本节介绍函数微分的一些应用，包括极值和最值问题、函数作 图以及在数学建模中的应用。 极值问题 fx()的全部极值点必定都在使得 ′ =fx() 0和使得 ′fx()不存在的 点集之中。使 0)( = ′ xf 的点称为 )(xf 的 驻点。 § 5 应用举例 定理 5.5.1（极值点判定定理） 设函数 )(xf 在 x 0 点的某 一领域 中 有定义，且 )(xf 在 x 0 点连续。 ⑴ 设存在 0>δ ，使得 )(xf 在 ),( 00 xx δ? 与 ),( 00 δ+xx 上可导， (i) 若在 ),( 00 xx δ? 上有 ′ ≥fx() 0，在 ),( 00 δ+xx 上有 ′ ≤fx() 0， 则 x 0 是 )(xf 的极大值点； (ii) 若在 ),( 00 xx δ? 上有 ′ ≤fx() 0，在 ),( 00 δ+xx 上有 ′ ≥fx() 0， 则 x 0 是 )(xf 的极小值点； (iii) 若 ′fx()在 ),( 00 xx δ? 与 ),( 00 δ+xx 上同号，则 x 0 不是 )(xf 的 极值点。 ⑵ 设 0)( 0 = ′ xf ，且 fx()在 x 0 点二阶可导， (i) 若 ′′ <fx() 0 0，则 x 0 是 )(xf 的极大值点； (ii) 若 ′′ >fx() 0 0，则 x 0 是 )(xf 的极小值点； (iii) 若 ′′ =fx() 0 0，则 x 0 可能是 )(xf 的极值点，也可能不是 )(xf 的极值点。 定理 5.5.1（极值点判定定理） 设函数 )(xf 在 x 0 点的某 一领域 中 有定义，且 )(xf 在 x 0 点连续。 ⑴ 设存在 0>δ ，使得 )(xf 在 ),( 00 xx δ? 与 ),( 00 δ+xx 上可导， (i) 若在 ),( 00 xx δ? 上有 ′ ≥fx() 0，在 ),( 00 δ+xx 上有 ′ ≤fx() 0， 则 x 0 是 )(xf 的极大值点； (ii) 若在 ),( 00 xx δ? 上有 ′ ≤fx() 0，在 ),( 00 δ+xx 上有 ′ ≥fx() 0， 则 x 0 是 )(xf 的极小值点； (iii) 若 ′fx()在 ),( 00 xx δ? 与 ),( 00 δ+xx 上同号，则 x 0 不是 )(xf 的 极值点。 证 (1)的结论显然，我们只证(2)。 因为 0 ()0fx ′ = ，由 Taylor 公式 += )()( 0 xfxf f ′ ( 0 x ) !2 )( )( 0 0 xf xx ′′ +? +? 2 0 )( xx ))(( 2 0 xxo ? += )( 0 xf !2 )( 0 xf ′′ +? 2 0 )( xx ))(( 2 0 xxo ? 得到 0 2 0 () ( ) () fx fx xx ? = ? 2 0 2 0 0 )( ))(( )( !2 1 xx xxo xf ? ? + ′′ 。 因为当 0 xx → 时上式右侧第二项趋于 0，所以当 0)( 0 < ′′ xf 时，由极限的 性质可知在 0 x 点附近成立 0 )( )()( 2 0 0 < ? ? xx xfxf , 所以 )()( 0 xfxf < ， 从而 )(xf 在 0 x 取极大值。同样可讨论 0)( 0 > ′′ xf 的情况。 证毕 关于定理 5.5.1 中(2)(iii)，可分别考察函数 4 xy = , 4 xy ?= 和 3 xy = 。 0=x 是 4 xy = 的极小值点，是 4 xy ?= 的极大值点，而不是 3 xy = 的极值点。但它们都满足 0)0( =′y 和 0)0( =′′y 的条件。 例 5.5.1 求函数 3 22 )2()( xxxf ?= 的极值。 解 函数 )(xf 的定义域为 ),( +∞?∞ 。由 )1()2( 3 4 )( 3 1 - 2 xxxxf ??= ′ ， 可知 )(xf 的驻点为 1=x ，使得 )(xf ′ 不存在的点为 0=x 和 2=x 。由于 （1） 当 0<<∞? x 时， 0)( < ′ xf ； （2） 当 10 << x 时， 0)( >′ xf ； （3） 当 21 << x 时， 0)( <′ xf ； （4） 当 +∞<< x2 时， 0)( > ′ xf ， 由定理 5.5.1 中(1)的结论知 0)0( =f 是极小值， 1)1( =f 是极大值， 0)2( =f 是极小值。 关于定理 5.5.1 中(2)(iii)，可分别考察函数 4 xy = , 4 xy ?= 和 3 xy = 。 0=x 是 4 xy = 的极小值点，是 4 xy ?= 的极大值点，而不是 3 xy = 的极值点。但它们都满足 0)0( =′y 和 0)0( =′′y 的条件。 例5.5.2 求函数 1)1()( 32 +?= xxf 的极值。 解 函数 )(xf 的定义域为 ),( +∞?∞ 。计算得 22 )1(6)( ?= ′ xxxf ， )15)(1(6)( 22 ??= ′′ xxxf 。 显然 )(xf 的驻点为 0=x ， 1=x 和 1?=x 。由于 06)0( >=′′f ，所以由定理 5.5.1 中(2)的结论知 0)0( =f 是极小值。 由于 0)1( =± ′′ f ，不能用定理 5.5.1 中(2)的结论。 但由于 )(xf ′ 在 1=x 与 1?=x 的左、 右两侧保持同号， 由定理 5.5.1 中(1)的结论， 知 )1(f 和 )1(?f 都不是函数 )(xf 的极值。 最值问题 闭区间上的连续函数必定能取到最大值与最小值。 函数的最大值与最小值统称为函数的最值，使函数取到最大值 （或最小值）的点称为函数的最大值点（ 或最小值点），也称为函数 的最值点。 对于一个定义于闭区间 [ ]ba, 上的函数 fx()来说，区间的两个端点 a与 b有可能成为它的最值点。同时，若最值点属于开区间 ( )ba, 的话， 那它一定是函数的极值点。因此，只要找出所有 )(xf 的驻点与使 ′fx() 不存在的点，再加上区间的端点，从中找出使函数取最大值或最小值 的点就可以了。 例5.5.3 求函数 3 22 )2()( xxxf ?= 在区间 [ ]4,1? 上的最大值与最小 值。 解 由例 5.5.1， 已知函数 )(xf 在区间 []4,1? 上的极大值点为 1=x ， 极大值为 1)1( =f ，极小值点为 0=x 与 2=x ，两个极小值都为 0 。为了 求最大值与最小值，还须加上函数在区间端点的值 3 9)1( =?f 与 4)4( =f 。对这些值进行比较，就得到函数 )(xf 在区间 [ ]4,1? 上的最大 值点为 4=x ， 最大值为 4)4( =f ， 最小值点为 0=x 与 2=x ， 最小值为 0。 例 5.5.4 用铝合金制造容积固定的圆柱形罐头，罐身（侧面和 底部）用整块材料拉制而成，顶盖是另装上去的，设顶盖的厚度是罐 身厚度的三倍。问如何确定它的底面半径和高才能使得用料最省？ 解 设罐身的厚度为 δ，则顶盖的厚度是 3 δ。 记罐头的容积为 V ，底面半径为 r ，则高为 h V r = π 2 。于是，罐身的 用料为 () ,22)( 22 1 ? ? ? ? ? ? +=+= r V rrhrrU πδππδ 顶盖的用料为 Ur r 2 2 3() ,=δπ 因此问题化为求函数 ? ? ? ? ? ? +=+= r V rrUrUrU 24)()()( 2 21 πδ ， ),0( +∞∈r 的最小值。 对 U r()求导， ? ? ? ? ? ? ?= ′ 2 42)( r V rrU πδ ，因此 ′Ur()只有唯一的零点 r V 0 3 4 = π 。由于 024)( 3 > ? ? ? ? ? ? += ′′ r V rU πδ ， r ∈ +∞(, )0 ， 所以 r 0 是 U r()的最小值点。 这时，相应的高为 h V r r r r 0 0 2 0 3 0 20 4 4== = π π π 。 也就是说，当罐头的高为底面直径的 2 倍时用料最省。 用同样的方法可以推出，若圆柱形的有盖容器是用厚薄相同的材 料制成的，那么当它的底面直径和高相等的时候用料最省。许多圆柱 形的日常用品，如漱口杯、保暖桶等，都是采用这样的比例（或近似 这样的比例）设计的。 对 U r()求导， ? ? ? ? ? ? ?= ′ 2 42)( r V rrU πδ ，因此 ′Ur()只有唯一的零点 r V 0 3 4 = π 。由于 024)( 3 > ? ? ? ? ? ? += ′′ r V rU πδ ， r ∈ +∞(, )0 ， 所以 r 0 是 U r()的最小值点。 这时，相应的高为 h V r r r r 0 0 2 0 3 0 20 4 4== = π π π 。 也就是说，当罐头的高为底面直径的 2 倍时用料最省。 例 5.5.5 设一辆汽车在平原上的行驶速度为 v 1 ，在草原上的行驶 速度为 v 2 ， 现要求它以最短的时间从平原上的 A点到达草原上的 B点， 问应该怎么走？ 解 显然，在同一种地形上，汽车应沿直线行进，所以它从 A 到 B 的运动轨迹应是由两条直线段组成的折线。 设汽车的行驶路径如图 5.5.2 所示，那么它的整个行驶时间应为 Tx hx v hlx v () () = + + +? 1 22 1 2 22 2 。 由 22 22 22 11 )( )( xlhv xl xhv x xT ?+ ? ? + = ′ ， 可知 0)0( < ′ T ， 0)( > ′ lT 。 x A 平原 草原 θ 1 θ 2 h 1 h 2 B l 由于 0 ))(()( )( 2322 22 2 2 2322 11 2 1 > ?+ + + = ′′ xlhv h xhv h xT ， 可知存在唯一的 ),0( 0 lx ∈ ，使 得 0)( 0 = ′ xT 。因 此 x 0 是 Tx()的唯一的极小 值点，也就是它的最小值点。这时我们得到关系式 x vh x lx vh lx 0 11 2 0 2 0 22 2 0 2 + = ? +?() 。 由于光线在传播过程中所花的时间总是最短的， 即光线总是走 “捷 径”的，所以光线的传播问题在本质上与本题是相同的。我们可以将 本题中汽车的行驶换成光线的传播，将平原和草原换成光线传播过程 中的两种不同的介质，这样就得到了光学中著名的折射定律 sin sinθ θ 1 1 2 2 vv = 。 由于 0 ))(()( )( 2322 22 2 2 2322 11 2 1 > ?+ + + = ′′ xlhv h xhv h xT ， 可知存在唯一的 ),0( 0 lx ∈ ，使 得 0)( 0 = ′ xT 。因 此 x 0 是 Tx()的唯一的极小 值点，也就是它的最小值点。这时我们得到关系式 x vh x lx vh lx 0 11 2 0 2 0 22 2 0 2 + = ? +?() 。 例 5.5.6 对产品从生产到销售的过程进行经济核算时，至少要 涉及到三个方面的问题：成本、 收益和利润。 设产量为 Q ， 则总成本 C( )Q 一般可以表示成两部分的和 C( ) ( )QfvQQ= + ? 。 这里， f > 0称为固定成本（如厂房和设备的折旧、工作人员的工资、 财产保险费等），一般可以认为与产量的大小无关，而 vQ Q()? 称为可 变成本（如原材料、能源等）， vQ()是一个正值函数，表示在总共生 产 Q件产品的情况下，每生产一件的可变成本，最简单的情形是 vQ v()= =正常数。 C( )Q 的导数 ′C( )Q 称为边际成本 ， 其经济学意义是在总共生产 Q 件 产品的情况下，生产第 Q 件产品的成本。 总收益 E( ) ( )QpQQ= ? 是指把 Q 件产品销售出去后得到的收入，这 里 pQ()称为价格函数，表示在总共生产 Q件产品的情况下，每件产品 的销售价格。一般说来，生产量越大，每件产品的价格就越便宜，因 此 pQ()是 Q的单调减少函数。 E( )Q 的导数 ′E( )Q 相应地称为 边际收益 ，其经济学意义是在总共生 产销售了 Q件产品的情况下，销售出第 Q件产品所得到的收入。 总收益减去总成本便是总利润。将利润函数记为 P( )Q ，则 P( ) E( ) C( )QQQ= ? ， 当 E( )Q 和 C( )Q 二阶可导时，利用 Lagrange 中值定理的推论 2，就可以 得到经济学中的 “ 最大利润原理”： “ 当且仅当边际成本与边际收益相等，并且边际成本的变化率 大于边际收益的变化率时，可取得最大利润。” 这里的第一个条件即为 ′ = ′ ? ′ =P( ) E( ) C( )QQQ0， 而第二个条件可表示为 ′′ = ′′ ? ′′ <P( ) E( ) C( )QQQ0 ， 请读者自行思考它们的经济学意义。 比如， 某产品的价格 ),0,(,)( b a QbabQaQp <>?= ， 成本 C( )QfvQ= + ， 于是利润 ，fQvabQQQQ ??+?=?= )()C()E()P( 2 要使得整个生产经营不亏本，显然在定价时须保证 av? > 0 。 容易算出，当产量 Q av b 0 2 = ? 时有 ′ =P( )Q 0 0 和 ′′ <P( )Q 0 0，这时所获 取的利润为最大。 数学建模 例5.5.7 （Malthus 人口模型） 设 pt()是某地区的人口数量函数， 则在单位时间中的人口增长数，即人口增长速率应为人口数量函数的导 数 ′pt()。 显然，某一时刻的人口数量越多，在单位时间中的人口增长数也就 越多。 Malthus 假定这两者成比例关系，设比例系数为 λ，他在 1798 年 提出了人类历史上的第一个人口模型 ′ = = ? ? ? pt pt pt p () () () λ 00 ， 将“ ′ =pt pt() ()λ ”写成微分形式 dp p dt=λ ，得到 ln ptC= +λ ， 或 pC t = 1 e λ ， 其中 C C 1 = e 。令 tt= 0 并利用初始条件 pt p() 00 = ，可以定出 Cp t 10 0 = ? e λ ，最 终得到人口数量函数 pt p tt () e () = ? 0 0 λ 。 例 5.5.8 在供水、化工生产等过程中，都有一个对液体进行过滤， 除去渣滓的问题。现以过滤式净水器的使用为例，来建立相应的数学 模型。 要对液体进行过滤， 首先要设置一个由过滤物质组成的过滤层 （称 为滤芯）。在过滤的过程中，水中的杂质沉积在过滤层上，也成为过 滤层的一部分。假设杂质在水中的含量和进水的压力都是常数，那么 杂质沉积的厚度与累积的总滤出流量 Qt()成正比，同时，流速的减少 与杂质沉积的厚度也成正比。若设初始时刻的流速为 q 0 ，由导数的意 义即知 t 时刻的流速应当是 ′Qt()，从而流速的减少量为 qQt 0 ? ′()，由上 所述，它应与总滤出流量 Qt()成正比。这样，就得到了它的数学模型 为 ? ? ? = ?= ′ .0)0( ),()( 0 Q tQqtQ λ 作代换 Qt q Qt 10 () ()= ?λ ，便有 ? ? ? = ?= ′ .)0( ),()( 01 11 qQ tQtQ λ 采用例 5.5.7 类似的方法，可以求出 Qt q t 10 () e= ?λ ， 即得到累积的总滤出流量为 Qt q Q t q t () ( ()) ( e )=?=? ? 1 1 01 0 λ λ λ 。 因为 t Qt q →+∞ = lim () 0 λ 及 t Qt →+∞ ′ =lim () 0， 所以我们可以知道，在定压的过滤过程中，并不是想滤多少就可以不 受限制地滤多少，其流出的总量是有上限 q 0 λ 的。在流量接近这个上 限的时候，其流速将趋近于零，也就是说，此时杂质已沉积得过厚， 需要清洗或更换滤芯了。 函数作图 函数作图的过程一般可分为以下几个步骤： （1） 考察函数 fx()的定义域极其在定义域内的连续性,找出函数的不 连续点，并以这些点作为分点，将定义域分成若干个区间，使函 数在每个区间上连续。 （2）计算 )(xf ′ ，找出 fx()的驻点与导数不存在的点，从而求出 )(xf 的 极值点与极值，并以这些点为分点，对区间进行再划分，使函数 在每个区间上保持单调。 函数作图 函数作图的过程一般可分为以下几个步骤： （1） 考察函数 fx()的定义域极其在定义域内的连续性,找出函数的不 连续点，并以这些点作为分点，将定义域分成若干个区间，使函 数在每个区间上连续。 （3）计算 )(xf ′′ ，找出所有使 0)( =′′ xf 的点与使 )(xf ′′ 不存在的点，从而 求出 )(xf 的拐点，并以这些点为分点，继续对区间进行再划分， 使函数在每个区间上保持固定的凸性。 （2）计算 )(xf ′ ，找出 fx()的驻点与导数不存在的点，从而求出 )(xf 的 极值点与极值，并以这些点为分点，对区间进行再划分，使函数 在每个区间上保持单调。 函数作图 函数作图的过程一般可分为以下几个步骤： （1） 考察函数 fx()的定义域极其在定义域内的连续性,找出函数的不 连续点，并以这些点作为分点，将定义域分成若干个区间，使函 数在每个区间上连续。 （4）对上述（1），（2），（3）三个步骤所得到的结果列出表格， 在表格中标出函数在每个分点上的函数值 （如果有定义的话） ， 以及函数在每个区间上的单调性与凸性。 （5）求出曲线 )(xfy = 的渐近线，包括水平渐近线、垂直渐近线和斜 渐近线。 （4）对上述（1），（2），（3）三个步骤所得到的结果列出表格， 在表格中标出函数在每个分点上的函数值 （如果有定义的话） ， 以及函数在每个区间上的单调性与凸性。 通过上述步骤，就可作出函数 )(xfy = 的图象。 须注意的是， 在作图之前， 先应该考察函数的几何性质如奇偶性、 周期性等，如 fx()是奇函数或偶函数，那么只要画出一半图形，而另 一半可通过对称画出；对于周期函数，只要画出一个周期的图形就可 以了，而其余部分可通过周期延拓画出。 （4）对上述（1），（2），（3）三个步骤所得到的结果列出表格， 在表格中标出函数在每个分点上的函数值 （如果有定义的话） ， 以及函数在每个区间上的单调性与凸性。 （5）求出曲线 )(xfy = 的渐近线，包括水平渐近线、垂直渐近线和斜 渐近线。 例 5.5.9 作出函数 y x = ? 1 2 2 2 π e 的图象。 解 因为 fx x () e= ?1 2 2 2 π 是定义于整个实数域上的偶函数，我们只 要考察 x ≥ 0就可以了。 ′ =? ? fx x x () e 1 2 2 2 π ， ′′ =? ? fx x x () e ( ) 1 2 1 2 2 2 π 。 fx()的可能极值点为 ′fx()的零点 x = 0， 可能的拐点的横坐标为 ′′fx()的 零点 x =1。 经检验， ′fx()在 x = 0 的右侧和左侧的符号分别为负和正，所以 x = 0是 fx()的极大值点； ′′fx()在 x =1的右侧和左侧的符号分别为正和 负，所以 ))1(,1( f 是曲线 )(xfy = 的拐点。 上面的分析可以列表如下： x 0 (,)01 1 (, )1 +∞ ′fx() 0 - - - ′′fx() - - 0 + fx() 极大值 1 2π 拐点 ? ? ? ? ? ? ? ? e2 1 ,1 π 当 x →∞时， y x =→ ? 1 2 0 2 2 π e ，因此 y = 0即 x轴是 )(xfy = 的水平 渐近线，容易看出，曲线 )(xfy = 不再有其它的渐近线。 上面的分析可以列表如下： x 0 (,)01 1 (, )1 +∞ ′fx() 0 - - - ′′fx() - - 0 + fx() 极大值 1 2π 拐点 ? ? ? ? ? ? ? ? e2 1 ,1 π 根据这些信息，便可作出函数 )(xfy = 在右半平面的图象，然后 利用对称性，就可以作出函数的整个图象了（图 5.5.3）。 以后学习概率论时会知道， y x = ? 1 2 2 2 π e 是一个非常重要的函数。 例 5.5.10 作出函数 y x x = ? + () () 1 31 2 的图象。 解 由于函数 fx x x () () () = ? + 1 31 2 的定义域为 ),1()1,( +∞?∪??∞ ，可 知 函 数 的图象包含两条曲线，它们被直线 1?=x 左右分开。 ′fx()= ?+?? + = +? + ()()() () ()() () 22 1 1 31 31 31 2 22 xx x x xx x . ′fx()有零点 x =1和 x =?3。由 于 ′fx()在 x =?3的右侧和左侧的符号分别 为负和正，而在 x =1的右侧和左侧的符号分别为正和负，所以 x =?3是 fx()的极大值点， x =1是 fx()的极小值点。 ′′fx()= + 8 31 3 ()x ， 因为 ′′fx()在定义域中没有零点，所以曲线上没有拐点。 根据上述结果即可列出下面的表格： x (,)?∞ ?3 -3 (, )? ?31 -1 (,)?11 1 (, )1 +∞ ′fx() + 0 - 无定 义 - 0 + ′′fx() - - - 无定 义 + + + fx() 极大 值 ? 8 3 无定 义 极小 值 0 由例 5.4.14 ， y x x = ? + () () 1 31 2 的斜渐近线方程为 y x =? 3 1。 又因为 +∞= + ? +?→ )1(3 )1( lim 2 1 x x x ， ?∞= + ? ??→ )1(3 )1( lim 2 1 x x x ， 所以 x =?1是它的垂直渐近线，且 根据上面两个极限式，可以知道曲 线在 1?=x 的左右两侧以怎样的方 式趋近于渐近线的。 根据这些信息，就不难作出函 数 )(xfy = 的图形了(图 5.5.4)。 例5.5.11 作出函数 yxxx=??+ 323 1的图象。 解 函数 3 3 23 23 1)1(1)( +??=+??= xxxxxxf 的定义域为 ),( +∞?∞ 。 [ ] ， 3 2 3 3 1 3 2 3 3 2 3 2 3 3 3 3 2 )1(1 )( )1(1 )1()1(2 3 1 )1( )1( 1 1 2 3 1 1)1()( +?? + = +?? ?++ = ? ? ? ? ? ? ? ? + ? + ? + = ′ +??= ′ xx x xx xx x x x x xxxf ′fx()有零点 x =? 1 3 ，并且在 x = ±1处 )(xf ′ 不存在。经检测 )(xf ′ 在这些 点左右两侧的符号，即可知道 1?=x 不是函数的极值点， 3 1 ?=x 是函数 的极大值点， 1=x 是函数的极小值点。 ′ ? ? ? ? ? ? ? ? +?? + = ′′ 3 2 3 3 1 )1(1 )( )( xx x xf [] 2 3 2 3 3 3 3 2 3 2 3 2 3 )1(1 1 1 2 )1( )1( 9 1 3 )1(1 +?? ? ? ? ? ? ? ? ? + ? + ? + ? ? ? ? ? ? ? +?+?? = xx x x x x x xx 3 2 3 )1(1 1 2 1 1 9 1 3 1 +?? ? ? ? ? ? ? + + ? ? ? ? ? ? ? ? +? = xx xx x 3 5 3 4 )1()1(9 8 +??? ? = xx ， 即知 fx()的二阶导数没有零点，但在 x = ±1处 ′′fx()不存在。由于 )(xf ′′ 在 1?=x 的两侧符号相反，而在 1=x 的两侧符号相同，所以 1?=x 是曲 线的拐点，而 1=x 不是曲线的拐点。 根据上述结果即可列出下面的表格： (,)?∞ 1 -1 (, )??1 1 3 ? 1 3 (,)? 1 3 1 1 (, )1 ∞ ′fx() + 不存在 + 0 - 不存 在 + ′′fx() + 不存在 - - - 不存 在 - fx() 拐点 (-1,0) 极大 值 2 3 3 4 极小 值 0 由例 5.4.15， yxxx=??+ 32 3 1的渐近线方程为 yx=? 1 3 。 根据这些信息，就可作出函数 )(xfy = 的图形了(图 5.5.5)。