多元函数 定义 11.2.1 设 D 是 n R 上的点集 ，D 到 R 的映射 →D:f R， z6x 称为 n 元函数 ， 记为 )(xfz = 。 这时 ， D 称为 f 的 定义域 ， )(Df = }),(|{ DR ∈=∈ xxfzz 称为 f 的 值域 ， Γ= }),(|),{( 1 DR ∈=∈ + xxx fzz n 称 为 f 的图象 。 § 2 多元连续函数 例 11.2.1 2 2 2 2 1 b y a x z ??= 是二元函数，其定义域为 D= ? ? ? ? ? ? ≤+∈ 1),( 2 2 2 2 2 b y a x yx R ， 函数的图象是一个上半椭球面（见图 11.2.1）。 z 2 2 2 2 1 b y a x z ??= O y x 图 11.2.1 多元函数的极限 定义 11.2.2 设 D 是 n R 上的开集 ， ( )∈= 00 2 0 10 ,,, n xxx "x D 为一定 点 ， )(xfz = 是定义在 D \ { 0 x }上的 n 元函数， A是一个实数。 如果 对于任意给定的 0>ε ， 存在 0>δ ， 使得当 ),( 0 δxx O∈ \ { 0 x }时 ， 成立 ε<? Af )(x ， 则称 x 趋于 0 x 时 f 收敛 ， 并称 A为 f 当 x 趋于 0 x 时的（n 重）极限， 记为 0 lim xx→ )(xf = A , 或 )(xf A→ （ 0 xx→ ） ，或 Axxxf n xx xx xx nn = → → → ),,,(lim 21 0 0 22 0 11 " " 。 注 在上面的定义中， “ ),( 0 δ∈ xx O \ { 0 x }”也可以用下面的条件 ,||,|| 0 22 0 11 δδ <?<? xxxx ,||, 0 δ<? nn xx" x≠ 0 x 替代。 多元函数的极限 定义 11.2.2 设 D 是 n R 上的开集 ， ( )∈= 00 2 0 10 ,,, n xxx "x D 为一定 点 ， )(xfz = 是定义在 D \ { 0 x }上的 n 元函数 ， A是一个实数 。 如果 对于任意给定的 0>ε ， 存在 0>δ ， 使得当 ),( 0 δxx O∈ \ { 0 x }时 ， 成立 ε<? Af )(x ， 则称 x 趋于 0 x 时 f 收敛 ， 并称 A为 f 当 x 趋于 0 x 时的（ n 重）极限 ， 记为 0 lim xx→ )(xf = A , 或 )(xf A→ （ 0 xx→ ） ，或 Axxxf n xx xx xx nn = → → → ),,,(lim 21 0 0 22 0 11 " " 。 例 11.2.2 设 22 sin)(),( yx y yxyxf + += ，证明 0),(lim )0,0(),( = → yxf yx 。 证 由于 22 sin)(|0),(| yx y yxyxf + +=? ≤ || yx + ≤ |||| yx + ， 所以，对于任意给定的 0>ε ，只要取 2 ε δ = ，那 么 当 δδ <?<? |0|,|0| yx ， 且 )0,0(),( ≠yx 时， |0),(| ?yxf ≤ ε εε δδ =+=+<+ 22 |||| yx 。 这说明了 0),(lim )0,0(),( = → yxf yx 。 对一元函数而言，只要在 0 x 的左、右极限存在且相等，函数在 0 x 处的极限就存在。而对多元函数来说，根据极限存在的定义，则要求 当 x以任何方式趋于 0 x 时，函数值都趋于同一个极限。若自变量沿不 同的两条曲线趋于某一定点时，函数的极限不同或不存在，那么这个 函数在该点的极限一定不存在。 例 11.2.3 设 )0,0(),(,),( 22 ≠ + = yx yx xy yxf 。 当点 x ),( yx= 沿 x 轴和 y 轴趋于 )0,0( 时， ),( yxf 的极限都是 0。但 当点 x ),( yx= 沿直线 mxy = 趋于 )0,0( 时， 2222 2 00 1 lim),(lim m m xmx mx yxf x mxy x + = + = → = → ， 对于不同的 m有不同的极限值。 这说明 ),( yxf 在点 )0,0( 的极限不存在。 对一元函数而言，只要在 0 x 的左、右极限存在且相等，函数在 0 x 处的极限就存在。而对多元函数来说，根据极限存在的定义，则要求 当 x以任何方式趋于 0 x 时，函数值都趋于同一个极限。若自变量沿不 同的两条曲线趋于某一定点时，函数的极限不同或不存在，那么这个 函数在该点的极限一定不存在。 下例说明即使点 x 沿任意直线趋于 0 x 时， ),( yxf 的极限都存在且 相等，仍无法保证函数 f 在 0 x 处有极限。 例 11.2.4 设 )0,0(),(, )( ),( 24 22 ≠ + ? = yx xy xy yxf 。 当点 x ),( yx= 沿直线 mxy = 趋于 )0,0( 时 , 成立 1 )( lim),(lim 244 222 00 = + ? = → = → xxm xxm yxf x mxy x ； 当点 x ),( yx= 沿 y 轴趋于 )0,0( 时，也成立 1),(lim 0 0 = = → yxf x y ， 因此当点 x ),( yx= 沿任何直线趋于 )0,0( 时， ),( yxf 极限存在且相等。 但 ),( yxf 在点 )0,0( 的极限不存在。事实上， f 在抛物线 xy = 2 上的 值为 0，因此当点 x ),( yx= 沿这条抛物线趋于 )0,0( 时，它的极限为 0。 一元函数的极限性质，如唯一性、局部有界性、局部保序性、 局部夹逼性及极限的四则运算法则，对二元函数依然成立，这里不 再细述，请读者自行加以证明。 累次极限 对重极限 ),(lim ),(),( 00 yxf yxyx → （即 ),(lim 0 0 yxf yy xx → → ）， 人们很自然会想到的是， 能否在一定条件下将重极限 ),( yx ),( 00 yx→ 分解成为两个独立的极限 0 xx → 和 0 yy → ，再利用一元函数的极限理论和方法逐个处理之？ 这后一种极限称为 累次极限 。 一元函数的极限性质，如唯一性、局部有界性、局部保序性、 局部夹逼性及极限的四则运算法则，对二元函数依然成立，这里不 再细述，请读者自行加以证明。 定义11.2.3 设 D是 2 R 上的开集， ∈),( 00 yx D为一定点， z = ),( yxf 为定义在 D )},{(00 yx 上的二元函数 。 如果对于每个固定的 0 yy ≠ ， 极 限 ),(lim 0 yxf xx→ 存在 ， 并且极限 ),(limlim 00 yxf xxyy →→ 存在 ， 那么称此极限值为函数 ),( yxf 在点 ),( 00 yx 的先对 x后对 y 的 二次 极限 。 同理可定义先对 y 后对 x的二次极限 ),(limlim 00 yxf yyxx →→ 。 累次极限存在与重极限存在的关系很复杂。 例 11.2.3 和例 11.2.4 其实已经告诉我们，二次极限存在不能保证二重极限存在（请读者 思考理由） 。而从下面的例子可以知道，二重极限存在同样不能保证 二次极限存在。 例11.2.5 （二重极限存在，但两个二次极限不存在）设 ? ? ? ? ? == ≠≠+ = .00,0 ,00, 1 cos 1 sin)( ),( 22 yx yx yx yx yxf 或 且 由于 |),(| yxf ≤ 22 yx + ， 所以 0),(lim )0,0(),( = → yxf yx 。但在 )0,0( 点两个二次极限显然不存在。 累次极限存在与重极限存在的关系很复杂。 例 11.2.3 和例 11.2.4 其实已经告诉我们，二次极限存在不能保证二重极限存在（请读者 思考理由） 。而从下面的例子可以知道，二重极限存在同样不能保证 二次极限存在。 例 11.2.6 （二重极限存在，两个二次极限中有一个不存在） 设 ? ? ? ? ? == ≠≠ = .00,0 ,00, 1 sin ),( yx yx x y yxf 或 且 在 )0,0( 点显然有 0),(lim )0,0(),( = → yxf yx ，即二重极限存在。且 ),(limlim 00 yxf yx →→ = 0 1 sinlimlim 00 = ? ? ? ? ? ? →→ x y yx ， 但先对 x后对 y 的二次极限不存在。 此外一个二次极限存在不能保证另一个二次极限也存在；即使 两个二次极限都存在，也不一定相等。也就是说， 两个极限运算不 一定可以交换次序 （参见本节习题 8（ 2））。 例 11.2.6 （二重极限存在，两个二次极限中有一个不存在） 设 ? ? ? ? ? == ≠≠ = .00,0 ,00, 1 sin ),( yx yx x y yxf 或 且 在 )0,0( 点显然有 0),(lim )0,0(),( = → yxf yx ，即二重极限存在。且 ),(limlim 00 yxf yx →→ = 0 1 sinlimlim 00 = ? ? ? ? ? ? →→ x y yx ， 但先对 x后对 y 的二次极限不存在。 在二重极限存在时，我们有下面的结果： 定理 11.2.1 若二元函数 ),( yxf 在 ),( 00 yx 点存在二重极限 Ayxf yxyx = → ),(lim ),(),( 00 ， 且当 0 xx ≠ 时存在极限 )(),(lim 0 xyxf yy ?= → ， 那么 ),( yxf 在 ),( 00 yx 点的先对 y 后对 x的二次极限存在且与二重极限 相等， 即 Ayxfxyxf yxyxxxyyxx === →→→→ ),(lim)(lim),(limlim ),(),( 00000 ? 。 证 只要证明 Ax xx = → )(lim 0 ? 即可。 对于任意给定的 0>ε ，由于 Ayxf yxyx = → ),(lim ),(),( 00 ，所以存在 0>δ ， 使得当 δ<?+?< 2 0 2 0 )()(0 yyxx 时有 2 ),( ε <? Ayxf ， 于是对于每个满足 δ<?< ||0 0 xx 的 x，令 0 yy → ，就得到 AyxfAx yy ?=? → ),(lim)( 0 ? ≤ ε ε < 2 。 这就是说，对于任意给定的 0>ε ，存在 0>δ ，使得当 δ<?< ||0 0 xx 时， ε? <? |)(| Ax 。 同样可证：在二重极限存在的情况下，如果当 0 yy ≠ 时存在极限 )(),(lim 0 yyxf xx φ= → ，那么 ),(lim)(lim),(limlim ),(),( 00000 yxfyyxf yxyxyyxxyy →→→→ == φ 。 所以，若函数 ),( yxf 的二重极限及两个二次极限都存在，则三者 必相等，即 ),(lim),(limlim),(limlim ),(),( 000000 yxfyxfyxf yxyxyyxxxxyy →→→→→ == 。 这意味着，此时 极限运算可以交换次序 。 多元函数的连续性 定义 11.2.4 设 D 是 n R 上的开集 ， )(xfz = 是定义在 D 上的函 数， 0 x ∈D 为一定点。 如果 0 lim xx→ f (x) = f ( 0 x ) ， 则称函数 f 在点 0 x 连续 。 用“ δε ? ”语言来说就是： 如果 对于 任意 给定的 0>ε ， 存在 0>δ ， 使得当 ),( 0 δxx O∈ 时 ， 成立 | f ( x ) - f ( 0 x ) |＜ ε ， 则称函数 f 在点 0 x 连续。 如果函数 f 在 D 上每一点连续 ， 就称 f 在 D 上连续 ， 或称 f 是 D 上的连续函数。 例11.2.7 函数 22 sin),( yxyxf += 在 2 R 上连续。 证 设 ),( 00 yx 为 2 R 上的任一点，则有 |),(),(| 00 yxfyxf ? = |sinsin| 2 0 2 0 22 yxyx +?+ = 2 sin 2 cos2 2 0 2 0 22 2 0 2 0 22 yxyxyxyx +?+ ? +++ ≤ 2 sin2 2 0 2 0 22 yxyx +?+ 2 0 2 0 22 yxyx +?+≤ ≤ 2 0 2 0 )()( yyxx ?+? （利用三角不等式） 。 于是，对于任意给定的 0>ε ，取 εδ = ，当 δ<?+? 2 0 2 0 )()( yyxx 时就 成立 ε<? ),(),( 00 yxfyxf 。 这说明 ),( yxf 在 ),( 00 yx 点连续。由于 ),( 00 yx 为 2 R 上的任一点，所以 ),( yxf 在 2 R 上连续。 例11.2.7 函数 22 sin),( yxyxf += 在 2 R 上连续。 证 设 ),( 00 yx 为 2 R 上的任一点，则有 |),(),(| 00 yxfyxf ? = |sinsin| 2 0 2 0 22 yxyx +?+ = 2 sin 2 cos2 2 0 2 0 22 2 0 2 0 22 yxyxyxyx +?+ ? +++ ≤ 2 sin2 2 0 2 0 22 yxyx +?+ 2 0 2 0 22 yxyx +?+≤ ≤ 2 0 2 0 )()( yyxx ?+? （利用三角不等式） 。 一元连续函数和差积商及复合函数性质同样可以平行地推广到多 元连续函数。 例11.2.8 计算极限 22)0,1(),( )ln( lim yx ex y yx + + → 。 解 注意到函数 )ln( y ex + 和 22 yx + 在其自然定义域上的连续性， 由极限的运算法则，得到 2ln lim )ln(lim )ln( lim 22 )0,1(),( )0,1(),( 22)0,1(),( = + + = + + → → → yx ex yx ex yx y yx y yx 。 例11.2.9 计算极限 [ ] 22 22 )0,0(),( )1(sin lim yx yxy yx + ++ → 。 解 利用 1 sin lim 0 = → t t t ，得到 [ ] 22 22 )0,0(),( )1(sin lim yx yxy yx + ++ → = [ ] )1( )1( )1(sin lim 22 22 )0,0(),( +? ++ ++ → y yxy yxy yx = [ ] )1(lim )1( )1(sin lim )0,0(),(22 22 )0,0(),( +? ++ ++ →→ y yxy yxy yxyx =1。 向量值函数 平面解析几何中熟知的参数方程 ? ? ? = = ),( ),( ty tx ψ ? ],[ 10 ttt∈ 是一元函数的另一种推广：多个因变量（ x 和 y）按某种规律，随自变 量 t 的变化而相应变化。 定义 11.2.3 设 D 是 n R 上的点集， D 到 m R 的映射 →D:f m R ， ),,,( 21 n xxx "=x ),,,( 21 m zzz "6 =z 称为 n元 m 维向量值函数 （ 或 多元函数组） , 记为 )(xfz = 。 D 称为 f 的 定义域， }),(|{)( DRD ∈=∈= xxfzz m f 称为 f 的 值域。 多元函数是 1=m 的特殊情形。 向量值函数 平面解析几何中熟知的参数方程 ? ? ? = = ),( ),( ty tx ψ ? ],[ 10 ttt∈ 是一元函数的另一种推广：多个因变量（ x 和 y）按某种规律，随自变 量 t 的变化而相应变化。 显然，每个 i z （ mi ,,2,1 "= ）都是 x 的函数 )(x ii fz = ，它称为 f 的第 i 个坐标（或分量）函数，于是， f 可以表达为分量形式 ? ? ? ? ? ? ? = = = ),( ),( ),( 22 11 x x x mm fz fz fz "" D∈x 。 因此 f 又可表示为 ),,,( 21 m fff "=f 。 例 11.2.10 映射 3 ]2,0[),0[: R→×+∞ πf ， ),,(),( zyxr 6θ 的具体分量形式是 ? ? ? ? ? == == == ,),( ,sin),( ,cos),( rrzz rryy rrxx θ θθ θθ ]2,0[),,0[ πθ ∈+∞∈r ， 这是二元三维向量值函数，在空间解析几何中知道，这是三维空间上 的一张半圆锥面。 定 义 11.2.2' 设 D 是 n R 上的开集， D∈ 0 x 为一定点 ， m RD →}{\: 0 xf 是映射（向量值函数） ， A是一个 m 维向量。 如果对于 任意给定的 0>ε ，存在 0>δ ，使得当 }{\),( 00 xxx δO∈ 时，成立 ε<? Axf )( （ 即 ),()( εAxf O∈ ）， 则称 A为 x趋于 0 x 时 f 的 极限 ，并称 x趋于 0 x 时 f 收敛。记为 Axf = → )(lim 0 xx 或 )()( 0 xxAxf →→ 。 定义 11.2.4' 设 D是 n R 上的开集, D∈ 0 x 为一定点。 f m RD: → 是 映射 （向量值函数） 。如果 f 满足 )()(lim 0 0 xfxf = →xx ， 那么称 f 在 0 x 点 连续 。 用“ δε ? ”语言来说就是： 如果对于 任意 给定 的 0>ε ， 存在 0>δ ， 使得当 ),( 0 δxx O∈ 时 ， 成立 | )(xf - )( 0 xf |＜ ε （即 )),(()( 0 εxfxf O∈ ）， 则称 f 在点 0 x 连续。 如果映射 f 在 D上每一点连续，就称 f 在 D上连续。这时称映射 f 为 D上的 连续映射。 定理 11.2.2 设 D 是 n R 上的开集， D∈ 0 x 为一定点。 那么映射 m RD →:f 在 0 x 点连续的充分必要条件为：函数 m fff ,,, 21 " 在 0 x 点连 续。 定理的证明可由不等式 |)()(| 0 xx jj ff ? ≤ ∑ = ?=? m i ii ff 1 2 00 ))()((|)()(| xxxfxf ≤ ∑ = ? m i ii ff 1 0 |)()(| xx （ mj ,,2,1 "= ） 直接得到。 定理 11.2.2 设 D 是 n R 上的开集， D∈ 0 x 为一定点。 那么映射 m RD →:f 在 0 x 点连续的充分必要条件为：函数 m fff ,,, 21 " 在 0 x 点连 续。 例 11.2.11 设 D = },|),{( 2 dvcbuavu <<<<∈R 。映射 3 : RD →f ， ),,(),( zyxvu 6 是二元三维向量值函数，它写成分量形式就是 ? ? ? ? ? = = = ),,( ),,( ),,( vuzz vuyy vuxx D∈),( vu 。 如果 ),(),,(),,( vuzvuyvux 都是 D 上的连续函数，从几何上看，这就是三 维空间上的连续曲面的一般方程。 设 ?是 k R 上的开集， D 为 n R 上的开集。 g： k →DR与 f： ? m → R 为映射。 若 g 的值域 ()g D 满足 ()Dg ? ? ，则可以定义复合映射 : m →DRDfg ， (())6ufgu。 定理11.2.3 如果 g在 D 上连续， f在 ?上连续， 那么复合映射 Dfg 在 D 上连续。