微元法 我们先回忆一下求曲边梯形面积 S 的步骤：对区间 [, ]ab作划分 ax x x x b n = < < < < = 012 " ， 然后在小区间 ],[ 1 ii xx ? 中任取点 i ξ ，并记 1? ?=Δ iii xxx ，这样就得到了小 曲边梯形面积的近似值 iii xfS Δ≈Δ )(ξ 。最后，将所有的小曲边梯形面积 的近似值相加，再取极限，就得到 ∑ = → Δ= n i ii xfS 1 0 )(lim ξ λ ∫ = b a dxxf )( 。 § 5 微积分实际应用举例 对于上述步骤，我们可以换一个角 度来看：将分点 x i?1 和 x i 分别 记为 x 和 x x+Δ ，将区间 ],[ xxx Δ+ 上的小曲边梯形的面 积记为 SΔ ，并 取 x i =ξ ，于是就有 xxfS Δ≈Δ )( 。然后令 Δx → 0 ，这相当于对自变量作 微分，这样 Δx 变成 dx ， SΔ 变成 dS ，于是上面的近似等式就变为微分 形式下的严格等式 dS f x dx= () 。最后，把对小曲边梯形面积的近似值 进行相加，再取极限的过程视作对微分形式 dxxfdS )(= 在区间 [, ]ab上 求定积分，就得到 ∫ = b a dxxfS )( 。 根据上面的理解，在解决实际问题时，我们可以简捷地按照以下 的步骤 xxfSxxx Δ≈Δ??→?Δ+? ?→? )(],[ 规律 科学 分割 自变量 ∫ =??→?=? ?→? b a dxxfSdxxfdS )()( 积分 直接 微分 转为 来直接求解。 了解了方法的实质以后，上述过程还可以进一步简化：即一开始 就将小区间形式地取为 ],[ dxxx + （ dx称为 x 的 微元 ），然后根据实际问 题得出微分形式 dxxfdS )(= （ dS 称为 S 的微元），再在区间 ],[ ba 上求积 分。也就是 ∫ =?→?=?→? b a dxxfSdxxfdSdx )()( 。 这种处理问题和解决问题的方法称为 微元法 。微元法使用起来非 常方便，在解决实际问题中应用得极为广泛，如§ 4 中计算曲线的弧 长、几何体的体积、旋转曲面的面积等公式都可以直接用微元法来导 出，下面我们举一些其它类型的例子。 由静态分布求总量 我们首先考虑静态分布问题。设一根长度为 l 的直线段上分布着 某种物理量（如质量、热量、电荷量等等），将其平放在 x 轴的正半 轴上，使它的一头与原点重合，若它在 x 处的密度（称为线密度）可 由某个连续的分布函数 ρ()x 表示( xl∈[, ]0 )， 由微元法，它在 ],[ dxxx + 上 的物理量 dQ 为 dQ x dx=ρ() ， 对等式两边在 [, ]0 l 上积分，就得到由分布函数求总量的公式 Qxdx l = ∫ ρ() 0 。 例 7.5.1 如图 7.5.1 的一根 金属棒，其密度分布为 )kg/m(632)( 2 ++= xxxρ ， 求这根金属棒的质量 M 。 解 ∫ ++= 6 0 2 )632( dxxxM )kg(2346 2 3 3 2 6 0 23 = ? ? ? ? ? ? ++= xxx 。 0 6 x 图 7.5.1 这个问题可以作以下的推广： ⑴假定物理量分布在一个平面区域上， x 的变化范围为区间 [, ]ab。 如果过 x （ bxa ≤≤ ）点并且垂直于 x 轴的直线与该平面区域之交上的 物理量的密度可以用 )(xf 表示，或者说该平面区域在横坐标位于 ],[ dxxx + 中的部分上的物理量可以表示为 dxxf )( ，那么由类似的讨论， 可以得到这个区域上的总物理量为 Qfxdx a b = ∫ () 。 例 7.5.1 如图 7.5.1 的一根 金属棒，其密度分布为 )kg/m(632)( 2 ++= xxxρ ， 求这根金属棒的质量 M 。 解 ∫ ++= 6 0 2 )632( dxxxM )kg(2346 2 3 3 2 6 0 23 = ? ? ? ? ? ? ++= xxx 。 0 6 x 图 7.5.1 例 7.5.2 求圆心在水下 10 m，半径为 1 m 的竖直放置的圆形铁 片（图 7.5.2）所受到的水压力。 解 由物理定律，浸在液体中的物体在深度为 h的地方所受到的 压强为 ghp ρ?= ， 这里， ρ 是液体的密度， g 是重力加速度。以铁片的圆心为原点、沿 铅垂线方向向下为 x 轴的正向建立坐标系，于是铁片在深度为 x+10 处 (? ≤ ≤11x )受到的压强为 ()10 + xg，在圆铁 片上截取与水面平行、以微元 dx为宽度的 一条带域，则带域的面积为 dxxdS 2 12 ?= ， 所以带域上所受到的压力为 dxxxgdF )10(12 2 +??= ， 于是铁片所受到的水压力为 gdxxxgF π10)10(12 1 1 2 =+??= ∫ ? （N）。 这个结论可以推广到立体区域去。事实上，§ 4 的第三部分给 出了求三维空间中夹在平面 xa= 和 xb= 之间的几何体的体 积公 式：设过 x 点且与 x 轴垂直的平面与该几何体相截，截面积为 Ax()， 则几何体的体积为 VAxdx a b = ∫ () 。 此式就可以看成是应用本方法的一个特例， 其中物理量的密度函数 )(xA 是截面的面积。 ⑵假定物理量是分布在一条平面曲线 xxt yyt tTT = = ? ? ? ∈ (), (), [, ] 12 上，分布函数（即物理量的密度）为 ft()，在 ((), ())xt yt 处截取一段 长度为 dl 的弧，那么在这段弧上的物理量 dQ 为 dltfdQ )(= 。 利用弧长的微分公式， dQ f t dl= =() ft xt yt dt() () ()′ + ′ 22 ， 关于 t 在 [, ]TT 12 上积分，就得到 Qftdl ftxtytdt T T T T ==′ + ′ ∫∫ () () () () 1 2 1 2 22 。 这个结论可以推广到空间曲线的情况。 例 7.5.3 设上半个金属环 222 Ryx =+ （ 0≥y ）上任一点处的电 荷线密度等于该点到 y 轴的距离的平方，求环上的总电量。 解 将金属环的方程写成参数形式 xR t yR t t = = ? ? ? ∈ cos , sin , [, ]0 π ， 于是 dl = ′ + ′ =xt yt dt Rdt() () 22 。 分布函数 ft xt R t() [()] cos= = 222 ，因此 dQ f t dl= =() Rtdt 32 cos ， 所以环上的总电量为 QR tdt R == ∫ 32 0 3 2 cos π π 。 ⑶这种类型的问题远非只局限于物理学的范畴， 无论是自然 科学还是社会科学中，但凡给出的是某变量的分布“密度”（比 如，人口问题中的人口出生密度、交通问题中的车流密度等等） 而需要求总量的，都可以用上述的思路求解。 求动态效应 除了上述这些静态的物理量之 外，还有一类物理量是通过运动而 产生的，或者说是另一个物理量持 续作用的效果。比如，“位移”是 速度作用了一段时间的结果；“功 ”是力作用了一段距离的结果，等 等。 在§ 1 中已经知道，以速度 vt()做变速运动的物体在 [, ]TT 12 走过的 路程为 Svtdt T T = ∫ () 1 2 ， 这可以用微元法来理解： 在小区间 ],[ dttt + 上速度可近似地看作是 vt()， 因此走过的一小段路程为 dS v t dt= () ， 两边求积分，就得到了前面的结果。 这样的思路可以运用到所有这类问题中去。 例 7.5.4 一个内半径为 R的圆柱形汽缸，点火后于时刻 t 0 到 t 1 将 活塞从 x a= 处推至 x b= 处（ t 0 与 t 1 非常接近），求它在这段时间中的 平均功率。 解 由于 t 0 与 t 1 非常接近， 可以认为在这段时间内汽缸中的温度没 有变化，由物理学定律，汽缸中气体的压强 p 与体积 V 成反比，即 p C V = ， C 是点火瞬间汽缸中气体的压强 p 0 与体积 aS 的乘积( S 为活塞 的截面积 πR 2 )。所以当活塞在 x 处时，作用在活塞上的压力为 x C S Sx C S V C SpF ===?= ， 利用微元法，活塞移动 dx距离所做的 功可表示为 dx x C FdxdW == ， 于是，所求的平均功率为 N W T C tt dx x a b == ? ∫ 10 = ? ap S tt b a 0 10 ln 。 xa b 图7.5.3 简单数学模型和求解 要用数学技术去解决实际问题，首先必须建立数学模型。由于最 重要的数学建模工具是微分，而微分与积分互为逆运算，所以积分便 理所当然地成为求解数学模型的有力手段。将微分与积分结合起来， 就可以为许多实际问题建立起相应的数学关系。 比如，关于例 5.5.9 给出的 Malthus 人口模型 ? ? ? = = ′ ,)( ),()( 00 ptp tptp λ ， 可以直接对微分等式 dp p dt=λ 的两边在 [,]tt 0 上求积分，这时 p的变化范围相应地为 [,]pp 0 ， dp p dt p p t t 00 ∫∫ =λ ， 于是 ln ( ) p p tt 0 0 =?λ ， 即 pp tt = ? 0 0 e ()λ 。 例 7.5.5 （跟踪问题模型） 设 A 在初始时刻从坐标原点沿 y 轴正 向前进，同时 B 于 [,]a 0 处开始保持距离 a 对 A 进行跟踪（即 B 的前进 方向始终对着 A 的位置，并与 A始终保持距离 a ），求 B 的运动轨迹。 解 设 B 的运动轨迹为 yyx= () 利用跟踪的要求，可以得到数学模型 ? ? ? ? ? = ? ?= ′ ,0)( , 22 ay x xa y 两边求定积分 dy ax x dx y a x 0 22 ∫∫ =? ? ， 即得到 B 的运动轨迹方程为 ya aax x ax= +? ??ln 22 22 。 这也可以看成一个重物 B 被 A 用一根长度为 a 的绳子拖着走时留 下的轨迹，所以该曲线又被称为曳线 。 ax y B A 0 例 7.5.6（火箭飞行的运动规律） 火箭是靠将燃料变成气体向后喷射，即 甩去一部分质量来得到前进的动力的。 设在时刻 t 火箭的总质量为 )(tM ， 速度为 vt()，从而其动量为 )()( tvtM 。在 从 t 到 dtt + 时间段中，有部分燃料以相 对于火箭体的常速度 u 被反向喷射出 去，在时刻 dtt + 火箭质量为 )( dttM + ， 速度为 )( dttv + ，相应地，喷射掉的燃料 质量为 )()( dttMtM +? ，而其速度为 udttv ?+ )( ， 且此时系统的动量等于火箭 剩余部分的动量与燃料的动量之和。 t时刻 t+dt时刻 M(t)?M(t+dt) M(t) M(t+dt) v(t) v(t+dt) v(t+dt)?u 图7.5.6 因此在时间段 ],[ dttt + 中，系统动量的改变量为 { } )()(])()][()([)()( tvtMudttvdttMtMdttvdttM ??++?+++ ( )[ ( ) ( )] [ ( ) ( )]M tvtdt vt Mtdt Mtu=+ () () ()M tv tdt uM tdt ′ ′ 。 再由冲量定律：动量的改变量等于力与作用时间的乘积，即冲量 Fdt ， 这样，就得到火箭运动的微分方程为 M dv dt Fu dM dt =? ， 这里 F 是作用于火箭系统的外力， M dv dt 称为火箭的 反推力 。 特别地，当火箭在地球表面垂直向上发射时， FMg= ? ，方程 成为 dv dt gu M dM dt vMM =? ? == ? ? ? ? ? 1 00 0 0 , () , () , 两边在 [,]0 t 上积分， ′ =? ? ′ ∫∫∫ v t dt gdt u Mt Mt dt ttt () () () 000 ， 就得到 vt u M Mt gt() ln () =? 0 。 例 7.5.7（ Logistic 人口模型） Malthus 人口模型的解为 pp tt = ? 0 0 e ()λ ， 当 t →∞时有 pt()→∞，这显然是荒谬的，因为人口的数量增加到一定 程度后，自然资源和环境条件就会对人口的继续增长起限制作用，并 且限制的力度随人口的增加而越来越强。也就是说，在任何一个给定 的环境和资源条件下，人口的增长不可能是无限的，它必定有一个上 界 p max 。 荷兰生物数学家 Verhulst 认为，人口的增长速率应随着 pt()接近 p max 而越来越小，他提出了一个修正的人口模型 ? ? ? ? ? = ? ? ? ? ? ? ?= ′ ,)( ),( )( 1)( 00 max ptp tp p tp tp λ 将含有 p的项全部集中到左边，两边在 [,]tt 0 上积分， dp pppp dt p p t t max max ?? = ∫∫ 2 00 λ ， 利用有理函数的积分公式，即可解出 () )( max 0 0 max e11 tt p p p p ?? ?+ = λ 。 在这模型中，当 t →∞时有 pt p() max → 。 美国和法国都曾用这个模型预测过人口，结果是令人满意的。 从 Kepler 行星运动定律到万有引力定律 最后，我们用 Kepler 的行星运动三大定律、 Newton 第二运动定 律再加上微积分来导出万有引力定律，以作为本节的结束。 对任意一个确定的行星，由 Kepler 第一定律，以太阳（即椭圆 的一个焦点）为极点，椭圆的长轴为极轴建立极坐标，则行星的轨 道方程为 r p e = ?1cosθ ， 这里 p b a = 2 是焦参数， e b a =?1 2 2 是离心率， ab和 分别是椭圆的半长 轴和半短轴。 设在时刻 t 行星与太阳的距离为 rrt= ()，它们的连线与极轴的夹 角为 θ θ= ()t ，则行星的坐标可以用向量记号表示成 r = (cos, sin)rrθ θ 。 记 dA是极径转过角度 θd 所扫过的那块椭圆的面积（阴影部分）， 由极坐标下的面积公式 dA θdr 2 2 1 = ， 由 Kepler 第二定律，单位时间中 扫过的面积 dA dt r== 1 2 2 ω 常数， 这里 ω = d dt θ 表示行星运动的角速 度。 记行星绕太阳运行一周的时间为 T ，则经过 T 时间极径所扫过的 面积恰为整个椭圆的面积 πab，即 πab == ∫ dA dt dt r T T 0 2 1 2 ω ， 因此常数 r ab T 2 2 ω π = ， 两边求导后得到 ()   rrrr 22 20ω ω ω′ = + = ， 即 20  rrω ω+ = 。 这里记行星沿极径方向的速度和加速度分别为 dr dt r≡  和 dr dt r 2 2 ≡  （称为 径向速度 和 径向加速度），角加速度为 d dt ω ω≡  （用字母上面加点表示 对 t 的导数是 Newton 的记号）。 于是行星在 x 方向和 y 方向上的加速度分量分别为 dr dt rrr 2 2 2 (cos)  cos  sin [  sin cos ] θ θωθωθωθ=? ? + = ? ? +( )cos (   )sinrr r rω θ ω ω θ 2 2 = ?( )cosrrω θ 2 ， dr dt rr r 2 2 2 (sin )  sin  cos [  cos sin ] θ θωθωθωθ=+ + ? = + + ?(   )cos (  )sin2 2 rr rrω ω θ ω θ = ?( )sinrrω θ 2 。 记 r r 0 = r = (cos , sin )θ θ 是 r 方向上的单位向量，于是，得到加速度 向量 ar= ?( )rrω 2 0 ， 即行星在任一点的加 速度的方向恰与它的极径同向，加速度的值为  rr? ω 2 。 为了求出 rr? ω 2 ，对椭圆方程 pr e= ?(cos)1 θ 两边求二阶导数，注意到 p是焦参数即常数， 01 2 2 = = ? + + +  (cos)(sin) (  sin cos )pr e re reθ ω θ ω θ ω θ = ? ? + + ( )cos (  )sinrrr e r reω θ ω ω θ 2 2 = ? ? ( )cosrrr eω θ 2 = ? ? +( )( cos )rr e rω θ ω 22 1 = ? ?+  rr r pr ω ω 2 2 ， 所以  () rr r rp ab T a br ?=? ?=? ?ω ω π 2 22 2 222 222 14 1 =? ? ?4 1 2 3 22 π a Tr 。 最后，由 Newton 第二运动定律和 Kepler 第三定律即 3 2 a T =常数， 便有 F a= m = ?mr r(  )ω 2 0 r 22 32 4 r Mm T a M ? ? ? ? ? ? ? ? ? ??= π r 0 22 32 4 r Mm T a M ? ? ? ? ? ? ? ? ? ??= π r 0 =?G Mm r 2 r 0 ， 这里 M 是太阳的质量， G M a T = 4 23 2 π )/(1067.6 2311 skgm ?×≈ ? 称为引力常量。 导出万有引力定律是人类历史上最成功的数学模型之一，它的结 论为以后一系列的观测和实验数据所证实（其中最为人津津乐道的是 发现海王星），它的适用范围从天体运动一直延展到微观世界，令人 信服地定量地解释了许多既有的物理现象，并成为探索未知世界的有 力工具。