《数学分析（III）》试题答案 2005.1 一．（本题满分10分） 3 3 000 === zyx。 二．（本题满分10分） 2 2 a π 。 三．（本题满分10分） 2 15 。 四．（本题满分10分） 作球面坐标变换?θ?θ? cos,sinsin,cossin rzryrx ===得 ∫∫∫∫∫∫ = Ω π ? π ??θ 0 |cos| 2 0 1 0 2|| sin deddrrdxdydze rz 。 由于)1(2sinsinsin 2 cos 2 0 cos 0 |cos| ?=+= ∫∫∫ ? rrrr ederderder π π ? π ? π ? ??????，所以 ππ 2)1(4 1 0 || =?= ∫∫∫∫ Ω drerdxdydze rz 。 五．（本题满分10分） 2 2 aπ 六． （本题满分10分） 4 2 h π ?。 七．（本题满分10分）1?=λ；C x y yxu +?= 2 arctan),(。 八．（本题满分15分） ∑ ∞ = ? ?= 1 2 14 2cos42 )( n n nx xf ππ ，ππ ≤≤? x； 2 1 14 1 1 2 = ? ∑ ∞ =n n ； () 2 1 16 14 1 2 1 2 2 ?= ? ∑ ∞ = π n n 。 九．（本题满分15分）（1）因为 )1( 1 )1( cos 22 tttt xt + ≤ + ，),( ∞+?∞∈x，， 而 ),1[ ∞+∈t ∫ ∞+ + 1 2 )1( 1 dt tt 收敛，所以 ∫ ∞+ + 1 2 )1( cos dt tt xt 关于x在),( ∞+?∞上一致收敛。 （2）对于任意给定的0>ε。因为 ∫ ∞+ + 1 2 )1( cos dt tt xt 一致收敛，所以存在1>A，使 得 2)1( cos 2 ε < + ∫ ∞+ A dt tt xt （),( ∞+?∞∈x）。由Riemann引理知0 )1( cos lim 1 2 = + ∫ +∞→ A x dt tt xt ， 所以存在，当时成立0>X Xx > 2)1( cos 1 2 ε < + ∫ A dt tt xt ，于是当时成立 Xx > ε εε =+< + + + ≤ + ∫∫∫ ∞+∞+ 22)1( cos )1( cos )1( cos 2 1 2 1 2 A A dt tt xt dt tt xt dt tt xt 。 即0 )1( cos lim 1 2 = + ∫ ∞+ +∞→ dt tt xt x 。 （3）因为对于任意),(, 21 ∞+?∞∈xx，成立 ,|| 41 1 || )1( 2 2 )1( 2 sin 2 sin2 )1( 2 sin 2 sin2 )1( )cos(cos )()( 21 1 2 21 1 2 21 1 2 1221 1 2 1221 1 2 21 21 xxdt t xx dt tt t xx dt tt t xx t xx dt tt t xx t xx dt tt txtx xfxf ?= + ?= + ? ≤ + ?+ ≤ + ?+ = + ? =? ∫ ∫∫ ∫ ∫ ∞+ ∞+∞+ ∞+ ∞+ π 这可直接推出在上一致连续。 )(xf ),( ∞+?∞