第二章 数列极限 §1 实数系的连续性 实数系 实数集合 R的重要的基本性质—— 连续性。 第二章 数列极限 数系的扩充历史 自然数集合 N：关于加法与乘法运算是封闭的，但是 N关于 减法运算并不封闭。 整数集合 Z：关于加法、减法和乘法都封闭了，但是 Z关于 除法是不封闭的。整数集合 Z具有“离散性”。 §1 实数系的连续性 实数系 实数集合 R的重要的基本性质—— 连续性。 有理数集合 Q ? ? ? ? ? ? ∈∈== + ZN qp p q xx ,,| 。关于加法、减法、乘 法与除法四则运算都是封闭的。有理数集合 Q具有“稠密性”。 c 虽然有理数集合是稠密的，但在坐标轴上留有 “空隙”。例如 用表示边长为1 的正方形的对角线的长度，这个c 就无法用有理数 来表示。换言之，有理数集合对于开方运算是不封闭的。因此有 必要将有理数集合加以扩充。 -3 -2 -1 0 1 c 2 3 图2.1.1 有理数集合 Q ? ? ? ? ? ? ∈∈== + ZN qp p q xx ,,| 。关于加法、减法、乘 法与除法四则运算都是封闭的。有理数集合 Q具有“稠密性”。 有理数能表示成有限小数或无限循环小数，所以扩充有理数 集合 Q最直接的方式，就是把所有的无限不循环小数(称为无理 数)吸纳进来。 全体有理数和全体无理数所构成的集合称为实数集 R： R ={ xx 是有理数或无理数}。 有理数能表示成有限小数或无限循环小数，所以扩充有理数 集合 Q最直接的方式，就是把所有的无限不循环小数(称为无理 数)吸纳进来。 全体有理数和全体无理数所构成的集合称为实数集 R： R ={ xx 是有理数或无理数}。 全体无理数所对应的点（称为 无理点 ）填补了有理点在坐标 轴上的所有“空隙”，即实数铺满了整个数轴。 实数集合的这一性质称为实数系 R的“连续性”。 R又被称 为 实数连续统 。 实数系 R的连续性，从几何角度理解，就是实数全体布满整 个数轴而没有“空隙”，但从分析角度阐述，则有多种相互等价 的表述方式。 “确界存在定理” 就是实数系 R连续性的表述之一。 最大数与最小数 记号：“ ? ”表示“存在”或“可以找到”，“ ? ”表示 “对于任意的”或“对于每一个”。例如 A B? ? ? ∈xA,有 x B∈ ， A B? ? ? ∈xA,使得 x B? 。 设 S是一个数集，如果 S∈?ξ ，使得 ? ∈xS，有 ξ≤x ，则称 ξ是数集 S的最大数，记为 ξ = maxS ；如果 S∈?η ，使得 ? ∈xS, 有 η≥x ，则称 η是数集 S的最小数，记为 η = minS。 当数集 S 是非空有限集时， maxS是这有限个数中的最大 者， minS是这有限个数中的最小者。但是当 S 是无限集时， S 可能不具有最大数及最小数。 最大数与最小数 记号：“ ? ”表示“存在”或“可以找到”，“ ? ”表示 “对于任意的”或“对于每一个”。例如 A B? ? ? ∈xA,有 x B∈ ， A B? ? ? ∈xA,使得 x B? 。 例2.1.1 集合 A = ≥{| }xx 0 没有最大数，但有最小数， min A = 0。 例2.1.1 集合 A = ≥{| }xx 0 没有最大数，但有最小数， min A = 0。 例2.1.2 集合 B = ≤ <{| }xx01没有最大数。 证 用反证法。 假设集合 B有最大数，记为 β 。由 ∈β [,)01，可知 2 1 β β + = ′ ∈[,)01。但是 ββ > ′ ，这就与 β 是集合 B的最大数发生矛 盾。所以集合 B没有最大数。 上确界与下确界 设 S是一个非空数集，如果 R∈?M ，使得 ? ∈xS，有 x M≤ ， 则称 M是 S的一个上界；如果 R∈?m ，使得 ? ∈xS，有 xm≥ ,则 称 m是 S的一个下界。 上确界与下确界 设 S是一个非空数集，如果 R∈?M ，使得 ? ∈xS，有 x M≤ ， 则称 M是 S的一个上界；如果 R∈?m ，使得 ? ∈xS，有 xm≥ ,则 称 m是 S的一个下界。 当数集 S既有上界，又有下界时，称 S为有界集。 S为有界集 ? ? >X 0，使得 Sx∈? ，有 x ≤ X 。 设数集 S 有上界，记 U为 S 的上界全体所组成的集合，则显 然 U不可能有最大数，下面将证明：U 一定有最小数。 设 U的最小数为 β ，就称 β为数集 S的 上确界 ，即最小上界, 记为 β =supS。 上确界 β 满足下述两个性质： 1.β 是数集 S的上界： ? ∈xS，有 β≤x ； 2.任何小于 β 的数不是数集 S的上界： ?ε>0， ? ∈xS,使得 εβ ?>x 。 若数集 S 有下界，记 L为 S 的下界全体所组成的集合，则显 然 L不可能有最小数，同样可以证明：L 一定有最大数。 设 L的最大数为 α ，就称 α 为数集 S的 下确界 ，即最大下界, 记为 α =inf S。 下确界 α满足下述两个性质： 1. α是数集 S的下界： ? ∈xS，有 α≥x ； 2. 任何大于 α的数不是数集 S的下界： ?ε>0， ? ∈xS，使 得 εα +<x 。 定理2.1.1(确界存在定理——实数系连续性定理) 非空有上 界的数集必有上确界；非空有下界的数集必有下确界。 定理2.1.1(确界存在定理——实数系连续性定理) 非空有上 界的数集必有上确界；非空有下界的数集必有下确界。 证 任何一个实数 x可表示成 x=［ x］+( x)， 其中［ x］表示 x的整数部分，( x)表示 x的非负小数部分。 将( x)表示成无限小数的形式： (x) = 0 12 .aa a n "", 其中 aa a n12 ，，，，""中的每一个都是数字0，1，2，…，9中的 一个，若( x)是有限小数，则在后面接上无限个0。 注 无限小数 000 12 .aa a p ""(a p ≠ 0)与无限小数 0 1 999 12 .()aa a p ""? 是相等的，为了保持表示的唯一性，约定在 (x)的无限小数表示中不出现后者。 这样， 任何一个实数集合 S 就可以由一个确定的无限小数的集合来表示： ｛ 012 0. n aaaa+""｜ a 0 =［ x］, 0 12 .aa a n "" = (x),x S∈ ｝。 设数集 S有上界，则可令 S中元素的整数部分的最大者为 α 0 ， 并记 S 0 =∈ ={| [] }xx S x并且 α 0 。 S 0 不是空集，并且 ? x ∈S，只要 0 Sx ∈ ，就有 <x α 0 。 再考察数集 S 0 中元素的无限小数表示中第一位小数的数字， 令它们中的最大者为 α 1 ，并记 S 1 =∈{| }xx S x 01 并且 的第一位小数为 α 。 S 1 也不是空集，并且对于任意 x ∈S，只要 ∈x 1 S ，就有 <x α 0 1 0.α+ 。 一般地，考察数集 S n?1 中元素的无限小数表示中第 n位小数的 数字，令它们中的最大者为 α n ，并记 S n =∈ ? {| }xx S x n nn1 并且 的第 位小数为 α 。 S n 不是空集， 并且对于任意 x ∈S ， 只要 n Sx ∈ ， 就有 <x α 0 1 0.α+ α 2 … α n 。 不断地做下去，我们得到一列非空数集 S ? S 0 ? S 1 ?… ? S n ?…， 和一列数 α 0 ， α 1 ， α 2 ，…， α n ,…，满足 0 α ∈Z； k α ∈｛0,1,2,…，9｝, + ∈Nk 。 令 β = α 0 + 1 0.α α 2 … α n …。 下面分两步证明 β就是数集 S的上确界。 令 β = α 0 + 1 0.α α 2 … α n …。 下面分两步证明 β就是数集 S的上确界。 （1）设 Sx∈ ，则或者存在整数 n 0 0≥ ，使得 0 n Sx ∈ ；或者对任何整 数 n ≥ 0，有 xS n ∈ 。 若 0 n Sx ∈ ，便有 <x α 0 + 1 0.α α 2 … α n 0 β≤ ； 若 xS n ∈ (? N∈n )，由 S n 的定义并逐个比较 x与 β的整数部 分及每一位小数，即知有 β=x 。 所以对任意的 Sx∈ ，有 x β≤ ，即 β是数集 S的上界。 （2） 对于任意给定的 0>ε ，只要将自然数 n 0 取得充分大，便有 1 10 0 n <ε。 取 xS n0 0 ∈ ，则 β与 x 0 的整数部分及前 n 0 位小数是相同的，所以 0 x?β ≤ 1 10 0 n <ε， 即 x 0 εβ ?> ， 即任何小于 β的数 εβ ? 不是数集 S的上界。 同理可证非空有下界 的数集必有下确界。 证毕 关于数集的上（下）确界有下述的唯一性定理： 定理2.1.2 非空有界数集的上（下）确界是唯一的 。 关于数集的上（下）确界有下述的唯一性定理： 定理2.1.2 非空有界数集的上（下）确界是唯一的 。 确界存在定理反映了实数系连续性这一基本性质：假若实数 全体不能布满整条数轴而是留有“空隙”，则“空隙”左边的数 集就没有上确界，“空隙”右边的数集就没有下确界。 有理数集合 Q在数轴上有 “空隙” ， 它就不具备实数集合 R所 具有的“确界存在定理”，也就是说： Q内有上（下）界的集合 T 未必在 Q内有它的上（下）确界。 例2.1.3 设 }20|{ 2 <>∈= xxxxT ，并且Q ，证明 T在 Q内没有 上确界。 证 略。 关于数集的上（下）确界有下述的唯一性定理： 定理2.1.2 非空有界数集的上（下）确界是唯一的 。 确界存在定理反映了实数系连续性这一基本性质：假若实数 全体不能布满整条数轴而是留有“空隙”，则“空隙”左边的数 集就没有上确界，“空隙”右边的数集就没有下确界。 有理数集合 Q在数轴上有 “空隙” ， 它就不具备实数集合 R所 具有的“确界存在定理”，也就是说： Q内有上（下）界的集合 T 未必在 Q内有它的上（下）确界。