第五章 频率响应法
5.1 频 率 特 性
5.2 典型环节和开环频率特性
5.3 奈奎斯特判据
5.4 稳 定 裕 度
5.5 闭环频率特性
End
本章作业
A(ω) 称 幅频特性,φ(ω)称 相频特性 。二者统称为频率特性。
基本概念 （ 物理意义 ）
5.1 频率特性 5.2 5.3 5.4 5.5
1
1
1
1
)(
)()(
11?
TssCRsU sUsG
r
c
22 ωs
A ω( s )U,则tA S i n设u r
r
221
1)(
s
A
TssU o
)(11)( 22/220 Tar c t gtS i nTAeTtAtu Tt
)(1 22 Tar c t gtS i nTA稳态分量
Ta r c tgTA )(,1/1)( 22根据定义
js
Tj a r c t g
TsTjeT?
1
1
1
1
1
1
22频率特性写成一个式子
数学本质
R1
C1
i1(t)
幅相曲线,对于一个确定的频率，必有一个幅频特性的幅值和一个幅频特性的相角与之对应，幅值与相角在复平面上代表一个向量。当频率 ω从零变化到无穷时，相应向量的矢端就描绘出一条曲线。这条曲线就是幅相频率特性曲线，简称幅相曲线。
常用于描述频率特性的几种曲线
对数幅相曲线 （又称 尼柯尔斯曲线 ）：对数幅相图的横坐标表示对数相频特性的相角，纵坐标表示对数幅频特性的幅值的分贝数。
幅频特性曲线,对数幅频特性曲线又称为伯德图（曲线），其横坐标采用对数分度，对数幅频曲线的纵坐标的单位是分贝，记作 dB，对数相频曲线的单位是度。
对数分度优点,扩大频带、化幅值乘除为加减、易作近似幅频特性曲线图 。
典型环节
比例环节,K
惯性环节,1/(Ts+1)，式中 T>0
一阶微分环节,(Ts+1)，式中 T>0
sssKss
sKsG
1.01
11)21(
)1.01(
)21()(:
例
nn
nn
mm
mm
asasasa
bsbsbsbsHSG
1
1
10
1
1
10)()(
5.2 典型环节和开环频率特性
积分环节,1/s
微分环节,s
振荡环节,1/[(s/ωn)2+2ζs/ωn+1];
式中 ωn>0,0<ζ<1
二阶微分环节,(s/ωn)2+2ζs/ωn+1;
式中 ωn>0,0<ζ<1
5.2.1 幅相曲线和对数幅频特性、相频特性的绘制
5.1 5.3
5.4 5.5
5.2.35.2.2
比例环节的频率特性是 G(jω)=K,幅相曲线如下左图。
k
j
0
图 5.3 比例环节 K的幅相曲线
·
比例环节
0
0
20lgK
(dB)
(o)
ω
ω
1
1 10
10
图 5.4 比例环节的对数 频率特性曲线
比例环节的对数幅频特性和对数相频特性分别是：
L(ω)=20lg| G(jω)|=20lgK 和 φ(ω)=0
相应曲线如上右图。
积分环节的对数幅频特性是 L(ω)=-20lgω,
而相频特性是 φ(ω)=-90o。
2
11)(,1)(?
jjGssG
积分环节图 5.6 1/jω和 jω的对数坐标图
ω
jω
1/jω0.1
(dB)
jω
1 10
0
20
-20
20dB/dec
-20dB/dec
1/jω
(o)
90
-90
0 0.1 1 10 ω
∠ jω
∠ 1/jω
j
ω
ω=00
图 5.7 微分环节幅相曲线
0
ω
图 5.5 积分环节的幅相曲线
j
微分环节
G(s)=s和 G(jω)= jω= ω∠ π/2
L(ω)=20lgω,而相频特性是 φ(ω)=90o。
ω<<1/T,L(ω)≈-20lg1=0
ω>>1/T,L(ω)≈-20lgωT
=-20(lgω-lg1/T)
一阶微分环节 G(s)=Ts+1
G(s)=1/(Ts+1),
Tj a r c t ge
TTj
jG?
22
1
1
1
1)(频率特性
221lg20)( TL
T- a r c t g)(
221lg20)( TL
Ta r c t g)(
惯性环节
ω0.1
(dB)
1 10
0
20
-20
20dB/dec
-20dB/dec
1/T
图 5.9 1+j?T和 1/(1+j?T)的对数坐标图
(o)
90
-90
0 0.1 1 10 ω
-1/T
j
p
0
(a)
θ
jω+1/T
图 5.8 惯性环节极点 — 零点图 (a) 和幅相曲线 (b)
ω=0
j
0ω=∞ -45o
ω=1/T
(b)
K
ω<<1/T,L(ω)≈20lg1=0
ω>>1/T,L(ω)≈20lgωT
=20(lgω-lg1/T)
G(s)=Ts+1,Tj a r c t geTTjjG 2211)(频率特性
nn
j
jG
21
1)(
2
2
ojG 01)(,0
o
n jG 902
1)(,
ojG 1800)(,
振荡环节
j
ω
-1/T 0
(a)
jω+1/T
ω=0
j
0
ω
1
(b)
图 5.10 一阶微分环节的极点 — 零点图 (a) 和幅相曲线 (b)
G(s)=1/[(s/ωn)2+2ζs/ωn+1]
- 0,5 0 0,5 1 1,5
- 1,5
- 1
- 0,5
0
u = 0
j
ζ = 0,2 — 0,8
图 5.11 振荡环节的幅相曲线
ω<<ωn时 L(ω)≈0
ω>>ωn时 L(ω)≈-40lgω/ωn=-40(lg ω-lg ωn)
22222 )/(4)/1(lg20)( nnL
2)/(1
/2)(
n
na r ct g
101
10
图 5.12 振荡环节的对数坐标图
ω/ωn0.1
(dB)
10
40
-20
40dB/dec
-40dB/dec
(o)
180
-180
0 0.1 ω/ω
n
20
(a)
(b)
n
j
j
m
i
i
sTs
s
KsG
1
1
)1(
)1(
)(
nn
nn
mm
mm
asasasa
bsbsbsb
1
1
10
1
1
10
2l i m)(l i m)(l i m 000
K
j
KjG
2
)(0
)(l i m,
,
mn
jGmn
故对控制系统而言
5.2.2 开环幅相曲线的绘制
2)(l i m)(l i m)(l i m 0
0
0
0?
mna
b
ja
bjG
mnmn
5.2.1 5.2.3
20
根据典型环节的对数频率特性绘制开环对数频率特性曲线例 5.1 系统开环传函为,试绘制系统的 Bode曲线。
)10 8 7.0(
7)(
sssG
10 8 7.0
117)(
sssG
一般的近似对数幅频曲线有如下特点：
1.最左端直线 斜率为
-20ν·dB/dec,这里 ν是积分环节数。
2.在 ω等于 1时,最左端直线或其延长线 (当 w<1的频率范围内有交接频率时 )的分贝值是 201gK，最左端直线 (或延长线 )与零分贝线的交点频率，数值上等于 K1/ν。
3.在 交接频率 处，曲线斜率发生改变,改变多少取决于典型环节种类,在惯性环节后,斜率减少 20dB/dec;而在振荡环节后,斜率减少 40dB/dec
klg
)j(
klg最左端直线为：
解：
sr a dT /5.11087.0 11,9.167lg20
已知系统开环传递函数为
nnn
n TTT
sssTsTs
sTKsG
11,
)2()1)(1(
)1()(
321222
31
2
2
试绘出开环对数渐近幅频曲线。
例 5.2
5.2.3 最小相角系统和非最小相角系统的区别
最小相角 (相位 )系统的零点、极点均在 s平面的左半平面，在 s平面的右半平面有零点或极点的系统是非最小相角系统。
1
1)(,
1
1)(:
TssGTssG例如有两个传递函数
20 -20 ω
L(dB)
10
L(dB)
50
-20
-40
100 ω
L(dB)
ω
-40
-40
-20
ω1 ωc
ω2
)1.01(
10)(
ssG
)01.01()( ss
KsG
50?K
)1(
)1(
)(
2
2
1
s
s
s
K
sG
cc KK 112
1,
幅频特性相同，但对数相频曲线却不相同 。
最小相角系统的幅频特性和相频特性一一对应，只要根据其对数幅频曲线就能写出系统的传递函数 。
5.2.1 5.2.2
已知最小相角系统开环对数渐近幅频曲线，求开环传递函数。
)1)(1(
)1(
)(
31
2
ss
s
s
K
sG
1
2
cK?
例 5.3
0
100
1
0
1
lg20)(
2
1
2
2
cc
c
c
K
L
1
1
2?
c
c
cK
5.3 奈奎斯特判据
频域稳定性判据
1?
j
0
jω+p1
2?
jω+p2
二阶系统的特征向量
j
-p 0
一阶系统的特征向量
jω+p
p
jω-p
n阶系统稳定的 充要条件,
当?由 0时，特征向量的相角变化为
2
n
G(s)=k/(Ts?1),
D(j?)=j p
D(s)=s2 + 2ns+?n2
=(s+p1)(s+p2)
D(j?)=(j? +p1)(j?+p2)
5.1 5.4 5.55.2
–P:在右半平面开环特征根数 ;
–Z:在右半平面闭环特征根数 ;
–N,在 [G]平面,?从 0,幅相曲线绕（ -1,j0) 点逆时针转过的圈数。
奈氏判据
Z=P-2N；
Z=0时稳定。
辅助函数 F(s)
三个特点：
1,零、极点分别为闭、开环特征根 ;
2,零、极点个数相等 ;
对于稳定的最小相角系统,?从 0时 F(s)应不包围原点。
3,与 G(s)H(s) 相差为 1。
)()(1
)()(
sHsG
sGs
n
i
i
n
i
i
ps
zs
sHsGsF
1
1
)(
)(
)()(1)(
奈氏稳定判据
例 5.4 判断以下系统的闭环稳定性。
从?=0+开始，
逆时针补画
90°,半径为无穷大的圆弧。
对数频率稳定判据为（ -1,j0)点或零分贝值以左的穿越次数。
NNN
穿越时：
相角增大为正穿越 N+，
相角减小为负穿越 N-,
未穿透为半次穿越,
2
1N?
（ -） （ +）
（ +）（ -）
其中,ωg为相角交界频率 。
其定义的含义：如果系统的开环传递系数增大到原来的
h倍，则系统处于临界稳定状态。
)()(
1.1
gg jHjG
h
)()(180.2 0 cc jHjG
5.4 稳定裕度
0
ω
ωg
ωc
j
r
-1
G(jωc)H(jωc)
G(jωg)H(jωg)
0 h(dB)
(o)(dB)
-180
γ
ωgωc ω
其中,ωc为系统截止频率 。
其定义的含义：如果系统对频率为截止频率的信号的相角滞后再增大 γ度，则系统处于临界稳定状态。
系统稳定，则 h>1,?>0 。
5.1 5.55.2 5.3
5.5 闭环频率特性
o 等 M圆和等 N圆
o 尼柯尔斯曲线
)()()()(1 )()()(1 )()(,)(1 )()( MjGjG jGjGjG jGjsG sGs
)(
1
)()(1
)()(
)()(1
)()(
sHsHsG
sHsG
sHsG
sGs
越大越大
],)
214
1(2[ 21
24
a r c t g
st
n?
%
s in
1?
rM
注意,尼柯尔斯图是根据单位负反馈结构绘制的，若系统不是单位反馈结构，则必须进行适当的变换之后才能运用此图。
如何利用闭环频率特性分析动态响应：
“频带宽、峰值小，过渡过程性能好”
o时域指标估算中利用的对应关系：
5.1 5.2 5.3 5.4
闭环频率特性曲线绘制的方法本 章 作 业
P247
5-2
5-3(2)(3)
5-4(2)(4)
5-5 (1)(3)
5-8
5-10
5-11
5-13
5.1 频 率 特 性
5.2 典型环节和开环频率特性
5.3 奈奎斯特判据
5.4 稳 定 裕 度
5.5 闭环频率特性
End
本章作业
A(ω) 称 幅频特性,φ(ω)称 相频特性 。二者统称为频率特性。
基本概念 （ 物理意义 ）
5.1 频率特性 5.2 5.3 5.4 5.5
1
1
1
1
)(
)()(
11?
TssCRsU sUsG
r
c
22 ωs
A ω( s )U,则tA S i n设u r
r
221
1)(
s
A
TssU o
)(11)( 22/220 Tar c t gtS i nTAeTtAtu Tt
)(1 22 Tar c t gtS i nTA稳态分量
Ta r c tgTA )(,1/1)( 22根据定义
js
Tj a r c t g
TsTjeT?
1
1
1
1
1
1
22频率特性写成一个式子
数学本质
R1
C1
i1(t)
幅相曲线,对于一个确定的频率，必有一个幅频特性的幅值和一个幅频特性的相角与之对应，幅值与相角在复平面上代表一个向量。当频率 ω从零变化到无穷时，相应向量的矢端就描绘出一条曲线。这条曲线就是幅相频率特性曲线，简称幅相曲线。
常用于描述频率特性的几种曲线
对数幅相曲线 （又称 尼柯尔斯曲线 ）：对数幅相图的横坐标表示对数相频特性的相角，纵坐标表示对数幅频特性的幅值的分贝数。
幅频特性曲线,对数幅频特性曲线又称为伯德图（曲线），其横坐标采用对数分度，对数幅频曲线的纵坐标的单位是分贝，记作 dB，对数相频曲线的单位是度。
对数分度优点,扩大频带、化幅值乘除为加减、易作近似幅频特性曲线图 。
典型环节
比例环节,K
惯性环节,1/(Ts+1)，式中 T>0
一阶微分环节,(Ts+1)，式中 T>0
sssKss
sKsG
1.01
11)21(
)1.01(
)21()(:
例
nn
nn
mm
mm
asasasa
bsbsbsbsHSG
1
1
10
1
1
10)()(
5.2 典型环节和开环频率特性
积分环节,1/s
微分环节,s
振荡环节,1/[(s/ωn)2+2ζs/ωn+1];
式中 ωn>0,0<ζ<1
二阶微分环节,(s/ωn)2+2ζs/ωn+1;
式中 ωn>0,0<ζ<1
5.2.1 幅相曲线和对数幅频特性、相频特性的绘制
5.1 5.3
5.4 5.5
5.2.35.2.2
比例环节的频率特性是 G(jω)=K,幅相曲线如下左图。
k
j
0
图 5.3 比例环节 K的幅相曲线
·
比例环节
0
0
20lgK
(dB)
(o)
ω
ω
1
1 10
10
图 5.4 比例环节的对数 频率特性曲线
比例环节的对数幅频特性和对数相频特性分别是：
L(ω)=20lg| G(jω)|=20lgK 和 φ(ω)=0
相应曲线如上右图。
积分环节的对数幅频特性是 L(ω)=-20lgω,
而相频特性是 φ(ω)=-90o。
2
11)(,1)(?
jjGssG
积分环节图 5.6 1/jω和 jω的对数坐标图
ω
jω
1/jω0.1
(dB)
jω
1 10
0
20
-20
20dB/dec
-20dB/dec
1/jω
(o)
90
-90
0 0.1 1 10 ω
∠ jω
∠ 1/jω
j
ω
ω=00
图 5.7 微分环节幅相曲线
0
ω
图 5.5 积分环节的幅相曲线
j
微分环节
G(s)=s和 G(jω)= jω= ω∠ π/2
L(ω)=20lgω,而相频特性是 φ(ω)=90o。
ω<<1/T,L(ω)≈-20lg1=0
ω>>1/T,L(ω)≈-20lgωT
=-20(lgω-lg1/T)
一阶微分环节 G(s)=Ts+1
G(s)=1/(Ts+1),
Tj a r c t ge
TTj
jG?
22
1
1
1
1)(频率特性
221lg20)( TL
T- a r c t g)(
221lg20)( TL
Ta r c t g)(
惯性环节
ω0.1
(dB)
1 10
0
20
-20
20dB/dec
-20dB/dec
1/T
图 5.9 1+j?T和 1/(1+j?T)的对数坐标图
(o)
90
-90
0 0.1 1 10 ω
-1/T
j
p
0
(a)
θ
jω+1/T
图 5.8 惯性环节极点 — 零点图 (a) 和幅相曲线 (b)
ω=0
j
0ω=∞ -45o
ω=1/T
(b)
K
ω<<1/T,L(ω)≈20lg1=0
ω>>1/T,L(ω)≈20lgωT
=20(lgω-lg1/T)
G(s)=Ts+1,Tj a r c t geTTjjG 2211)(频率特性
nn
j
jG
21
1)(
2
2
ojG 01)(,0
o
n jG 902
1)(,
ojG 1800)(,
振荡环节
j
ω
-1/T 0
(a)
jω+1/T
ω=0
j
0
ω
1
(b)
图 5.10 一阶微分环节的极点 — 零点图 (a) 和幅相曲线 (b)
G(s)=1/[(s/ωn)2+2ζs/ωn+1]
- 0,5 0 0,5 1 1,5
- 1,5
- 1
- 0,5
0
u = 0
j
ζ = 0,2 — 0,8
图 5.11 振荡环节的幅相曲线
ω<<ωn时 L(ω)≈0
ω>>ωn时 L(ω)≈-40lgω/ωn=-40(lg ω-lg ωn)
22222 )/(4)/1(lg20)( nnL
2)/(1
/2)(
n
na r ct g
101
10
图 5.12 振荡环节的对数坐标图
ω/ωn0.1
(dB)
10
40
-20
40dB/dec
-40dB/dec
(o)
180
-180
0 0.1 ω/ω
n
20
(a)
(b)
n
j
j
m
i
i
sTs
s
KsG
1
1
)1(
)1(
)(
nn
nn
mm
mm
asasasa
bsbsbsb
1
1
10
1
1
10
2l i m)(l i m)(l i m 000
K
j
KjG
2
)(0
)(l i m,
,
mn
jGmn
故对控制系统而言
5.2.2 开环幅相曲线的绘制
2)(l i m)(l i m)(l i m 0
0
0
0?
mna
b
ja
bjG
mnmn
5.2.1 5.2.3
20
根据典型环节的对数频率特性绘制开环对数频率特性曲线例 5.1 系统开环传函为,试绘制系统的 Bode曲线。
)10 8 7.0(
7)(
sssG
10 8 7.0
117)(
sssG
一般的近似对数幅频曲线有如下特点：
1.最左端直线 斜率为
-20ν·dB/dec,这里 ν是积分环节数。
2.在 ω等于 1时,最左端直线或其延长线 (当 w<1的频率范围内有交接频率时 )的分贝值是 201gK，最左端直线 (或延长线 )与零分贝线的交点频率，数值上等于 K1/ν。
3.在 交接频率 处，曲线斜率发生改变,改变多少取决于典型环节种类,在惯性环节后,斜率减少 20dB/dec;而在振荡环节后,斜率减少 40dB/dec
klg
)j(
klg最左端直线为：
解：
sr a dT /5.11087.0 11,9.167lg20
已知系统开环传递函数为
nnn
n TTT
sssTsTs
sTKsG
11,
)2()1)(1(
)1()(
321222
31
2
2
试绘出开环对数渐近幅频曲线。
例 5.2
5.2.3 最小相角系统和非最小相角系统的区别
最小相角 (相位 )系统的零点、极点均在 s平面的左半平面，在 s平面的右半平面有零点或极点的系统是非最小相角系统。
1
1)(,
1
1)(:
TssGTssG例如有两个传递函数
20 -20 ω
L(dB)
10
L(dB)
50
-20
-40
100 ω
L(dB)
ω
-40
-40
-20
ω1 ωc
ω2
)1.01(
10)(
ssG
)01.01()( ss
KsG
50?K
)1(
)1(
)(
2
2
1
s
s
s
K
sG
cc KK 112
1,
幅频特性相同，但对数相频曲线却不相同 。
最小相角系统的幅频特性和相频特性一一对应，只要根据其对数幅频曲线就能写出系统的传递函数 。
5.2.1 5.2.2
已知最小相角系统开环对数渐近幅频曲线，求开环传递函数。
)1)(1(
)1(
)(
31
2
ss
s
s
K
sG
1
2
cK?
例 5.3
0
100
1
0
1
lg20)(
2
1
2
2
cc
c
c
K
L
1
1
2?
c
c
cK
5.3 奈奎斯特判据
频域稳定性判据
1?
j
0
jω+p1
2?
jω+p2
二阶系统的特征向量
j
-p 0
一阶系统的特征向量
jω+p
p
jω-p
n阶系统稳定的 充要条件,
当?由 0时，特征向量的相角变化为
2
n
G(s)=k/(Ts?1),
D(j?)=j p
D(s)=s2 + 2ns+?n2
=(s+p1)(s+p2)
D(j?)=(j? +p1)(j?+p2)
5.1 5.4 5.55.2
–P:在右半平面开环特征根数 ;
–Z:在右半平面闭环特征根数 ;
–N,在 [G]平面,?从 0,幅相曲线绕（ -1,j0) 点逆时针转过的圈数。
奈氏判据
Z=P-2N；
Z=0时稳定。
辅助函数 F(s)
三个特点：
1,零、极点分别为闭、开环特征根 ;
2,零、极点个数相等 ;
对于稳定的最小相角系统,?从 0时 F(s)应不包围原点。
3,与 G(s)H(s) 相差为 1。
)()(1
)()(
sHsG
sGs
n
i
i
n
i
i
ps
zs
sHsGsF
1
1
)(
)(
)()(1)(
奈氏稳定判据
例 5.4 判断以下系统的闭环稳定性。
从?=0+开始，
逆时针补画
90°,半径为无穷大的圆弧。
对数频率稳定判据为（ -1,j0)点或零分贝值以左的穿越次数。
NNN
穿越时：
相角增大为正穿越 N+，
相角减小为负穿越 N-,
未穿透为半次穿越,
2
1N?
（ -） （ +）
（ +）（ -）
其中,ωg为相角交界频率 。
其定义的含义：如果系统的开环传递系数增大到原来的
h倍，则系统处于临界稳定状态。
)()(
1.1
gg jHjG
h
)()(180.2 0 cc jHjG
5.4 稳定裕度
0
ω
ωg
ωc
j
r
-1
G(jωc)H(jωc)
G(jωg)H(jωg)
0 h(dB)
(o)(dB)
-180
γ
ωgωc ω
其中,ωc为系统截止频率 。
其定义的含义：如果系统对频率为截止频率的信号的相角滞后再增大 γ度，则系统处于临界稳定状态。
系统稳定，则 h>1,?>0 。
5.1 5.55.2 5.3
5.5 闭环频率特性
o 等 M圆和等 N圆
o 尼柯尔斯曲线
)()()()(1 )()()(1 )()(,)(1 )()( MjGjG jGjGjG jGjsG sGs
)(
1
)()(1
)()(
)()(1
)()(
sHsHsG
sHsG
sHsG
sGs
越大越大
],)
214
1(2[ 21
24
a r c t g
st
n?
%
s in
1?
rM
注意,尼柯尔斯图是根据单位负反馈结构绘制的，若系统不是单位反馈结构，则必须进行适当的变换之后才能运用此图。
如何利用闭环频率特性分析动态响应：
“频带宽、峰值小，过渡过程性能好”
o时域指标估算中利用的对应关系：
5.1 5.2 5.3 5.4
闭环频率特性曲线绘制的方法本 章 作 业
P247
5-2
5-3(2)(3)
5-4(2)(4)
5-5 (1)(3)
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