教案 用多项式逼近连续函数 教学内容 介绍前苏联数学家 Korovkin 关于用多项式逼近连续函数的定理（ Weierstrass 第 一逼近定理）的一种证明。 指导思想 用多项式逼近连续函数，是经典分析学中重要的结果，以往教材中介绍的证明都 比较艰深，学生难以理解。我们发现了前苏联数学家 Korovkin 的一种证明，思 想新颖，方法简单，且通过对多项式逼近连续函数的学习，可以使学生进一步理 解一致收敛的概念。 教学安排 先给出多项式一致逼近连续函数的定义： 定义 10.5.1 设函数f (x)在闭区间 [ a, b] 上有定义，如果存在多项式序列 ｛P n (x)｝在[ a, b] 上一致收敛于f (x)，则称f (x)在这闭区间上可以用多项式一致 逼近。 应用分析语言，“f (x)在 [ a, b] 上可以用多项式一致逼近”可等价表述为： 对任意给定的ε＞0，存在多项式P(x)，使得 ｜P (x) - f (x)｜＜ε 对一切x∈[ a, b] 成立。 这一定理的证法很多，我们则介绍前苏联数学家 Korovkin 在 1953 年给出的 证明。 定理 10.5.1( Weierstrass 第一逼近定理) 设f (x) 是闭区间 [ a, b] 上的连续 函数，则对任意给定的ε＞0，存在多项式P(x)，使 ｜P (x) - f (x)｜＜ε 对一切x∈[ a, b] 成立。 证 不失一般性，我们设 [ a, b] 为 [0, 1] 。 设 X 是 [0, 1] 上连续函数全体构成的集合， Y 是多项式全体构成的集合，现 定义映射 BB n : X → Y f (t) Ba B n (f , x) = ∑ = ? ? n k knkk n xx n k f 0 )1(C)( ， 这里B B n (f , x) 表示f ∈ X在映射B n B 作用下的像，它是以x 为变量的n次多项式，称 为Bernstein 多项式。 关于映射B B n ，直接从定义出发，可证明它具有下述基本性质与基本关系式： (1) BB n 是线性映射，即对于任意f , g ∈X 及α,β∈R ，成立 BB n (αf +βg , x) = αB n B (f , x) +βB B n (g, x)； (2) BB n 具有单调性，即对于任意f , g ∈X ，若f (t)≥g (t) （ t∈[ a, b]） 成立， 则 BB n (f , x) ≥ B n B (g, x) 对一切 x∈[ a, b]成立； (3) BB n (1, x) = = [x + (1- x)] = 1； ∑ = ? ? n k knkk n xx 0 )1(C n BB n (t, x) = ∑ = ? ? n k knkk n xx n k 0 )1(C = x ∑ = ??? ? ? n k knkk n xx 1 11 1 )1(C = x [x + (1- x)] n-1 = x； BB n (t , x) = 2 ∑ = ? ? n k knkk n xx n k 0 2 2 )1(C = ∑ = ?? ? ? n k knkk n xx n k 1 1 1 )1(C = ∑ = ?? ? ? ? n k knkk n xx n k 2 1 1 )1(C 1 + ∑ = ?? ? ? n k knkk n xx n 1 1 1 )1(C 1 = ∑ = ??? ? ? ? n k knkk n xxx n n 2 22 2 2 )1(C 1 + ∑ = ??? ? ? n k knkk n xx n x 1 11 1 )1(C = 2 1 x n n ? + n x = + 2 x n xx 2 ? 。 综合上述三式，考虑函数 ( t - s) 2 在 BB n 映射下的像，注意 s在这里被视为常 数，我们得到 BB n ((t - s) , x) = B n 2 B (t 2 , x) - 2sB n (t, x) + s 2 BB n (1, x) = x 2 + n xx 2 ? - 2 sx + s 2 = n xx 2 ? + (x - s) 2 。 现在我们来证明定理。 由于函数 f 在[0, 1] 连续， 所以必定有界，即存在 M＞0，对于一切 t ∈[0, 1] ， 成立 ｜f (t)｜≤ M； 而根据 Cantor 定理， f 在[0, 1] 一致连续，于是对任意给定的ε＞ 0，存在δ＞0， 对一切 t, s ∈[0, 1] ， 当｜t - s｜＜δ时，成立 ｜f (t) - f (s)｜＜ 2 ε ; 当｜t - s｜≥δ时，成立 ｜f (t) - f (s)｜≤2M ≤ 2 2 δ M (t - s) 2 。 也就是说，对一切 t, s ∈[0, 1], 成立 - 2 ε - 2 2 δ M (t - s) 2 ≤ f (t) - f (s) ≤ 2 ε + 2 2 δ M (t - s) 2 。 考虑上式的左端，中间，右端三式 (关于t 的连续函数 )在映射B B n 作用下的像 (关于x 的多项式) ，注意 f (s)在这里被视为常数，即B n B (f (s), x) = f (s)，并根据上面 性质(1) ，(2)与(3) ，得到对一切x , s ∈[0, 1] ，成立 - 2 ε - 2 2 δ M [ n xx 2 ? + (x - s) 2 ] ≤B B n (f , x) - f (s) ≤ 2 ε + 2 2 δ M [ n xx 2 ? + (x - s) ]， 2 令 s = x，且注意 x(1 - x)≤ 4 1 , 即得 ∑ = ? ?? ? ? ? ? ? ? n k knkk n xfxx n k f 0 )()1(C ≤ 2 ε + 2 2 δn M 。 取 N = [ εδ 2 M ]，当 n＞N 时, ∑ = ? ?? ? ? ? ? ? ? n k knkk n xfxx n k f 0 )()1(C ＜ε 对一切 x∈[0, 1] 成立。 证毕 定理 10.5.1 还可以表述为： 设f 在 [ a, b] 连续，则它的Bernstein多项式序 列｛B B n (f , x)｝在 [ a, b] 上一致收敛于f 。 注意点 （1）学生容易误认为：只要将 f (x)在 [ a, b] 上展开成幂级数 f (x) = , x∈[ a, b] ， ∑ ∞ = ? 0 0 )( n n n xxa 然后令其部分和函数（多项式） S n (x) = ， ∑ = ? n k k k xxa 0 0 )( 则 f (x)在 [ a, b] 上就可以由多项式序列｛ S n (x)｝一致逼近了。 事实上，对任意正整数n，n次多项式S n (x)只能是在n-1 次多项式S n -1 (x)的基 础上增加一项a n (x - x 0 ) n ，而不能更改S n -1 (x)的任何一项。但是这么做需要函数 具有很好的分析性质，因为一个函数能展开成幂级数的必要条件之一是它任意次 可导，而对仅要求“一个函数可以用多项式一致逼近”来说，这个条件实在是过 分强了。究其原因，幂级数的部分和函数序列只是多项式序列的一种特殊情况。 如果不是用幂级数，而是用一般的多项式序列来逼近，则对函数的要求就可以弱 得多。事实上， Weierstrass 首先证明了：闭区间 [ a, b]上任意连续函数 f (x)都可 以用多项式一致逼近。 （2）定理证明有许多方法，例如还有 Bernstein 给出的证明等。可以介绍同学自 己去阅读相关的资料，对多项式逼近连续函数的不同证明进行比较，扩大知识面， 提高学习能力。