1,2= -?n
阶跃响应,
此时系统有两个纯虚根,s1,2 =± j?n
阶跃响应,c(t)=1-cos?nt
系统单位阶跃响应为一条不衰减的等幅余弦振荡曲线。
此时系统有两个不相等负实根 )(,1 212122,1 TTTTs nn
tTtT
e
T
Te
T
Ttc
21
1
2
1
1
1
2 1
1
1
11)(
)1(1)( tetc ntn
22,1 1 nn js dj=
2,临界阻尼 二阶系统（即 ζ=1 时）
3,无阻尼 二阶系统 （即 ζ=0 时）
4,过阻尼 二阶系统 （即 ζ>1 时）
系统单位阶跃响应是无超调、无振荡单调上升的，不存在稳态误差。
系统的单位跃响应无振荡、无超调、无稳态误差。
阶跃响应：
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12
nt
c(t)
0.2
0.4
0.6
0.8
1.0
1.2
1.4
1.6
1.8
2.0
以上几种情况的单位阶跃响应曲线如下图：
=0
0.1
0.2
0.3
0.4
0.5
0.6
0.7
0.8 1.0
2.0
3.3.3 欠阻尼二阶系统的 动态性能指标
)0()s i n (11)( 2
ttetc d
tn
21
nd
rt
单位 阶跃响应超过稳态值达到第一个峰值所需要的时间。
阶跃响应从零第一次升到稳态所需的的时间。
21
ndpt
1,动态性能指标计算上升时间 tr
峰值时间 tp
单位阶跃响应
0)s i n (1 2
rd
t
te rn? 即
得
0)( pttdt tdc? 由
得
此时 1)(?rtc
动画演示
3.3.1 3.3.43.3.2 3.3.5
单位 阶跃响应中最大超出量与稳态值之比。
%100)( )()(% c ctc p?
超调量?%
)0()s i n (
1
1)( 2
ttetc d
tn
单位 阶跃响应进入 ±?误差带的最小时间。
调节时间 ts
%100% 21
e
%1 0 0)s i n (
1 2
pd
t
te
pn? 由
有
根据定义 )()()()( sttcctc
)()s i n (
1 2 sd
t
ttte
n
1)s in ( td? 因
则 )(
1 2 s
t
tte n
阻尼比 ζ 越小，超调量越大，平稳性越差，调节时间 ts长；
ζ 过大时，系统响应迟钝，调节时间 ts也长，快速性差；
ζ =0.7，调节时间最短，快速性最好，而超调量
%<5%，平稳性也好，故称 ζ =0.7为最佳阻尼比。
2,结构参数 ζ对单位阶跃响应性能的影响
欠阻尼二阶系统的一对包络线如右图：
c(t)
t0
1
21
e1 n
t-
21
e1 n
t-
n
1T
包络线
n
st
4或 （?=2%时）
n
st
3? (?=5%)
工程上通常用 包络线代替实际曲线来估算。
)1(?sTs
K
m
R(s)
(-)
C(s)
KsTs
K
sG
sGs
m
)1()(1 )()(
22
2
2 2//
/)(
nn
n
mm
m
ssTKTss
TKs
%3.16%10 0% 21
e
秒73.0
1 2
nd
pt 秒4 8 6.0
d
rt?
秒2.13
n
st
化为标准形式
即有 2n=1/Tm=5,?n2=K/Tm=25
解,系统闭环传递函数为
解得?n=5,ζ=0.5
例 3.2 已知图中 Tm=0.2,K=5，求系统单位阶跃响应指标。
设单位反馈的二阶系统的单位阶跃响应曲线如图所示,
试确定其开环传递函数 。
例 3.3
解,图示为一欠阻尼二阶系统的单位阶跃响应曲线 。 由图中给出的阶跃响应性能指标,先确定二阶系统参数,再求传递函数 。
%1 0 0e3.0%30% 21/
2.13.0lnln
1 2
e
36.0
秒1.0
1
t
2
nd
p
1
2n 6.33934.0
4.31
1
4.31
秒
)s(G1
)s(G
11 30s2.24s
11 30
s2s)s( 22nn2
2
n
)2.24s(s
112 9
)2s(s)s(1
)s()s(G
n
2
n
0 t(s)
1
1.3
0.1
h(t)
抑制振荡，
使超调减弱，
改善系统平稳性,
调节时间减小。
3.3.4 改善二阶系统性能的措施
C(s)R(s)
(-) G
o(s)
)ω2s (s
ω
n
2n
E(s) U(s)
t
t
t
t
t
r(t)1
1c(t)
e(t)
u(t)
)(teTd?
t1
0
0
0
0
0
'1t
1,比例 —微分控制
(1) 方法的思路未超前校正超前校正
3.3.1 3.3.33.3.2 3.3.5
开环传递函数：
开环增益,K=?n/2ζ )12/(
)1(
)2(
)1(
)(
)()( 2
n
d
n
dn
ss
sTK
ss
sT
sE
sCsG
aTass
as
as
n
dd
nnd
n
2,/1,2)( 22
2?
特点,(1) 引入比例微分控制，使系统阻尼比增加，从而抑制振荡，使超调减弱，改善系统平稳性；
(2) 零点的出现，将会加快系统响应速度，使上升时间缩短，峰值提前，又削弱了“阻尼”作用。因此适当选择微分时间常数，使系统具有过阻尼，则响应将在不出现超调的条件下，显著提高快速性。
(3) 不影响系统误差，自然频率不变。
闭环传递函数：
闭环系统具有零点,可以使上升时间提前,阻尼增大,超调减小。
R(s)
(-)
C(s)
Go(s)
)ω2s(s
ω
n
2n
Tds+1
(2) 性能分析
t
t
t
t
t
r(t)1
1c(t)
e(t)
u(t)
t1
t1'
0
0
0
0
0
)t(cT?
抑制振荡，
使超调减弱，
改善系统平稳性,
调节时间减小。
R(s)
(-)
C(s)
)2s ( s
ω
n
2
n
(-)
E(s) U(s)
2,速度反馈控制
(1) 方法的思路超前校正未超前校正
1k2/ss 1k2)k2s(s)s(E )s(C)s(G 2ntnntn2ntn
2
n
2
nnt
2
2
n
2
n
2
ntn
2
2
n
s2ss)k2(s)s(R
)s(C
由上可知：
1) 速度反馈使?增大，振荡和超调减小，改善了系统平稳性；
2) 速度负反馈控制的闭环传递函数无零点，其输出平稳性优于比例 ——微分控制；
3) 系统跟踪斜坡输入时稳态误差会加大，因此应适当提高系统的开环增益,
ntt k 2
1
R(s)
(-)
C(s)
)ζω2s (s
ω
n
2
n?
KtS
(-)?在二阶系统中引入微分反馈：
闭环传递函数：
开环传递函数为：
(2) 性能分析
cz(t)
t
t
c(t)c
z(t)
c(t)
1
)(dd1 tctz
(a) 闭环零点对系统暂态响应的影响
0
0
1.8
1.6
0.2
0.4
0.6
0.8
1.0
1.2
1.4
2.0
0
r =0
r =1/4
r =1/2
r=1
1 2 3 4 5 6 7 8
(b) 单位阶跃响应曲线
(ζ =0.5)
cz(t)
nt
闭环零点对系统的影响
22
2
22
2
22
2
222
)1(
)(
)()(
nn
n
nn
n
nn
n
ssz
s
ssss
s
sR
sCs
)(1)()( tcztctc z
峰值时间提前、超调增大、
振荡加剧、调节时间拉长。
1?z上式中，
r = zwn /z为闭环极点与闭环零点 的实部比
3.3.5 高阶系统的时域分析
-0.75-5
p2
p3
p1?
j?
j1.2
-j1.20
(a)闭环极点分布图
(b)单位阶跃响应曲线
c(t)
t
特点,1) 高阶系统时间响应由简单函数组成 。
2) 如果闭环极点都具有负实部,高阶系统是稳定的 。
3) 时间响应的类型取决于闭环极点的性质和大小，形状与闭环零点有关。
分析方法,1) 可由系统主导极点估算高阶系统性能。
2) 忽略偶极子的影响。
)25.1)(15(5
10
)25.1)(5(
10)(
2
2
ssssss
s?例如：
)2.15.07)(2.175.0(
2
25.1
2)(
2
'
jsjssss
3.3.1 3.3.3 3.3.43.3.2
设初始条件为零时，作用一理想脉冲信号到一线性系统，
这相当于给系统加了一扰动信号。若,则系统稳定。
0)(lim tgt
3.4 稳定性分析
j?
0
稳定区域 不稳定区域
[S平面 ]?判别系统稳定性的基本方法：
(1) 劳斯 —古尔维茨判据
(2) 根轨迹法
(3) 奈奎斯特判据
(4) 李雅普诺夫第二方法
线性系统稳定的充分必要条件,闭环系统特征方程的所有根都具有负实部,
3.4.1 线性系统的稳定性概念系统工作在平衡状态,受到扰动偏离了平衡状态，扰动消失之后，系统又恢复到平衡状态，称系统是稳定的。稳定性只由结构、参数决定，与初始条件及外作用无关。
3.53.1 3.63.2 3.3
例3.4.2
线性系统特征方程为：
稳定判据则只要根据特征方程的系数便可判别出特征根是否具有负实部，从而判断出系统是否闭环稳定。
0,0)( 01110 aasasasasD nnnn
011 aD?0
20
31
2 aa
aaD
0
000
000
00
00
0
0
1
20
31
420
531
n
n
a
a
aa
aa
aaa
aaa
D
3.4.2 劳斯 —古尔维茨判据系统闭环稳定的充分必要条件
1) 特征方程各项系数均大于零，即 ai>0
2) 古尔维茨行列式全部为正，即
已经证明，在特征方程各项系数均大于零时，古尔维茨奇次行列式全为正，则古尔维茨偶次行列式必全为正；反之亦然。
1,古尔维茨稳定判据
3.4.1 例
劳斯判据采用表格形式,即 劳斯表,
当劳斯表中第一列的所有数都 大于零 时，系统 稳定 ；反之，
如果第一列出现 小于零 的数时，系统就 不稳定 。第一列各系数符号的改变 次数,代表特征方程的正实部根的 个数 。
2,劳斯判据
c
caac
c
c
caac
c
c
caac
cs
a
aaaa
c
a
aaaa
c
a
aaaa
cs
a a as
a a a s
13
431713
34
13
331513
24
13
231313
14
3n
1
7061
33
1
5041
23
1
3021
13
2n
531
1n
420
n
0s na
判别系统稳定性 。
例 3.4 设系统特征方程为 s4+2s3+3s2+4s+5=0; 试用劳斯稳定判据
4s
3s
2s
1
2
42
31
52
02
51
1
2
3
4
5
0
1s
0s
56 06
51
6151
42
0
注意两种特殊情况的处理：
1） 某行的 第一列项为 0,而其余各项不为 0或不全为 0。 用因子 （ s+a） 乘原特征方程 （ 其中 a为任意正数 ）,或用很小的正数?代替零元素,然后 对新特征方程应用劳斯判据 。
2）当劳斯表中 出现全零行 时，用上一行的系数构成一个辅助方程，对辅助方程求导，用所得方程的系数代替全零行。
解,列出劳斯表第一列数据不同号,
系统不稳定性 。
3.4.1 3.4.2
判断系统的稳定性 。
例 3.5 设系统特征方程为 s4+2s3+s2+2s+2=0；试用劳斯稳定判据例 3.6 设系统特征方程为 s6+2s5+6s4+8s3+10s2+4s+4=0；试用劳斯稳定判据判断系统的稳定性。
解,列出劳斯表 s4 1 1 2
s3 2 2 0
s2?(取代 0) 2
s1 2-4/?
s0 2
可见第一列元素的符号改变两次，故系统是不稳定的且在 S
右半平面上有两个极点。
解,列出劳斯表
s6 1 6 10 4
s5 2 8 4
s4 2 8 4? 辅助多项式 A(s)的系数
s3 0 0 0
A(s) =2s4+8s2+4
dA(s)/ds=8s3+16s
,5 8 6.022y
848.1414.3
766.0586.0
4.3
2.1
jjs
jjs
第一列元素全为正，系统并非不稳定；
阵列出现全零行，系统不是稳定的；
综合可见，系统是临界稳定的（存在有共轭纯虚根）。
解辅助方程可得共轭纯虚根：令 s2=y，
A(s) =2s4+8s2+4=2(y2+4y+2)=0
以导数的系数取代全零行的各元素，继续列写劳斯表：
s6 1 6 10 4
s5 2 8 4
s4 2 8 4
s3 8 16? dA(s)/ds的系数
s2 4 4
s1 8
s0 4
由图所示，误差定义有两种方式：
1)e(t)=r(t)-c(t),无法量测
2)e(t)=r(t)-b(t)
单位反馈时两种定义相同。
稳态误差是衡量系统最终控制精度的重要性能指标。稳态误差是指,稳态响应的希望值与实际值之差,即稳定系统误差的终值,e(t)=希望值 –实际值
3.5.1 稳态误差的定义
tss
)t(elime
3.5.2 稳态误差计算
)()(1
1
)(
)()(
sHsGsR
sEs
e
)()(1
)(l i m)(l i m)(l i m
00 sHsG
ssRssEtee
sstss
3-5 线性系统的误差分析
E(s) G(s) C(s)
H(s)
R(s)
B(s)
(-)
根据 终值定理
使用该公式应满足 sE(s)在 s右半平面及虚轴上解析的条件，即
sE(s)的极点均位于 s左半平面。当 sE(s)在坐标原点具有极点 时，
虽不满足虚轴上解析的条件，但使用后所得无穷大的结果正巧与实际应有的结果一致，因此实际应用时 可用此公式。
误差传递函数 为：
3.1
3.6
3.2
3.3 3.4
3.5.3 例 3.5.4
1）,符合终值定理应用条件。
3）,不符合终值定理应用条件 。
2）,符合终值定理应用条件。
为 1） r(t)=t,2) r(t)=t2/2,3) r(t)=sinωt，求系统稳态误差。
解,误差传递函数为
Ts
Ts
sHsGsR
sEs
e 1)()(1
1
)(
)()(
)1()(,
1)(
2 Tss
TsE
ssR
TTsTssEe
ssss
1
l i m)(l i m
00
)1()(,
1)(
23 Tss
TsE
ssR
)1(
1l i m)(l i m
00 Tss
ssEe
ssss
2222 1)(,)(?
sTs
TssE
ssR
例 3.7 设单位反馈系统开环传递函数为 G(s)=1/Ts,输入信号分别
本题说明,1）使用终值定理要注意条件
2）稳态误差与输入有关。
使用终值定理将得出错误结论。
一,影响稳态误差的因素
一般开环传递函数可以写成如下形式：
n
j
j
m
i
i
n
m
sTs
sK
sTsTsTs
sssK
sHsG
1
1
2
21
)1(
)1(
)1()1)(1(
)1()1)(1(
)()(
1
sK
sRs
sKsTs
ssRsTs
sHsG
SsR
sEstee
s
s
n
j
m
j
ij
n
j
j
s
sst
ss
0
1
0
1 1
1
0
00
l i m
)]([l i m
)1()1(
)()1(
l i m
)()(1
)(
l i m)(l i m)(l i m
稳态误差为
3.5.3 系统类型与静态误差系数
显然，系统的稳态误差取决于原点处开环极点的 阶次?、开环增益 K以及输入信号的形式。
式中,K为开环增益。为开环系统在 s平面坐标原点的极点重数,?=0,1,2时，系统分别称为 0 型,Ⅰ 型,Ⅱ 型系统。
3.5.1 例3.5.2 3.5.4
二、阶跃输入下稳态误差及静态位置误差系数
)()(l i m1)()(1
l i m
)()(1
)(
l i m)(l i m
0
0
00
sHsG
R
sHsG
R
sHsG
ssR
sEse
s
s
ss
ss
sRsRtRtr )(),(1)(
称为位置误差系数 )()(li m 0 sHsGK sp
p
ss k
Re
1于是
0,,II
0,,I
1
,,0
ssp
ssp
ssp
ek
ek
k
R
ekk
型系统型系统型系统三、斜坡输入下稳态误差及静态速度误差系数
)()(l i m)()(
l i m
)()(1
)(
l i m)(l i m
0
0
00
sHssG
R
sHssGs
R
sHsG
ssR
sEse
s
s
ss
ss
2)(),(1)( sRsRtRttr
称为静态速度误差系数 )()(lim 0 sHssGK sv
v
ss k
Re于是
0,,II
,,I
,0,0
ssv
ssv
ssv
ek
k
R
ekk
ek
型系统型系统型系统四、加速度输入下稳态误差及静态加速度误差系数
)()(l i m)()(
l i m
)()(1
)(
l i m)(l i m
2
0
220
00
sHsGs
R
sHsGss
R
sHsG
ssR
sEse
s
s
ss
ss
32 )(),(121)( sRsRtRttr
数称为静态加速度误差系 )()(l i m 20 sHsGsK sa
a
ss k
Re于是
k
R
ekk
ek
ek
ssa
ssa
ssa
,,II
,0,I
,0,0
型系统型系统型系统如表 3-1。
五、系统型别、静态误差系数与输入信号行式之间的关系型别静态误差系数阶跃输入
)(1)( tRtr
斜坡输入
Rttr?)(
加速度输入
2)(
2Rt
tr?
pK
vK
aK
)1( Pss KRe
Vss KRe?
ass KRe?
0 K 0 0
)1( KR?
∞ ∞
Ⅰ ∞ K 0 0
KR
∞
Ⅱ ∞ ∞ K 0 0
KR
Ⅲ ∞ ∞ ∞ 0 0 0
减小或消除误差的措施,提高开环积分环节的阶次?、增加开环增益 K。
表 3-1 输入信号作用下的稳态误差例 3.8
)1s(s
2)s(G,
50s
2 5 0)s(G
21
求 r(t)=1(t)+2t,n(t)=-1(t)时系统稳态误差。
解,r(t)作用时,Kp=∞,Kv=K=10,essr=0+2/10=0.2 。
5 0 0)1)(50(
)50(2
)1(
2
50
2 5 0
1
)1(
2
)()(1
)(
)(
)(
21
2
sss
s
sss
ss
sGsG
sG
sN
sE
2.05 0 0)1)(50( )50(2l i m)(l i m 00 sss sssEe ssssn
4.0 ssnssrss eee故
对扰动作用来讲,减小或消除误差的措施,增大扰动作用点之前的前向通路增益、增大扰动作用点之前的前向通路积分环节数。
终值定理法不能表示稳态误差随时间变化的规律。
C(s)
G1(s) G2(s)R(s)
N(s)
(-)
n(t)作用时：
3.5.1 3.5.33.5.2 3.5.4
例 3.9 系统输入 r(t)=(?+?t+?t2/2)1(t)，求 0 型,Ⅰ 型,Ⅱ 型系统的稳态误差。
型系统型系统型系统
I,
kk
00
,
k
0
,
k1
kkk1
e
avp
ss
解,利用叠加原理，可得系统的稳态误差为：
3.5.4 动态误差系数法动态误差系数法适用于研究输入信号为任意时间函数时的系统稳态误差。
332210)( )()( sCsCsCCSR sEse因此
)()()()()( 2210 sRsCsCCsRssE e则
)()()()( 210 trCtrCtrCte ss故其中 C0,C1,C2,… 为动态误差系数。
32 )0(!31)0(!21)0()0()( )()( sssSR sEs eeeee
)(])0(!31)0(!21)0()0([)()()( 32 sRssssRssE eeeee
),0(!21),0(),0( 210 eee CCC令设误差传递函数在 s邻域展开成泰勒级数为：
3.5.1 3.5.3 例3.5.2
3.6 顺馈控制的误差分析一、顺馈补偿 （参见 P8）
G ( s )1
G ( s )( s )G1
R ( s )
E ( s ) r
0)(,)(/1)( sEsGsG
r 时当
2,按扰动输入补偿
C(s)R(s)
(-)
Gf(s)
G1(s) G2(s)
N(s)
)s(G)s(G1
)s(G)s(G)s(G)s(G
)s(N
)s(E
21
21f2
0)(,)(/1)( 1 sEsGsG f 时当
C(s)R(s)
(-)
Gr(s)
G (s)1,按参考输入补偿
3.1 3.2
3.3 3.4 3.5
二、复合控制系统的误差和稳定性分析
3,等效传递函数
)s(1
)s()s(G
)s(G1
)s(G)s(
C(s)R(s)
(-)
Gr(s)
G (s)
,)( 1 ssG r?当加入
v
n
n
n
n
v
n
n
n
n
v
Ksasasas
K
s
sasasas
K
sG
)1(
)(
)1(
)(
1
1
1
1
1
1
则设
v
n
n
n
n
v
Ksasasas
sKs
)1(
)1()(
1
1
1
1'
)()(,/1 12112
'
1 asasas
KssGK
n
n
n
n
v
v
取
Ⅰ 型变为 Ⅱ 型。
时当 221r ss)s(G
v1
1n
1n
n
n
2
21v'
K)1sasasa(s
)ss1(K)s(
,/,/1 121 vv KaK取
Ⅱ 型变为 Ⅲ 型。
结论：复合控制能提高系统型别而不改变其稳定性。
v
n
n
n
n
v
Ksasasas
sasKs
)1(
)(
1
1
1
2
1'
)()( 23123
2
1'
asasas
KssasG
n
n
n
n
v
本 章 作 业
P148
3-1
3-3
3-4(2)
3-5
3-7
3-8
3-12
3.1 时间响应性能指标
3.2 一阶系统的时域分析
3.3 二阶系统的时域分析
3.4 线性系统稳定性分析
3.5 线性系统的误差分析
3.6 顺馈控制的误差分析
End
本章作业本 章 提 要时域分析法是一种直接在时间域中对系统进行分析的方法，具有直观、准确的优点，可以提供系统时间响应的全部信息。
本章重点介绍一阶和二阶系统时间响应的分析和计算；讨论系统参数对性能指标的影响，分析改进二阶系统性能的措施；介绍高阶系统时域分析方法；介绍用劳斯稳定性判据分析系统稳定性的方法，以及计算稳态误差的方法。
3.1 时间响应性能指标
3.1.1 典型输入信号
时域分析法的特点
典型输入信号,单位阶跃,单位斜坡,单位脉冲,单位加速度,正弦
典型时间响应,单位阶跃响应,单位斜坡响应,单位脉冲响应,单位加速度响应
系统的时间响应，由 过渡 过程和 稳态 过程两部分组成。
过渡过程,指系统在典型输入信号作用下，系统输出量从初始状态到最终状态的响应过程。又称动态过程、瞬态过程。
稳态过程,指系统在典型输入信号作用下，当时间 t趋于无穷时，
系统输出量的表现形式。
相应地，性能指标分为 动态 指标和 稳态 指标。
3.53.2 3.3 3.4 3.6
动态性能
1,延迟时间 td：响应曲线第一次达到其终值一半所需时间。
2,上升时间 tr：响应从终值 10%上升到终值
90%所需时间；对有振荡系统亦可定义为响应从零第一次上升到终值所需时间。上升时间是响应速度的度量。
3,峰值时间 tp：响应超过其终值到达第一个峰值所需时间。
4,调节时间 ts：响应到达并保持在终值内所需时间。
5,超调量?%：响应的最大偏离量 h(tp)与终值 h(∞)之差的百分比，即
%100)( )()(% h hth p?
阶跃响应性能指标
p
tr
0.5
y(t)
td
tp0
1
ts t
稳态误差
3.10
稳态性能,由 稳态误差 ess描述。
动画演示
3.2 一阶系统的时域分析
3.2.1 一阶系统的数学模型
一般地,将微分方程为 传递函数为的系统叫做一阶系统 。 T的含义随系统的不同而不同 。
)()()( trtcdt tdcT 11)( )( TssR sC
)()()( tutudt tduCR rcc
TssCRsU
sU
r
c
1
1
1
1
)(
)(
Ri(t)
C
)(tur )(tuc
R(s) C(s)E(s)
(-) 1/Ts
传递函数,
结构图,
微分方程 为,
控制系统的运动方程为一阶微分方程，称为一阶系统。
如 RC电路,
3.5
3.1 3.3
3.4 3.6
3.2.2 3.2.3 3.2.4
输入 r(t)=1(t),输出
3.2.2 一阶系统的单位阶跃响应
)0(1)(
1
teth tT
j?
0P=-1/T
S平面
(a) 零极点分布
y(t)
0.632
0.8650.95 0.982
初始斜率为 1/T
h(t)=1-e-t/T
0 tT 2T 3T 4T
1
(b) 单位阶跃响应曲线特点,1） 可以用时间常数去度量系统的输出量的数值；
2） 初始斜率为 1/T；
3）无超调；稳态误差 ess=0 。
性能指标,延迟时间,td=0.69T
上升时间,tr=2.20T
调节时间,ts=3T (△ =0.05) 或 ts=4T (△ =0.02)
动画演示
3.2.1 3.2.3 3.2.4
3.2.2
输入 r(t)=?(t)，输出
3.2.3 一阶系统的单位脉冲响应
)0t(eT1)t(g tT
1
t
0.135/T
0.018/T
T 2T 3T 4T
初始斜率为
0.368/T
0.05/T
0
t / TeT1g ( t )
T1
g(t)
(c) 单位脉冲响应曲线
2T1?
特点,1) 可以用时间常数去度量系统的输出量的数值；
2) 初始斜率为 -1/T2；
3) 无超调；稳态误差 ess=0 。
3.2.1 3.2.43.2.2
3.2.5 一阶系统的单位加速度响应跟踪误差,e(t)=r(t)-c(t)=Tt-T2(1-e-t/T)随时间推移而增长，直至无穷。因此一阶系统不能跟踪加速度函数。
输入 r(t)=t，输出
一阶系统的单位斜坡响应是一条由零开始逐渐变为等速变化的曲线。稳态输出与输入同斜率，但滞后一个时间常数 T，即存在跟踪误差，其数值与时间 T相等。
稳态误差 ess=T，初始斜率 =0，稳态输出斜率 =1,
)0()(
1
tTeTttc tT
2
2
1)( ttr?输入 )1(
2
1)( /22 TteTTtttc输出
3.2.4 一阶系统的单位斜坡响应
结论：
一阶系统的典型响应与时间常数 T密切相关。只要时间常数 T小，单位阶跃响应调节时间小，单位斜坡响应稳态值滞后时间也小。但一阶系统不能跟踪加速度函数。
线性系统对输入信号导数的响应,等于系统对输入信号响应的导数 。
3.2.1 3.2.33.2.2
解,
(1)
与标准形式对比得,T=1/10=0.1,ts=3T=0.3s
例 3.1 某一阶系统如图,（ 1）求调节时间 ts,（ 2）若要求
10/1
10
10
1 0 0
1.0)/1 0 0(1
/1 0 0
)()(1
)()(
sss
s
sHsG
sGs
(2)
要求 ts=0.1s,即 3T=0.1s,即,得
h
h
h Ks
K
sK
ss
100/1
/1
/1001
/100)(
3
1.0
1 0 0
1?
hK
3.0?hK
0.1
C(s)R(s) E(s) 100/s
(-)
ts=0.1s,求反馈系数 Kh,
解题关键,化闭环传递函数为标准形式。
Kh
整理得传递函数
故得结构图
3.3 二阶系统的时域分析
)()()(2)(1 22 sRsCssCsCs
nn
)()()(2)(222 trtcdt tdcTdt tcdT
在第二章，已得微分方程,
取拉氏变换，有
22
2
2)()(
)(
nn
n
ssssR
sC
2
2
)2( nnnss
R(s) C(s)
(-) )2(
2n
n
ss
其中,ωn—自然频率； ζ—阻尼比。
又因为标准形式标准形式
3.3.1 二阶系统的数学模型控制系统的运动方程为二阶微分方程,称为二阶系统 。
)2(
1
)2(
2
2
n
n
n
n
ss
ss
3.5
3.1
3.4 3.6
3.2
3.3.3 3.3.43.3.2 3.3.5
3.3.2 二阶系统的阶跃响应
02 22 nn ss
其根决定了系统的响应形式。
其输出的拉氏变换为
))((
1
2)()()( 21
2
22
2
sssssssssRssC
n
nn
n
单位阶跃函数作用下，二阶系统的响应称为单位阶跃响应。
二阶系统特征方程
(a) 闭环极点分布
j?
1
1
2
2
3
3
45
0
5
(b) 单位阶跃 响应曲线
1.2
1.0
1.6
1.4
0.8
0.6
0.4
0.2
c(t)
16 182 4 6 8 10 12140
t
2
1
3
5
4
进一步的描述如下图：
动画演示
3.3.1 3.3.3 3.3.4 3.3.5
稳态部分等于 1，表明不存在稳态误差；
瞬态部分是阻尼正弦振荡过程，阻尼的大小由n (即 σ，特征根实部）决定；
振荡角频率为阻尼振荡角频率?d（特征根虚部），其值由阻尼比 ζ和自然振荡角频率?n决定。
欠阻尼二阶系统的单位阶响应由 稳态 和 瞬态 两部分组成：
1,欠阻尼 二阶系统 (即 0<ζ<1时 )
系统有一对共轭复根：
22,1 1 nn js dj=
阶跃响应为
ar c c os?
)0()s i n (
1
1)(
2
ttetc d
tn
其中
=cos?
0
s1
ωn
-n
s2
j?
j?d
21 nd
系统有两个相同的负实根,s1,2= -?n
阶跃响应,
此时系统有两个纯虚根,s1,2 =± j?n
阶跃响应,c(t)=1-cos?nt
系统单位阶跃响应为一条不衰减的等幅余弦振荡曲线。
此时系统有两个不相等负实根 )(,1 212122,1 TTTTs nn
tTtT
e
T
Te
T
Ttc
21
1
2
1
1
1
2 1
1
1
11)(
)1(1)( tetc ntn
22,1 1 nn js dj=
2,临界阻尼 二阶系统（即 ζ=1 时）
3,无阻尼 二阶系统 （即 ζ=0 时）
4,过阻尼 二阶系统 （即 ζ>1 时）
系统单位阶跃响应是无超调、无振荡单调上升的，不存在稳态误差。
系统的单位跃响应无振荡、无超调、无稳态误差。
阶跃响应：
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12
nt
c(t)
0.2
0.4
0.6
0.8
1.0
1.2
1.4
1.6
1.8
2.0
以上几种情况的单位阶跃响应曲线如下图：
=0
0.1
0.2
0.3
0.4
0.5
0.6
0.7
0.8 1.0
2.0
3.3.3 欠阻尼二阶系统的 动态性能指标
)0()s i n (11)( 2
ttetc d
tn
21
nd
rt
单位 阶跃响应超过稳态值达到第一个峰值所需要的时间。
阶跃响应从零第一次升到稳态所需的的时间。
21
ndpt
1,动态性能指标计算上升时间 tr
峰值时间 tp
单位阶跃响应
0)s i n (1 2
rd
t
te rn? 即
得
0)( pttdt tdc? 由
得
此时 1)(?rtc
动画演示
3.3.1 3.3.43.3.2 3.3.5
单位 阶跃响应中最大超出量与稳态值之比。
%100)( )()(% c ctc p?
超调量?%
)0()s i n (
1
1)( 2
ttetc d
tn
单位 阶跃响应进入 ±?误差带的最小时间。
调节时间 ts
%100% 21
e
%1 0 0)s i n (
1 2
pd
t
te
pn? 由
有
根据定义 )()()()( sttcctc
)()s i n (
1 2 sd
t
ttte
n
1)s in ( td? 因
则 )(
1 2 s
t
tte n
阻尼比 ζ 越小，超调量越大，平稳性越差，调节时间 ts长；
ζ 过大时，系统响应迟钝，调节时间 ts也长，快速性差；
ζ =0.7，调节时间最短，快速性最好，而超调量
%<5%，平稳性也好，故称 ζ =0.7为最佳阻尼比。
2,结构参数 ζ对单位阶跃响应性能的影响
欠阻尼二阶系统的一对包络线如右图：
c(t)
t0
1
21
e1 n
t-
21
e1 n
t-
n
1T
包络线
n
st
4或 （?=2%时）
n
st
3? (?=5%)
工程上通常用 包络线代替实际曲线来估算。
)1(?sTs
K
m
R(s)
(-)
C(s)
KsTs
K
sG
sGs
m
)1()(1 )()(
22
2
2 2//
/)(
nn
n
mm
m
ssTKTss
TKs
%3.16%10 0% 21
e
秒73.0
1 2
nd
pt 秒4 8 6.0
d
rt?
秒2.13
n
st
化为标准形式
即有 2n=1/Tm=5,?n2=K/Tm=25
解,系统闭环传递函数为
解得?n=5,ζ=0.5
例 3.2 已知图中 Tm=0.2,K=5，求系统单位阶跃响应指标。
设单位反馈的二阶系统的单位阶跃响应曲线如图所示,
试确定其开环传递函数 。
例 3.3
解,图示为一欠阻尼二阶系统的单位阶跃响应曲线 。 由图中给出的阶跃响应性能指标,先确定二阶系统参数,再求传递函数 。
%1 0 0e3.0%30% 21/
2.13.0lnln
1 2
e
36.0
秒1.0
1
t
2
nd
p
1
2n 6.33934.0
4.31
1
4.31
秒
)s(G1
)s(G
11 30s2.24s
11 30
s2s)s( 22nn2
2
n
)2.24s(s
112 9
)2s(s)s(1
)s()s(G
n
2
n
0 t(s)
1
1.3
0.1
h(t)
抑制振荡，
使超调减弱，
改善系统平稳性,
调节时间减小。
3.3.4 改善二阶系统性能的措施
C(s)R(s)
(-) G
o(s)
)ω2s (s
ω
n
2n
E(s) U(s)
t
t
t
t
t
r(t)1
1c(t)
e(t)
u(t)
)(teTd?
t1
0
0
0
0
0
'1t
1,比例 —微分控制
(1) 方法的思路未超前校正超前校正
3.3.1 3.3.33.3.2 3.3.5
开环传递函数：
开环增益,K=?n/2ζ )12/(
)1(
)2(
)1(
)(
)()( 2
n
d
n
dn
ss
sTK
ss
sT
sE
sCsG
aTass
as
as
n
dd
nnd
n
2,/1,2)( 22
2?
特点,(1) 引入比例微分控制，使系统阻尼比增加，从而抑制振荡，使超调减弱，改善系统平稳性；
(2) 零点的出现，将会加快系统响应速度，使上升时间缩短，峰值提前，又削弱了“阻尼”作用。因此适当选择微分时间常数，使系统具有过阻尼，则响应将在不出现超调的条件下，显著提高快速性。
(3) 不影响系统误差，自然频率不变。
闭环传递函数：
闭环系统具有零点,可以使上升时间提前,阻尼增大,超调减小。
R(s)
(-)
C(s)
Go(s)
)ω2s(s
ω
n
2n
Tds+1
(2) 性能分析
t
t
t
t
t
r(t)1
1c(t)
e(t)
u(t)
t1
t1'
0
0
0
0
0
)t(cT?
抑制振荡，
使超调减弱，
改善系统平稳性,
调节时间减小。
R(s)
(-)
C(s)
)2s ( s
ω
n
2
n
(-)
E(s) U(s)
2,速度反馈控制
(1) 方法的思路超前校正未超前校正
1k2/ss 1k2)k2s(s)s(E )s(C)s(G 2ntnntn2ntn
2
n
2
nnt
2
2
n
2
n
2
ntn
2
2
n
s2ss)k2(s)s(R
)s(C
由上可知：
1) 速度反馈使?增大，振荡和超调减小，改善了系统平稳性；
2) 速度负反馈控制的闭环传递函数无零点，其输出平稳性优于比例 ——微分控制；
3) 系统跟踪斜坡输入时稳态误差会加大，因此应适当提高系统的开环增益,
ntt k 2
1
R(s)
(-)
C(s)
)ζω2s (s
ω
n
2
n?
KtS
(-)?在二阶系统中引入微分反馈：
闭环传递函数：
开环传递函数为：
(2) 性能分析
cz(t)
t
t
c(t)c
z(t)
c(t)
1
)(dd1 tctz
(a) 闭环零点对系统暂态响应的影响
0
0
1.8
1.6
0.2
0.4
0.6
0.8
1.0
1.2
1.4
2.0
0
r =0
r =1/4
r =1/2
r=1
1 2 3 4 5 6 7 8
(b) 单位阶跃响应曲线
(ζ =0.5)
cz(t)
nt
闭环零点对系统的影响
22
2
22
2
22
2
222
)1(
)(
)()(
nn
n
nn
n
nn
n
ssz
s
ssss
s
sR
sCs
)(1)()( tcztctc z
峰值时间提前、超调增大、
振荡加剧、调节时间拉长。
1?z上式中，
r = zwn /z为闭环极点与闭环零点 的实部比
3.3.5 高阶系统的时域分析
-0.75-5
p2
p3
p1?
j?
j1.2
-j1.20
(a)闭环极点分布图
(b)单位阶跃响应曲线
c(t)
t
特点,1) 高阶系统时间响应由简单函数组成 。
2) 如果闭环极点都具有负实部,高阶系统是稳定的 。
3) 时间响应的类型取决于闭环极点的性质和大小，形状与闭环零点有关。
分析方法,1) 可由系统主导极点估算高阶系统性能。
2) 忽略偶极子的影响。
)25.1)(15(5
10
)25.1)(5(
10)(
2
2
ssssss
s?例如：
)2.15.07)(2.175.0(
2
25.1
2)(
2
'
jsjssss
3.3.1 3.3.3 3.3.43.3.2
设初始条件为零时，作用一理想脉冲信号到一线性系统，
这相当于给系统加了一扰动信号。若,则系统稳定。
0)(lim tgt
3.4 稳定性分析
j?
0
稳定区域 不稳定区域
[S平面 ]?判别系统稳定性的基本方法：
(1) 劳斯 —古尔维茨判据
(2) 根轨迹法
(3) 奈奎斯特判据
(4) 李雅普诺夫第二方法
线性系统稳定的充分必要条件,闭环系统特征方程的所有根都具有负实部,
3.4.1 线性系统的稳定性概念系统工作在平衡状态,受到扰动偏离了平衡状态，扰动消失之后，系统又恢复到平衡状态，称系统是稳定的。稳定性只由结构、参数决定，与初始条件及外作用无关。
3.53.1 3.63.2 3.3
例3.4.2
线性系统特征方程为：
稳定判据则只要根据特征方程的系数便可判别出特征根是否具有负实部，从而判断出系统是否闭环稳定。
0,0)( 01110 aasasasasD nnnn
011 aD?0
20
31
2 aa
aaD
0
000
000
00
00
0
0
1
20
31
420
531
n
n
a
a
aa
aa
aaa
aaa
D
3.4.2 劳斯 —古尔维茨判据系统闭环稳定的充分必要条件
1) 特征方程各项系数均大于零，即 ai>0
2) 古尔维茨行列式全部为正，即
已经证明，在特征方程各项系数均大于零时，古尔维茨奇次行列式全为正，则古尔维茨偶次行列式必全为正；反之亦然。
1,古尔维茨稳定判据
3.4.1 例
劳斯判据采用表格形式,即 劳斯表,
当劳斯表中第一列的所有数都 大于零 时，系统 稳定 ；反之，
如果第一列出现 小于零 的数时，系统就 不稳定 。第一列各系数符号的改变 次数,代表特征方程的正实部根的 个数 。
2,劳斯判据
c
caac
c
c
caac
c
c
caac
cs
a
aaaa
c
a
aaaa
c
a
aaaa
cs
a a as
a a a s
13
431713
34
13
331513
24
13
231313
14
3n
1
7061
33
1
5041
23
1
3021
13
2n
531
1n
420
n
0s na
判别系统稳定性 。
例 3.4 设系统特征方程为 s4+2s3+3s2+4s+5=0; 试用劳斯稳定判据
4s
3s
2s
1
2
42
31
52
02
51
1
2
3
4
5
0
1s
0s
56 06
51
6151
42
0
注意两种特殊情况的处理：
1） 某行的 第一列项为 0,而其余各项不为 0或不全为 0。 用因子 （ s+a） 乘原特征方程 （ 其中 a为任意正数 ）,或用很小的正数?代替零元素,然后 对新特征方程应用劳斯判据 。
2）当劳斯表中 出现全零行 时，用上一行的系数构成一个辅助方程，对辅助方程求导，用所得方程的系数代替全零行。
解,列出劳斯表第一列数据不同号,
系统不稳定性 。
3.4.1 3.4.2
判断系统的稳定性 。
例 3.5 设系统特征方程为 s4+2s3+s2+2s+2=0；试用劳斯稳定判据例 3.6 设系统特征方程为 s6+2s5+6s4+8s3+10s2+4s+4=0；试用劳斯稳定判据判断系统的稳定性。
解,列出劳斯表 s4 1 1 2
s3 2 2 0
s2?(取代 0) 2
s1 2-4/?
s0 2
可见第一列元素的符号改变两次，故系统是不稳定的且在 S
右半平面上有两个极点。
解,列出劳斯表
s6 1 6 10 4
s5 2 8 4
s4 2 8 4? 辅助多项式 A(s)的系数
s3 0 0 0
A(s) =2s4+8s2+4
dA(s)/ds=8s3+16s
,5 8 6.022y
848.1414.3
766.0586.0
4.3
2.1
jjs
jjs
第一列元素全为正，系统并非不稳定；
阵列出现全零行，系统不是稳定的；
综合可见，系统是临界稳定的（存在有共轭纯虚根）。
解辅助方程可得共轭纯虚根：令 s2=y，
A(s) =2s4+8s2+4=2(y2+4y+2)=0
以导数的系数取代全零行的各元素，继续列写劳斯表：
s6 1 6 10 4
s5 2 8 4
s4 2 8 4
s3 8 16? dA(s)/ds的系数
s2 4 4
s1 8
s0 4
由图所示，误差定义有两种方式：
1)e(t)=r(t)-c(t),无法量测
2)e(t)=r(t)-b(t)
单位反馈时两种定义相同。
稳态误差是衡量系统最终控制精度的重要性能指标。稳态误差是指,稳态响应的希望值与实际值之差,即稳定系统误差的终值,e(t)=希望值 –实际值
3.5.1 稳态误差的定义
tss
)t(elime
3.5.2 稳态误差计算
)()(1
1
)(
)()(
sHsGsR
sEs
e
)()(1
)(l i m)(l i m)(l i m
00 sHsG
ssRssEtee
sstss
3-5 线性系统的误差分析
E(s) G(s) C(s)
H(s)
R(s)
B(s)
(-)
根据 终值定理
使用该公式应满足 sE(s)在 s右半平面及虚轴上解析的条件，即
sE(s)的极点均位于 s左半平面。当 sE(s)在坐标原点具有极点 时，
虽不满足虚轴上解析的条件，但使用后所得无穷大的结果正巧与实际应有的结果一致，因此实际应用时 可用此公式。
误差传递函数 为：
3.1
3.6
3.2
3.3 3.4
3.5.3 例 3.5.4
1）,符合终值定理应用条件。
3）,不符合终值定理应用条件 。
2）,符合终值定理应用条件。
为 1） r(t)=t,2) r(t)=t2/2,3) r(t)=sinωt，求系统稳态误差。
解,误差传递函数为
Ts
Ts
sHsGsR
sEs
e 1)()(1
1
)(
)()(
)1()(,
1)(
2 Tss
TsE
ssR
TTsTssEe
ssss
1
l i m)(l i m
00
)1()(,
1)(
23 Tss
TsE
ssR
)1(
1l i m)(l i m
00 Tss
ssEe
ssss
2222 1)(,)(?
sTs
TssE
ssR
例 3.7 设单位反馈系统开环传递函数为 G(s)=1/Ts,输入信号分别
本题说明,1）使用终值定理要注意条件
2）稳态误差与输入有关。
使用终值定理将得出错误结论。
一,影响稳态误差的因素
一般开环传递函数可以写成如下形式：
n
j
j
m
i
i
n
m
sTs
sK
sTsTsTs
sssK
sHsG
1
1
2
21
)1(
)1(
)1()1)(1(
)1()1)(1(
)()(
1
sK
sRs
sKsTs
ssRsTs
sHsG
SsR
sEstee
s
s
n
j
m
j
ij
n
j
j
s
sst
ss
0
1
0
1 1
1
0
00
l i m
)]([l i m
)1()1(
)()1(
l i m
)()(1
)(
l i m)(l i m)(l i m
稳态误差为
3.5.3 系统类型与静态误差系数
显然，系统的稳态误差取决于原点处开环极点的 阶次?、开环增益 K以及输入信号的形式。
式中,K为开环增益。为开环系统在 s平面坐标原点的极点重数,?=0,1,2时，系统分别称为 0 型,Ⅰ 型,Ⅱ 型系统。
3.5.1 例3.5.2 3.5.4
二、阶跃输入下稳态误差及静态位置误差系数
)()(l i m1)()(1
l i m
)()(1
)(
l i m)(l i m
0
0
00
sHsG
R
sHsG
R
sHsG
ssR
sEse
s
s
ss
ss
sRsRtRtr )(),(1)(
称为位置误差系数 )()(li m 0 sHsGK sp
p
ss k
Re
1于是
0,,II
0,,I
1
,,0
ssp
ssp
ssp
ek
ek
k
R
ekk
型系统型系统型系统三、斜坡输入下稳态误差及静态速度误差系数
)()(l i m)()(
l i m
)()(1
)(
l i m)(l i m
0
0
00
sHssG
R
sHssGs
R
sHsG
ssR
sEse
s
s
ss
ss
2)(),(1)( sRsRtRttr
称为静态速度误差系数 )()(lim 0 sHssGK sv
v
ss k
Re于是
0,,II
,,I
,0,0
ssv
ssv
ssv
ek
k
R
ekk
ek
型系统型系统型系统四、加速度输入下稳态误差及静态加速度误差系数
)()(l i m)()(
l i m
)()(1
)(
l i m)(l i m
2
0
220
00
sHsGs
R
sHsGss
R
sHsG
ssR
sEse
s
s
ss
ss
32 )(),(121)( sRsRtRttr
数称为静态加速度误差系 )()(l i m 20 sHsGsK sa
a
ss k
Re于是
k
R
ekk
ek
ek
ssa
ssa
ssa
,,II
,0,I
,0,0
型系统型系统型系统如表 3-1。
五、系统型别、静态误差系数与输入信号行式之间的关系型别静态误差系数阶跃输入
)(1)( tRtr
斜坡输入
Rttr?)(
加速度输入
2)(
2Rt
tr?
pK
vK
aK
)1( Pss KRe
Vss KRe?
ass KRe?
0 K 0 0
)1( KR?
∞ ∞
Ⅰ ∞ K 0 0
KR
∞
Ⅱ ∞ ∞ K 0 0
KR
Ⅲ ∞ ∞ ∞ 0 0 0
减小或消除误差的措施,提高开环积分环节的阶次?、增加开环增益 K。
表 3-1 输入信号作用下的稳态误差例 3.8
)1s(s
2)s(G,
50s
2 5 0)s(G
21
求 r(t)=1(t)+2t,n(t)=-1(t)时系统稳态误差。
解,r(t)作用时,Kp=∞,Kv=K=10,essr=0+2/10=0.2 。
5 0 0)1)(50(
)50(2
)1(
2
50
2 5 0
1
)1(
2
)()(1
)(
)(
)(
21
2
sss
s
sss
ss
sGsG
sG
sN
sE
2.05 0 0)1)(50( )50(2l i m)(l i m 00 sss sssEe ssssn
4.0 ssnssrss eee故
对扰动作用来讲,减小或消除误差的措施,增大扰动作用点之前的前向通路增益、增大扰动作用点之前的前向通路积分环节数。
终值定理法不能表示稳态误差随时间变化的规律。
C(s)
G1(s) G2(s)R(s)
N(s)
(-)
n(t)作用时：
3.5.1 3.5.33.5.2 3.5.4
例 3.9 系统输入 r(t)=(?+?t+?t2/2)1(t)，求 0 型,Ⅰ 型,Ⅱ 型系统的稳态误差。
型系统型系统型系统
I,
kk
00
,
k
0
,
k1
kkk1
e
avp
ss
解,利用叠加原理，可得系统的稳态误差为：
3.5.4 动态误差系数法动态误差系数法适用于研究输入信号为任意时间函数时的系统稳态误差。
332210)( )()( sCsCsCCSR sEse因此
)()()()()( 2210 sRsCsCCsRssE e则
)()()()( 210 trCtrCtrCte ss故其中 C0,C1,C2,… 为动态误差系数。
32 )0(!31)0(!21)0()0()( )()( sssSR sEs eeeee
)(])0(!31)0(!21)0()0([)()()( 32 sRssssRssE eeeee
),0(!21),0(),0( 210 eee CCC令设误差传递函数在 s邻域展开成泰勒级数为：
3.5.1 3.5.3 例3.5.2
3.6 顺馈控制的误差分析一、顺馈补偿 （参见 P8）
G ( s )1
G ( s )( s )G1
R ( s )
E ( s ) r
0)(,)(/1)( sEsGsG
r 时当
2,按扰动输入补偿
C(s)R(s)
(-)
Gf(s)
G1(s) G2(s)
N(s)
)s(G)s(G1
)s(G)s(G)s(G)s(G
)s(N
)s(E
21
21f2
0)(,)(/1)( 1 sEsGsG f 时当
C(s)R(s)
(-)
Gr(s)
G (s)1,按参考输入补偿
3.1 3.2
3.3 3.4 3.5
二、复合控制系统的误差和稳定性分析
3,等效传递函数
)s(1
)s()s(G
)s(G1
)s(G)s(
C(s)R(s)
(-)
Gr(s)
G (s)
,)( 1 ssG r?当加入
v
n
n
n
n
v
n
n
n
n
v
Ksasasas
K
s
sasasas
K
sG
)1(
)(
)1(
)(
1
1
1
1
1
1
则设
v
n
n
n
n
v
Ksasasas
sKs
)1(
)1()(
1
1
1
1'
)()(,/1 12112
'
1 asasas
KssGK
n
n
n
n
v
v
取
Ⅰ 型变为 Ⅱ 型。
时当 221r ss)s(G
v1
1n
1n
n
n
2
21v'
K)1sasasa(s
)ss1(K)s(
,/,/1 121 vv KaK取
Ⅱ 型变为 Ⅲ 型。
结论：复合控制能提高系统型别而不改变其稳定性。
v
n
n
n
n
v
Ksasasas
sasKs
)1(
)(
1
1
1
2
1'
)()( 23123
2
1'
asasas
KssasG
n
n
n
n
v
本 章 作 业
P148
3-1
3-3
3-4(2)
3-5
3-7
3-8
3-12
