第四章 根轨迹法
4.1 根 轨 迹 方 程
4.2 根轨迹绘制的基本法则
4.3 广 义 根 轨 迹
End
本章作业
4.1 根轨迹方程
根轨迹,是指开环系统某个参数由 0变化到 ∞,闭环特征根在 s平面上移动的轨迹 。 根轨迹与系统性能密切相关 。
Kss
K
Kss
Ks
2)1()(
2
41
2
1,
2
41
2
1
21
KsKs
表示系统的闭环极点
0
j?
j0.5K=1/2
-0.5-1
p1
p2
闭环特征方程为 s2+s+K=0,解得闭环特征根表达式
令 K（ 由 0到 ∞） 变动,s1,s2在 s平面的移动轨迹即为根轨迹 。
研究根轨迹的目的,分析系统的各种性能
（ 稳定性,稳态性能,动态性能 ）
4.1.1 根轨迹概念
1)s(sK?
R(s)
(-)
C(s)
4.2 4.3
动画演示
根轨迹增益：
K*为开环系统根轨迹增益；闭环系统根轨迹增益等于开环系统前向通路根轨迹增益 。 (由下式及 m<n可知 ）
开环零点,指系统开环传递函数中分子多项式方程的根。
开环极点,指系统开环传递函数中分母多项式方程的根 。
闭环零点,指系统闭环传递函数中分子多项式方程的根 。 闭环零点由前向通道的零点和反馈通道的极点构成 。 对于单位反馈系统,闭环零点就是开环零点 。
闭环极点,指系统闭环传递函数中分母多项式方程的根 。 闭环极点与开环零,极点以及根轨迹增益 K*均有关 。 （ K*→ 0,开闭环极点相同 。 ）
n
j
j
m
i
i
n
m
ps
zs
K
pspspsa
zszszsb
sHsG
1
1*
210
210
)(
)(
)())((
)())((
)()(
m
i
i
n
j
j
n
j
j
zsKps
pssG
sHsG
sGs
1
*
1
1
)()(
)()(
)()(1
)()(?
4.1.2 开 /闭环传递函数零极点表达式
根轨迹法的基本任务：
由已知的开环零,极点分布及根轨迹增益,通过图解的方法找出闭环极点 。
1,由闭环特征方程得根轨迹方程为 G(s)H(s)= –1
),2,1,0k(e1
)ps(
)zs(K
)1k2(
n
1i
i
m
1j
j
*
,1
|ps|
|zs|K
n
1i
i
m
1j
j
*
)12()()(
11
kpszs n
i
i
m
j
j
4.1.3 根轨迹方程再把矢量方程表示为模值方程与相角方程,其模值方程和相角方程分别为：
2,将根轨迹方程写成零,极点表示的矢量方程为：
法则 4,实轴上的根轨迹：实轴上根轨迹区段的右侧，开环零、
极点数目之和应为奇数。
法则 6,根轨迹的起始角 (从极点 pk)和终止角 (到零点 zk),
o 起始角：
)()()12(
11
i
n
ki
i
kjk
m
j
pk ppzpk
法则 2,根轨迹对称于实轴：闭环极点若为实数,则位于 [s]平面实轴；若为复数则共轭出现,所以根轨迹对称于实轴 。
法则 3,根轨迹的起点与终点：根轨迹 起始于 开环极点,终止于开环零点；如果开环零点数 m小于开环极点数 n,则有 （ n-m）
条根轨迹终止于无穷远处 (的零点 )。
mn
zp
m
i
i
n
i
i
a?
11 法则 5,根轨迹的渐近线：渐近线与实轴交点的坐标而渐近线与实轴正方向的夹角
k依次取 0,+1,–1,+2,–2,… 一直到获得 n-m个倾角为止。其中,n为开环极点数,m为开环零点数。 (?a可由相角方程中 S得到。 )
mn
k
a?
)12(
4.2 根轨迹绘制的基本法则例 1a
4.3
证 1
4.1
例 1 例 3 证 1
例 1b
例 2 证 2
法则 1,根轨迹的分支数：根轨迹在 [s]平面上的分支数等于闭环特征方程的阶数 n,也就是分支数与闭环极点的数目相同。
法则 8,根轨迹与虚轴的交点：
法则 7,分离点（会合点）坐标 d：
o 几条根轨迹在 [s]平面上相遇后又分开的点,称为分离点 。
o 分离点的坐标 d可由方程得到。
m
i i
n
i i zdpd 11
11
0)()(1 jHjG
0)]()(1I m [
0)]()(1R e [
jHjG
jHjG
1
11
aps
n
i
i
n
i
i
)zz()pz()1k2( j
m
kj
1j
ki
n
1i
kzk
o 终止角,
紧转例 4
法则 9,根之和：
o 若 n-m>=2，则有例 3 证 3
例 2
例 2
证明 1
由 根轨迹方程,
*/1
)(
)(
1
1 K
ps
zs
n
i
i
m
j
j
0
1
l i m
)(
)(
l i m
1
1
mnsn
i
i
m
j
j
s s
ps
zs
)12()()(
11
kpszs
n
i
i
m
j
j
j?
p01
p02
p03
p04 0 z01z02
z03
z04
s0
z05
其余 n-m条终止于无穷远处,
起点,K*=0,式 (#)?∞,所以 s=pi (i=1,2,… n)
终点,K*?∞,式 (#)?0,所以 s=zj (j=1,2,… m)
证明 2
由
n
ki
1i
i1
m
1j
j1ps11 pszs)1k2()ps( 11?
n
ki
1i
ik
m
1j
jkpk ppzp)1k2(
)z(z)p(z) π1k2(θ j
m
kj
1j
ki
n
1i
kzk
)12()()(
11
kpszs
n
i
i
m
j
j
同理得
假设在一开环极点 p1附近取一点 s1,则证明 3
系统闭环 特征方程 为 0)()(
1
*
1
m
j
j
n
i
i zsKps
0)()(
1
*
1
m
j
j
n
i
i zsKps 0)]()([
1
*
1
m
j
j
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i
i zsKpsds
d
m
j
j
m
j
j
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zs
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ds
d
ps
ps
ds
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1
1
1
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)(
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)(
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ds
zsd
ds
psd
m
j
j
n
i
i
11
)(ln)(ln
即
n
i
i
n
i
i psps
11
)l n ()(ln又
m
j
j
m
j
j zszs
11
)l n ()(ln
m
i i
n
i i zsps 11
11即
m
j
jn
i
i
ds
zsd
ds
psd
11
)l n ()l n (
代入得
根轨迹若有 分离点,表明闭环特征方程有重根,重根条件为
两式相除得例 1a
1
03
)2()1(011
mn
zp
m
i
i
n
i
i
a?
,,33)12( mnka
)2)(1()(
*
sss
KsG
例 1b 已知单位反馈系统的
)22()( 2
*
sss
KsG单位反馈系统的例 2
p02
j?
0-1
j1j1.15
a
p03
p01
60
60
32?
45
2,4:临界稳定 *K
3
2
03
)j1()j1(0
mn
zp
σ
m
1i
i
n
1i
i
a
,3,3mn )1k2(a
n
ki
1i
ik
m
1j
jkpk ppzp)1k2(
0Kj22j0)Ks2s2s(0)s(H)s(G1 *23js*23即
4,202 02 *3
*2
KK?
44
3
20)1k2(2p
例 3
1
03
)2()1(0
mn
zp
σ
m
1i
i
n
1i
i
a
π,3π,3πmn 1) π( 2 ka
021111 ddd )(58.1,42.0 21 舍去 dd
0Kj23j
0)Ks2s3s(0)s(H)s(G1
*23
js
*23
即
6K,2ω *
开环增益为 K=K＊ /2,K的稳定域为 0<K<3,
)2)(1()(
*
sss
KsG? 例,某单位反馈系统,
例 4
0
j?
j2.45
j4
-4 -2
10j
45
135
复数分离点实数分离点 )4j2s)(4j2s)(4s(s
K
)20s4s)(4s(s
K
)s(H)s(G
*
2
*
例,
若开环零、极点个数均为偶数，且左右对称分布于一条平行于虚轴的直线，则根轨迹一定关于该直线左右对称。
2
* )1(
)( ssKsG
例 5
j?
0
s1
s2
例,
带开环零点的二阶系统，若能在复平面上画出根轨迹，则复平面根轨迹一定是圆或圆弧。
例 6,已知系统,求 Ta由 0→∞ 的闭环根轨迹。
)15(
)1(5)()(
ss
sTsHsG a
解,原系统的闭环特征方程为
D(s)=1+G(s)H(s)=s(5s+1)+5(Tas+1)=0
所以 就是新的开环传函,而 5Ta相当于新的开环增益 。
55
5
2 ss
sTa
4.3 广义根轨迹
变化的参数不是开环根轨迹增益 K*的根轨迹叫参数根轨迹 。 将开环传函变形让变化的参数处于开环增益的位置就可以采用绘制常规根轨迹时的法则 。
解题关键,要将开环传函变形,将非开环增益的参数变换到开环增益的地位 。
将和参数有关的各项归并在一起,上式可写为
5s2+s+5+5Tas=0
4.1 4.2
4.3.1 参数根轨迹在负反馈系统中,K*变化时的根轨迹叫做常规根轨迹。其他情况下的根轨迹称广义根轨迹。通常有参数根轨迹和零度根轨迹。
例 7,求 Tm从 0 → ∞ 时的根轨迹
j?
0
P1
P2
-K
1)ss(T
K
m?
R(s)
(-)
C(s)
原系统的闭环 特征 方程为
Tms2 + s + K = 0
即 s2 + s/Tm + K/Tm = 0
得新的特征方程为
s2 + (s+ K)/ Tm = 0
)1)()((
1
''
2
sHsG
s
Ks
T m 即
）（
则新的等效开环传函为
如果系统的特征方程的形式 为 1-G(s)H(s)=0,
),2,1,0k(e1
)ps(
)zs(K
k2
n
1i
i
m
1j
j
*
4.3.2 零度根轨迹其根轨迹叫零度根轨迹 。
此时因为其相角遵循 条件：
附加开环零点的作用本 章 作 业
P193
4-1
4-5
4-6
4-10
4-15
4.1 根 轨 迹 方 程
4.2 根轨迹绘制的基本法则
4.3 广 义 根 轨 迹
End
本章作业
4.1 根轨迹方程
根轨迹,是指开环系统某个参数由 0变化到 ∞,闭环特征根在 s平面上移动的轨迹 。 根轨迹与系统性能密切相关 。
Kss
K
Kss
Ks
2)1()(
2
41
2
1,
2
41
2
1
21
KsKs
表示系统的闭环极点
0
j?
j0.5K=1/2
-0.5-1
p1
p2
闭环特征方程为 s2+s+K=0,解得闭环特征根表达式
令 K（ 由 0到 ∞） 变动,s1,s2在 s平面的移动轨迹即为根轨迹 。
研究根轨迹的目的,分析系统的各种性能
（ 稳定性,稳态性能,动态性能 ）
4.1.1 根轨迹概念
1)s(sK?
R(s)
(-)
C(s)
4.2 4.3
动画演示
根轨迹增益：
K*为开环系统根轨迹增益；闭环系统根轨迹增益等于开环系统前向通路根轨迹增益 。 (由下式及 m<n可知 ）
开环零点,指系统开环传递函数中分子多项式方程的根。
开环极点,指系统开环传递函数中分母多项式方程的根 。
闭环零点,指系统闭环传递函数中分子多项式方程的根 。 闭环零点由前向通道的零点和反馈通道的极点构成 。 对于单位反馈系统,闭环零点就是开环零点 。
闭环极点,指系统闭环传递函数中分母多项式方程的根 。 闭环极点与开环零,极点以及根轨迹增益 K*均有关 。 （ K*→ 0,开闭环极点相同 。 ）
n
j
j
m
i
i
n
m
ps
zs
K
pspspsa
zszszsb
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1
1*
210
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)(
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sGs
1
*
1
1
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)()(
)()(1
)()(?
4.1.2 开 /闭环传递函数零极点表达式
根轨迹法的基本任务：
由已知的开环零,极点分布及根轨迹增益,通过图解的方法找出闭环极点 。
1,由闭环特征方程得根轨迹方程为 G(s)H(s)= –1
),2,1,0k(e1
)ps(
)zs(K
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n
1i
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|zs|K
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j
*
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11
kpszs n
i
i
m
j
j
4.1.3 根轨迹方程再把矢量方程表示为模值方程与相角方程,其模值方程和相角方程分别为：
2,将根轨迹方程写成零,极点表示的矢量方程为：
法则 4,实轴上的根轨迹：实轴上根轨迹区段的右侧，开环零、
极点数目之和应为奇数。
法则 6,根轨迹的起始角 (从极点 pk)和终止角 (到零点 zk),
o 起始角：
)()()12(
11
i
n
ki
i
kjk
m
j
pk ppzpk
法则 2,根轨迹对称于实轴：闭环极点若为实数,则位于 [s]平面实轴；若为复数则共轭出现,所以根轨迹对称于实轴 。
法则 3,根轨迹的起点与终点：根轨迹 起始于 开环极点,终止于开环零点；如果开环零点数 m小于开环极点数 n,则有 （ n-m）
条根轨迹终止于无穷远处 (的零点 )。
mn
zp
m
i
i
n
i
i
a?
11 法则 5,根轨迹的渐近线：渐近线与实轴交点的坐标而渐近线与实轴正方向的夹角
k依次取 0,+1,–1,+2,–2,… 一直到获得 n-m个倾角为止。其中,n为开环极点数,m为开环零点数。 (?a可由相角方程中 S得到。 )
mn
k
a?
)12(
4.2 根轨迹绘制的基本法则例 1a
4.3
证 1
4.1
例 1 例 3 证 1
例 1b
例 2 证 2
法则 1,根轨迹的分支数：根轨迹在 [s]平面上的分支数等于闭环特征方程的阶数 n,也就是分支数与闭环极点的数目相同。
法则 8,根轨迹与虚轴的交点：
法则 7,分离点（会合点）坐标 d：
o 几条根轨迹在 [s]平面上相遇后又分开的点,称为分离点 。
o 分离点的坐标 d可由方程得到。
m
i i
n
i i zdpd 11
11
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法则 9,根之和：
o 若 n-m>=2，则有例 3 证 3
例 2
例 2
证明 1
由 根轨迹方程,
*/1
)(
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1
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其余 n-m条终止于无穷远处,
起点,K*=0,式 (#)?∞,所以 s=pi (i=1,2,… n)
终点,K*?∞,式 (#)?0,所以 s=zj (j=1,2,… m)
证明 2
由
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假设在一开环极点 p1附近取一点 s1,则证明 3
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代入得
根轨迹若有 分离点,表明闭环特征方程有重根,重根条件为
两式相除得例 1a
1
03
)2()1(011
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例 1b 已知单位反馈系统的
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KsG单位反馈系统的例 2
p02
j?
0-1
j1j1.15
a
p03
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60
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32?
45
2,4:临界稳定 *K
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0Kj22j0)Ks2s2s(0)s(H)s(G1 *23js*23即
4,202 02 *3
*2
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44
3
20)1k2(2p
例 3
1
03
)2()1(0
mn
zp
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π,3π,3πmn 1) π( 2 ka
021111 ddd )(58.1,42.0 21 舍去 dd
0Kj23j
0)Ks2s3s(0)s(H)s(G1
*23
js
*23
即
6K,2ω *
开环增益为 K=K＊ /2,K的稳定域为 0<K<3,
)2)(1()(
*
sss
KsG? 例,某单位反馈系统,
例 4
0
j?
j2.45
j4
-4 -2
10j
45
135
复数分离点实数分离点 )4j2s)(4j2s)(4s(s
K
)20s4s)(4s(s
K
)s(H)s(G
*
2
*
例,
若开环零、极点个数均为偶数，且左右对称分布于一条平行于虚轴的直线，则根轨迹一定关于该直线左右对称。
2
* )1(
)( ssKsG
例 5
j?
0
s1
s2
例,
带开环零点的二阶系统，若能在复平面上画出根轨迹，则复平面根轨迹一定是圆或圆弧。
例 6,已知系统,求 Ta由 0→∞ 的闭环根轨迹。
)15(
)1(5)()(
ss
sTsHsG a
解,原系统的闭环特征方程为
D(s)=1+G(s)H(s)=s(5s+1)+5(Tas+1)=0
所以 就是新的开环传函,而 5Ta相当于新的开环增益 。
55
5
2 ss
sTa
4.3 广义根轨迹
变化的参数不是开环根轨迹增益 K*的根轨迹叫参数根轨迹 。 将开环传函变形让变化的参数处于开环增益的位置就可以采用绘制常规根轨迹时的法则 。
解题关键,要将开环传函变形,将非开环增益的参数变换到开环增益的地位 。
将和参数有关的各项归并在一起,上式可写为
5s2+s+5+5Tas=0
4.1 4.2
4.3.1 参数根轨迹在负反馈系统中,K*变化时的根轨迹叫做常规根轨迹。其他情况下的根轨迹称广义根轨迹。通常有参数根轨迹和零度根轨迹。
例 7,求 Tm从 0 → ∞ 时的根轨迹
j?
0
P1
P2
-K
1)ss(T
K
m?
R(s)
(-)
C(s)
原系统的闭环 特征 方程为
Tms2 + s + K = 0
即 s2 + s/Tm + K/Tm = 0
得新的特征方程为
s2 + (s+ K)/ Tm = 0
)1)()((
1
''
2
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s
Ks
T m 即
）（
则新的等效开环传函为
如果系统的特征方程的形式 为 1-G(s)H(s)=0,
),2,1,0k(e1
)ps(
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k2
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1i
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1j
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4.3.2 零度根轨迹其根轨迹叫零度根轨迹 。
此时因为其相角遵循 条件：
附加开环零点的作用本 章 作 业
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