Green 公式 设 L 为平面上的一条曲线， 它的方程是 jir )()()( tytxt += ， βα ≤≤ t 。 如果 )()( βα rr = ，而且当 ),(, 21 βα∈tt ， 21 tt ≠ 时总成立 )()( 21 tt rr ≠ ，则称 L 为 简单闭曲线 （或 Jordan 曲线 ） 。这就是说，简单闭曲线除两个端 点相重合外，曲线自身不相交。 设 D为平面上的一个区域。如果 D内的任意一条封闭曲线都可以 不经过 D外的点而连续地收缩成 D中一点，那么 D称为 单连通区域。 否则它称为 复连通区域。例如，圆盘 }1|),{( 22 <+ yxyx 是单连通区域， 而圆环 ? ? ? ? ? ? <+< 1 2 1 ),( 22 yxyx 是复连通区域。 § 3 Green公式、 Gauss公式和 Stokes公式 单连通区域 D也可以这样叙述： D内的任何一条封闭曲线所围的 点集仍属于 D。因此，通俗地说，单连通区域之中不含有“洞” ，而 复连通区域之中会有“洞” 。 对于平面区域 D， 给它的边界 D? 规定一个正向： 如果一个人沿 D? 的这个方向行走时， D总是在他左边。这个定向也称为 D的 诱导定向 ， 带有这样定向的 D? 称为 D的正向边界。例如，如图 14.3.1 所示的区域 D由 L 与 l所围成，那么在我们规定的正向下， L 为逆时针方向，而 l为 顺时针方向。 D L l 图14.3.1 定理 14.3.1 （Green 公式） 设 D为平面上由光滑或分段光滑的 简单闭曲线所围的单连通闭区域 。 如果函数 P xy Qxy(,), (,)在 D上具有 连续偏导数 ， 那么 ∫∫∫ ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? =+ ? DD dxdy y P x Q QdyPdx ， 其中 D? 取正向，即诱导定向 。 证 先假设 D可同时表示为以下两种形式 }),()(|),{( 21 bxaxyyxyyx ≤≤≤≤=D }),()(|),{( 21 dycyxxyxyx ≤≤≤≤= 的情形（这时平行于 x 轴或 y 轴的直线与区域 D的边界至多交两点） 。 这样的区域称为 标准区域 。 下面在这种假设下证明定理（参见图 14.3.2）。 () 2 x x y= )( 1 yxx = yy x= 2 () yy x= 1 () abO x y c d 图14.3.2 [] 2 1 () () 21 1 2 (, ()) (, ()) (, ()) (, ()) (, ) , byx ayx bba aab PP dxdy dx dy yy P xy x Pxy x dx Pxy x dx Pxy x dx Pxydx ? ?? = =?=? ? =? ∫∫ ∫ ∫ ∫ ∫ D D 式中最后一步是利用了曲线积分的计算公式。同理又有 [] 2 1 () () 21 2 1 ( ( ), ) ( ( ), ) ( ( ), ) ( ( ), ) (, ) dxy cxy ddc ccd QQ dxdy dy dx xx Qx y y Qx y y dy Qx y ydy Qx y ydy Qxydy ? ?? = =?= + = ∫∫ ∫ ∫ ∫ ∫ D D 。 两式合并就得到所需的结果。 再证区域 D可分成有限块标准区域的情形。我们只考虑如图 14.3.3 的区域，在这种区域上，平行于 y 轴的直线与 D的边界的交点 可能会多于两个。如图所示用光滑曲线 AB 将 D分割成两个标准区域 1 D 与 2 D （ 1 D 的边界为曲线 ABMA， 2 D 的边界为曲线 ANBA） 。因此可以 应用 Green 公式得到 ∫∫∫ ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? =+ ? 11 DD dxdy y P x Q QdyPdx , ∫∫∫ ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? =+ ? 22 DD dxdy y P x Q QdyPdx 。 2 D 1 D Ox N AB M y 图14.3.3 注意 1 D 与 2 D 的公共边界 AB ，其方向相对于 1 D? 而言是从 A到 B ， 相对于 2 D? 而言是从 B 到 A，两者方向正好相反，所以将上面的两式 相加便得 D QP Pdx Qdy dxdy xy ? ???? += ? ?? ?? ?? ∫∫∫ D 。 对于 Green 公式一般情形的证明比较复杂，这里从略。 Green 公式还可以推广到具有有限个“洞”的复连通区域上去。 以只有一个洞为例（见图 14.3.4） ，用光滑曲线连结其外边界 L 上一 点 M 与内边界 l上一点 N ，将 D割为单连通区域。由定理 14.3.1 得到 图 14.3.4 , MN NM QP dxdy Pdx Qdy xy Pdx Qdy Pdx Qdy ? ?? ???? ?=++++ ?? ?? ?? ?? ?? ?? =+ += + ?? ?? ∫∫ ∫ ∫ ∫ ∫ ∫∫ ∫ DLl Ll D 其中 L 为逆时针方向， l为顺时针方向，这与 D? 的诱导定向相同。 D L l M N Green 公式说明了有界闭区域上的二重积分与沿区域边界的第二 类曲线积分的关系。下面再作进一步讨论： 1. 记取诱导定向的 D? 上的单位切向量为 τ ，单位外法向量为 n （见图 14.3.5） ，那么显然有 cos(),cos( ?=yn τ ), x ， ),cos( xn =sin( τ ), x 。 因此得到 Green 公式的另一种常用表示形式 ∫∫∫∫ ?? =?= ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? + ? ? DDD GdxFdydxdy y G x F dsxGxF )],cos(),sin([ ττ ? ∫ ? = D dsyGxF )],cos(),cos([ nn + ， 这个形式便于记忆和推广。 ?D τ n D 图14.3.5 2. Green 公式是 Newton-Leibniz 公式的推广。设 )(xf 在 ],[ ba 上具 有连续导数， 取 ]1,0[],[ ×= baD （见图 14.3.6）。在 Green 公式中取 0=P ， )(xfQ = ，就得到 ∫∫∫ ? = ′ DD dyxfdxdyxf )()( 。 利用化累次积分的方法，等式左边就是 ∫∫∫ ′ = ′ b a b a dxxfdxxfdy )()( 1 0 。而等 式右边等于 )()()()()()( 0 1 1 0 afbfdyafdybfdyxfdyxf DABCDACDBCAB ?=+=+=+++ ∫∫∫∫∫∫∫∫ 。 这就得到 Newton-Leibniz 公式 ∫ ′ b a dxxf )( = )()( afbf ? 。 a bx 1 D y O 图14.3.6 3. 从 Green 公式还可以得到一个求区域面积的方法： 设 D为平面上的有界闭区域 ， 其边界为分段光滑的简单闭曲线 。 则它的面积为 ∫∫∫ ??? ?=?== DDD ydxxdyydxxdyS 2 1 ， 其中 D? 取正向 。 例 14.3.1 计算椭圆 x a y b ab 2 2 2 2 10+= >(, )所围图形的面积。 解 椭圆的参数方程为 xa yb= = ≤ ≤cos , sin ,θ θ θ π02。 设椭圆的正向边界为 L ，那么所求面积为 ( ) abd ab dababydxxdyS πθθθθ ππ ∫∫∫ ==+=?= 2 0 2 0 22 2 sincos 2 1 2 1 L 。 图 14.3.7 x a y b 2 2 2 2 1+= O x y 例14.3.2 计算 [ ] ∫ +++++= L dyyxxxyydxyxI )ln( 2222 ， 其中 L 为 曲线 yxx= ≤ ≤sin , 0 π 与直线段 y x= ≤ ≤00, π 所围区域 D的正向边界。 解 令 [ ])ln(, 2222 yxxxyyQyxP +++=+= ，则 22 2 22 , yx y y x Q yx y y P + += ? ? + = ? ? 。 由 Green 公式得到 9 4 sin 3 1 0 3 sin 0 2 0 2 ==== ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? = ∫∫∫∫∫∫∫ ππ xdxdyydxdxdyydxdy y P x Q I x DD 。 xy sin= O x y π 图 14.3.8 例 14.3.3 计算 ( )( ) ∫ ?+?= L dymydxmyyI xx cosesine ，其中 L 为圆 )0()( 222 >=+? aayax 的上半圆周，方向为从点 )0,2( aA 到原点 O(,)00 。 解 现在积分曲线不是闭的， 不能 直接用 Green 公式，但添加一条直线 段 OA（方向从 O到 A）后， L 与 OA合 起来就是闭曲线。设这样得到的闭曲 线所围的区域为 D。这时 。y x Q my y P myQmyyP xx xx cose,cose ,cose,sine = ? ? ?= ? ? ?=?= 利用 Green 公式，得到 ( ) ( ) ( ) ( ) 2 esin ecos esin ecos 2 xx xx OA y my dx y m dy y my dx y m dy ma mdxdy π ?+ ?+ ?+ ? == ∫∫ ∫∫ L D 。 (2 , 0)Aa 22 2 ()xa y a?+= O x y 图 14.3.9 再计算沿 OA的曲线积分。因为 OA的方程为 axy 20:,0 →= ，那么 ()( ) 000cosesine 2 0 =+=?+? ∫∫ a OA xx dxdymydxmyy 。 代入前面的式子，就得到 ()()。 2 cosesine 2 am dymydxmyy xx π =?+? ∫ L 曲线积分与路径无关的条件 容易想象，若一个函数沿着连接 A， B 两个端点的一条路径 L积 分，一般说来，积分值不仅会随端点变化而变化，还会随路径的不同 而不同。 但上一节中曾指出，也有一些曲线积分的值，如重力所做的功， 可以仅与路径的端点有关而与路径无关。 下面就来探讨曲线积分与路 径无关的条件。先给出积分与路径无关的定义： 定义 14.3.1 设 D为平面区域 ， P x y Qxy(,), (,)为 D上的连续函数 。 如果对于 D内任意两点 A， B ，积分值 ∫ + L QdyPdx 只与 A， B 两点有关，而与从 A到 B 的路径 L （这里只考虑光滑或分 段光滑曲线）无关，就称曲线积分 ∫ + L QdyPdx 与路径无关 。否则称为 与路径有关 。 曲线积分与路径无关的条件 容易想象，若一个函数沿着连接 A， B 两个端点的一条路径 L积 分，一般说来，积分值不仅会随端点变化而变化，还会随路径的不同 而不同。 但上一节中曾指出，也有一些曲线积分的值，如重力所做的功， 可以仅与路径的端点有关而与路径无关。 下面就来探讨曲线积分与路 径无关的条件。先给出积分与路径无关的定义： 定理 14.3.2 （ Green 定理） 设 D为平面上的单连通区域 ， P xy Qxy(,), (,)在 D上具有连续偏导数。 则下面的四个命题等价 ： (1) 对于 D内的任意一条光滑 （ 或分段光滑 ） 闭曲线 L ， 0=+ ∫ L QdyPdx ； (2) 曲线积分 ∫ + L QdyPdx 与路径无关 ； (3) 存在 D上的可微函数 Uxy(,)， 使得 dU Pdx Qdy= + ， 即 Pdx Qdy+ 为 Uxy(,)的全微分， 这时称 Uxy(,)为 1-形式 Pdx Qdy+ 的 原 函数； (4) 在 D内成立等式 ? ? ? ? P y Q x = 。 证 （ 1） ?（ 2） ：设 A， B 为 D内任意两点， 1 L 和 2 L 是 D中从 A到 B 的任意两条路径，则 )( 21 LLC ?+= 就是 D中的一条闭曲线。因此 0 = ∫∫∫∫∫ +?+=+ ? ? ? ? ? ? ? ? +=+ ? 2121 LLLLC QdyPdxQdyPdxQdyPdxQdyPdx ， 于是 ∫∫ +=+ 21 LL QdyPdxQdyPdx ， 因此曲线积分与路径无关。 （ 2） ?（ 3） ：取一定点 ∈),( 00 yx D，作 函数 Uxy Pdx Qdy xy xy (,) (,) (,) =+ ∫ 00 ， 这里积分沿从 ),( 00 yx 到 ),( yx 的任意路径。 由 于曲线积分与路径无关，因此 Uxy(,)是有确 定意义的。取如图 14.3.10 所示的积分路径 时，就成立 Δ Δ Δ ΔΔ Δ U x Ux xy Uxy xx Pdx Qdy Pdx Qdy xy xxy xy xy = + ? =+?+ ? ? ? ? ? ? + ∫∫ (,)(,) (,) (,) (,) (,) 1 00 00 ),(),( 11 ),( ),( yPdtytP x QdyPdx x xx x yxx yx ξ= Δ =+ Δ = ∫∫ Δ+Δ+ ， 其中 ξ在 x 与 x x+Δ 之间，这是利用了积分中值定理。因此 ),(),(limlim 00 yxPyP x U x U xx == Δ Δ = ? ? →Δ→Δ ξ 。 同理可证 ),( yxQ y U = ? ? 。所以在 D内成立 dU Pdx Qdy= + 。 (,)x x y+Δ (, )xy 00 (),x y x y O 图 14.3.10 （ 3） ?（ 4） ：由于存在 D上的可微函数 U ，使得 dU Pdx Qdy= + ， 因此 ),(),,( yxQ y U yxP x U = ? ? = ? ? 。 又由于函数 P x y(,)和 Q x y(,)在 D内具有连续偏导数，于是 x Q yx U xy U y P ? ? = ?? ? = ?? ? = ? ? 22 。 （ 4） ?（ 1）： 对于包含在 D内的光滑（或分段光滑）闭曲线 L ， 设它包围的图形是 D ~ ，那么由 Green 公式就得到 0 ~ = ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? =+ ∫∫∫ dxdy y P x Q QdyPdx DL 。 （ 3） ?（ 4） ：由于存在 D上的可微函数 U ，使得 dU Pdx Qdy= + ， 因此 ),(),,( yxQ y U yxP x U = ? ? = ? ? 。 又由于函数 P x y(,)和 Q x y(,)在 D内具有连续偏导数，于是 x Q yx U xy U y P ? ? = ?? ? = ?? ? = ? ? 22 。 上面的证明还给出了当曲线积分与路径无关时， Pdx Qdy+ 在 D上 的原函数的构造方法，即 Uxy Pdx Qdy xy xy (,) (,) (,) =+ ∫ 00 。 设 ∈),(),,( BBAA yxByxA D， 对于从 A到 B 的任意路径 L ， 任取一条 D 内从 (,)xy 00 到 A的路径 l，则 ∫∫ + +=+= Lll QdyPdxyxUQdyPdxyxU BBAA ),(,),( 。 因此 ),(),( AABB yxUyxUQdyPdxQdyPdxQdyPdx ?=+?+=+ ∫∫∫ + lLlL 。 于是得到： 定理 14.3.3 设 D为平面单连通区域， P x y(,)和 Qxy(,)为 D上的 连续函数。那么曲线积分 ∫ + L QdyPdx 与路径无关的充分必要条件是在 D上存在 Pdx Qdy+ 的一个原函数 U x y(,)。这时，对于 D内任意两点 Ax y Bx y AA BB (,),(,)，计算公式 Pdx Qdy U x y U x y AB BB AA += ? ∩ ∫ (,) (,)。 成立，其中 AB ∩ 为任意从 A到 B 的路径。 求 Pdx Qdy+ 的原函数常用的是如 图 14.3.11 所示的两个常规积分路径。 由于 Uxy Ux y Pdx Qdy xy xy (,) ( , ) (,) (,) ?=+ ∫00 00 ， 如果积分路径取 ANB，则 .),(),( ),( ),(),( 00 00 0 00 00 ),( ),( cdyyxQdxyxP yxUQdyPdxQdyPdx yxUQdyPdxyxU y y x x NBAN yx yx ++= ++++= ++= ∫∫ ∫∫ ∫ 其中 cUxy= (,) 00 为任意常数。如果积分路径取 AMB，同样可以得到 cdyyxPdyyxQyxU x x y y ++= ∫∫ 00 ),(),(),( 0 。 (, )B xy 0 (, )Nxy 00 (, )A x y 0 (,)M xy 图 14.3.11 例 14.3.4 证明在整个 xy平面上， ( ) ( )dymxydxmyy xx ?+? cosesine 是某个函数的全微分，求这样一个函数，并计算 ( ) ( ) ∫ ?+?= L dymxydxmyyI xx cosesine , 其中 L 为从 (,)00 到 (,)11 的任意一条道路。 解 令 mxyyxQmyyyxP xx ?=?= cose),(,sine),( ，于是恒成立 x Q my y P x ? ? =?= ? ? cose 。 由定理 14.3.2 知 ( ) ( )dymxydxmyy xx ?+? cosesine 是某个函数的全微分。 取路径如图 14.3.12，那么它的一个原函数为 ( ) ( ) ()() () (,) (0,0) 00 (, ) sin cos sin cos 0cos sin. xy xx xx OA AB xy xx Uxy e ymydx e ymxdy e y my dx e y mx dy dx e y mx dy e y mxy =?+? ?? =+ ? + ? ?? ?? =+ ?= ? ∫ ∫∫ ∫∫ 于是由定理 14.3.3 得到 ()( ) 。mUU dymxyedxmyyeI xx ?=?= ?+?= ∫ 1sine)0,0()1,1( cossin L B x y(,) A x(,)0 Ox y 图 14.3.12 例 14.3.5 计算 ∫ + ? L 22 yx ydxxdy ，其中 L 为一条不经过原点的简单闭 曲线，方向为逆时针方向。 解 设 L 所围的区域为 D。 这时 Pxy y xy Qxy x xy (,) , (,)= ? + = + 22 22 ， 0 )( 22 222 22 ≠+= + ? = yx x Q yx xy y P ， ? ? ? ? 。 于是当 D不包含原点时，由 Green 公式即得 0 22 = + ? ∫ L yx ydxxdy 。 当 D包含原点时， 函数 QP, 在原点不满足 Green 公式的条件，因此不能直接使用。但在 D中挖去一个以原点为心，半径为 r 的小圆盘 后，对于余下的部分 Green 公式的条件就满 足了。记 D中挖去小圆盘后的区域为 1 D ，小 圆盘的边界为 l（见图 14.3.13） ，在区域 1 D 上 应用 Green 公式得 0 2222 = + ? ? + ? ∫∫ lL yx ydxxdy yx ydxxdy 。 注意上式对 l取的方向是逆时针方向，这时 l的参数方程为 xr yr= = ≤ ≤cos , sin ( )θ θ θ π02， 因此 πθ θθ π 2 sincos 2 0 2 2222 2222 = + = + ? = + ? ∫∫∫ d r rr yx ydxxdy yx ydxxdy lL 。 这个例子说明，定理 14.3.2 中对于区域是单连通和函数 QP, 具 有连续偏导数的要求是必要的。 L l D 1 x y 图 14.3.13 Gauss 公式 设 Ω为空间上的一个区域。如果 Ω内的任何一张封闭曲面所围的 立体仍属于 Ω，那么称 Ω为 二维单连通区域 ，否则称 Ω为 二维复连通 区域 。通俗地说，二维单连通区域之中不含有“洞” ，而二维复连通 区域之中含有“洞” 。例如，单位球 {( , , )| }xyz x y z 222 1++<是二维单连 通区域，而空心球 222 2 1 |),,{( zyxzyx ++< }1< 是二维复连通区域。 定理 14.3.4 （ Gauss 公式 ） 设 Ω是 3 R 上由光滑 （ 或分片光滑 ） 的封闭曲面所围成的二维单连通闭区域 ， 函数 ),,(),,,( zyxQzyxP 和 Rxyz(,,)在 Ω上具有连续偏导数 。 则成立 ∫∫∫∫∫ Ω?Ω ++= ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? + ? ? + ? ? RdxdyQdzdxPdydzdxdydz z R y Q x P ， 这里 ?Ω的定向为外侧，它称为 Ω的 诱导定向 。 Gauss 公式 设 Ω为空间上的一个区域。如果 Ω内的任何一张封闭曲面所围的 立体仍属于 Ω，那么称 Ω为 二维单连通区域 ，否则称 Ω为 二维复连通 区域 。通俗地说，二维单连通区域之中不含有“洞” ，而二维复连通 区域之中含有“洞” 。例如，单位球 {( , , )| }xyz x y z 222 1++<是二维单连 通区域，而空心球 222 2 1 |),,{( zyxzyx ++< }1< 是二维复连通区域。 证 考虑 Ω可同时表为以下三种形式 }),(),,(),(|),,{( }),(),,(),(|),,{( }),(),,(),(|),,{( 21 21 21 yz zx xy zyzyxxzyxzyx xzxzyyxzyzyx yxyxzzyxzzyx ? ? ?? ≤≤≤= ≤≤≤= ≤≤≤= 的情形，其中 yzzxxy ΩΩΩ ,, 分别为 Ω在 yzzxxy ,, 平面的投影（见图 14.3.14） ，这样的区域称为标准区域。 图 14.3.14 x 1 (, )zzxy= zz xy= 2 (,) xy ? ? y z O 设 Σ 1 为曲面 xy yxyxzz ?∈= ),(),,( 1 ， Σ 2 为曲面 xy yxyxzz ?∈= ),(),,( 2 ， 按照所规定的定向， Σ 1 的定向为下侧； Σ 2 的定向为上侧。那么利用 Ω 的第一种表示就有 [] 。 ∫∫∫∫∫∫ ∫∫ ∫∫∫∫∫∫ Ω?ΣΣ Ω ΩΩ =+= ?= ? ? = ? ? dxdyzyxRdxdyzyxRdxdyzyxR dxdyyxzyxRyxzyxR dz z R dxdydxdydz z R xy yxz yxz xy ),,(),,(),,( )),(,,()),(,,( 12 12 ),( ),( 2 1 同理利用 Ω的第二种表示和第三种表示可证 ∫∫∫∫∫ Ω?Ω = ? ? dzdxzyxQdxdydz y Q ),,( ， ∫∫∫∫∫ Ω?Ω = ? ? dydzzyxPdxdydz x P ),,( 。 三式相加就是 Gauss 公式。 设 Σ 1 为曲面 xy yxyxzz ?∈= ),(),,( 1 ， Σ 2 为曲面 xy yxyxzz ?∈= ),(),,( 2 ， 按照所规定的定向， Σ 1 的定向为下侧； Σ 2 的定向为上侧。那么利用 Ω 的第一种表示就有 [] 。 ∫∫∫∫∫∫ ∫∫ ∫∫∫∫∫∫ Ω?ΣΣ Ω ΩΩ =+= ?= ? ? = ? ? dxdyzyxRdxdyzyxRdxdyzyxR dxdyyxzyxRyxzyxR dz z R dxdydxdydz z R xy yxz yxz xy ),,(),,(),,( )),(,,()),(,,( 12 12 ),( ),( 2 1 当 Ω可分成有限块标准区域时，可添加辅助曲面 （见图 14.3.15） ， 将其分成一块块标准区域。如同讨论 Green 公式的情形一样，对每块 标准区域应用 Gauss 公式，再把它们加起来。注意到如果一片曲面为 两块不同标准区域的共同边界时， 会出现沿它不同侧面的两个曲面积 分， 在相加时它们就会互相抵消， 最后只留下的是沿 ?Ω的曲面积分。 图 14.1.15 Gauss 公式也可以推广到具有有限个“洞”的二维复连通区域上 去。如对图 14.3.16 所示的有一个“洞”的区域，用适当的曲面将它 分割成两个二维单连通区域后分别应用 Gauss 公式，再相加，即可推 出 Gauss 公式依然成立。注意，这时区域外面的边界还是取外侧，但 内部的边界却取内侧。但相对于区域，它们事实上都是外侧。 图14.3.16 Gauss 公式说明了在空间中一个区域 Ω上的三重积分与沿其边界 ?Ω的曲面积分间的内在关系，可视为 Green 公式的一个推广。与 Green 公式一样，Gauss 公式的一个直接应用就是可用沿区域 Ω的边 界的曲面积分来计算 Ω的体积，具体的说就是 , 3 1 ∫∫ ∫∫∫∫∫∫∫∫∫ Ω? Ω?Ω?Ω?Ω ++= ==== zdxdyydzdxxdydz zdxdyydzdxxdydzdxdydzV 其中 ?Ω的定向为外侧。 例 14.3.6 用上述公式计算椭球面 x a y b z c 2 2 2 2 2 2 1++=所围椭球的 体积。 解 椭球面的参数方程为 ?θ?θ? cos,sinsin,cossin czbyax === ， π?πθ ≤≤≤≤ 0,20 ， 于是 ?? θ?? ? cossin ),( ),( ab yx = 。 由以上公式得到椭球的体积为 。abcddddabc dd yx czdxdyV π???θθ??? θ? θ?? ? ? ππ π? πθ π? πθ 3 4 cossincossin ),( ),( cos 0 2 2 0 0 20 2 0 20 === == ∫∫∫∫ ∫∫∫∫ ≤≤ ≤≤ ≤≤ ≤≤Ω? 例 14.3.7 求 ∫∫ Σ ++ dxdyzdzdxydydzx 333 ， Σ为球面 xyza 222 2 ++=， 方向取外侧。 解 由 Gauss 公式并应用球面坐标变换得 2222 333 222 2 45 000 3( ) 12 3sin 5 xyza a x dydz y dzdx z dxdy x y z dxdydz ddr dr a ππ θ? ? π Σ ++≤ ++= ++ == ∫∫ ∫∫∫ ∫∫∫ 。 例 14.3.8 设某种流体的速度为 kjiv zyx ++= ，求单位时间内流 体流过曲面 Σ： )0( 22 hyzxy ≤≤+= 的流量，其中 Σ的方向取左侧。 解 流量的计算公式为 ∫∫∫∫ ΣΣ ++=?=Φ zdxdyydzdxxdydzdSnv 。 由于 Σ不是封闭曲面，但添加一片 曲面 hzxhy ≤+= 22 ,:σ 后， Σ+σ 就是封闭曲面，这里 σ 的方向 取右侧。 22 y xz=+ yh= x y z O hy = 图14.3.17 记 Σ+σ 所围的区域为 Ω，则由 Gauss 公式，得到 , 2 3 33 2 0 2 0 2 hdyrdrddxdydz zdxdyydzdxxdydzzdxdyydzdxxdydz h r h π θ π σ === +++++ ∫∫∫∫∫∫ ∫∫∫∫ Ω Σ 其中计算三重积分时利用了柱面坐标变换 yyrxrz === ,sin,cos θθ 。由 于 2 22 hhdzdxydzdxzdxdyydzdxxdydz hzx π σσ ===++ ∫∫∫∫∫∫ ≤+ ， 所以 222 22 3 hhhzdxdyydzdxxdydz π π π =?=++=Φ ∫∫ Σ 。 hy = Stokes 公式 设Σ 为具有分段光滑边界的非封闭光滑双侧曲面。选定曲面的一 侧，并如下规定 Σ的边界 ?Σ的一个正向：如果一个人保持与曲面选定 一侧的法向量同向站立，当他沿 ?Σ的这个方向行走时，曲面 Σ总是在 他左边。 ?Σ的这个定向也称为 Σ的诱导定向，这种定向方法称为 右手 定则。 定理 14.3.5（ Stokes 公式） 设 Σ为光滑曲面， 其边界 ?Σ为分段 光滑闭曲线。 若函数 P x y zQxy zRxy z(,,), (,,), (,,)在 Σ及其边界 ?Σ上具有 连续偏导数， 则成立 Pdx Qdy Rdz ?Σ ++ ∫ ∫∫ ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? + ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? + ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? = Σ dxdy y P x Q dzdx x R z P dydz z Q y R ∫∫ ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? + ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? + ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? = Σ dS y P x Q x R z P z Q y R γβα coscoscos ， 其中 ?Σ取诱导定向 。 证 只证明 Σ可同时表为以下三种形式 }),(),,(|),,{( xy yxyxzzzyx Σ∈==Σ }),(),,(|),,{( }),(),,(|),,{( yz zx zyzyxxzyx xzxzyyzyx Σ∈== Σ∈== 的情形，其中 yzzxxy ΣΣΣ ,, 分别为 Σ在 yzzxxy ,, 平面的投影 （见图 14.3.18）， 这样的曲面称为标准曲面。 xy Σ ?Σ Σ O x y z 图14.3.18 不妨设 Σ的定向为上侧。利用曲线积分的计算公式，由 Σ的第一 种表示易得 ∫∫ ?? = xy dxyxzyxPdxzyxP ΣΣ )),(,,(),,( ， 其中 xy Σ? 为 xy Σ 的正向边界。再对后积分应用 Green 公式， (, ,(, )) (, ,(, )) (, ,(, )) (, ,(, )) xy xy xy Pxyzxy dx Pxyzxy dxdy y PPz xyzxy xyzxy dxdy yzy ?Σ Σ Σ ? =? ? ????? =? + ? ?? ?? ∫∫∫ ∫∫ 。 注意到曲面取上侧，则 Σ的法向量的方向余弦为 ? ? ? ? ? ? ? ? ?? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? + ? ? ? ? ? ? ? ? + = 1,, 1 1 )cos,cos,(cos 2 2 y z x z y z x z ? ? ? ? γβα ， 因此 γ β ? ? cos cos ?= y z 。所以 (, ,(, )) (, ,(, )) cos xy PPz xyzxy xyzxy dxdy yzy PPz P Pz dxdy dS yzy yzy γ Σ ΣΣ ????? +? ?? ?? ??????? ??? =+? =+? ???? ??? ??? ???? ∫∫ ∫∫ ∫∫ cos cos cos cos cos cos PP dS dS yz PP PP dS dS dxdy dzdx yz yz β γγ γ γβ ΣΣ ΣΣ ΣΣ =? ?? ?? =?=? ?? ∫∫ ∫∫ ∫∫ ∫∫ ∫∫ ∫∫ 。 结合这几式就得 ∫∫∫ ? ? ? ? ? = ? ΣΣ dxdy y P dzdx z P dxzyxP ),,( 。 同理可得 ∫∫∫ ? ? ? ? ? = ? ΣΣ dydz z Q dxdy x Q dyzyxQ ),,( ， ∫∫∫ ? ? ? ? ? = ? ΣΣ dzdx x R dydz y R dzzyxR ),,( 。 三式相加即得到 Stokes 公式。 利用行列式记号，可以将 Stokes 公式写成 dS RQP zyx RQP zyx dxdydzdxdydz RdzQdyPdx ∫∫∫∫∫ ΣΣΣ ? ? ? ? ? ? = ? ? ? ? ? ? =++ γβα coscoscos 。 Stokes 定理说明了沿曲面 Σ的曲面积分与沿其边界 ? Σ的曲线积 分间的内在关系。它也是 Green 公式的一个自然推广。 同理可得 ∫∫∫ ? ? ? ? ? = ? ΣΣ dydz z Q dxdy x Q dyzyxQ ),,( ， ∫∫∫ ? ? ? ? ? = ? ΣΣ dzdx x R dydz y R dzzyxR ),,( 。 三式相加即得到 Stokes 公式。 例14.3.9 计算 ∫ ?+?+?= L dzyxdyxzdxzyI )()()( 222222 ，其中 L 为 平面 x y z+ +=1被三个坐标平面所截三角形 Σ的边界，若从 x 轴的正向 看去，定向为逆时针方向。 xyz+ + =1 y x z 1 1 1 O 图14.3.19 解 由 Stokes 公式得到 ∫ ?+?+?= L dzyxdyxzdxzyI )()()( 222222 []。 ∫∫ ∫∫ Σ Σ +++++?= ??? ? ? ? ? ? ? = dSyxzxzy dS yxxzzy zyx γβα γβα cos)(cos)(cos)(2 coscoscos 222222 由于 Σ的方程为 xyz+ + = 1，定向为上侧，则易计算 3 1 coscoscos === γβα 。 注意到在三角形 Σ上成立 x y z+ + = 1，且 Σ的面积为 3 2 ，就得到 2 3 4 )( 3 4 ?=?=++?= ∫∫∫∫ ΣΣ dSdSzyxI 。 例 14.3.10 计算 ∫ +++++= L dzyxdyxzdxzyI )()()( 222222 ，其中 L 是 上半球面 xyz Rxz 222 20++= ≥()与圆柱面 xy rxRr 22 20+= >>()的交线， 从 z 轴的正向看去，是逆时针方向。 xyz Rx 222 2++= xy rx 22 2+= x y z O 图14.3.20 解 记在球面 xyz Rx 222 2++= 上由 L 所围的曲面为 Σ。由于 L 的定 向，为应用 Stokes 定理取 Σ的定向为上侧，所以其法向量的方向余弦 为 R z R y R Rx == ? = γβα cos,cos,cos 。 由 Stokes 定理得到 () 。 ? ? ? ? ? ? ? ? ?= ? ? ? ? ? ? ?+?+ ? ?= ?+?+?= +++ ? ? ? ? ? ? = +++++= ∫∫∫∫∫∫ ∫∫ ∫∫ ∫ ΣΣΣ Σ Σ ydSzdSdS R z yx R y xz R Rx zy dSyxxzzy dS yxxzzy zyx dzyxdyxzdxzyI 2)()()(2 cos)(cos)(cos)(2 coscoscos )()()( 222222 222222 γβα γβα L 由于曲面 Σ关于 xz 平面对称，因此 0= ∫∫ Σ ydS 。 而在上半球面 xyz Rxz 222 20++= ≥()上， zRxxy=??2 22 ，所以在 Σ上 有 z R z y z Rx y z x z =+ ? += ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? + ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? + 2 2 2 2 22 )( 11 。 利用曲面积分的计算公式就得到 =I 2 RrdxdyRdxdy z R zzdS ryrxryrx 2 )()( 222 222222 π=== ∫∫∫∫∫∫ ≤+?≤+?Σ 。