§4 闭区间上的连续函数 有界性定理 定理3.4.1 若函数 )(xf 在闭区间 ],[ ba 上连续， 则它在 ],[ ba 上有 界 。 证 用反证法。 若 fx()在 ],[ ba 上无界，将 ],[ ba 等分为两个小区间 ? ? ? ? ? ? + 2 , ba a 与 ? ? ? ? ? ? + b ba , 2 ，则 fx()至少在其中之一上无界，把它记为 [ ] 11 ,ab； 再将闭区间 [ ] 11 ,ab与等分为两个小区间 ? ? ? ? ? ? + 2 , 11 1 ba a 与 ? ? ? ? ? ? + 1 11 , 2 b ba ， 同样 fx()至少在其中之一上无界，把它记为 [ a 2 ,b 2 ]； …… 这样的步骤一直做下去 ，便得到一个闭区间套{ [,] nn ab}， fx()在 其中任何一个闭区间 [,] nn ab上都是无界的。 根据闭区间套定理，存在唯一的实数 ξ属于所有的闭区间 [,] nn ab， 并且 ξ= lim n→∞ a n = lim n→∞ b n 。 因为 ξ ∈ ],[ ba ，而 fx()在点 ξ连续，所以存在 δ > 0， 0>M ，对于一切 x ),( δξO∈ ∩ ],[ ba ，成立 ()f xM≤ 。 由于 lim n→∞ a n = lim n→∞ b n =ξ，又可知道对于充分大的 n， [,] nn ab ),( δξO? ∩ ],[ ba ， 于是得到 fx()在这些闭区间 [,] nn ab(n充分大)上有界的结论，从而产生 矛盾。 证毕 开区间上的连续函数不一定是有界的。 例如 1 ()fx x = 在开区间 (0,1)上连续，但显然是无界的。 最值定理 定理3.4.2 若函数 fx()在闭区间 ],[ ba 上连续 ， 则它在 ],[ ba 上必 能取到最大值与最小值，即存在 ξ 和 [,]abη∈ ，对于一切 [,]x ab∈ 成立 () ()f fxξ ≤ ≤ ()f η 。 证 集合 R f = { ()| [,]f xx ab∈ }是有界数集，所以必有上确界与下 确界，记 α inf f R= ， β sup f R= 。 由于对任意给定的 ε > 0，存在 [,]x ab∈ ，使得 ()f x <α ε+ 。于是取 ε n = 1 n （ n = 123,,,"）相应地得到数列{ x n }， x n ∈ ],[ ba ， 满足 α () n fx≤ < 1 n α+ 。 因为{ x n }是有界数列，应用Bolzano-Weierstrass 定理，存在收敛子列 { x n k }： lim k→∞ x n k =ξ，且 ξ ∈ ],[ ba 。 考虑不等式 α () k n fx≤ < α+ 1 n k ， k = 1,2,3，…， 令 k→∞，由极限的夹逼性与 fx()在点 ξ的连续性，得到 ()f ξ α= 。 这说明 fx()在 ],[ ba 上取到最小值 α，即 α min f R= 。 同样可以证明存在 [,]abη∈ ，使得 == βη)(f max f R 。 证毕 同样，开区间上的连续函数即使有界，也不一定能取到它的最大 （小）值。例如， ()f xx= 在 (0,1)连续而且有界，因而有上、下确界 infα = { ()f x | (0,1)x∈ } 0= ， supβ = { ()f x | (0,1)x∈ } 1= ， 但是 fx()在区间 (0,1)上取不到 0α = 与 1β = 。 零点存在定理 定理3.4.3 若函数 fx()在闭区间 ],[ ba 连续 ， 且 () () 0fa fb? < ， 则一定 存在 ξ ∈ ),( ba ， 使 () 0f ξ = 。 证 不失一般性，设 () 0fa< ， () 0fb> ，定义集合V ： V = { () 0, [,]xfx x ab<∈ }。 集合V 有界，非空，所以必有上确界。令 supVξ = ， 现证 ξ ∈ ),( ba ，且 () 0f ξ = 。 由于 fx()连续， () 0fa< ， ?δ 1 0> ， 1 [, ]xaaδ? ∈+： () 0fx< ； 再由 () 0fb> ， ?δ 2 0> ， ? x ∈ 2 (,)bbδ? ： () 0fx> 。于是可知 1 a δ+ ξ≤ ≤ 2 b δ? ， 即 ξ ∈ ),( ba 。 取 (1,2,) n xVn∈="， n x ξ→ （ n→∞） ，因 ()0 n fx < ，得到 () lim ( ) 0 n n ffxξ →∞ = ≤ 。 若 () 0f ξ < ，由 fx()在点 ξ的连续性， 0δ? > ， (, )xOξ δ? ∈ ： () 0fx< ， 这就与 supVξ = 产生矛盾。于是必然有 () 0f ξ = 。 证毕 例3.4.1 讨论多项式 32 () 2 3 3 2p xxxx= ??+零点的位置。 解 x -2 0 1 3 ()p x -20 2 -2 20 ()p x 的三个零点（或根）分别落在区间 (2,0)? ,(0,1)与 (1, 3) 内。事实上， 1 () 2( 1)( )( 2) 2 px x x x= +? ?，它的三个零点为 1 1 ?=x ， = 2 x 1 2 ， 2 3 =x 。 例3.4.2 设函数 fx()在闭区间 ],[ ba 上连续，且 ]),([ baf ? ],[ ba ，则存在 ξ ∈ ],[ ba ， =)(ξf ξ（ 这样的 ξ 称为 fx()的一个 不动点 。） 证 设 () ()gx f x x= ? ，则 ()gx在 ],[ ba 上连续，由 ([ , ])f ab ? ],[ ba ，可知 () 0ga≥ ， () 0gb≤ 。 若 () 0ga= ，则有 aξ = ；若 () 0gb= ，则有 bξ = ；若 () 0ga> ， () 0gb< ， 则由定理3.4.3，必存在 ξ ∈ ),( ba ，使得 () 0g ξ = ，即 ()f ξ = ξ。 本例中闭区间 ],[ ba 不能改为开区间。 例如 () 2 x fx= 在开区间 (0,1)上连续， 且 ((0,1)) (0,1)f ? ，但 ()f x 在开区间 (0,1)中没有不动点。 中间值定理 定理3.4.4 若函数 fx()在闭区间 ],[ ba 上连续 ， 则它一定能取到 最大值 maxM = { ()| [,]}f xx ab∈ 和最小值 minm = { ()| [,]}f xx ab∈ 之间的任 何一个值 。 证 由最值定理，存在 ,ξ η∈ ],[ ba ，使得 ()f mξ = ， ()f Mη = 。 不妨设 ξ < η，对任何一个中间值 ,Cm C M< < ，考察辅助函数 () ()xfxC? = ? 。 因为 ()x? 在闭区间 [,]ξ η 上连续， () () 0fC? ξξ=?<， () () 0fC? ηη= ?>，由零点存在定理，必有 (,)? ξη∈ ，使得 () 0? ? = ， 即 ()f C? = 。 证毕 推论 若函数 fx()在闭区间 ],[ ba 连续 ， m是最小值 ， M是最大值 ， 则 fx()的值域是闭区间 [. ] f RmM= 。 中间值定理 定理3.4.4 若函数 fx()在闭区间 ],[ ba 上连续 ， 则它一定能取到 最大值 maxM = { ()| [,]}f xx ab∈ 和最小值 minm = { ()| [,]}f xx ab∈ 之间的任 何一个值 。 证 由最值定理，存在 ,ξ η∈ ],[ ba ，使得 ()f mξ = ， ()f Mη = 。 不妨设 ξ < η，对任何一个中间值 ,Cm C M< < ，考察辅助函数 () ()xfxC? = ? 。 因为 ()x? 在闭区间 [,]ξ η 上连续， () () 0fC? ξξ=?<， () () 0fC? ηη= ?>，由零点存在定理，必有 (,)? ξη∈ ，使得 () 0? ? = ， 即 ()f C? = 。 证毕 一致连续概念 设区间 X 表示任意一种有限或无限的区间，如闭区间 ],[ ba ，开区 间 ),( ba 、 (, )a +∞ 、 (,)b?∞ 、 (,)?∞+∞,半开半闭区间 [ )ba, 、 ( ]ba, 、 ( ]b,∞? 、 [ )+∞,a 等等。 定义3.4.1 设函数 fx()在区间 X 上定义 ， 若对于任意给定的 ε>0， 存在 δ>0， 只要 ′x ,x X ′′ ∈ 满足 |x ′ ? ′′x | δ< ， 就成立| ()f x ′ ()f x ′′ ? | ε< ， 则称函数 fx()在区间 X 上 一致连续。 一致连续概念 设区间 X 表示任意一种有限或无限的区间，如闭区间 ],[ ba ，开区 间 ),( ba 、 (, )a +∞ 、 (,)b?∞ 、 (,)?∞+∞,半开半闭区间 [ )ba, 、 ( ]ba, 、 ( ]b,∞? 、 [ )+∞,a 等等。 定义3.4.1 设函数 fx()在区间 X 上定义 ， 若对于任意给定的 ε>0， 存在 δ>0， 只要 ′x ,x X ′′ ∈ 满足 |x ′ ? ′′x | δ< ， 就成立| ()f x ′ ()f x ′′ ? | ε< ， 则称函数 fx()在区间 X 上 一致连续。 在上面定义中，若固定 0 xxX ′′ = ∈ ，就得到 fx()在点 x 0 的连续性。 由于 x 0 可以是 X 中的任意一点，于是得到 fx()在区间 X 上一致连续 ? fx()在区间 X 上连续。 至于反向的命题，就不一定成立。 例3.4.3 () sinf xx= 在 ),( +∞?∞ 上一致连续。 证 由不等式 |sin x ′ sin x ′′ ? | 2cos sin 22 x xxx ′ ′′ ′ ′′ + ? = ||x x ′ ′′ ≤ ? ， 对于任意给定的 0ε > ，取 δ ε= ，则对于任意两点 ′x ， x ′′ ∈ ),( +∞?∞ ，只 要 <′′?′ || xx δ，就一定成立 |sin x ′ sin x ′′ ? | ||x x ′ ′′ ≤ ?<δ ε= 。 由定义， sin x 在 ),( +∞?∞ 上是一致连续的。 例3.4.4 ()f x = 1 x 在 (0,1)连续，但非一致连续。 证 对于任意给定的 ,0 1ε ε< < ，我们通过精确地解出 * δ ( x 0 ,ε) 0 inf x δ= ( x 0 ,ε)，来说明不存在适用于整个区间 (0,1)的 δ () 0ε > 。 对任意 0 ,(0,1)xx∈ ，关系式 0 11 xx ? ε< 即为 1 0 x ε? 1 x < < 1 0 x ε+ ， 它等价于 0 0 1 x x x ε < < + x x 0 0 1?ε ， 即 2 0 0 1 x x x ε ε ? < ? + x 0 2 0 0 1 x x ε ε < ? ， 由此得到 δ 0 (,) minx ε = ? ? ? ? ? ? ?+ ε ε ε ε 0 2 0 0 2 0 1 , 1 x x x x = x x 0 2 0 1 ε ε+ 。 显然，这就是 δ * 0 (,)x ε 。 但是当 0 0x → 时，有 δ * 0 (,) 0x ε → ，所以不存在对区间 (0,1)中一切 点都适用的 δ () 0ε > ，因此 ()f x = 1 x 在 (0,1)上非一致连续。 对 于大部分函数，要精确解出 δ * ( x 0 ,ε)往往非常困难，因而这种 方法对于判断某一函数 在某一区间上是否一致连续是不实用的。下面 给出的定理则为判断非一致连续性提供了便利。 定理3.4.5 函数 fx()在区间 X 上定义， 则 fx()在 X 上一致连续 的充分必要条件是 ： 对任意 { ′x n }( ′ ∈xX n )和{ ′′x n }( ′′∈xX n )， 只要满足 lim n→∞ ( ′x n - ′′x n ) 0= ， 就成立 lim n→∞ ( () n fx ′ ? () n f x ′′ ) 0= 。 对 于大部分函数，要精确解出 δ * ( x 0 ,ε)往往非常困难，因而这种 方法对于判断某一函数 在某一区间上是否一致连续是不实用的。下面 给出的定理则为判断非一致连续性提供了便利。 定理3.4.5 函数 fx()在区间 X 上定义， 则 fx()在 X 上一致连续 的充分必要条件是 ： 对任意 { ′x n }( ′ ∈xX n )和{ ′′x n }( ′′∈xX n )， 只要满足 lim n→∞ ( ′x n - ′′x n ) 0= ， 就成立 lim n→∞ ( () n fx ′ ? () n f x ′′ ) 0= 。 证 必要性： 函数 fx()在 X 上的一致连续性可表述为： ? ε > 0 ， ? δ > 0， ? ′x , (x X ′′ ∈ | ′x - ′′x | )δ< ： | ()f x ′ ? ()f x ′′ | ε< 。 对上述的 δ>0，由 lim n→∞ ( ′x n - ′′x n ) 0= ，可知 N? ， nN? > ： | ′x n - ′′x n | δ< ，从而得到 | () n fx ′ ? () n fx ′′ | ε< ， 这就证明了 lim n→∞ ( () n fx ′ ? () n fx ′′ ) 0= 。 充分性：采用反证法。 函数 fx()在 X 上的非一致连续性可表述为： ? 0 0ε > ， ?δ > 0， ? ′x ,x X ′′ ∈ (| ′x - ′′x | δ< )：| () n fx ′ ? () n f x ′′ | 0 ε≥ 。 取 δ n = 1 n （ n = 123,,,"），于是存在 ′x n , n xX ′′ ∈ ，满足 | ′x n - ′′x n | 1 n < ， | () n fx ′ ? () n f x ′′ | 0 ε≥ 。 显然， lim n→∞ ( ′x n - ′′x n ) 0= ，但 {( ) ( )} nn f xfx ′ ′′ ? 不可能收敛于 0，这就产生矛 盾。 证毕 对例3.4.4，只要取 ′x n = 1 2n ， ′′x n = 1 n ，就有 lim n→∞ ( ′x n - ′′x n ) 0= ，但 lim n→∞ ( () n fx ′ ? () n fx ′′ )= lim(2 2) n n →∞ ?=∞， 由定理3.4.5可知 1 ()fx x = 在 (0,1)非一致连续。 但是若将区间 (0,1)换成 [,1)η ， 0η> ，则 1 ()fx x = 就在 [,1)η 上一致连 续。这是因为 xx ′′ ? ′ 11 ||xx xx ′ ′′ ? = ≤ ′′′ ||′? ′′xx η 2 ， 对于任意给定的 0ε > ，只要取 δ= 2 0ηε> 即可。 例3.4.5 2 ()f xx= 在 [ ) 0,+∞ 上非一致连续，但是在 [0, ]A 上一致连续 (A为任意有限正数) 证 取 n x ′ = n +1， n x ′′ = n （ n = 123,,,"），于是 lim n→∞ ( ′x n - ′′x n ) lim n→∞ = ( n +1- n ) 0= ， 但是 lim n→∞ ( () n fx ′ ? () n f x ′′ ) 1= ，由定理3.4.5可知 ()fx在 [ ) 0,+∞ 上非一致连 续。 当区间限制在 [0, ]A 时，有 | ′x 2 - ′′x 2 | = |( ′x + ′′x )( ′x - ′′x )| 2A≤ | ′x - ′′x |， 对于任意给定的 0ε > ，取 δ 0 2A ε = > ，对任意 ′x ， [0, ]x A′′∈ ，只要 | ′x - ′′x | δ< ，就成立| ′x 2 - ′′x 2 | ε< ，即 2 ()f xx= 在 [0, ]A 上一致连续。 通过 上面几个例子可以知道，长度 无限的区间，如 ),[ +∞a 上的连 续函数不一定一致连续； 长度有限的开区间 ),( ba 上的连续函数也不一 定一致连续。但是对于长度有限的闭区间 ],[ ba 上的连续函数，我们有 下面的著名定理： 通过 上面几个例子可以知道，长度 无限的区间，如 ),[ +∞a 上的连 续函数不一定一致连续； 长度有限的开区间 ),( ba 上的连续函数也不一 定一致连续。但是对于长度有限的闭区间 ],[ ba 上的连续函数，我们有 下面的著名定理： 定理3.4.6 （ Cantor定理） 若函数 fx()在闭区间 ],[ ba 上连续 ， 则它在 ],[ ba 上一致连续。 证 采用反证法。 假设 fx()在 ],[ ba 上非一致连续， 可知存在 0 0ε > 及两列点列 {} n x ′ 和 { ′′x n }， ′x n , n x ′′ ∈ ],[ ba ，满足 | ′x n - ′′x n | 1 n < ， 且| () n fx ′ ? () n f x ′′ | 0 ε≥ （ n = 123,,,"）。 因为{ ′x n }有界，由Bolzano-Weierstrass定理，存在收敛子列{ ′x n k }: lim k→∞ k n x ′ = ξ， ξ∈ ],[ ba 。 在点列 { ′′x n }中取子列{ ′′x n k }，其下标与 { ′x n k }下标相同，则由 | ′x n k - ′′x n k | 1 k n < ， k = 1,2,3,…，又得到 lim k→∞ k n x ′′ = lim k→∞ [ k n x ′ + ( k n x ′′ ) k n x ′ ? ]lim k→∞ = k n x ξ ′ = 。 由于函数 fx()在点 ξ连续，因而 lim k→∞ () n fx ′ = lim k→∞ () n f x ′′ ()f ξ= ， 所以 lim k→∞ ( () n fx ′ ? () n f x ′′ ) 0= ， 这与 | () n fx ′ ? () n f x ′′ | 0 ε≥ 产生矛盾， 从而得到 fx()在 ],[ ba 上的一致连续性 结论。 证毕 有限开区间 ),( ba 上的连续函数 fx()不一定一致连续。那么要具备 怎样的条件，才能保证它在 ),( ba 上一致连续呢？ 定理3.4.7 函数 fx()在有限开区间 ),( ba 连续，则 fx()在 ),( ba 上 一致连续的充分必要条件是： ()f a+ 与 ()f b? 存在。 证 充分性： 设 ()f aA+= ， ()f bB? = ，定义函数 ~ ()fx: ~ ()fx = ? ? ? ? ? = << = ,, ,),( ,, bxB bxaxf axA 则 ~ ()fx是闭区间 ],[ ba 上的连续函数。 由 Cantor定理， ~ ()fx在 ],[ ba 上一致连续。显然，对于一致连续的 函数，当定义域缩小时，其一致连续性仍然保持。于是 ~ ()fx在开区间 ),( ba 上也是一致连续的，这就说明 fx()在 ),( ba 上一致连续。 必要性: 设函数 fx()在开区间 ),( ba 上一致连续，则 ? ε> 0， ?δ > 0， ? ′x , ′′x ∈ ),( ba (| x ′ ? ′′x | δ< )： | ()f x ′ ()f x ′′ ? | ε< 。 任意选取数列{ x n }， x n ∈ ),( ba 且 lim n→∞ n x a= 。因{ x n }是基本数列， 对于上述 0δ > ， N? ， ,nm N? > : | n x ? x m | δ< ，从而 | () n fx ? () m f x | ε< 。 这说明了函数值数列{ () n f x }也是基本数列，因而必定收敛。 由定理3.1.5'，可知 ()fa+ = lim ( ) xa f x →+ 存在。 同理可以证明 ()fb? = lim ( ) xb f x →? 存在。 证毕 注意：定理3.4.7不适用于无限开区间的情况。例如： () sinf xx= 在 (,)?∞ +∞ 上是一致连续的，但 ()f ?∞ 与 ()f +∞ 都不存在。 必要性: 设函数 fx()在开区间 ),( ba 上一致连续，则 ? ε> 0， ?δ > 0， ? ′x , ′′x ∈ ),( ba (| x ′ ? ′′x | δ< )： | ()f x ′ ()f x ′′ ? | ε< 。 任意选取数列{ x n }， x n ∈ ),( ba 且 lim n→∞ n x a= 。因{ x n }是基本数列， 对于上述 0δ > ， N? ， ,nm N? > : | n x ? x m | δ< ，从而 | () n fx ? () m f x | ε< 。 这说明了函数值数列{ () n f x }也是基本数列，因而必定收敛。 由定理3.1.5'，可知 ()fa+ = lim ( ) xa f x →+ 存在。 同理可以证明 ()fb? = lim ( ) xb f x →? 存在。 证毕 注 1. 本节中给出的 5个定理：有界性定理、最值定理、零点存在定 理、中间值定理、 Cantor定理（即一致连续定理），是闭区间上连续 函数最重要的分析性质，必须牢记并熟练掌握。 2. 在证明这 5个定理时，分别采用了确界存在定理、闭区间套定 理、 Bolzano-Weierstrass定理和 Cauchy收敛原理。 事实上，由于实数 系的 5个基本定理是等价的，所以在理论上，可以采用从实数系的连 续性到实数系的完备性中的任何一个定理，来证明上述的闭区间上连 续函数的任何一个性质，只是证明的难度稍有差别罢了。