复旦大学2004～2005学年第二学期期末考试试卷 课程名称： 数学分析II 课程代码： 218.121.2.01 开课院系： 数学科学学院 学生姓名： 学号： 专业： 题 目 1 2 3 4 5 6 7 8 总 分 得 分 填充题 1．（每空格5分，共30分） （1） ∫ = 2 0 sin)( x dttxf，则当时，是关于0x→+ )(xf x的 阶 无穷小量。 （2） 2 1 ln x dx x +∞ ?? = ?? ?? ∫ 。 （3）幂级数 1 (2) (1) n n n x n ∞ = ? ? ∑ 的和函数与收敛范围为 。 （4）的幂级数展开中的系数为 )21ln( 2 xx?+ n x。 （5）反常积分dx x xx ∫ ∞+ ?+ 0 sin)1ln( α 收敛，则α的取值范围为 。 （6）函数项序列 2 () nx n Sx nxe α ? =在区间[ ]1,0上一致收敛，则α的取 值范围为 。 1 解答题（每题10分） 2．计算积分 2 0 1 n n x dx x +∞ + + ∫ 。 3. ， ∑ 收敛，问是否有0> n x ∞ =1n n x 0lim = ∞→ n n nx？是的话证明之，不一定的 话举出反例。 4．求曲线 2 x yxe ? = (0x ≥ )绕x轴旋转所得旋转体的体积。 2 5. 求 x x xf 21 21 arctan)( + ? =在0=x的幂级数展开，并求 ∑ ∞ = + ? 0 4)12( )1( n n n n 的值。 6．设底面直径为2米，高为5米的圆柱体形状的浮桶横躺在100米 深的海底，打捞作业时需要将桶内的水“抽”到海面上，问将桶内的 水全部抽干要做多少功？（答案可保留水的比重ρ与重力加速度）。 g 3 7．判断 ∑ 与 在 ∞ = ? 1 2 )1( n n xx ∑ ∞ = ? 1 2 )1( n n xnx [ ]1,0上的一致收敛性，并证明你 的断言。 8．设函数在[,上一致连续， )(xf )a +∞ () a f xdx +∞ ∫ 收敛，证明。 lim ( ) 0 x fx →+∞ = 4