第八章 采样系统理论
8.1 离散系统的基本概念
8.2 信号的采样与保持
8.3 Z变换与 Z反变换
8.4 离散系统的数学模型
8.5 稳定性与稳态误差
8.6 离散系统的动态性能分析
End
本章作业
有关概念
A/D D/A数字控制器 被控对象测量元件
e*(t)
数字计算机
r(t) e(t) u*(t) uh(t) c(t)
_
计算机控制系统典型原理图
2,离散系统,系统中有一处或多处为离散信号的系统称离散系统。
典型的计算机控制系统即为离散系统的一种。其原理图如下：
A/D,模数转换器，将连续的模拟信号转换为离散的数字信号。
包括采样与量化两过程。
1.离散信号,仅定义在离散时间上的信号称离散信号，离散信号以脉冲或数码的形式呈现。
D/A,数模转换器，将离散的数字信号转换为连续的模拟信号。包括解码与复现两过程。
8.1 离散系统的基本概念
8.2 8.3 8.4 8.5 8.6
(a) 连续信号
t
(b) 离散信号
t
(c) 离散量化信号
t
离散控制系统的特点
1,校正装置效果比连续式校正装置好,且由软件实现的控制规律易于改变,控制灵活 。
2,采样信号,特别是数字信号的传递能有效地抑制噪声,从而提高系统抗干扰能力 。
3,可用一台计算机分时控制若干个系统,提高设备利用率 。
4,可实现复杂控制规律，且可以在运行中实时改变响应参数。
e*(t)=e(t)δ r(t),其中 为理想单位脉冲序列。则：
8.2 信号的采样与保持
0
)()(
nT
nTtt
0* )()()( n nTtnTete
0
** )()]([)(
n
n T senTeteLsE对上式取拉氏变换,得例 8.1 e(t)=eat,试写出 e*(t)表达式。?
0
)()(
n
a n T nTtete?解：
物理意义,可看成是单位理想脉冲串?T (t) 被输入信号 e(t)进行调制的过程，如右图所示。
在图中,?T(t)为载波信号； e(t)为调制信号； e*(t)
为理想输出脉冲序列。
8.2.1 采样过程与采样定理
e(t)
t
e*(t)
t
e(t) e*(t)S
采样过程
数学描述,把连续信号变换为脉冲序列的装置称为采样器，又叫采样开关。采样过程可用下图表示。
8.1 8.3 8.4 8.5 8.68.2.2
---设计控制系统必须严格遵守的一条准则。
1,问题的提出连续信号 e(t)经过采样后，只能给出采样点上的数值，不能知道各采样时刻之间的数值。从时域上看，采样过程损失了 e(t)所含的信息。
采样定理
(a)连续信号
t
(b)离散信号
t
2,定性分析如果 连续信号 e(t)变化缓慢（最大角频率?max较低 〕,而采样角频率?s比 较高（即采样周期 T=2?/?s较小 〕,则 e*(t)基本上能反映 e(t)的变化规律。
3,采样定理 （香农定理）
如果采样器的输入信号最高角频率为 ωmax，则只有当采样频率
ωs≥2ωmax,才可能从采样信号中无失真地恢复出连续信号。
怎样才能使采样信号 e*(t)大体上反映 e(t)的变化规律呢？
8.2.2 信号复现及零阶保持器
信号复现将数字信号转换复原成连续信号的过程称信号复现。该装置称为保持器或复现滤波器。
eh(t)e*(t)
e*(t)
t 零阶保持器
eh(t)
t
零阶保持器的数学表达式为 e(nT+△ t)=e(nT)；其脉冲响应为 gh(t)=1(t)-1(t-T),传递函数为
s
e
s
e
stgLsG
TsTs
hh
11)]([)(
零阶保持器零阶保持器是最简单也是工程中使用最广泛的保持器 。 零阶保持器的输入输出特性可用下图描述 。
8.2.1
8.3 Z变换与 Z反变换
8.3.1 Z变换
1,Z变换的定义令 z=eTs,则 =e(0)+e(T)z-1+e(2T)z-2+…
0
** )()]([)(
n
n T senTeteLsE
0n nz)nT(e)z(E
2,Z变换方法
(1) 级数求和法将 Z变换的定义式展开：
E(z)=e(0)+e(T)z-1+ e(2T)z-2+…+ e(nT)z-n+…
(2) 部分分式法对于常用函数 Z变换的级数形式，都可以写出其闭合形式。
① 先求出已知连续时间函数 e(t)的拉氏变换 E (s)；
② 将 E (s)展开成部分分式之和的形式；
③ 求拉氏反变换，再求 Z变换 E(z)。
即为 Z变换的定义式。
称 E(z)为 e*(t)的 Z变换,记作 Z[e*(t)]=E(z),或 Z[e(t)]=E(z)
8.1 8.4 8.5 8.68.2
8.3.2性质对比 (2)中结果,有
11)()( 0
0
zznTezE
n
n
1)|z(|11 1zz1)(1)( 12--1
0
z
z
zznTzE n
n?
1)|z(|11 1zz1)()( 12--1
0
z
z
zznTzE n
n
T
(4) 单位斜坡信号 e(t)=t,则
0
)(
n
nznTZE
3,典型信号的 Z变换两边同乘 (-Tz)，得单位斜坡信号的 z变换两端对 z求导数，得
10
z
zz
n
n
2
0
1
)1(
1)(
zznn
n
)1(,)1( 2
0
z
z
TzznT
n
n
（ 3） 单位理想脉冲序列 e(t)=δT(t)
（ 1） 单位脉冲函数 e(t)=δ(t)
（ 2） 单位阶跃函数 e(t)=1(t)
(5) 指数函数 e(t)=e-at(a为实常数 〕,则
( * )1
)(
33221
0
zezeze
zeZE
aTaTaT
n
na n T
这是一个公比为 (e-aT?z-1)的 等比级数，当 | e-aT?z-1 |<1时，级数收敛,则 可写成闭合形式
( * * )1 1)( 1 aTaT ez zzeZE
所以利用 (*),(**)式，有
(6) 正弦信号 e(t)=sin?t,因为
)(21s i n TjTj eejt
])()([
2
1
)(
2
1
)(
00
0
n
nnTj
n
nnTj
n
nnTjnTj
zeze
j
zee
j
zE
1c o s2
s i n
]
1)(
)(
[
2
1
][
2
1
)(
2
2
Tzz
Tz
eezz
eez
jez
z
ez
z
j
zE
TjTj
TjTj
TjTj
进行部分分式展开，有
:)(,)1( 1)()7( 变换的设 ztesssE
1
11
)1(
1)(
sssssE
再取拉氏反变换参照 (2)和 (5),得
tet
ssLte
)(1]1
11[)( 1
))(1(
)1(
1
])(1[)(
T
T
T
t
ezz
ez
ez
z
z
z
etzzE
4,Z变换的性质
（ 1） 线性 定理若 E1(z)=Z[e1(t)],E2(z)=Z[e2(t)],a为常数,则
Z[e1(t)+e2(t)]= E1(z)+ E2(z),Z[ae(t)]=a E(z)
例 8.2 已知 e(t)=1(t-T),求 Z变换 E(z)。
1
1
1)](1[)](1[
11
zz
zztzzTtz
(3) 复数位移 定理已知 e(t)的 z变换为 E(z),则有
2)1(
)(][
aT
aT
at
ez
ezTetZ根据复数位移定理，有例 8.3 已知 e(t)=t?e-at,求 Z变换 E(z)。
2)1(][ z
TztZ
Z[e(t)? ]=E(z?e ± at)ate?
])()([ 1
0
k
n
nk znTezEz
（ 2） 实数位移 定理若 E(z)=Z[e(t)]，
则 Z[e(t-kT)]=z-kE(z),Z[e(t+kT)]=
解：
解,已知单位斜坡信号的 z变换为
8.3.28.3.1
(4) z域微分 定理若 e (t)的 z变换为 E(z)，则
)]([)]([ zEdzdTztetz
若 e (t)的 z变换为 E(z)，则
z[an?e(t)]=E(z/a),a为常数例 8.4 试求?ncos?t的 Z变换。
1c o s2
)c o s(][ c o s
2
Tzz
Tzztz
1co s2)(
)co s(
]co s.[
2
T
zz
T
zz
tz n
则
221
1
c os21
c os1
zTz
Tz
(5) z域尺度 定理解,由变换表
(6) 初值 定理
)(l i m)]([l i m0 zEte zt
若 e(t)的 z变换为 E(z)，函数序列 e(nT)为有限值 (n=0,1,2,…),
且极限 存在，则
)(lim nTen
)()1(l im)]([l im 1 zEznTe zn
设 x(nT)和 y(nT)为两个采样函数,其离散卷积定义为
x(nT)?y(nT)=,则卷积定理为：
Z[x(nT)?y(nT)]=X(z)Y(z)
0
])[()(
k
TknykTx
)(lim zEz
若 e (t)的 z变换为 E(z)，并有极限 存在，则
(7) 终值 定理
（ 8） 卷积 定理
8.3.2 Z反变换
从 Z域函数 E(z)求时域函数 e*(t)，叫做 Z反变换。
– 记作 Z-1[E(z)]= e*(t)。
例 8.5 已知 z变换函数,试求其 z反变换。
)2)(1(
10)(
zz
zzE
解,首先将 E(z)/z展开成部分分式
2
10
1
10
)2)(1(
10)(
zzzzz
zE
210110)( z
z
z
zzE所以
n
z
zz
z
zz 2]
2[,1]1[
11?
查表可得所以 e(nT)=(-1+2n)?10
e*(t)=e(0)?(t)+e(T)?(t-T)+e(2T)?(t-2T)+…
=0+10?(t-T)+30?(t-2T)+ 70?(t-3T)+…
1,部分分式展开法部分分式展开法是将 E(z)展成若干分式和的形式，对每部分分式查 Z变换表找出相应的 e*(t)。因 Z变换表中 Z变换函数分子普遍有因子 Z，所以应将 E(z)/z展开成部分分式。
性质8.3.1
aTez
z
z
zzE
1)(所以例 8.6 已知 z变换函数试求其 z反变换。 ))(1(
)1()(
aT
aT
ezz
zezE
解：
因为
aTaT
aT
ezzezz
e
z
zE
1
1
1
))(1(
1)(
所以 e*(t)=e(0)?(t)+e(T)?(t-T)+e(2T)?(t-2T)+…
=0+(1-e-aT)?(t-T)+(1-e-2aT)?(t-2T)+(1-e-3aT)?(t-3T)+…
2,幂级数法（综合除法 )
2--1
0
e( 2 T ) ze( T ) ze( 0 ))()(
n
nznTezE
2--1
2
2
1
1
2
2
1
10 c 2zc 1zc0)(
1)( nmzazaza
zbzbzbbzE
n
n
m
m
0
* )()(
n
n nTtcte?
查表得 e(t)=1(t)-e-at 则 e(nT)=1-e-anT
由 Z变换的定义而则 c0,c1,c2,… 就是脉冲序列 e*(t)各采样点的值 e(nT),所以
3,反演积分法 (留数法 )
8.4 离散系统的数学模型
8.4.1 线性常系数差分方程及其解法
)()1()(
)()1()(
10
1
krbmkrbmkrb
kcankcankc
m
n
工程中常用迭代法和 Z变换法来求解差分方程：
1,迭代法根据给定差分方程和输出序列的初值,则可以利用递推关系,
一步一步算出输出序列 。
2.Z变换法用 Z变换法解差分方程的实质，是对差分方程两端取 Z变换，并利用 Z变换的位移性质，得到以 z为变量的代数方程，然后对代数方程的解 C(z)取 Z反变换即求得输出序列。
式中,k— 第 k个采样周期； n— 系统的阶次。
一般 n阶线性定常离散系统的输出和输入之间的关系，可用 n
阶常系数差分方程描述。
8.1 8.3 8.5 8.68.2
8.4.2 脉冲传递函数
脉冲传递函数的定义和意义零初始条件下，系统输出 C(t)的 z变换 C(z)与输入 r(t)的 z变换
R(z)之比，称为脉冲传递函数，即 G(z)=C(z)/R(z)。
若输入 r(t)=δ(t),则 C(z)=G(z)R(z)=G(z),g*(t)=Z-1[G(z)]。即连续系统的脉冲响应采样后的 Z变换即为脉冲传递函数。
)()()(),()()() 21 zDzGzCzRzGzDa
)(
)()(),()()()(
21 zR
zCzGzRzGzGzC
)()()() 21 sGsGsGb
)()]()([)( 2121 zGGsGsGZzG 记为
)()()()) 2121 zGzGzGGba 中：和在
开环脉冲传递函数
1,串联环节
2,有零阶保持器的情况
)(])([)(1 zRs sGZzC p?
)()( 112 zCzzC
)(])([)1()()()( 121 zRs sGZzzCzCzC p
])([)1()( )()( 1 s sGZzzR zCzG p
)()()( 1 sRsGsE? )()( 1 zRGzE?
)()()( 2 zEzGzC?
)()()( 12 zRGzGzC?
3,连续信号进入连续环节
-
-
闭环脉冲传递函数
)()()()1 sBsRsE )()()()( * sEsHsGR
)()]()([)()( **** sEsHsGsRsE
)()()()( zEzGHzRzE
)(1
)()(
zGH
zRzE
)(1
)()()()()(
zGH
zRzGzEzGzC
)(1
)()(,
)(1
1)(
zGH
zGz
zGHze
)()()()()()2 21 zEzHGzGzRzE
)()(1
)()()()()()()(
21
21
21 zHGzG
zRzGzGzEzGzGzC
)()()()()()()3 * sCsHsGsRsGsC
)()()()( zCzGHzGRzC
)(1
)()(
zGH
zGRzC
)()(1
)()()(,
)()(1
1)(
21
21
21 zHGzG
zGzGz
zHGzGze
1,S域的虚轴映射成 Z域的圆周；左半 S平面映射在圆周内，
右半 S平面映射在圆周外。
2,几种特殊的线映射：
8.5 离散系统的稳定性与稳态误差一,S域到 Z域的映射二、离散系统稳定的充要条件
1,时域中：特征方程的根满足 │ai│<1 (了解即可 〕
2,Z域中：特征方程 1+HG(Z)=0的模 │Zi│<1 (牢固掌握 )
三、离散系统的稳定性判据
1,双线性变换与劳氏判据
⑴ 双线性变换
,11 wwz 11 zzw
⑵ 劳氏判据：格式见 409
2,朱利判据：了解即可 。
8.1 8.3 8.4 8.68.28.5.2例8.5.1 稳定性判据设系统的结构图如下图所示，采样周期 T=1s 。设
K=10,试分析系统的稳定性，并求系统的临界放大系数。
例 8.7
解,⑴ 由图得
)1(
)1(10
)1(
)1()(
22?
ss
e
ss
eKsG sTs
368.0368.1
)264.0368.0(10)(
2
zz
zzG
331.2
64.268.3
)(1
)()(
2
zz
z
zG
zGz
由此 得系统 特征方程为
z2+2.31z+3=0
求解得一对共轭复根
1=-1.156＋ j1.29?2=-1.156-j1.29
分布在单位圆外，因此系统是不稳定的 。
)1(?ss
K
C(s)R(s)
s
e Ts1
—
8.5.1 8.5.2
求得系统特征方程为
z2-(1.368-0.368K)z+(0.368+0.264K) =0
⑵ 由系统开环脉冲传递函数
368.0368.1
)264.0368.0()(
2
zz
zKzG
01 0 4.07 3 6.2
05 2 8.02 6 4.1
06 3 2.0
K
K
K
得到系统的临界放大系数为,Kc=2.4
列劳氏表计算
w2 2.736-0.104K 0.632K
w1 1.264-0.528K 0
w0 0.632K
为使系统稳定，须有进行 w变换得
(2.736-0.104K)w2+(1.264-0.528K)w+0.632K=0
1,终值定理法
8.5.2 稳态误差的计算
)](1[
)()1(l i m)()1(l i m)(l i m)(
1
1
1
*
zGz
zRzzEztee
zzt?
2,误差系数法
(1) 单位阶跃输入时
r(t)=1(t)
)](1[lim 1 zGK zp
(2) 单位斜坡输入时
r(t)=t
1)( z
zzR
2)1()( z
TzzR
)()1(l im 1 zGzK zv
(3) 单位加速度输入时
r(t)=t2/2 3
2
)1(2
)1()(
z
zzTzR
)()1(l i m 21 zGzK za
8.5.1 例设系统的结构图如下图所示,K=1,T=0.1s,
r(t)=1(t)+t,求系统的稳态误差。
例 8.8
系统的稳态误差为解,系统的开环传递函数为
))(1(
)1(
)1()1()1(
1)1()(
2
1
2
1
T
T
ezz
ze
z
Tzz
ssZzzG
把 T=0.1代入化简得
)9 0 5.0)(1(
)9.0(0 0 5.0)(
zz
zzG
)905.0)(1(
)9.0(005.01lim)](1[lim
11 zz
zzGK
zzp
1)9 0 5.0)(1( )9.0(0 0 5.0)1(l i m1.0 1)()1(l i m1 11 zz zzzGzTK zzv
111)(
vp KK
e ])()1(l i m1[ 212 zGzTK za注：
)1(?ss
K
C(s)R(s)
s
e Ts1
—
一般假定外作用为单位阶跃函数 r(t)=1(t)，此时 R(z)=z/(z-1)，
则系统输出量的 Z变换函数为
8.6 离散系统的动态性能分析一、时间响应
)(1)( zz zzC
然后用长除法，将 C(z)展成无穷幂级数：
C(z)=C0+C1z-1+ C2z-2+…+ Cnz-n
在 C*(t)— t坐标中描出点 (kT,Ck ),k=0,1,2,… n,则得阶跃响应脉冲序列。
则得单位阶跃作用下的输出序列为
C(kT)=Ck,k=0,1,2,… n
将各点用虚线平滑连接，以便分析性能指标。
8.1 8.3 8.4 8.58.2
闭环复极点与动态响应的关系二、闭环极点与动态响应的关系闭环实极点与动态响应的关系本 章 作 业
( P436)
8-1(1)
8-2(3,6)
8-4
8-9(1)
8-10
8.1 离散系统的基本概念
8.2 信号的采样与保持
8.3 Z变换与 Z反变换
8.4 离散系统的数学模型
8.5 稳定性与稳态误差
8.6 离散系统的动态性能分析
End
本章作业
有关概念
A/D D/A数字控制器 被控对象测量元件
e*(t)
数字计算机
r(t) e(t) u*(t) uh(t) c(t)
_
计算机控制系统典型原理图
2,离散系统,系统中有一处或多处为离散信号的系统称离散系统。
典型的计算机控制系统即为离散系统的一种。其原理图如下：
A/D,模数转换器，将连续的模拟信号转换为离散的数字信号。
包括采样与量化两过程。
1.离散信号,仅定义在离散时间上的信号称离散信号，离散信号以脉冲或数码的形式呈现。
D/A,数模转换器，将离散的数字信号转换为连续的模拟信号。包括解码与复现两过程。
8.1 离散系统的基本概念
8.2 8.3 8.4 8.5 8.6
(a) 连续信号
t
(b) 离散信号
t
(c) 离散量化信号
t
离散控制系统的特点
1,校正装置效果比连续式校正装置好,且由软件实现的控制规律易于改变,控制灵活 。
2,采样信号,特别是数字信号的传递能有效地抑制噪声,从而提高系统抗干扰能力 。
3,可用一台计算机分时控制若干个系统,提高设备利用率 。
4,可实现复杂控制规律，且可以在运行中实时改变响应参数。
e*(t)=e(t)δ r(t),其中 为理想单位脉冲序列。则：
8.2 信号的采样与保持
0
)()(
nT
nTtt
0* )()()( n nTtnTete
0
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n
n T senTeteLsE对上式取拉氏变换,得例 8.1 e(t)=eat,试写出 e*(t)表达式。?
0
)()(
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a n T nTtete?解：
物理意义,可看成是单位理想脉冲串?T (t) 被输入信号 e(t)进行调制的过程，如右图所示。
在图中,?T(t)为载波信号； e(t)为调制信号； e*(t)
为理想输出脉冲序列。
8.2.1 采样过程与采样定理
e(t)
t
e*(t)
t
e(t) e*(t)S
采样过程
数学描述,把连续信号变换为脉冲序列的装置称为采样器，又叫采样开关。采样过程可用下图表示。
8.1 8.3 8.4 8.5 8.68.2.2
---设计控制系统必须严格遵守的一条准则。
1,问题的提出连续信号 e(t)经过采样后，只能给出采样点上的数值，不能知道各采样时刻之间的数值。从时域上看，采样过程损失了 e(t)所含的信息。
采样定理
(a)连续信号
t
(b)离散信号
t
2,定性分析如果 连续信号 e(t)变化缓慢（最大角频率?max较低 〕,而采样角频率?s比 较高（即采样周期 T=2?/?s较小 〕,则 e*(t)基本上能反映 e(t)的变化规律。
3,采样定理 （香农定理）
如果采样器的输入信号最高角频率为 ωmax，则只有当采样频率
ωs≥2ωmax,才可能从采样信号中无失真地恢复出连续信号。
怎样才能使采样信号 e*(t)大体上反映 e(t)的变化规律呢？
8.2.2 信号复现及零阶保持器
信号复现将数字信号转换复原成连续信号的过程称信号复现。该装置称为保持器或复现滤波器。
eh(t)e*(t)
e*(t)
t 零阶保持器
eh(t)
t
零阶保持器的数学表达式为 e(nT+△ t)=e(nT)；其脉冲响应为 gh(t)=1(t)-1(t-T),传递函数为
s
e
s
e
stgLsG
TsTs
hh
11)]([)(
零阶保持器零阶保持器是最简单也是工程中使用最广泛的保持器 。 零阶保持器的输入输出特性可用下图描述 。
8.2.1
8.3 Z变换与 Z反变换
8.3.1 Z变换
1,Z变换的定义令 z=eTs,则 =e(0)+e(T)z-1+e(2T)z-2+…
0
** )()]([)(
n
n T senTeteLsE
0n nz)nT(e)z(E
2,Z变换方法
(1) 级数求和法将 Z变换的定义式展开：
E(z)=e(0)+e(T)z-1+ e(2T)z-2+…+ e(nT)z-n+…
(2) 部分分式法对于常用函数 Z变换的级数形式，都可以写出其闭合形式。
① 先求出已知连续时间函数 e(t)的拉氏变换 E (s)；
② 将 E (s)展开成部分分式之和的形式；
③ 求拉氏反变换，再求 Z变换 E(z)。
即为 Z变换的定义式。
称 E(z)为 e*(t)的 Z变换,记作 Z[e*(t)]=E(z),或 Z[e(t)]=E(z)
8.1 8.4 8.5 8.68.2
8.3.2性质对比 (2)中结果,有
11)()( 0
0
zznTezE
n
n
1)|z(|11 1zz1)(1)( 12--1
0
z
z
zznTzE n
n?
1)|z(|11 1zz1)()( 12--1
0
z
z
zznTzE n
n
T
(4) 单位斜坡信号 e(t)=t,则
0
)(
n
nznTZE
3,典型信号的 Z变换两边同乘 (-Tz)，得单位斜坡信号的 z变换两端对 z求导数，得
10
z
zz
n
n
2
0
1
)1(
1)(
zznn
n
)1(,)1( 2
0
z
z
TzznT
n
n
（ 3） 单位理想脉冲序列 e(t)=δT(t)
（ 1） 单位脉冲函数 e(t)=δ(t)
（ 2） 单位阶跃函数 e(t)=1(t)
(5) 指数函数 e(t)=e-at(a为实常数 〕,则
( * )1
)(
33221
0
zezeze
zeZE
aTaTaT
n
na n T
这是一个公比为 (e-aT?z-1)的 等比级数，当 | e-aT?z-1 |<1时，级数收敛,则 可写成闭合形式
( * * )1 1)( 1 aTaT ez zzeZE
所以利用 (*),(**)式，有
(6) 正弦信号 e(t)=sin?t,因为
)(21s i n TjTj eejt
])()([
2
1
)(
2
1
)(
00
0
n
nnTj
n
nnTj
n
nnTjnTj
zeze
j
zee
j
zE
1c o s2
s i n
]
1)(
)(
[
2
1
][
2
1
)(
2
2
Tzz
Tz
eezz
eez
jez
z
ez
z
j
zE
TjTj
TjTj
TjTj
进行部分分式展开，有
:)(,)1( 1)()7( 变换的设 ztesssE
1
11
)1(
1)(
sssssE
再取拉氏反变换参照 (2)和 (5),得
tet
ssLte
)(1]1
11[)( 1
))(1(
)1(
1
])(1[)(
T
T
T
t
ezz
ez
ez
z
z
z
etzzE
4,Z变换的性质
（ 1） 线性 定理若 E1(z)=Z[e1(t)],E2(z)=Z[e2(t)],a为常数,则
Z[e1(t)+e2(t)]= E1(z)+ E2(z),Z[ae(t)]=a E(z)
例 8.2 已知 e(t)=1(t-T),求 Z变换 E(z)。
1
1
1)](1[)](1[
11
zz
zztzzTtz
(3) 复数位移 定理已知 e(t)的 z变换为 E(z),则有
2)1(
)(][
aT
aT
at
ez
ezTetZ根据复数位移定理，有例 8.3 已知 e(t)=t?e-at,求 Z变换 E(z)。
2)1(][ z
TztZ
Z[e(t)? ]=E(z?e ± at)ate?
])()([ 1
0
k
n
nk znTezEz
（ 2） 实数位移 定理若 E(z)=Z[e(t)]，
则 Z[e(t-kT)]=z-kE(z),Z[e(t+kT)]=
解：
解,已知单位斜坡信号的 z变换为
8.3.28.3.1
(4) z域微分 定理若 e (t)的 z变换为 E(z)，则
)]([)]([ zEdzdTztetz
若 e (t)的 z变换为 E(z)，则
z[an?e(t)]=E(z/a),a为常数例 8.4 试求?ncos?t的 Z变换。
1c o s2
)c o s(][ c o s
2
Tzz
Tzztz
1co s2)(
)co s(
]co s.[
2
T
zz
T
zz
tz n
则
221
1
c os21
c os1
zTz
Tz
(5) z域尺度 定理解,由变换表
(6) 初值 定理
)(l i m)]([l i m0 zEte zt
若 e(t)的 z变换为 E(z)，函数序列 e(nT)为有限值 (n=0,1,2,…),
且极限 存在，则
)(lim nTen
)()1(l im)]([l im 1 zEznTe zn
设 x(nT)和 y(nT)为两个采样函数,其离散卷积定义为
x(nT)?y(nT)=,则卷积定理为：
Z[x(nT)?y(nT)]=X(z)Y(z)
0
])[()(
k
TknykTx
)(lim zEz
若 e (t)的 z变换为 E(z)，并有极限 存在，则
(7) 终值 定理
（ 8） 卷积 定理
8.3.2 Z反变换
从 Z域函数 E(z)求时域函数 e*(t)，叫做 Z反变换。
– 记作 Z-1[E(z)]= e*(t)。
例 8.5 已知 z变换函数,试求其 z反变换。
)2)(1(
10)(
zz
zzE
解,首先将 E(z)/z展开成部分分式
2
10
1
10
)2)(1(
10)(
zzzzz
zE
210110)( z
z
z
zzE所以
n
z
zz
z
zz 2]
2[,1]1[
11?
查表可得所以 e(nT)=(-1+2n)?10
e*(t)=e(0)?(t)+e(T)?(t-T)+e(2T)?(t-2T)+…
=0+10?(t-T)+30?(t-2T)+ 70?(t-3T)+…
1,部分分式展开法部分分式展开法是将 E(z)展成若干分式和的形式，对每部分分式查 Z变换表找出相应的 e*(t)。因 Z变换表中 Z变换函数分子普遍有因子 Z，所以应将 E(z)/z展开成部分分式。
性质8.3.1
aTez
z
z
zzE
1)(所以例 8.6 已知 z变换函数试求其 z反变换。 ))(1(
)1()(
aT
aT
ezz
zezE
解：
因为
aTaT
aT
ezzezz
e
z
zE
1
1
1
))(1(
1)(
所以 e*(t)=e(0)?(t)+e(T)?(t-T)+e(2T)?(t-2T)+…
=0+(1-e-aT)?(t-T)+(1-e-2aT)?(t-2T)+(1-e-3aT)?(t-3T)+…
2,幂级数法（综合除法 )
2--1
0
e( 2 T ) ze( T ) ze( 0 ))()(
n
nznTezE
2--1
2
2
1
1
2
2
1
10 c 2zc 1zc0)(
1)( nmzazaza
zbzbzbbzE
n
n
m
m
0
* )()(
n
n nTtcte?
查表得 e(t)=1(t)-e-at 则 e(nT)=1-e-anT
由 Z变换的定义而则 c0,c1,c2,… 就是脉冲序列 e*(t)各采样点的值 e(nT),所以
3,反演积分法 (留数法 )
8.4 离散系统的数学模型
8.4.1 线性常系数差分方程及其解法
)()1()(
)()1()(
10
1
krbmkrbmkrb
kcankcankc
m
n
工程中常用迭代法和 Z变换法来求解差分方程：
1,迭代法根据给定差分方程和输出序列的初值,则可以利用递推关系,
一步一步算出输出序列 。
2.Z变换法用 Z变换法解差分方程的实质，是对差分方程两端取 Z变换，并利用 Z变换的位移性质，得到以 z为变量的代数方程，然后对代数方程的解 C(z)取 Z反变换即求得输出序列。
式中,k— 第 k个采样周期； n— 系统的阶次。
一般 n阶线性定常离散系统的输出和输入之间的关系，可用 n
阶常系数差分方程描述。
8.1 8.3 8.5 8.68.2
8.4.2 脉冲传递函数
脉冲传递函数的定义和意义零初始条件下，系统输出 C(t)的 z变换 C(z)与输入 r(t)的 z变换
R(z)之比，称为脉冲传递函数，即 G(z)=C(z)/R(z)。
若输入 r(t)=δ(t),则 C(z)=G(z)R(z)=G(z),g*(t)=Z-1[G(z)]。即连续系统的脉冲响应采样后的 Z变换即为脉冲传递函数。
)()()(),()()() 21 zDzGzCzRzGzDa
)(
)()(),()()()(
21 zR
zCzGzRzGzGzC
)()()() 21 sGsGsGb
)()]()([)( 2121 zGGsGsGZzG 记为
)()()()) 2121 zGzGzGGba 中：和在
开环脉冲传递函数
1,串联环节
2,有零阶保持器的情况
)(])([)(1 zRs sGZzC p?
)()( 112 zCzzC
)(])([)1()()()( 121 zRs sGZzzCzCzC p
])([)1()( )()( 1 s sGZzzR zCzG p
)()()( 1 sRsGsE? )()( 1 zRGzE?
)()()( 2 zEzGzC?
)()()( 12 zRGzGzC?
3,连续信号进入连续环节
-
-
闭环脉冲传递函数
)()()()1 sBsRsE )()()()( * sEsHsGR
)()]()([)()( **** sEsHsGsRsE
)()()()( zEzGHzRzE
)(1
)()(
zGH
zRzE
)(1
)()()()()(
zGH
zRzGzEzGzC
)(1
)()(,
)(1
1)(
zGH
zGz
zGHze
)()()()()()2 21 zEzHGzGzRzE
)()(1
)()()()()()()(
21
21
21 zHGzG
zRzGzGzEzGzGzC
)()()()()()()3 * sCsHsGsRsGsC
)()()()( zCzGHzGRzC
)(1
)()(
zGH
zGRzC
)()(1
)()()(,
)()(1
1)(
21
21
21 zHGzG
zGzGz
zHGzGze
1,S域的虚轴映射成 Z域的圆周；左半 S平面映射在圆周内，
右半 S平面映射在圆周外。
2,几种特殊的线映射：
8.5 离散系统的稳定性与稳态误差一,S域到 Z域的映射二、离散系统稳定的充要条件
1,时域中：特征方程的根满足 │ai│<1 (了解即可 〕
2,Z域中：特征方程 1+HG(Z)=0的模 │Zi│<1 (牢固掌握 )
三、离散系统的稳定性判据
1,双线性变换与劳氏判据
⑴ 双线性变换
,11 wwz 11 zzw
⑵ 劳氏判据：格式见 409
2,朱利判据：了解即可 。
8.1 8.3 8.4 8.68.28.5.2例8.5.1 稳定性判据设系统的结构图如下图所示，采样周期 T=1s 。设
K=10,试分析系统的稳定性，并求系统的临界放大系数。
例 8.7
解,⑴ 由图得
)1(
)1(10
)1(
)1()(
22?
ss
e
ss
eKsG sTs
368.0368.1
)264.0368.0(10)(
2
zz
zzG
331.2
64.268.3
)(1
)()(
2
zz
z
zG
zGz
由此 得系统 特征方程为
z2+2.31z+3=0
求解得一对共轭复根
1=-1.156＋ j1.29?2=-1.156-j1.29
分布在单位圆外，因此系统是不稳定的 。
)1(?ss
K
C(s)R(s)
s
e Ts1
—
8.5.1 8.5.2
求得系统特征方程为
z2-(1.368-0.368K)z+(0.368+0.264K) =0
⑵ 由系统开环脉冲传递函数
368.0368.1
)264.0368.0()(
2
zz
zKzG
01 0 4.07 3 6.2
05 2 8.02 6 4.1
06 3 2.0
K
K
K
得到系统的临界放大系数为,Kc=2.4
列劳氏表计算
w2 2.736-0.104K 0.632K
w1 1.264-0.528K 0
w0 0.632K
为使系统稳定，须有进行 w变换得
(2.736-0.104K)w2+(1.264-0.528K)w+0.632K=0
1,终值定理法
8.5.2 稳态误差的计算
)](1[
)()1(l i m)()1(l i m)(l i m)(
1
1
1
*
zGz
zRzzEztee
zzt?
2,误差系数法
(1) 单位阶跃输入时
r(t)=1(t)
)](1[lim 1 zGK zp
(2) 单位斜坡输入时
r(t)=t
1)( z
zzR
2)1()( z
TzzR
)()1(l im 1 zGzK zv
(3) 单位加速度输入时
r(t)=t2/2 3
2
)1(2
)1()(
z
zzTzR
)()1(l i m 21 zGzK za
8.5.1 例设系统的结构图如下图所示,K=1,T=0.1s,
r(t)=1(t)+t,求系统的稳态误差。
例 8.8
系统的稳态误差为解,系统的开环传递函数为
))(1(
)1(
)1()1()1(
1)1()(
2
1
2
1
T
T
ezz
ze
z
Tzz
ssZzzG
把 T=0.1代入化简得
)9 0 5.0)(1(
)9.0(0 0 5.0)(
zz
zzG
)905.0)(1(
)9.0(005.01lim)](1[lim
11 zz
zzGK
zzp
1)9 0 5.0)(1( )9.0(0 0 5.0)1(l i m1.0 1)()1(l i m1 11 zz zzzGzTK zzv
111)(
vp KK
e ])()1(l i m1[ 212 zGzTK za注：
)1(?ss
K
C(s)R(s)
s
e Ts1
—
一般假定外作用为单位阶跃函数 r(t)=1(t)，此时 R(z)=z/(z-1)，
则系统输出量的 Z变换函数为
8.6 离散系统的动态性能分析一、时间响应
)(1)( zz zzC
然后用长除法，将 C(z)展成无穷幂级数：
C(z)=C0+C1z-1+ C2z-2+…+ Cnz-n
在 C*(t)— t坐标中描出点 (kT,Ck ),k=0,1,2,… n,则得阶跃响应脉冲序列。
则得单位阶跃作用下的输出序列为
C(kT)=Ck,k=0,1,2,… n
将各点用虚线平滑连接，以便分析性能指标。
8.1 8.3 8.4 8.58.2
闭环复极点与动态响应的关系二、闭环极点与动态响应的关系闭环实极点与动态响应的关系本 章 作 业
( P436)
8-1(1)
8-2(3,6)
8-4
8-9(1)
8-10
