复旦大学2005～2006学年第一学期期末考试试卷 课程名称： 数学分析III 课程代码： 318.157.3.01 开课院系： 数学科学学院 学生姓名： 学号： 专业： 题 目 1 2 3 4 5 6 7 8 总 分 得 分 填充题 1．（每空格6分，共30分） （1） 333 3x yz xyz++= ，则 dz = 。 （2）曲线 222 0 6 xyz 2 x yz a ++= ? ? ++= ? 在 (,, 2)aa a? 处的切线方程为 。 （3） 22 rxyz=++ 2 ，则divgrad r = 。 （4） 2 sin () x x xt Ix dt t = ∫ ，则 dI dx = 。 （5） 4 42 00 xx 4 x edx xedx +∞ +∞ ?? ? ∫∫ = 。 解答题（每题10分，共70分） 2．通过变量代换 yxzwxv y x u ?=== ,,，变换方程 xy z y z y 2 2 2 2 = ? ? + ? ? 。 1 3．设四边形的边长分别为，利用Lagrange乘数法求出当四边 形面积最大时四边形的顶角所满足的条件（不必求出最大面积）。 a,b,c,d 4．计算闭曲面 5 222 22 2 () 2 x yz zxy++ =??所围体积。 2 5．在平面上单位质点受力P F作用，力F的方向与OP uuur 垂直（逆时 针转90度为 OP uuur F的方向），大小与OP uuur 成反比，比例系数为，求质点 从点沿位于第一象限的曲线移动到点，力 k P (0,1)A (1, 0)B F所作的功。 6．计算积分 ，其中是曲面 介于 的部分，积分沿曲面下侧。 dxdyzdzdxydydzx S 333 ++ ∫∫ S 22 yxz += 10 ≤≤ z 3 7．积分 ∫ ∞+ + 0 22 α α x dx 关于α在下述范围是否一致收敛? 证明你的断言。 （1）+∞<≤≤< Aαα 0 0 ;（2）+∞<<α0。 8．将周期为π2的函数， 2 )( xxf = [ ]ππ,?∈x展开成 Fourier 级数，并 计算 ∑ ∞ = + ? 1 2 1 )1( n n n 的值。 4