第七章 非线性系统理论
7.1 非线性系统问题概述
7.2 常见非线性因素对系统影响
7.3 描 述 函 数
7.4 描述函数分析法
End
本章作业
7.1 非线性系统问题概述
何谓 非线性系统,只要系统中包含一个或一个以上具有非线性静特性的元件,即称为非线性系统 。
系统的稳定性除与结构参数有关外,还与起始偏差的大小有关 。
统的响应形式与输入信号的大小和初始条件有关 。
在没有外界周期变化信号输入时,非线性系统完全可能产生具有固定周期和幅值的稳定振荡过程 。
非线性系统的 主要特征,
7.2 7.3 7.4
7.2 常见非线性因素对系统的影响
摩擦特性
不灵敏区 （死区特性）
饱和特性
间隙特性
继电特性
7.1 7.3 7.4
7.3 描述函数
输入输出特性奇对称，即 y(x)=-y(-x),A0=0。
系统的线性部分具有较好的低通滤波性能。
结构图可简化为一个非线性环节和一个线性部分的串联。
)ts i n (Yts i nBtc o sA)t(y)t(y 11111
X
Aj
X
B
B
Aa r c t g
X
BA
X
YXN 11
1
1
2
1
2
1
1
1)(
)s i nco s()(,s i n)(
0
0?
n
nn tnBtnAAtytXtx
N(X) G(jω)
描述函数的定义
典型环节描述函数
死区特性、饱和特性、继电特性、间隙特性
应用限制条件
7.1 7.47.2
死区特性描述函数
)s i n()( tXKxKy?
0,0 10 AA
2/1 1 s i n)s i n(4 ttdtXKB
2/ 2/21 1 )s i ns i n(4 ttdKttdKX
2/ 2/1 1 ]s i n)2c o s1(2[4 ttdKtdtKX
])c o s()2s i n21(2[4 2/2/ 11 tKttKX
)]( c o s2)2s i n212[(2 111 XKX
])(1a rcs i n2[2 2XXXKX
1s i n?X
X
a r c s i n
1?
2
1 )(1co s X
])(1a rcs i n2[2)( 2XXXKXN
饱和特性描述函数
2,
0,s i n
1
1
tKa
ttKX
y
0,0 10 AA
1 10 2/21 )s i ns i n(4 ttdKattdKXB
])(1[ a rcs i n2 2XaXaXaKX
])(1[ a rcs i n2)( 2XaXaXaKXN
间隙特性描述函数
tbtXK
tbXK
tbtXK
y
1
1
),s i n(
2/),(
2/0),s i n(
11
1 )c o s)s i n(c o s)(
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2
2/
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01
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ttdbtXKA
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1
1
)s i n)s i n(s i n)(
s i n)s i n((
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01
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ttdbtXKB
])1()21(2)21a rcs i n (2[ XbXbX bX bKX
)1(4])1()21(2)21a rcs i n (2[)( XbXKbjXbXbX bX bKXN
00?A
继电特性描述函数
t
tM
t
y
2
21
1
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,
0,0
)s i n( s i n
2
co s
2
12
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1
Xmh
Xh
)1(2 mXMh?
)co sco s(
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12
1
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1
M
ttdMB
])(1)(1[2 22 XhXmhM
hXmXMhjXhXmhXMXN ),1(2])(1)(1[2)( 222
典型结构
7.4 描述函数分析法
N(X) G(jω)
稳定性分析
闭环特征方程为,1+N(X)G(jω)=0
N(X)G(jω)=-1,等幅振荡。
G(jω)包围 -1/N(X),系统不稳定，否则稳定。
-1/N(X)被称为负倒描述函数 。
7.1 7.37.2
自振分析
若当振幅 X增大时,-1/N(X)曲线由 G(jω)包围的区域（不稳定区）穿出，该交点处存在着稳定的周期运动，该交点是自振点。
若曲线 G(jω)和曲线 -1/N(X)相交，则系统存在周期运动；
：用描述函数法分析下面非线性系统是否存在自振？若存在，求振荡频率和振幅。
例 7.1
0)(1,0 变化范围为从 XNX-1/N(X)
G(jω)
jjjjjG )2(3
10
)2)(1(
10)(
22
,2 1 2 2.2320,3104 2 XX
因此，系统存在频率为,振幅为
2.122的自振荡。
2
4)(
1,44)( X
XNXX
MXN?
解：
1
-1 )2)(1( 10 sss-
用描述函数法分析下面非线性系统是否存在自振？
若存在，求振荡频率和振幅。
例 7.2
hXXhXMXN,)(14)( 2?
解：
非线性系统结构图简化本 章 作 业
P321
7-1
7-3
7-4
7-6
7-7
7.1 非线性系统问题概述
7.2 常见非线性因素对系统影响
7.3 描 述 函 数
7.4 描述函数分析法
End
本章作业
7.1 非线性系统问题概述
何谓 非线性系统,只要系统中包含一个或一个以上具有非线性静特性的元件,即称为非线性系统 。
系统的稳定性除与结构参数有关外,还与起始偏差的大小有关 。
统的响应形式与输入信号的大小和初始条件有关 。
在没有外界周期变化信号输入时,非线性系统完全可能产生具有固定周期和幅值的稳定振荡过程 。
非线性系统的 主要特征,
7.2 7.3 7.4
7.2 常见非线性因素对系统的影响
摩擦特性
不灵敏区 （死区特性）
饱和特性
间隙特性
继电特性
7.1 7.3 7.4
7.3 描述函数
输入输出特性奇对称，即 y(x)=-y(-x),A0=0。
系统的线性部分具有较好的低通滤波性能。
结构图可简化为一个非线性环节和一个线性部分的串联。
)ts i n (Yts i nBtc o sA)t(y)t(y 11111
X
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N(X) G(jω)
描述函数的定义
典型环节描述函数
死区特性、饱和特性、继电特性、间隙特性
应用限制条件
7.1 7.47.2
死区特性描述函数
)s i n()( tXKxKy?
0,0 10 AA
2/1 1 s i n)s i n(4 ttdtXKB
2/ 2/21 1 )s i ns i n(4 ttdKttdKX
2/ 2/1 1 ]s i n)2c o s1(2[4 ttdKtdtKX
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饱和特性描述函数
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间隙特性描述函数
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继电特性描述函数
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典型结构
7.4 描述函数分析法
N(X) G(jω)
稳定性分析
闭环特征方程为,1+N(X)G(jω)=0
N(X)G(jω)=-1,等幅振荡。
G(jω)包围 -1/N(X),系统不稳定，否则稳定。
-1/N(X)被称为负倒描述函数 。
7.1 7.37.2
自振分析
若当振幅 X增大时,-1/N(X)曲线由 G(jω)包围的区域（不稳定区）穿出，该交点处存在着稳定的周期运动，该交点是自振点。
若曲线 G(jω)和曲线 -1/N(X)相交，则系统存在周期运动；
：用描述函数法分析下面非线性系统是否存在自振？若存在，求振荡频率和振幅。
例 7.1
0)(1,0 变化范围为从 XNX-1/N(X)
G(jω)
jjjjjG )2(3
10
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因此，系统存在频率为,振幅为
2.122的自振荡。
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解：
1
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用描述函数法分析下面非线性系统是否存在自振？
若存在，求振荡频率和振幅。
例 7.2
hXXhXMXN,)(14)( 2?
解：
非线性系统结构图简化本 章 作 业
P321
7-1
7-3
7-4
7-6
7-7
