复旦大学 2005～ 2006 学年第一学期期末考试试卷 答案 1． （本题满分 40 分，每小题 8 分） （1） 0222 =?+ yx 。 （2） 2 1 。 （3） e ex ey 1 = = 为极大值。 （4）曲线在 上为上凸，在 ]1,0( ),1[ +∞ 上为下凸， )7,1( ? 为拐点。 （5） C x x x + ? ?? 1 ln 1 。 2．（本题满分 15 分） 在 点连续且可微，f 0=x 0)0( =f ， 1)0( =′f 。在其它点 不连续，因此也不可微。 3．（本题满分 10 分）不一致连续。 4．（本题满分 10 分） 。 2 e 5．（本题满分 15 分） 。 Ceex xx +++? ? )1ln()1( 6．（本题满分 10 分）证明：要证的不等式 1 )1ln( 11 < ? + xx （ ）等价于 0<x 01)1ln( )1ln( <+?? ? x x x （ 0<x ）。 设 1)1ln( )1ln( )( +?? ? = x x x xf ，则 2 )1ln( )( x xx xf ?+ ?=′ （ 0<x ）。 考虑 )1ln()( xxxg ?+= ，则 0 1 1 1)( > ? ?=′ x xg （ 0<x ），且 ，所以 0)0( =g 0)1ln()( <?+= xxxg （ 0<x ）。 因此 0 )1ln( )( 2 > ?+ ?=′ x xx xf （ 0<x ）。 因为 ，因此当 时成立 0)(lim 0 = ?→ xf x 0<x <+?? ? = 1)1ln( )1ln( )( x x x xf 0)(lim 0 = ?→ xf x 。