第九章 状态空间描述法
9.1 线性系统的状态空间描述
9.2 状态方程求解
9.3 可控性与可观测性
9.4 状态反馈与状态观测器
End
9.1 线性系统的状态空间描述法
1,控制系统的两种基本描述方法：
输入 —输出描述法 ——经典控制理论状态空间描述法 ——现代控制理论
2,经典控制理论的特点：
(1) 优点：对单入 —单出系统的分析和综合特别有效 。
(2) 缺点：内部的信息无法描述,仅适于单入 —单出系统 。
3,现代控制理论
(1) 适应控制工程的高性能发展需要,于 60年代提出 。
(2) 可处理时变,非线性,多输入 —多输出问题 。
(3) 应用方面的理论分支：最优控制,系统辩识,自适应控制 ……
9.2 9.3 9.4
一、问题的提出
1,?先看一个例子,
例 9.1 试建立图示电路的数学模型。
R L
C
i(t)
ur(t) uc(t)
)()()()( tutRitudt tdiL rc
dt
tduCti c )()(?
)(
1
)(
1)(
)(
1)(
tu
L
ti
L
R
u
Ldt
tdi
ti
Cdt
tdu
rc
c
二,状态和状态空间
2,状态与状态变量的定义在已知 ur(t)的情况下，只要知道 uc(t)和 i(t)的变化特性，则其他变量的变化均可知道。故 uc(t)和 i(t)称为“状态变量”。记控制系统的状态为完全描述系统的一个最小变量组,该组中的每个变量称为状态变量 。
))(
)()(),()( 21
、及 ix
dt
tdx
titxtutx
i
i
c
)(1
0
)(
)(
1
10
)(
)(
2
1
2
1 tu
Ltx
tx
L
R
L
C
tx
tx
r
则有如上例中,为系统的状态,为状态变量。?
tx
txtx
2
1 )2,1(,?itx i
3,状态向量
4,状态空间,
定义,所有状态构成的一个实数域上的 (线性 )向量空间称为状态空间。
5,方程,
状态变量的一阶导数与状态变量、输入量的关系表达式称为状态方程 (见上例 );
系统输出量 y(t) 与状态变量、输入量的关系的表达式称为输出方程。
三,状态变量的选取
1,状态变量的选取是非唯一的。
2,选取方法
（ 1）可选取初始条件对应的变量或与其相关的变量作为系统的状态变量。
（ 2）可选取独立储能（或储信息）元件的特征变量或与其相关的变量作为控制系统的状态变量。（如电感电流 i、电容电压 uc,质量 m的速度 v等。
例 9.2 图示弹簧 ——质量 ——阻尼器系统，外作用力
u(t)为该系统的输入量，质量的位移 y(t)为输出量，试列写该系统的状态方程和输出方程。
k
m
u(t)
y(t)f
tutKy
dt
tdyf
dt
tydm2
tytxtytx 21,
txx 21
tu
m
tx
m
f
tx
m
K
tu
m
tyftky
m
tyx
1
11
21
2
txty 1?
例 9.3 已知系统微分方程组为
dtiiciRu r )(1 21
1
11
dticiRdtiic 2
2
2221
1
1)(1
rc udticu 2
2
1
其中,ur 为输入,uc 为输出,R1,C1,R2,C2为常数。试列写系统状态方程和输出方程。
ubxaxaxax
ubxaxaxax
ubxaxaxax
nnnnnnn
nn
nn
2211
222221212
112121111
四,状态空间表达式
1,单输入单输出线性定常连续系统
BuAxx
duxcxcxcy nn2211
DuCxy
2,一般线性系统 状态空间表达式（ p输入 q输出）
utDxtCy
utBxtAx
DuCxy
BuAxx
3,线性 定常 系统 状态空间表达式
∫
（ t域 ） （ w域 ）
s
1
u x yB ∫ C
D
A
b) 结构图
x?
系统
A
输入
u
输出
y
状态
X
a) 结构关系图
D
B C
五,线性定常系统状态空间表达式的建立
1,方法,机理分析法、实验法
2,线性定常单变量系统 (单输入 —单输出系统 )
(1) 由微分方程建立
ububub
yayayayay
m
m
n
n
n
n
n
0
1
1
1
1
0
1
1
2
2
1
1
1121,,, nn yxyxyx?
① 在输入量中不含有导数项时：
ubxaxaxax
xx
xx
xx
nnn
nn
012110
1
32
21
则例 9.4 已知系统微分方程为
uyyyy 323
列写系统的状态空间表达式。
yxyxyx 321,,
写成向量 ---矩阵形式 (或系统动态结构图 ):
解,选
② 输入量中含有导数项时：
u
bx
x
x
x
aaaax
x
x
x
n
n
nn
n
0
1
2
1
1110
1
2
1
0
0
0
100
01
0010
nx
x
x
2
1
001y
01
1
1
01
1
1
)(
)()(
asasas
bsbsbsb
su
sysG
n
n
n
n
n
n
n
01
2
2
1
1
01
2
2
1
1
1
)(
)(
)(
)(
)(
)(
)(,0).
bsbsbsb
sz
sy
asasasassu
sz
su
sz
sz
sy
sD
sN
sGbA
n
n
n
n
n
n
n
n
n
n
zbzbzbzby
uzazazazaz
n
n
n
n
n
n
n
n
n
01
2
2
1
1
01
2
2
1
1
)(
① 可控规范型实现
(2) 由传递函数建立 ——即实现
01
1
1
01
1
1
)(
)()(
asasas
bsbsbsb
su
sysG
n
n
n
n
n
n
n
susD sNsubsy n
B） bn≠0
01
1
1
01
2
2
1
1
asasas
fsfsfsfb
n
n
n
n
n
n
n
n
sD
sNb
n
nnnnnnnn babfbabf 222111,
nn babfbabf 000111,
例 9.6 已知系统的传递函数为
8147 1588 23 23 sss ssssG
试求其能控规范型实现，并画出系统状态图。
例 9.5 已知系统的传递函数为
8147 15823 2 sss sssG
试求其能控规范型实现，并画出系统状态图。
例 9.7 已知系统的传递函数为
8147 15823 2 sss sssG
试求其能观测规范型实现，并画出系统状态图。
与能控规范型关系：
A*=AT,B*=CT,C*=BT
② 能观测规范型实现
n
i i
i
n
n
s
c
s
c
s
c
s
c
su
sysG
12
2
1
1
n
i
ii xcsy
1
则
sussx
i
i
1取
u
x
x
x
x
x
x
nnn
1
1
1
00
00
00
2
1
2
1
2
1
n
n
x
x
x
ccc
2
1
21y
③ 对角线规范实现
结构图的对角线规范型实现，并画出系统状态图 。
8147 15823 2 sss sssG
例 9.8 求
+n
x?
1x?
x1
y(t)u(t)
∫
λ 1
c1
x2∫
λ 2
c2
xn∫
λn
cn
+
+
2x?
n
n
s
c
s
c
s
c
s
c
s
csG
4
4
1
13
2
1
12
3
1
11
1312112 xxx
uxx 13113
uxx 444?
uxx nnn
1211111 xxx则 )(1)(
1
13 sussx令
)(
1
)(
1
)(
13
1
2
1
12
sx
s
su
s
sx
)(
1
)(
1
)(
12
1
3
1
11
sx
s
su
s
sx
④ 约当规范型实现 ----特征方程有重根时
u
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
nnn
1
1
1
0
0
0000
0000
0000
0010
0001
4
13
12
11
4
1
1
1
4
13
12
11
1
4
13
12
11
4131211
n
n
x
x
x
x
x
cccccy
xn
x4
x11x12x13
y(t)u(t)
++
+
+
+
∫
λ1
∫
λ4
∫
λn
∫
λ1
∫
λ1
c11
c12
c13c
4
cn
11x?12x?13x?
4x?
nx?
(3) 状态空间表达式的线性变换
① 思路：
（规范型）（不规范）
等价变换
yudxcy
ubxAx
ducxy
buAxx xpx
_
② 变换前后系数矩阵关系：
,,xpxxpx
duxcpy
buxApxp?
代入原状态方程，有
duxcpy
bupxAppx 11?
uxx
1
0
0
5116
6116
110
变换为对角线规范型。
例 9.9 试将状态方程：
0321
6116
5116
6116
11
23
AI
解,Ⅰ,求特征值：
Ⅱ,求特征向量和变换矩阵 P
,111 PAP
13
12
11
13
12
11
5116
6116
110
p
p
p
p
p
p
1
0
1
1p
λ=-1对应的 p1
3．线性定常多输入 —多输出系统
(1) 传递函数矩阵与状态系数矩阵间的关系
DBASICsGDuCxy BuAxx
1)()(?
9
6
1
,
4
2
1
32 pp
941
620
111
p
12/33
343
22/53
1p
1
3
2
,
300
020
001
11 bpbAPpA
(2) 开环与闭环传递矩阵
(3) 传递矩阵的对角化单入 —单出系统
y(s)e(s)u(s) G(s)
H(s)
GHe 1
1?
GH
G
1?
-
)(
)(
0
0
)(
)( 1111
su
su
g
g
sy
sy
pqpq
y(s)e(s)u(s) G(s)
H(s)
GGHI 1)(
1)( GHIe?
多入 —多出系统
-
(4) 传递矩阵的实现
1) 单输入 —多输出时的实现
)(?
)(?
)(?
)(?
)(?
)(
)(
)(
11111
sGd
sg
sg
d
d
sgd
sgd
sg
sg
sG
qqqqq
01
1
1,
2021
1
1,2
10,11
1
1,1
01
1
1
2
1
1
)(/)(
)(/)(
)(/)(
)(?
qq
n
nq
n
n
n
n
n
n
n
q ss
ss
ss
asasas
sDsN
sDsN
sDsN
sG
可控规范型
buxu
x
x
x
x
aaaa
x
n
n
n
1
0
0
0
1000
0100
0010
1
2
1
1210
ducxu
d
d
x
x
y
y
y
qnnqq
n
q
11
1,0
1,1101
例 9.10 试求下列单输入 —双输出系统传递函数矩阵的可控标准形实现。
1
4
)2)(1(
3
)(
s
s
ss
s
sG
解,
)2(3
3
23
1
1
0
1
3
)2)(1(
3
1
0
)(
2 s
s
ss
s
ss
s
sG
uxxBuAxx?
1
0
32
10
2
1?
uxxDuCxy?
1
0
36
13
2
1
2) 多输入 —单输出时的实现解题 思路,
① 求对应的单入多出系统 GT(s) 的实现；
② 利用对偶关系求 G(s)的实现 。
例 9.11 线性定常系统传递函数矩阵如下，求系统的可控标准形实现。
3
4
)2)(1(
)3(2)(
s
s
ss
ssG
3
1
)2)(1(
)3(2
1
0
3
4
)2)(1(
)3(2
)(
s
ss
s
s
s
ss
s
sG T
解：
)2)(1(
)3(2
)3)(2)(1(
1
1
0 2
ss
s
sss
23
18122
6116
1
1
0
2
2
23 ss
ss
sss
u
x
x
x
BuAxx
1
0
0
6116
100
010
3
2
1
u
x
x
x
DuCxy?
1
0
132
21218
3
2
1
2
1
3
2
1
12
312
218
610
1101
600
u
u
x
x
x
uBxAx?
2
1
3
2
1
10100
u
u
x
x
x
uDxCy
本 节 作 业刘豹,P48
1-4
1-5(1)
1-7
9.2 状态方程求解
线性定常连续系统
1,齐次状态方程的解 )( 自由运动 Axx?
（ 1） 幂级数法设解为,
0
2
210)( k
k
k
k
k tbtbtbbb ttx
)(
2)(
10
1
1
1
21
tbbbtb
tbbb
k
k
k
k
k
k
k
tAAxxk
kttx
bAb 022 21 bAb kk k 0!1bAb 01?
9.3 9.49.1
)0()
!
1
()0(
)
!
1
2
1
(
!
1
2
1
)(
0
0
0
22
0
2
0
2
00
x
k
x
k
AtI
k
AtAtx
k
kk
kk
kk
tAb
btAtA
tbAtbbb
)0()( xtx e At?即
],,!1[
0
状态转移矩阵称为矩阵指数定义
k
kkAt tAe
k
⑵ 拉氏变换法由 两边取拉氏变换,得
SX(s)-X(0)=AX(s)
(SI﹣ A)X(s)=X(0)
X(s)=(SI﹣ A)-1.X(0)
两边取拉氏反变换
x(t)= L-1[X(s)]= L-1[(SI-A)-1 X(0)]
= L-1 [(SI-A)-1] X(0)
比较前式，有 eAt= L-1 [(SI-A)-1]
Axx?
△ 状态转移矩阵的运算 性质
ф(t)=eAt=I+At+(1/2)A2t2+…+( 1/k！ )Aktk+…
⑴ ф(0)=I─初始状态
AAttA )0(,)()(( t )(2)
⑶ ф(t1± t2)=ф(t1)ф(± t2)
=ф(± t2)ф(t1) ----- 线性关系
⑷ ф-1(t)=ф(-t),ф-1(-t)=ф(t) ----- 可逆性
⑸ x(t)=ф(t-t0)x(t0)
∵ x(t0)=ф(t0)x(0),
则 x(t)=ф(t)x(0)=ф(t)[ф-1(t0)x(t0)]
=ф(t)ф(-t0)x(t0)=ф(t-t0)x(t0)
（ 6） ф(t2-t0)=ф(t2-t1)ф(t1-t0)
= e (t2-t1)Ae(t1-t0)A ——可分阶段转移
⑺ [ф(t)]k =ф(kt)
⑻ e(A+B)t==eAt.eBt=eBt.eAt (AB=BA)
e(A+B)t≠eAt.eBt≠eBt.eAt (AB≠BA)
⑼ 引入非奇异变换 后,
⑽ 两种常见的状态转移矩阵
xpx? pept At1)(
t
t
n
ne
e
tA
0
0
)(,
0
0 11
t
t
t
t
m
tt
mm e
te
e
e
m
t
tee
tA
00
0
)!1(
)(,
00
1
0
01
1
例 9.12 设有一控制系统，其状态方程为 Axx
320
100
010
A
在 t0=0时，状态变量的初值为 [x1(0) x2(0) x3(0)],
试求该方程的解。
320
10
01
)(:
s
s
s
AsI解
)2)(1(
20
)3(0
13)1)(2(
)(
)(
2
1
sss
ss
sss
sss
AsI
AsIadj
AsI
)2)(1/()2)(1/(20
)2)(1/(1)2)(1/()3(0
)2)(1(/1)2)(1(/)3(/1
sssss
sssss
ssssssss
2
2
1
1
2
2
1
2
0
2
1
1
1
2
1
1
2
0
2
5.0
1
15.0
2
5.0
1
25.1
/1
ssss
ssss
ssssss
s
tttt
tttt
tttt
At
eeee
eeee
eeee
AsILet
22
22
22
11
2220
20
5.05.05.025.11
])[()(
)0()2()0()22(
)0()()0()2(
)0()5.05.0()0()5.025.1()0(
)0(
)0(
)0(
)()0()(
)(
)(
)(
)(
3
2
2
2
3
2
2
2
3
2
2
2
1
3
2
1
3
2
1
xeexee
xeexee
xeexeex
x
x
x
txt
tx
tx
tx
tx
tttt
tttt
tttt
。? Axx?,
1
1)0(
时x;)( 2
2
t
t
e
etx,
1
2)0(
时x 。
t
t
e
etx 2)(
试求 A及 ф(t) 。
)()(
)()()(
2221
1211
tt
ttt设解：
例 9.13 设系统状态方程为
)()(
)()(
1
1
)()(
)()(
2221
1211
2221
1211
2
2
tt
tt
tt
tt
e
e
t
t
)()(2
)()(2
1
2
)()(
)()(2
2221
1211
2221
1211
tt
tt
tt
tt
e
e
t
t
解方程组得,
ф11(t)=2e-t –e-2t,ф12(t)= 2e-t－ 2e-2t
ф21(t)=-e-t +e-2t,ф22(t)=-e-t+2e-2t
tttt
tttt
eeee
eeeet
22
22
2
222)(
31
20
42
4222
)(
0
22
22
0
t
tttt
tttt
t
eeee
eeee
tA?
例 9.14 设系统运动方程为 cuuabyybay )(
式中 a,b,c均为实数,试求：
⑴ 求系统状态空间表达式 。
⑵ 求系统状态转移矩阵。
bsba
bc
asab
ac
bsas
cs
absbas
cs
sU
sY
sG
11
))((
)()(
)(
)()1(
2
解：
x
ba
bc
ab
ac
y
ux
b
a
x
1
1
0
0
bt
at
e
e
bs
asL
bs
as
LAsILt
0
0
1
0
0
1
])
0
0
[(])[()()2(
1
1111
2,非齐次状态方程 的解BuAxx
⑴ 直接法（积分法）
BueAXxexexAexedtd AtAtAtAtAt )()(
dBuextxedxedd t AAtt A )()0()()( 00
dButxtdBuexetx tt tAAt 00 )( )()()0()()0()(
(2) 拉氏变换法
sx(s)-x(0)=Ax(s)+Bu(s)
(sI-A)x(s)=x(0)+Bu(s)
x(s)=(sI-A)-1x(0)+(sI-A)-1Bu(s)
则 x(t)=￡ -1[(sI-A)-1x(0)]+￡ -1[(sI-A)-1Bu(s)]
(由 eAt=￡ -1[(sI-A)-1]可得 )
dButxtdBuexetx tt tAAt 00 )( )()()0()()()0()(
例 9.15 在上例中，当输入函数 u(t)=1(t)时，求系统状态方程的解。
1
1,
0
0)( B
e
et
bt
at
)0()1(
1
)0()1(
1
)0(
)0(
1
1
0
0
)0(
)0(
0
0
)()()0()()(
2
1
0
)(
)(
2
1
0
)(
)(
2
1
0
xee
b
xee
a
d
e
e
xe
xe
d
e
e
x
x
e
e
dButxttx
btbt
atat
t
tb
ta
bt
at
t
tb
ta
bt
at
t
)()( txba bcab acty?
例 9.16 设有一电液位置伺服系统，已知系统方块图如下所示。试用状态空间法对系统进行分析 。
解,由图
111,
3
6
3
,
300
020
001
CBA
3
3
2
6
1
3
)3)(2)(1(
6
ssssss
)116(
6)()(
2 ssssHsG
6116
6
)()(1
)(
)(
)(
23 ssssHsG
sG
su
sy
3 2/s
1
-
电动伺服阀放大器 油缸位移传感器
116
1
2 ss
u(s) y(s)
t
t
t
e
e
e
AsILt
3
211
00
00
00
][)(
dButxttx t 0 )()()0()()(
d
e
e
e
t
t
t
t
3
6
3
00
00
00
0
)(3
)(2
)(
t
t
t
t
t
t
t
e
e
e
d
e
e
e
3
2
0
)(3
)(2
)(
1
33
33
3
6
3
ttt
t
t
t
eee
e
e
e
Cxy 32
3
2 331
1
33
33
111
本 节 作 业刘豹,P77
2-3
2-5(3)
2-6
一、可控与可观测的概念、意义
9.3 可控性与可观测性 9.2 9.49.1
设线性定常连续系统的状态空间表达式为：
如果存在一个控制 u(t)，能在有限时间间隔 [to,tf]内，
使系统从其一初态 x(to)转移到任意指定的终态 x(tf),则称此状态 x(to)是完全可控的，简称系统可（能）控。（只要有一个状态变量不可控，则系统不可控）。
)()()(
)()()(
tDutCxty
tButAxtx?
二、定义
1,可控性 定义三、可控性与可观测性判据系统在稳定输入 u(t)作用下，对任意初始时刻 to,若能在有限时间间隔 [to,tf]之内，根据从 to到 tf对系统输出 y(t)
的观测值和输入 u(t)，唯一地确定系统在 to时刻的状态
x(to),则称系统是状态完全可观测的，简称系统可（能）
观测。（只要有一个状态变量不能（可）观测，则系统不可观测）。
2,可观测性 定义
可控规范型：
1
0
0
0
B,
aaaa
1000
0
0100
0010
A
1n210?
1,可控性判据线性定常连续系统状态完全可控的充要条件是可控性判别阵：
必须满秩。即 （ n为系统维数）
判据一,
11
10ABBQ
c
][ 2 BABAABBQ nC
试判别其状态的可控性。
u101101xx xx
2
1
2
1?
解：
例 9.17 设系统状态方程为：
nr a n k Q c 2
nra n k Q c?
设线性定常系统具有互异的特征值，则系统可控的充要条件是，系统经非奇异变换后的对角线规范型方程：
uxx
n
0
0
2
1
中,阵不包含元素全为零的行。
判据二,
例 9.18 已知三阶二输入系统状态方程,试判别其状态的可控性。
2
1
3
2
1
3
2
1
10
01
10
110
010
011
u
u
x
x
x
x
x
x
121110
010101
121110
2
cQ
解：
u
x
x
x
x
x
x
7
5
2
100
050
007
)1
3
2
1
3
2
1
u
x
x
x
x
x
x
7
5
0
100
050
007
)2
3
2
1
3
2
1
2
1
3
2
1
3
2
1
57
04
10
100
050
007
)3
u
u
x
x
x
x
x
x
2
1
3
2
1
3
2
1
57
04
00
100
050
007
)4
u
u
x
x
x
x
x
x
例 9.19 试确定如下几个经非奇异变换后的对角线规范型系统的可控性。
ux
J
J
J
x
k
2
1
例 9.20 试判断下列已经非奇异变换成约当规范型的系统的可控性。
u
x
x
x
x
x
x
3
4
0
200
040
014
)1
3
2
1
3
2
1
2
1
3
2
1
3
2
1
03
00
24
200
040
014
)2
u
u
x
x
x
x
x
x
中，与每个约当小块 的最后一行相对应 的阵 中的所有那些行，其元素不全为零。（若两个约当块有相同特征值，此结论不成立。）
),,2,1( kiJ i
约当规范型判据三：
判据一,线性定常连续系统状态完全能观测的充分必要条件为可观测性矩阵,
1
0
nCA
CA
C
Q
2,可观测性判据必须满秩，即 rankQo=n（ n为系统维数）
可观测规范型：
100,
100
010
001
000
1
2
1
0
C
a
a
a
a
A
n
例 9.21 已知系统的 A,C阵如下，试判断其可观性。
uxxxx?
1
1
31
12
2
1
2
1
2
1
2
1
01
01
x
x
y
y
12
12
01
01
0 CA
C
Q
例 9.22 试判别如下系统的可观测性。
解：
01 5411C
55
11
0 CA
CQ
5501 5411
CA解：
xcy
xx
n
0
0
2
1
的矩阵 中不包含元素全为零的列。
设线性定常连续系统具有不相等的特征值,则其状态可观测的充要条件是系统经非奇异变换后的对角线规范型,
c
例 9.23 试判别以下系统的状态可观测性,
3
2
1
3
2
1
100
050
007
x
x
x
x
x
x
3
2
1
2
1
130
023
x
x
x
y
y
判据二,
kJ
J
J
x
0
0
2
1
中,与每个约当块 首行相对应的矩阵 中的那些列,其元素不全为零。 (如果两个约当块有相同的特征值,此结论不成立 )。
),,3,2,1( kiJ i
约当规范型
c
判据三,
例 9.24 试判别下列系统的状态可观测性。
4
3
2
1
4
3
2
1
300
13
20
012
)1
x
x
x
x
x
x
x
x
4
3
2
1
2
1
1110
0110
x
x
x
x
y
y
u
x
x
x
x
x
x
1
0
1
200
120
001
)2
3
2
1
3
2
1
3
2
1
011
x
x
x
y
1）可控可观测的充要条件：
由动态方程导出的传递函数不存在零极点对消（即传递函数可约）。
2）可控的充要条件：
(SI-A)-1b不存在零极点对消。
3）可观测的充要条件：
c(SI-A)-1不存在零极点对消。
四,能控能观性与传递函数的关系例 9.25 判断以下系统的状态可控性与可观测性。
2
1
2
1
2
1 01,
1
1
21
10
x
xyu
x
x
x
x
1,单输入单输出系统
2,多输入多输出系统
1）可控的充要条件：
(SI-A)-1B 的 n行线性无关。
2）可观测的充要条件：
C(SI-A)-1 的 n列线性无关。
例 9.26 用两种方法验证：系统（ 1）的状态可控性；系统
（ 2）的状态可观测性。
u
x
x
x
x
2
1
30
02)1(
2
1
2
1
2
1
2
1
2
1 01,
30
02)2(
x
xy
x
x
x
x
例 9.27
1
22
2
22
22
2
1
11
2
11
11
1
1
1
11
2
11112
)(
)(
].,,[
1
nTnT
TT
TT
T
TnT
o
AC
AC
AC
C
AB
AB
AB
B
BABABABQQ
c
五、对偶原理
设系统 S1(A1,B1,C1) 与系统 S2(A2,B2,C2) 互为对偶系统，则,
TT BCC 121T12,A A
若系统 S1(A1,B1,C1)可控,则系统 S2(A2,B2,C2)可观测 ；
若系统 S1(A1,B1,C1)可观测,则系统 S2(A2,B2,C2)可控 ；
证明：
]...[ 1111211111 BABABABQ nc
六、线性系统的规范分解
可控可观
可控不可观
可观不可控
不可观不可控例 9.28 判断以下系统及其的状态可控性与可观测性。
2
1
2
1
2
1
11
2
1
21
10
x
x
y
u
x
x
x
x
本 节 作 业刘豹,P138
3-1(1)
3-2
3-3(1)
一、用状态反馈配置系统的极点
Cxy
buAxx?
kxvu
Cxy
bvxbkAkxvbAxx,)()(?
定理,用状态反馈任意配置系统极点的充要条件是：
受控系统可控 。
9.4 状态反馈与状态观测器状态反馈系统结构图
u x yb ∫ C
A
k
v x?
-
9.2 9.39.1
1
0
0
0
,
1000
0
0100
0010
1210
b
aaaa
A
n
1
0
0
0
,
1000
0
0100
0010
11221100
b
kakakaka
bKA
nn
110 nkkkK?
结论,状态反馈不改变系统的能控性。
例 9.30 设受控系统的传递函数为
sssssssu
sy
23
10
)2)(1(
10
)(
)(
23
试用状态反馈使闭环极点配置在－ 2，－ 1± j。画出状态反馈系统结构图。
设受控系统状态空间表达式判断系统能否用状态反馈使闭环极点配置在 -2± j。若能，
求出状态反馈阵并画出状态反馈系统结构图。
xy
uxx
10
0
1
01
10
例 9.29
a) 输出反馈至参考输入
u x y
B ∫ C
A
h
v x?
-
b) 输出反馈至状态微分
u x y
B ∫ C
A
h
x?
-
BuxhCA
h CxBuAxx
Cxy
hyBuAxx
)(
BvxBh CA
Bh CxBvAxx
Cxy
hyvBAxx
)(
)(
二、输出反馈与极点配置状态观测器及其实现状态反馈的结构图
u B ∫ C
A
H
x
－
u x yB ∫ C
A
K
x?
－
x? y?
v
－
三、状态观测器及其设计
CxyBuAxx,?
HyBuxHCA
xxHCBuxAx
xCyyyHBuxAx
)(
)?(
),?(
)](?)([?:
)?)((?:)2()1(
00
))(( 0 txtxexx
xxHCAxx
ttHCA
其解为
定理,若受控系统可观测，则其状态可用形如的全维观测器给出估值。矩阵 H按任意配置极点的要求来选择，以决定状态误差衰减的速率。
HyBuxHCAxxHCBuxAx)()?(
23
2
)2)(1(
2
)(
)(
2 sssssu
sy
试设计全维观测器，将极点配置在 (-10,-10)。画出全维观测器及受控对象的状态变量图。
四、降维状态观测器例 9.31 设受控系统的传递函数为本 节 作 业刘豹,P206
5-3(1)
9.1 线性系统的状态空间描述
9.2 状态方程求解
9.3 可控性与可观测性
9.4 状态反馈与状态观测器
End
9.1 线性系统的状态空间描述法
1,控制系统的两种基本描述方法：
输入 —输出描述法 ——经典控制理论状态空间描述法 ——现代控制理论
2,经典控制理论的特点：
(1) 优点：对单入 —单出系统的分析和综合特别有效 。
(2) 缺点：内部的信息无法描述,仅适于单入 —单出系统 。
3,现代控制理论
(1) 适应控制工程的高性能发展需要,于 60年代提出 。
(2) 可处理时变,非线性,多输入 —多输出问题 。
(3) 应用方面的理论分支：最优控制,系统辩识,自适应控制 ……
9.2 9.3 9.4
一、问题的提出
1,?先看一个例子,
例 9.1 试建立图示电路的数学模型。
R L
C
i(t)
ur(t) uc(t)
)()()()( tutRitudt tdiL rc
dt
tduCti c )()(?
)(
1
)(
1)(
)(
1)(
tu
L
ti
L
R
u
Ldt
tdi
ti
Cdt
tdu
rc
c
二,状态和状态空间
2,状态与状态变量的定义在已知 ur(t)的情况下，只要知道 uc(t)和 i(t)的变化特性，则其他变量的变化均可知道。故 uc(t)和 i(t)称为“状态变量”。记控制系统的状态为完全描述系统的一个最小变量组,该组中的每个变量称为状态变量 。
))(
)()(),()( 21
、及 ix
dt
tdx
titxtutx
i
i
c
)(1
0
)(
)(
1
10
)(
)(
2
1
2
1 tu
Ltx
tx
L
R
L
C
tx
tx
r
则有如上例中,为系统的状态,为状态变量。?
tx
txtx
2
1 )2,1(,?itx i
3,状态向量
4,状态空间,
定义,所有状态构成的一个实数域上的 (线性 )向量空间称为状态空间。
5,方程,
状态变量的一阶导数与状态变量、输入量的关系表达式称为状态方程 (见上例 );
系统输出量 y(t) 与状态变量、输入量的关系的表达式称为输出方程。
三,状态变量的选取
1,状态变量的选取是非唯一的。
2,选取方法
（ 1）可选取初始条件对应的变量或与其相关的变量作为系统的状态变量。
（ 2）可选取独立储能（或储信息）元件的特征变量或与其相关的变量作为控制系统的状态变量。（如电感电流 i、电容电压 uc,质量 m的速度 v等。
例 9.2 图示弹簧 ——质量 ——阻尼器系统，外作用力
u(t)为该系统的输入量，质量的位移 y(t)为输出量，试列写该系统的状态方程和输出方程。
k
m
u(t)
y(t)f
tutKy
dt
tdyf
dt
tydm2
tytxtytx 21,
txx 21
tu
m
tx
m
f
tx
m
K
tu
m
tyftky
m
tyx
1
11
21
2
txty 1?
例 9.3 已知系统微分方程组为
dtiiciRu r )(1 21
1
11
dticiRdtiic 2
2
2221
1
1)(1
rc udticu 2
2
1
其中,ur 为输入,uc 为输出,R1,C1,R2,C2为常数。试列写系统状态方程和输出方程。
ubxaxaxax
ubxaxaxax
ubxaxaxax
nnnnnnn
nn
nn
2211
222221212
112121111
四,状态空间表达式
1,单输入单输出线性定常连续系统
BuAxx
duxcxcxcy nn2211
DuCxy
2,一般线性系统 状态空间表达式（ p输入 q输出）
utDxtCy
utBxtAx
DuCxy
BuAxx
3,线性 定常 系统 状态空间表达式
∫
（ t域 ） （ w域 ）
s
1
u x yB ∫ C
D
A
b) 结构图
x?
系统
A
输入
u
输出
y
状态
X
a) 结构关系图
D
B C
五,线性定常系统状态空间表达式的建立
1,方法,机理分析法、实验法
2,线性定常单变量系统 (单输入 —单输出系统 )
(1) 由微分方程建立
ububub
yayayayay
m
m
n
n
n
n
n
0
1
1
1
1
0
1
1
2
2
1
1
1121,,, nn yxyxyx?
① 在输入量中不含有导数项时：
ubxaxaxax
xx
xx
xx
nnn
nn
012110
1
32
21
则例 9.4 已知系统微分方程为
uyyyy 323
列写系统的状态空间表达式。
yxyxyx 321,,
写成向量 ---矩阵形式 (或系统动态结构图 ):
解,选
② 输入量中含有导数项时：
u
bx
x
x
x
aaaax
x
x
x
n
n
nn
n
0
1
2
1
1110
1
2
1
0
0
0
100
01
0010
nx
x
x
2
1
001y
01
1
1
01
1
1
)(
)()(
asasas
bsbsbsb
su
sysG
n
n
n
n
n
n
n
01
2
2
1
1
01
2
2
1
1
1
)(
)(
)(
)(
)(
)(
)(,0).
bsbsbsb
sz
sy
asasasassu
sz
su
sz
sz
sy
sD
sN
sGbA
n
n
n
n
n
n
n
n
n
n
zbzbzbzby
uzazazazaz
n
n
n
n
n
n
n
n
n
01
2
2
1
1
01
2
2
1
1
)(
① 可控规范型实现
(2) 由传递函数建立 ——即实现
01
1
1
01
1
1
)(
)()(
asasas
bsbsbsb
su
sysG
n
n
n
n
n
n
n
susD sNsubsy n
B） bn≠0
01
1
1
01
2
2
1
1
asasas
fsfsfsfb
n
n
n
n
n
n
n
n
sD
sNb
n
nnnnnnnn babfbabf 222111,
nn babfbabf 000111,
例 9.6 已知系统的传递函数为
8147 1588 23 23 sss ssssG
试求其能控规范型实现，并画出系统状态图。
例 9.5 已知系统的传递函数为
8147 15823 2 sss sssG
试求其能控规范型实现，并画出系统状态图。
例 9.7 已知系统的传递函数为
8147 15823 2 sss sssG
试求其能观测规范型实现，并画出系统状态图。
与能控规范型关系：
A*=AT,B*=CT,C*=BT
② 能观测规范型实现
n
i i
i
n
n
s
c
s
c
s
c
s
c
su
sysG
12
2
1
1
n
i
ii xcsy
1
则
sussx
i
i
1取
u
x
x
x
x
x
x
nnn
1
1
1
00
00
00
2
1
2
1
2
1
n
n
x
x
x
ccc
2
1
21y
③ 对角线规范实现
结构图的对角线规范型实现，并画出系统状态图 。
8147 15823 2 sss sssG
例 9.8 求
+n
x?
1x?
x1
y(t)u(t)
∫
λ 1
c1
x2∫
λ 2
c2
xn∫
λn
cn
+
+
2x?
n
n
s
c
s
c
s
c
s
c
s
csG
4
4
1
13
2
1
12
3
1
11
1312112 xxx
uxx 13113
uxx 444?
uxx nnn
1211111 xxx则 )(1)(
1
13 sussx令
)(
1
)(
1
)(
13
1
2
1
12
sx
s
su
s
sx
)(
1
)(
1
)(
12
1
3
1
11
sx
s
su
s
sx
④ 约当规范型实现 ----特征方程有重根时
u
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
nnn
1
1
1
0
0
0000
0000
0000
0010
0001
4
13
12
11
4
1
1
1
4
13
12
11
1
4
13
12
11
4131211
n
n
x
x
x
x
x
cccccy
xn
x4
x11x12x13
y(t)u(t)
++
+
+
+
∫
λ1
∫
λ4
∫
λn
∫
λ1
∫
λ1
c11
c12
c13c
4
cn
11x?12x?13x?
4x?
nx?
(3) 状态空间表达式的线性变换
① 思路：
（规范型）（不规范）
等价变换
yudxcy
ubxAx
ducxy
buAxx xpx
_
② 变换前后系数矩阵关系：
,,xpxxpx
duxcpy
buxApxp?
代入原状态方程，有
duxcpy
bupxAppx 11?
uxx
1
0
0
5116
6116
110
变换为对角线规范型。
例 9.9 试将状态方程：
0321
6116
5116
6116
11
23
AI
解,Ⅰ,求特征值：
Ⅱ,求特征向量和变换矩阵 P
,111 PAP
13
12
11
13
12
11
5116
6116
110
p
p
p
p
p
p
1
0
1
1p
λ=-1对应的 p1
3．线性定常多输入 —多输出系统
(1) 传递函数矩阵与状态系数矩阵间的关系
DBASICsGDuCxy BuAxx
1)()(?
9
6
1
,
4
2
1
32 pp
941
620
111
p
12/33
343
22/53
1p
1
3
2
,
300
020
001
11 bpbAPpA
(2) 开环与闭环传递矩阵
(3) 传递矩阵的对角化单入 —单出系统
y(s)e(s)u(s) G(s)
H(s)
GHe 1
1?
GH
G
1?
-
)(
)(
0
0
)(
)( 1111
su
su
g
g
sy
sy
pqpq
y(s)e(s)u(s) G(s)
H(s)
GGHI 1)(
1)( GHIe?
多入 —多出系统
-
(4) 传递矩阵的实现
1) 单输入 —多输出时的实现
)(?
)(?
)(?
)(?
)(?
)(
)(
)(
11111
sGd
sg
sg
d
d
sgd
sgd
sg
sg
sG
qqqqq
01
1
1,
2021
1
1,2
10,11
1
1,1
01
1
1
2
1
1
)(/)(
)(/)(
)(/)(
)(?
n
nq
n
n
n
n
n
n
n
q ss
ss
ss
asasas
sDsN
sDsN
sDsN
sG
可控规范型
buxu
x
x
x
x
aaaa
x
n
n
n
1
0
0
0
1000
0100
0010
1
2
1
1210
ducxu
d
d
x
x
y
y
y
qnnqq
n
q
11
1,0
1,1101
例 9.10 试求下列单输入 —双输出系统传递函数矩阵的可控标准形实现。
1
4
)2)(1(
3
)(
s
s
ss
s
sG
解,
)2(3
3
23
1
1
0
1
3
)2)(1(
3
1
0
)(
2 s
s
ss
s
ss
s
sG
uxxBuAxx?
1
0
32
10
2
1?
uxxDuCxy?
1
0
36
13
2
1
2) 多输入 —单输出时的实现解题 思路,
① 求对应的单入多出系统 GT(s) 的实现；
② 利用对偶关系求 G(s)的实现 。
例 9.11 线性定常系统传递函数矩阵如下，求系统的可控标准形实现。
3
4
)2)(1(
)3(2)(
s
s
ss
ssG
3
1
)2)(1(
)3(2
1
0
3
4
)2)(1(
)3(2
)(
s
ss
s
s
s
ss
s
sG T
解：
)2)(1(
)3(2
)3)(2)(1(
1
1
0 2
ss
s
sss
23
18122
6116
1
1
0
2
2
23 ss
ss
sss
u
x
x
x
BuAxx
1
0
0
6116
100
010
3
2
1
u
x
x
x
DuCxy?
1
0
132
21218
3
2
1
2
1
3
2
1
12
312
218
610
1101
600
u
u
x
x
x
uBxAx?
2
1
3
2
1
10100
u
u
x
x
x
uDxCy
本 节 作 业刘豹,P48
1-4
1-5(1)
1-7
9.2 状态方程求解
线性定常连续系统
1,齐次状态方程的解 )( 自由运动 Axx?
（ 1） 幂级数法设解为,
0
2
210)( k
k
k
k
k tbtbtbbb ttx
)(
2)(
10
1
1
1
21
tbbbtb
tbbb
k
k
k
k
k
k
k
tAAxxk
kttx
bAb 022 21 bAb kk k 0!1bAb 01?
9.3 9.49.1
)0()
!
1
()0(
)
!
1
2
1
(
!
1
2
1
)(
0
0
0
22
0
2
0
2
00
x
k
x
k
AtI
k
AtAtx
k
kk
kk
kk
tAb
btAtA
tbAtbbb
)0()( xtx e At?即
],,!1[
0
状态转移矩阵称为矩阵指数定义
k
kkAt tAe
k
⑵ 拉氏变换法由 两边取拉氏变换,得
SX(s)-X(0)=AX(s)
(SI﹣ A)X(s)=X(0)
X(s)=(SI﹣ A)-1.X(0)
两边取拉氏反变换
x(t)= L-1[X(s)]= L-1[(SI-A)-1 X(0)]
= L-1 [(SI-A)-1] X(0)
比较前式，有 eAt= L-1 [(SI-A)-1]
Axx?
△ 状态转移矩阵的运算 性质
ф(t)=eAt=I+At+(1/2)A2t2+…+( 1/k！ )Aktk+…
⑴ ф(0)=I─初始状态
AAttA )0(,)()(( t )(2)
⑶ ф(t1± t2)=ф(t1)ф(± t2)
=ф(± t2)ф(t1) ----- 线性关系
⑷ ф-1(t)=ф(-t),ф-1(-t)=ф(t) ----- 可逆性
⑸ x(t)=ф(t-t0)x(t0)
∵ x(t0)=ф(t0)x(0),
则 x(t)=ф(t)x(0)=ф(t)[ф-1(t0)x(t0)]
=ф(t)ф(-t0)x(t0)=ф(t-t0)x(t0)
（ 6） ф(t2-t0)=ф(t2-t1)ф(t1-t0)
= e (t2-t1)Ae(t1-t0)A ——可分阶段转移
⑺ [ф(t)]k =ф(kt)
⑻ e(A+B)t==eAt.eBt=eBt.eAt (AB=BA)
e(A+B)t≠eAt.eBt≠eBt.eAt (AB≠BA)
⑼ 引入非奇异变换 后,
⑽ 两种常见的状态转移矩阵
xpx? pept At1)(
t
t
n
ne
e
tA
0
0
)(,
0
0 11
t
t
t
t
m
tt
mm e
te
e
e
m
t
tee
tA
00
0
)!1(
)(,
00
1
0
01
1
例 9.12 设有一控制系统，其状态方程为 Axx
320
100
010
A
在 t0=0时，状态变量的初值为 [x1(0) x2(0) x3(0)],
试求该方程的解。
320
10
01
)(:
s
s
s
AsI解
)2)(1(
20
)3(0
13)1)(2(
)(
)(
2
1
sss
ss
sss
sss
AsI
AsIadj
AsI
)2)(1/()2)(1/(20
)2)(1/(1)2)(1/()3(0
)2)(1(/1)2)(1(/)3(/1
sssss
sssss
ssssssss
2
2
1
1
2
2
1
2
0
2
1
1
1
2
1
1
2
0
2
5.0
1
15.0
2
5.0
1
25.1
/1
ssss
ssss
ssssss
s
tttt
tttt
tttt
At
eeee
eeee
eeee
AsILet
22
22
22
11
2220
20
5.05.05.025.11
])[()(
)0()2()0()22(
)0()()0()2(
)0()5.05.0()0()5.025.1()0(
)0(
)0(
)0(
)()0()(
)(
)(
)(
)(
3
2
2
2
3
2
2
2
3
2
2
2
1
3
2
1
3
2
1
xeexee
xeexee
xeexeex
x
x
x
txt
tx
tx
tx
tx
tttt
tttt
tttt
。? Axx?,
1
1)0(
时x;)( 2
2
t
t
e
etx,
1
2)0(
时x 。
t
t
e
etx 2)(
试求 A及 ф(t) 。
)()(
)()()(
2221
1211
tt
ttt设解：
例 9.13 设系统状态方程为
)()(
)()(
1
1
)()(
)()(
2221
1211
2221
1211
2
2
tt
tt
tt
tt
e
e
t
t
)()(2
)()(2
1
2
)()(
)()(2
2221
1211
2221
1211
tt
tt
tt
tt
e
e
t
t
解方程组得,
ф11(t)=2e-t –e-2t,ф12(t)= 2e-t－ 2e-2t
ф21(t)=-e-t +e-2t,ф22(t)=-e-t+2e-2t
tttt
tttt
eeee
eeeet
22
22
2
222)(
31
20
42
4222
)(
0
22
22
0
t
tttt
tttt
t
eeee
eeee
tA?
例 9.14 设系统运动方程为 cuuabyybay )(
式中 a,b,c均为实数,试求：
⑴ 求系统状态空间表达式 。
⑵ 求系统状态转移矩阵。
bsba
bc
asab
ac
bsas
cs
absbas
cs
sU
sY
sG
11
))((
)()(
)(
)()1(
2
解：
x
ba
bc
ab
ac
y
ux
b
a
x
1
1
0
0
bt
at
e
e
bs
asL
bs
as
LAsILt
0
0
1
0
0
1
])
0
0
[(])[()()2(
1
1111
2,非齐次状态方程 的解BuAxx
⑴ 直接法（积分法）
BueAXxexexAexedtd AtAtAtAtAt )()(
dBuextxedxedd t AAtt A )()0()()( 00
dButxtdBuexetx tt tAAt 00 )( )()()0()()0()(
(2) 拉氏变换法
sx(s)-x(0)=Ax(s)+Bu(s)
(sI-A)x(s)=x(0)+Bu(s)
x(s)=(sI-A)-1x(0)+(sI-A)-1Bu(s)
则 x(t)=￡ -1[(sI-A)-1x(0)]+￡ -1[(sI-A)-1Bu(s)]
(由 eAt=￡ -1[(sI-A)-1]可得 )
dButxtdBuexetx tt tAAt 00 )( )()()0()()()0()(
例 9.15 在上例中，当输入函数 u(t)=1(t)时，求系统状态方程的解。
1
1,
0
0)( B
e
et
bt
at
)0()1(
1
)0()1(
1
)0(
)0(
1
1
0
0
)0(
)0(
0
0
)()()0()()(
2
1
0
)(
)(
2
1
0
)(
)(
2
1
0
xee
b
xee
a
d
e
e
xe
xe
d
e
e
x
x
e
e
dButxttx
btbt
atat
t
tb
ta
bt
at
t
tb
ta
bt
at
t
)()( txba bcab acty?
例 9.16 设有一电液位置伺服系统，已知系统方块图如下所示。试用状态空间法对系统进行分析 。
解,由图
111,
3
6
3
,
300
020
001
CBA
3
3
2
6
1
3
)3)(2)(1(
6
ssssss
)116(
6)()(
2 ssssHsG
6116
6
)()(1
)(
)(
)(
23 ssssHsG
sG
su
sy
3 2/s
1
-
电动伺服阀放大器 油缸位移传感器
116
1
2 ss
u(s) y(s)
t
t
t
e
e
e
AsILt
3
211
00
00
00
][)(
dButxttx t 0 )()()0()()(
d
e
e
e
t
t
t
t
3
6
3
00
00
00
0
)(3
)(2
)(
t
t
t
t
t
t
t
e
e
e
d
e
e
e
3
2
0
)(3
)(2
)(
1
33
33
3
6
3
ttt
t
t
t
eee
e
e
e
Cxy 32
3
2 331
1
33
33
111
本 节 作 业刘豹,P77
2-3
2-5(3)
2-6
一、可控与可观测的概念、意义
9.3 可控性与可观测性 9.2 9.49.1
设线性定常连续系统的状态空间表达式为：
如果存在一个控制 u(t)，能在有限时间间隔 [to,tf]内，
使系统从其一初态 x(to)转移到任意指定的终态 x(tf),则称此状态 x(to)是完全可控的，简称系统可（能）控。（只要有一个状态变量不可控，则系统不可控）。
)()()(
)()()(
tDutCxty
tButAxtx?
二、定义
1,可控性 定义三、可控性与可观测性判据系统在稳定输入 u(t)作用下，对任意初始时刻 to,若能在有限时间间隔 [to,tf]之内，根据从 to到 tf对系统输出 y(t)
的观测值和输入 u(t)，唯一地确定系统在 to时刻的状态
x(to),则称系统是状态完全可观测的，简称系统可（能）
观测。（只要有一个状态变量不能（可）观测，则系统不可观测）。
2,可观测性 定义
可控规范型：
1
0
0
0
B,
aaaa
1000
0
0100
0010
A
1n210?
1,可控性判据线性定常连续系统状态完全可控的充要条件是可控性判别阵：
必须满秩。即 （ n为系统维数）
判据一,
11
10ABBQ
c
][ 2 BABAABBQ nC
试判别其状态的可控性。
u101101xx xx
2
1
2
1?
解：
例 9.17 设系统状态方程为：
nr a n k Q c 2
nra n k Q c?
设线性定常系统具有互异的特征值，则系统可控的充要条件是，系统经非奇异变换后的对角线规范型方程：
uxx
n
0
0
2
1
中,阵不包含元素全为零的行。
判据二,
例 9.18 已知三阶二输入系统状态方程,试判别其状态的可控性。
2
1
3
2
1
3
2
1
10
01
10
110
010
011
u
u
x
x
x
x
x
x
121110
010101
121110
2
cQ
解：
u
x
x
x
x
x
x
7
5
2
100
050
007
)1
3
2
1
3
2
1
u
x
x
x
x
x
x
7
5
0
100
050
007
)2
3
2
1
3
2
1
2
1
3
2
1
3
2
1
57
04
10
100
050
007
)3
u
u
x
x
x
x
x
x
2
1
3
2
1
3
2
1
57
04
00
100
050
007
)4
u
u
x
x
x
x
x
x
例 9.19 试确定如下几个经非奇异变换后的对角线规范型系统的可控性。
ux
J
J
J
x
k
2
1
例 9.20 试判断下列已经非奇异变换成约当规范型的系统的可控性。
u
x
x
x
x
x
x
3
4
0
200
040
014
)1
3
2
1
3
2
1
2
1
3
2
1
3
2
1
03
00
24
200
040
014
)2
u
u
x
x
x
x
x
x
中，与每个约当小块 的最后一行相对应 的阵 中的所有那些行，其元素不全为零。（若两个约当块有相同特征值，此结论不成立。）
),,2,1( kiJ i
约当规范型判据三：
判据一,线性定常连续系统状态完全能观测的充分必要条件为可观测性矩阵,
1
0
nCA
CA
C
Q
2,可观测性判据必须满秩，即 rankQo=n（ n为系统维数）
可观测规范型：
100,
100
010
001
000
1
2
1
0
C
a
a
a
a
A
n
例 9.21 已知系统的 A,C阵如下，试判断其可观性。
uxxxx?
1
1
31
12
2
1
2
1
2
1
2
1
01
01
x
x
y
y
12
12
01
01
0 CA
C
Q
例 9.22 试判别如下系统的可观测性。
解：
01 5411C
55
11
0 CA
CQ
5501 5411
CA解：
xcy
xx
n
0
0
2
1
的矩阵 中不包含元素全为零的列。
设线性定常连续系统具有不相等的特征值,则其状态可观测的充要条件是系统经非奇异变换后的对角线规范型,
c
例 9.23 试判别以下系统的状态可观测性,
3
2
1
3
2
1
100
050
007
x
x
x
x
x
x
3
2
1
2
1
130
023
x
x
x
y
y
判据二,
kJ
J
J
x
0
0
2
1
中,与每个约当块 首行相对应的矩阵 中的那些列,其元素不全为零。 (如果两个约当块有相同的特征值,此结论不成立 )。
),,3,2,1( kiJ i
约当规范型
c
判据三,
例 9.24 试判别下列系统的状态可观测性。
4
3
2
1
4
3
2
1
300
13
20
012
)1
x
x
x
x
x
x
x
x
4
3
2
1
2
1
1110
0110
x
x
x
x
y
y
u
x
x
x
x
x
x
1
0
1
200
120
001
)2
3
2
1
3
2
1
3
2
1
011
x
x
x
y
1）可控可观测的充要条件：
由动态方程导出的传递函数不存在零极点对消（即传递函数可约）。
2）可控的充要条件：
(SI-A)-1b不存在零极点对消。
3）可观测的充要条件：
c(SI-A)-1不存在零极点对消。
四,能控能观性与传递函数的关系例 9.25 判断以下系统的状态可控性与可观测性。
2
1
2
1
2
1 01,
1
1
21
10
x
xyu
x
x
x
x
1,单输入单输出系统
2,多输入多输出系统
1）可控的充要条件：
(SI-A)-1B 的 n行线性无关。
2）可观测的充要条件：
C(SI-A)-1 的 n列线性无关。
例 9.26 用两种方法验证：系统（ 1）的状态可控性；系统
（ 2）的状态可观测性。
u
x
x
x
x
2
1
30
02)1(
2
1
2
1
2
1
2
1
2
1 01,
30
02)2(
x
xy
x
x
x
x
例 9.27
1
22
2
22
22
2
1
11
2
11
11
1
1
1
11
2
11112
)(
)(
].,,[
1
nTnT
TT
TT
T
TnT
o
AC
AC
AC
C
AB
AB
AB
B
BABABABQQ
c
五、对偶原理
设系统 S1(A1,B1,C1) 与系统 S2(A2,B2,C2) 互为对偶系统，则,
TT BCC 121T12,A A
若系统 S1(A1,B1,C1)可控,则系统 S2(A2,B2,C2)可观测 ；
若系统 S1(A1,B1,C1)可观测,则系统 S2(A2,B2,C2)可控 ；
证明：
]...[ 1111211111 BABABABQ nc
六、线性系统的规范分解
可控可观
可控不可观
可观不可控
不可观不可控例 9.28 判断以下系统及其的状态可控性与可观测性。
2
1
2
1
2
1
11
2
1
21
10
x
x
y
u
x
x
x
x
本 节 作 业刘豹,P138
3-1(1)
3-2
3-3(1)
一、用状态反馈配置系统的极点
Cxy
buAxx?
kxvu
Cxy
bvxbkAkxvbAxx,)()(?
定理,用状态反馈任意配置系统极点的充要条件是：
受控系统可控 。
9.4 状态反馈与状态观测器状态反馈系统结构图
u x yb ∫ C
A
k
v x?
-
9.2 9.39.1
1
0
0
0
,
1000
0
0100
0010
1210
b
aaaa
A
n
1
0
0
0
,
1000
0
0100
0010
11221100
b
kakakaka
bKA
nn
110 nkkkK?
结论,状态反馈不改变系统的能控性。
例 9.30 设受控系统的传递函数为
sssssssu
sy
23
10
)2)(1(
10
)(
)(
23
试用状态反馈使闭环极点配置在－ 2，－ 1± j。画出状态反馈系统结构图。
设受控系统状态空间表达式判断系统能否用状态反馈使闭环极点配置在 -2± j。若能，
求出状态反馈阵并画出状态反馈系统结构图。
xy
uxx
10
0
1
01
10
例 9.29
a) 输出反馈至参考输入
u x y
B ∫ C
A
h
v x?
-
b) 输出反馈至状态微分
u x y
B ∫ C
A
h
x?
-
BuxhCA
h CxBuAxx
Cxy
hyBuAxx
)(
BvxBh CA
Bh CxBvAxx
Cxy
hyvBAxx
)(
)(
二、输出反馈与极点配置状态观测器及其实现状态反馈的结构图
u B ∫ C
A
H
x
－
u x yB ∫ C
A
K
x?
－
x? y?
v
－
三、状态观测器及其设计
CxyBuAxx,?
HyBuxHCA
xxHCBuxAx
xCyyyHBuxAx
)(
)?(
),?(
)](?)([?:
)?)((?:)2()1(
00
))(( 0 txtxexx
xxHCAxx
ttHCA
其解为
定理,若受控系统可观测，则其状态可用形如的全维观测器给出估值。矩阵 H按任意配置极点的要求来选择，以决定状态误差衰减的速率。
HyBuxHCAxxHCBuxAx)()?(
23
2
)2)(1(
2
)(
)(
2 sssssu
sy
试设计全维观测器，将极点配置在 (-10,-10)。画出全维观测器及受控对象的状态变量图。
四、降维状态观测器例 9.31 设受控系统的传递函数为本 节 作 业刘豹,P206
5-3(1)
