点态收敛 设 u n (x)（ n = 1,2,3,…）是具有公共定义域 E 的一列函数，这无 穷个函数的“和” ""++++ )()()( 21 xuxuxu n 称为 函数项级数， 记为 ∑ ∞ =1 )( n n xu 。 第十章 函数项级数 §1 函数项级数的一致收敛性 定义 10.1.1 设u n (x) （ n = 1,2,3,…）在E上定义。对于任意固 定的 0 x ∈E，若数项级数 ∑ ∞ =1 0 )( n n xu收敛，则称函数项级数 ∑ ∞ =1 )( n n xu在点 0 x 收敛，或称 0 x是 ∑ ∞ =1 )( n n xu的收敛点。 函数项级数 ∑ ∞ =1 )( n n xu 的收敛点全体所构成的集合称为函数项级数 ∑ ∞ =1 )( n n xu的收敛域。 设 ∑ ∞ =1 )( n n xu 的收敛域为 D E? ， 则 ∑ ∞ =1 )( n n xu 就定义了集合 D 上的一个 函数 S(x) = ∑ ∞ =1 )( n n xu ， x∈D 。 S(x)称为 ∑ ∞ =1 )( n n xu 的 和函数。 由于这是通过逐点定义的方式得到的， 因此称 ∑ ∞ =1 )( n n xu 在 D 上 点态收敛 于 S(x)。 例 10.1.1 利用我们目前所掌握的知识（如级数收敛的 Cauchy 判别法，D'Alembert 判别法等）和定义 10.1.1，可知下述结论： ∑ ∞ =1n n x 的收敛域是 )1,1(? ，和函数为 S(x) = x x ?1 ； ∑ ∞ =1n n n x 的收敛域为 )1,1[? ； ∑ ∞ =1 2 n n n x 的收敛域 ]1,1[? ； 例 10.1.1 利用我们目前所掌握的知识（如级数收敛的 Cauchy 判别法，D'Alembert 判别法等）和定义 10.1.1，可知下述结论： ∑ ∞ =1n n x 的收敛域是 )1,1(? ，和函数为 S(x) = x x ?1 ； ∑ ∞ =1 ! n n n x 的收敛域为 ),( +∞?∞=R ； ∑ ∞ =1 )!( n n xn 的收敛域为单点集{0} ； ∑ ∞ = ? 1 e n nx 的收敛域为 ),0( +∞ ，和函数为 S(x) = 1e 1 ? x 。 ∑ ∞ =1n n n x 的收敛域为 )1,1[? ； ∑ ∞ =1 2 n n n x 的收敛域 ]1,1[? ； 例 10.1.1 利用我们目前所掌握的知识（如级数收敛的 Cauchy 判别法，D'Alembert 判别法等）和定义 10.1.1，可知下述结论： ∑ ∞ =1n n x 的收敛域是 )1,1(? ，和函数为 S(x) = x x ?1 ； 给定一个函数项级数 ∑ ∞ =1 )( n n xu ，可以作出它的 部分和函数 S n (x) = ∑ = n k k xu 1 )( ， x∈E； 显然，使 {S n (x)}收敛的 x 全体正是级数的收敛域 D 。因此在 D 上， ∑ ∞ =1 )( n n xu 的和函数 S(x)就是其部分和函数序列{ S n (x)}的极限，即有 S(x) = ∞→n lim S n (x)= ∞→n lim ∑ = n k k xu 1 )( ， x∈D。 反过来，若给定一个函数序列 {S n (x)} ( x∈E )，只要令 u 1 (x) = S 1 (x)， u n + 1 (x) = S n+ 1 (x) - S n (x) (n = 1,2,… )， 就可得到相应的函数项级数 ∑ ∞ =1 )( n n xu ，它的部分和函数序列就是 {S n (x)}。 所以， 函数项级数 ∑ ∞ =1 )( n n xu 与函数序列 {S n (x)}的收敛性在本质上完 全是一回事。为方便起见，下面将经常通过讨论函数序列来研究函数 项级数的性质。 反过来，若给定一个函数序列 {S n (x)} ( x∈E )，只要令 u 1 (x) = S 1 (x)， u n + 1 (x) = S n+ 1 (x) - S n (x) (n = 1,2,…) ， 就可得到相应的函数项级数 ∑ ∞ =1 )( n n xu ，它的部分和函数序列就是 {S n (x)}。 函数项级数(或函数序列)的基本问题 设有限个函数 u 1 (x)，u 2 (x)，…， u n (x)在 D 上定义且具有某种分 析性质，如连续性、可导性和 Riemann 可积性（以下就称可积性）等， 则它们的和函数 u 1 (x)+u 2 (x)+…+ u n (x) 在 D 上仍保持同样的分析性质， 例如，其和函数的极限（或导数、积分）可以通过对每个函数分 别求极限（或导数、积分）后再求和来得到，即成立 (a) 0 lim xx→ )]()()([ 21 xuxuxu n +++"= 0 lim xx→ u 1 (x)+ ++ → ")(lim 2 0 xu xx 0 lim xx→ u n (x) (b) xd d )]()()([ 21 xuxuxu n +++"= xd d u 1 (x)+ xd d ++")( 2 xu xd d u n (x) (c) ∫ +++ b a n xxuxuxu d)]()()([ 21 " = ∫ b a xxu d)( 1 + ++ ∫ " b a xxu d)( 2 ∫ b a n xxu d)( 这些性质给我们带来了很大的方便。 函数项级数(或函数序列)的基本问题 设有限个函数 u 1 (x)，u 2 (x)，…， u n (x)在 D 上定义且具有某种分 析性质，如连续性、可导性和 Riemann 可积性（以下就称可积性）等， 则它们的和函数 u 1 (x)+u 2 (x)+…+ u n (x) 在 D 上仍保持同样的分析性质， 对于函数项级数，我们面对的是无限个 u n (x)（ n = 1,2,3,…） ，它 们的和函数 S(x)大多是不知道的， 因此只能借助 u n (x)的分析性质来间 接地获得 S(x)的分析性质。那么很自然地，我们希望在一定条件下 ．．．．．． ， 上述运算法则可以推广到无限个函数求和的情况。 这个问题是函数项级数(或函数序列 )研究中的基本问题，其实质 是极限（或求导、求积分）运算与无限求和运算在什么条件下可以交 换次序（由于求导、求积分与无限求和均可看作特殊的极限运算，因 此更一般地，可将其统一视为两种极限运算的交换次序） 。下面我们 将会看到，仅要求 ∑ ∞ =1 )( n n xu 在 D 上点态收敛是不够的。 对于函数项级数，我们面对的是无限个 u n (x)（ n = 1,2,3,…） ，它 们的和函数 S(x)大多是不知道的， 因此只能借助 u n (x)的分析性质来间 接地获得 S(x)的分析性质。那么很自然地，我们希望在一定条件下 ．．．．．． ， 上述运算法则可以推广到无限个函数求和的情况。 (1) 将性质 (a)推广到无限个函数的情况，是指当 u n (x)在 D 上连续 时，和函数 S(x) = ∑ ∞ =1 )( n n xu 也在 D 上连续，并且成立 0 lim xx→ ∑ ∞ =1 )( n n xu = ∑ ∞ = → 1 )(lim 0 n n xx xu ， 即极限运算与无限求和运算可以交换次序（也称函数项级数 ∑ ∞ =1 )( n n xu 可 以逐项求极限 ）。 对于函数序列{ S n (x)}而言，相应的结论是极限函数 S(x)= ∞→n lim S n (x) 也在 D 上连续，并且成立 0 lim xx→ ∞→n lim S n (x) = ∞→n lim 0 lim xx→ S n (x)， 即两种极限运算可以交换次序。 (1) 将性质 (a)推广到无限个函数的情况，是指当 u n (x)在 D 上连续 时，和函数 S(x) = ∑ ∞ =1 )( n n xu 也在 D 上连续，并且成立 0 lim xx→ ∑ ∞ =1 )( n n xu = ∑ ∞ = → 1 )(lim 0 n n xx xu ， 即极限运算与无限求和运算可以交换次序（也称函数项级数 ∑ ∞ =1 )( n n xu 可 以逐项求极限 ）。 下面的例子说明，在点态收敛的情况下，上述性质不一定成立。 例 10.1.2 设 S n (x) = x n ，则{ S n (x)}在区间 ]1,1(? 上收敛，极限函 数为 S(x) = ∞→n lim S n (x) = ? ? ? = <<? .1,1 ,11,0 x x 虽然对一切 n， S n (x)在 ]1,1(? 上连续（也是可导的） ，但极限函数 S(x) 在 x = 1 不连续 ( 当然更谈不上在 x = 1 可导) 。 (2) 将性质 (b)推广到无限个函数的情况，是指当 u n (x)在 D 上可 导时，和函数 S(x) = ∑ ∞ =1 )( n n xu 也在 D 上可导，并且成立 xd d ∑ ∞ =1 )( n n xu = ∑ ∞ =1 )( d d n n xu x ， 即求导运算与无限求和运算可以交换次序（也称函数项级数 ∑ ∞ =1 )( n n xu 可以 逐项求导 ）。 对于函数序列 {S n (x)}而言， 相应的结论是极限函数 S(x)= ∞→n lim S n (x) 也在 D 上可导，并且成立 xd d ∞→n lim S n (x) = ∞→n lim xd d S n (x)， 即求导运算与极限运算可以交换次序。 (2) 将性质 (b)推广到无限个函数的情况，是指当 u n (x)在 D 上可 导时，和函数 S(x) = ∑ ∞ =1 )( n n xu 也在 D 上可导，并且成立 xd d ∑ ∞ =1 )( n n xu = ∑ ∞ =1 )( d d n n xu x ， 即求导运算与无限求和运算可以交换次序（也称函数项级数 ∑ ∞ =1 )( n n xu 可以 逐项求导 ）。 例 10.1.2 已说明在点态收敛情况下，和函数 (或极限函数) 可能不 可导；下例说明，即使和函数 (或极限函数 )可导，上述两等式也不一 定成立。 例 10.1.3 设 S n (x)= n nxsin ，则 {S n (x)}在 ),( +∞?∞ 上收敛，极限函 数为 S(x) = 0，从而导函数 S ′ (x) = 0。 由于 n S ′ (x) = n cos nx， 因此 S n (x)的导函数所构成的序列 { n S ′ (x)}并不收敛于 S ′ (x) （例如当 x = 0， n S ′ (0) = n +∞→ ）。 (3) 将性质 (c) 推广到无限个函数的情况， 是指当 u n (x)在闭区间 [a, b]? D 上可积时，和函数 S(x) = ∑ ∞ =1 )( n n xu 也在 [a, b]上可积，并且成立 ∫ ∑ ∞ = b a n n xxu d)( 1 = ∑ ∫ ∞ =1 d)( n b a n xxu ， 即求积分运算与无限求和运算可以交换次序 （也称函数项级数 ∑ ∞ =1 )( n n xu 可以 逐项求积分 ）。 对于函数序列 {S n (x)}而言， 相应的结论是极限函数 S(x) = ∞→n lim S n (x) 也在区间 [a, b]上可积，并且成立 ∫ ∞→ b a n lim S n (x) dx = ∞→n lim ∫ b a n xS )( dx， 即求积分运算与极限运算可以交换次序。 (3) 将性质 (c) 推广到无限个函数的情况， 是指当 u n (x)在闭区间 [a, b]? D 上可积时，和函数 S(x) = ∑ ∞ =1 )( n n xu 也在 [a, b]上可积，并且成立 ∫ ∑ ∞ = b a n n xxu d)( 1 = ∑ ∫ ∞ =1 d)( n b a n xxu ， 即求积分运算与无限求和运算可以交换次序 （也称函数项级数 ∑ ∞ =1 )( n n xu 可以 逐项求积分 ）。 下面例 10.1.4 和例 10.1.5 将说明， 在点态收敛情况下， 和函数( 或 极限函数 )可能不可积；即使可积，上述两等式也不一定成立。 例10.1.4 设 S n (x) = ? ? ? ? ,,0 ,!,1 为其他值当 为整数当 x nx ].1,0[∈x 显然， 对每一个 n∈ + N ， S n (x)在 ]1,0[ 上有界， 至多只有有限个不连续点， 因而是可积的。 但是，当 x 是无理数时，对一切 n， S n (x) = 0，因此 S(x)= ∞→n lim S n (x) = 0；当 x 是有理数 p q （p ∈ + N ， q ∈ N ， pq ≤ ）时，对于 n≥p， S n (x) = 1，因此 S(x)= ∞→n lim S n (x)=1。所以， {S n (x)}的极限函数 S(x)就是熟知的 Dirichlet 函数，它在 ]1,0[ 上是不可积的。 下面例 10.1.4 和例 10.1.5 将说明， 在点态收敛情况下， 和函数( 或 极限函数 )可能不可积；即使可积，上述两等式也不一定成立。 例 10.1.5 设 S n (x) = nx(1 - x 2 ) n ，则 {S n (x)}在区间 ]1,0[ 上收敛于极 限函数 S(x) = 0。显然对任意 n， S n (x)与 S(x)都在 ]1,0[ 上可积，但是 ∫ 1 0 d)( xxS n = ∫ ? 1 0 2 d)1( xxnx n = 2 n ? ∫ ?? 1 0 22 )1d()1( xx n = )1(2 +n n ∫ 1 0 d)( xxS （ ∞→n ）。 上述例子说明，为了解决这类交换运算次序问题，需要引进比“点 态收敛”要求更强的新的收敛概念。 例 10.1.5 设 S n (x) = nx(1 - x 2 ) n ，则 {S n (x)}在区间 ]1,0[ 上收敛于极 限函数 S(x) = 0。显然对任意 n， S n (x)与 S(x)都在 ]1,0[ 上可积，但是 ∫ 1 0 d)( xxS n = ∫ ? 1 0 2 d)1( xxnx n = 2 n ? ∫ ?? 1 0 22 )1d()1( xx n = )1(2 +n n ∫ 1 0 d)( xxS （ ∞→n ）。 函数项级数(或函数序列)的一致收敛性 “函数序列 {S n (x)}在集合 D 上 (点态 )收敛于 S(x)”是指对于任意 0 x ∈D ，数列 {S n ( 0 x )}收敛于 S( 0 x )。也就是：对任意给定的 ε >0，可 以找到正整数 N ，当 n>N 时，成立： │S n ( 0 x )-S( 0 x )│ < ε。 这里的 N 应理解为 N( 0 x ,ε)，即 N 不仅与 ε有关，而且随着 0 x 的变化 而变化。 我们希望{ S n (x)}不仅在 D 上点点收敛于 S(x)， 而且在 D 上的收敛 速度具有某种整体一致性。也就是希望在上面的定义中，存在一个仅 与 ε有关，而与 0 x 无关的 N = N(ε)。 函数项级数(或函数序列)的一致收敛性 “函数序列 {S n (x)}在集合 D 上 (点态 )收敛于 S(x)”是指对于任意 0 x ∈D ，数列 {S n ( 0 x )}收敛于 S( 0 x )。也就是：对任意给定的 ε >0，可 以找到正整数 N ，当 n>N 时，成立： │S n ( 0 x )-S( 0 x )│ < ε。 这里的 N 应理解为 N( 0 x ,ε)，即 N 不仅与 ε有关，而且随着 0 x 的变化 而变化。 定义 10.1.2 设{S n (x)}（ x∈D）是一函数序列，若对任意给定的 ε >0，存在仅与ε有关的正整数N(ε)，当n>N(ε)时， │ S n (x)-S(x)│ < ε 对一切x∈D成立，则称{S n (x)}在D上一致收敛于S(x)，记为 S n (x) D ? S(x)。 若函数项级数 ∑ ∞ =1 )( n n xu （ x∈D）的部分和函数序列{S n (x)}， S n (x) = ∑ = n k k xu 1 )( ，在D上一致收敛于S(x)，则我们称 ∑ ∞ =1 )( n n xu在D上一致收敛 于S(x)。 采用符号表述的话，就是： “ S n (x) D ?S(x)” ? ?ε >0， ? N， ?n>N， ?x∈D： │ S n (x)-S(x)│ < ε； 和 “ ∑ ∞ =1 )( n n xu在D上一致收敛于S(x)” ? ?ε >0， ? N， ?n>N， ?x∈D： )()( 1 xSxu n k k ? ∑ = =│ S n (x)-S(x)│ < ε。 图 10.1.1 给出了一致收敛性的几何描述：对任意给定的 ε >0，存 在 N＝ N(ε)，当 n>N(ε)时，函数 y = S n (x)（ x∈D）的图象都落在带状 区域 {(x, y)│ x∈D， S(x)-ε <y<S(x)+ε} 之中。 图 10.1.1 推论 10.1.1 若函数项级数 ∑ ∞ =1 )( n n xu在D上一致收敛，则函数序列 )}({ xu n 在D上一致收敛于0)( =xu 。 由于函数项级数的一致收敛性本质上就是部分和函数序列的一 致收敛性，下面我们仅对函数序列举例讨论。 推论 10.1.1 若函数项级数 ∑ ∞ =1 )( n n xu在D上一致收敛，则函数序列 )}({ xu n 在D上一致收敛于0)( =xu 。 例 10.1.6 设 S n (x)= 22 1 xn x + ， 则 {S n (x)}在 ),( +∞?∞ 收敛于极限函 数 S(x) = 0。 因为 │ S n (x)-S(x)│ = 22 1 || xn x + ≤ n2 1 ， 所以对任意给定的 ε >0，只要取 N = ? ? ? ? ? ? ε2 1 ，当 n>N 时， │ S n (x)-S(x)│ ≤ n2 1 <ε 对一切 ),( +∞?∞∈x 成立，因此{ S n (x)}在 ),( +∞?∞ 上一致收敛于 S(x) = 0。 由于函数项级数的一致收敛性本质上就是部分和函数序列的一 致收敛性，下面我们仅对函数序列举例讨论。 推论 10.1.1 若函数项级数 ∑ ∞ =1 )( n n xu在D上一致收敛，则函数序列 )}({ xu n 在D上一致收敛于0)( =xu 。 从几何上看 (图 10.1.2)， 对任意给定的 0>ε ， 只要取 N＝ ? ? ? ? ? ? ε2 1 ， 当 n>N 时，函数 y=S n (x)， ),( +∞?∞∈x ，的图象都落在带状区域 }|||),{( ε<yyx 中。 图 10.1.2 例 10.1.7 设 S n (x) = x n （见例 10.1.2 ）， 考察{ S n (x)}在区间 )1,0[ 上 的一致收敛性。 对任意给定的 0<ε <1，要使 │ S n (x)-S(x)│ = x n <ε ， 必须 n> xln lnε ， 因此 N = N(x,ε )至少须取 ? ? ? ? ? ? xln lnε 。由于当 ?→1x 时， +∞→ xln lnε ，因此不 可能找到对一切 )1,0[∈x 都适用的 N = N(ε)，换言之，{ S n (x)}在 )1,0[ 上 不是一致收敛的。 从几何上看（图 10.1.3） ，对每个 n，函数 y = x n 的取值范围( 即 值域 ) 都是 [0,1) ，因此它们的图象不可能落在带状区域 }0),1,0[|),{( ε<<∈ yxyx 中。 图 10.1.3 定义 10.1.3 若对于任意给定的闭区间 [a, b] ? D，函数序列 {S n (x)}在[a, b] 上一致收敛于S(x)，则称{S n (x)}在D上内闭一致收敛于 S(x)。 显然，在 D 上一致收敛的函数序列必在 D 上内闭一致收敛，但其 逆命题不成立。 例如，将例 10.1.7 中考察的区间 )1,0[ 缩小为 ],0[ ρ ，其中 10 << ρ 是 任意的，则由 │S n (x)-S(x)│ = nn x ρ< ， 只要取 N = N(ε )= ? ? ? ? ? ? ρ ε ln ln ，当 n>N 时， │S n (x)-S(x)│ < ερ < n 对一切 ],0[ ρ∈x 成立，即 {S n (x)}在 ],0[ ρ ( 1<ρ )上是一致收敛的。也就是 说，尽管{x n }在 )1,0[ 上不一致收敛，但却是内闭一致收敛的。 从图 10.1.3 中可以看出， 随着 n 的增大， 函数 y = n x 在区间 ],0[ ρ 上的图象越来越接近 x 轴，从而全部落在带状区域 }0,0|),{( ερ ≤≤≤≤ yxyx 中。 图 10.1.3 下面我们建立关于一致收敛的两个充分必要条件，它们将有助于 对一致收敛性进行判断。 定理 10.1.1 设函数序列{ S n (x)}在集合D上点态收敛于S(x)， 定义S n (x)与S(x)的“距离”为 d (S n , S) = D∈x sup│ S n (x) - S(x)│， 则{S n (x)}在D上一致收敛于S(x)的充分必要条件是： ∞→n lim d (S n , S) = 0。 证 设 {S n (x)}在 D 上一致收敛于 S(x)，则对任意给定的 ε >0， 存在 N＝ N(ε)，当 n>N 时， │ S n (x)-S(x)│ < 2 ε 对一切 x∈D 成立，于是对 n>N， d (S n , S) ≤ 2 ε < ε， 这就说明 ∞→n lim d (S n , S) = 0。 反过来， 若 ∞→n lim d (S n , S) = 0， 则对任意给定的 ε >0， 存在 N＝ N(ε)， 当 n＞ N 时， d (S n , S)< ε， 此式表明 │ S n (x)-S(x)│ < ε 对一切 x∈D 成立，所以{ S n (x)}在 D 上一致收敛于 S(x)。 证 设 {S n (x)}在 D 上一致收敛于 S(x)，则对任意给定的 ε >0， 存在 N＝ N(ε)，当 n>N 时， │ S n (x)-S(x)│ < 2 ε 对一切 x∈D 成立，于是对 n>N， d (S n , S) ≤ 2 ε < ε， 这就说明 ∞→n lim d (S n , S) = 0。 对于例 10.1.6 中的 S n (x) = 22 1 xn x + ， ),( +∞?∞∈x ，由于 │S n (x)-S(x)│ = 22 1 || xn x + ≤ n2 1 ， 等号成立当且仅当 x = n 1 ± ，可知 d (S n , S) = 0 2 1 → n （ ∞→n ）， 因此 {S n (x)}在 ),( +∞?∞ 上一致收敛于 S(x) = 0。 对于例 10.1.7 中的 S n (x) = x n ， )1,0[∈x ，由于 d (S n , S) = 01 sup x≤ < x n = 1 0 ( ∞→n )， 所以{ S n (x)}在 )1,0[ 上不是一致收敛的。 对于例 10.1.6 中的 S n (x) = 22 1 xn x + ， ),( +∞?∞∈x ，由于 │S n (x)-S(x)│ = 22 1 || xn x + ≤ n2 1 ， 等号成立当且仅当 x = n 1 ± ，可知 d (S n , S) = 0 2 1 → n （ ∞→n ）， 因此 {S n (x)}在 ),( +∞?∞ 上一致收敛于 S(x) = 0。 例 10.1.8 设 S n (x) = 22 1 xn nx + ，则 {S n (x)}在 ),0( +∞ 上收敛于 S(x) = 0，由于 │ S n (x)-S(x)│ = 22 1 xn nx + ≤ 2 1 ， 等号成立当且仅当 x = n 1 ，可知 d (S n , S) = 2 1 0 （ ∞→n ）， 因此 {S n (x)}在 ),0( +∞ 上不是一致收敛的。 图 10.1.4 从几何上看 (图 10.1.4)，对每个 n，函数 y = 22 1 xn nx + 在 x = n 1 取到 最大值 2 1 ，因此它们的图象不可能落在带状区域 }2/1||,0|),{( <<+∞<< εyxyx 中。事实上， {S n (x)}在任意包含 x = 0 或以 x = 0 为端点的区间上都不是一致收敛的。 若将上例中{ S n (x)}限制在任意有限区间 ],[ Aρ （ +∞<<< Aρ0 ）上， 则由 22 1 |)()(| xn nx xSxS n + =? 及 ′ ? ? ? ? ? ? + 22 1 xn nx = 222 22 )1( )1( xn xnn + ? ， 可知当 n> ρ 1 时，│ S n (x)-S(x)│在 ],[ Aρ 上单调减少，从而 d (S n , S) = 0 1 22 → + ρ ρ n n （ ∞→n ）， 这说明 {S n (x)}在 ],[ Aρ 上一致收敛于 S(x)=0。 也就是说， {S n (x)}在 ),0( +∞ 上内闭一致收敛。 例 10.1.9 设 S n (x) = (1- x) x n ，则{ S n (x)}在 ]1,0[ 上收敛于 S(x) = 0。由│ S n (x)-S(x)│ = (1- x) x n 及 ' (1 ) n x x? ?? ? ? = 1?n x [n-(n+1)x]， 可知│ S n (x)-S(x)│在 x = 1+n n 取到最大值，从而 d (S n , S) = ? ? ? ? ? ? + ? 1 1 n n n n n ? ? ? ? ? ? +1 = 0 1 1 1 1 → ? ? ? ? ? ? + ? ? ? ? ? ? + n nn （ ∞→n ）， 这说明 {S n (x)}在 ]1,0[ 上一致收敛于 S(x) = 0。 例 10.1.10 设 n n n x xS ? ? ? ? ? ? += 1)( ，则 { })(xS n 在 ),0[ +∞ 上收敛于 x exS =)( 。 证明 { })(xS n 在 ],0[ a 上一致收敛（ a是任意正数） 。 证 由于函数 n x n x ex ? ? ? ? ? ? += ? 1)(? 满足 01)( 1 ≤ ? ? ? ? ? ? +?= ′ ? ? n x n x ex n x ? ， ],0[ ax∈ ， 所以 )(x? 在 ],0[ a 上是单调减少函数，且 1)0 =(? ， n a n a ea ? ? ? ? ? ? += ? 1)(? 。从 而 111 ≤ ? ? ? ? ? ? +≤ ? ? ? ? ? ? + ?? n x n a n x e n a e ， ],0[ ax∈ 。 例 10.1.10 设 n n n x xS ? ? ? ? ? ? += 1)( ，则 { })(xS n 在 ),0[ +∞ 上收敛于 x exS =)( 。 证明 { })(xS n 在 ],0[ a 上一致收敛（ a是任意正数） 。 所以 ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? +?≤? ? ? ? ? ? ? +=? ? ? ? ? ? ? +=? ?? n aa n xxx n n n a ee n x eee n x xSxS 11111|)()(| ， ],0[ ax∈ , 于是 ≤≤ ),(0 SSd n ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? +? ? n aa n a ee 11 。 由于 011lim = ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? +? ? ∞→ n aa n n a ee ， 所以 0),(lim = ∞→ SSd n n 。 这就说明 {})(xS n 在 ],0[ a 上一致收敛于 x exS =)( 。 定理 10.1.2 设函数序列{S n (x)}在集合D上点态收敛于S(x)， 则{S n (x)}在D上一致收敛于S(x)的充分必要条件是：对任意数列{x n }， x n ∈D，成立 ∞→n lim (S n (x n )-S(x n )) = 0。 证 先证必要性。设 {S n (x)}在 D 上一致收敛于 S(x)，则 d (S n , S) = D∈x sup│ S n (x)-S(x)│ →0 ( ∞→n )， 于是对任意数列{ x n }， x n ∈ D，成立 │ S n (x n )-S(x n )│ ≤d (S n , S)→0 ( ∞→n )。 定理 10.1.2 设函数序列{S n (x)}在集合D上点态收敛于S(x)， 则{S n (x)}在D上一致收敛于S(x)的充分必要条件是：对任意数列{x n }， x n ∈D，成立 ∞→n lim (S n (x n )-S(x n )) = 0。 关于充分性，我们采用反证法，也就是证明：若 {S n (x)}在 D 上不 一致收敛于 S(x)，则一定能找到数列 {x n }， x n ∈D，使得 S n (x n ) - S(x n ) 0（ ∞→n ）。 由于命题“ {S n (x) }在 D 上一致收敛于 S(x)”可以表述为 ?ε >0， ? N， ?n>N， ?x∈D：│ S n (x)-S(x)│ < ε， 因此它的否定命题“{ S n (x)}在 D 上不一致收敛于 S(x)”可以表述为： ? 0 ε >0， ? N>0，? n>N， ? x∈D：│S n (x)-S(x)│ ≥ 0 ε 。 于是，下述步骤可以依次进行： 取 N 1 ＝1 ， ?n 1 >1， ? 1 n x ∈D：│ 1 n S ( 1 n x )-S( 1 n x )│ ≥ 0 ε ， 取 N 2 ＝n 1 ， ?n 2 >n 1 ， ? 2 n x ∈D：│ 2 n S ( 2 n x )-S( 2 n x )│ ≥ 0 ε ， …… 取 N k ＝ 1?k n ，? k n > 1?k n ， ? k n x ∈D：│ k n S ( k n x )-S( k n x )│ ≥ 0 ε ， ……。 对于 m∈N + \{n 1 ， n 2 , …, n k ，… }，可以任取 x m ∈D，这样就得到 数列 {x n }， x n ∈D，由于它的子列 { } k n x 使得 │ k n S ( k n x )-S( k n x )│ ≥ 0 ε ， 显然不可能成立 ∞→n lim (S n (x n )-S(x n )) = 0 。 定理 10.1.2 常用于判断函数序列的不一致收敛。 对例 10.1.7 中的 S n (x) = x n ， )1,0[∈x ，可以取 n x n 1 1?= [0,1)∈ ，则 S n ( n x )-S( n x ) = n n ? ? ? ? ? ? ? 1 1 → e 1 （ ∞→n ）， 这说明{ S n (x)}在 )1,0[ 上不一致收敛于 S(x) = 0； 对例 10.1.8 中的 S n (x) = 22 1 xn nx + ， ),0( +∞∈x ，可以取 x n = n 1 ，则 S n (x n )-S(x n ) = 2 1 同样也说明{ S n (x)}在 ),0( +∞ 上不一致收敛于 S(x) = 0。 例10.1.11 设 S n (x) = n xnx )1( 2 ? ， ]1,0[∈x （见例 10.1.5），则 {S n (x)} 在 ]1,0[ 上收敛于 S(x) = 0。取 x n = ]1,0[ 1 ∈ n ，则 S n (x n )-S(x n ) = 1 1 1 2 → ? ? ? ? ? ? ? n n （ ∞→n ）， 这说明 {S n (x)}在 ]1,0[ 上不一致收敛于 S(x) = 0。 例 10.1.12 设 n n n x xS ? ? ? ? ? ? += 1)( ，则 { })(xS n 在 ),0[ +∞ 上收敛于 x exS =)( 。 证明 { })(xS n 在 ),0[ +∞ 上不一致收敛 (见例 10.1.10)。 证 取 nx n = ，则 S n (x n )-S(x n ) ?∞→?= nn e2 （ ∞→n ）， 由定理 10.1.2， { })(xS n 在 ),0[ +∞ 上不一致收敛于 x exS =)( 。 例10.1.11 设 S n (x) = n xnx )1( 2 ? ， ]1,0[∈x （见例 10.1.5），则 {S n (x)} 在 ]1,0[ 上收敛于 S(x) = 0。取 x n = ]1,0[ 1 ∈ n ，则 S n (x n )-S(x n ) = 1 1 1 2 → ? ? ? ? ? ? ? n n （ ∞→n ）， 这说明 {S n (x)}在 ]1,0[ 上不一致收敛于 S(x) = 0。 例 10.1.13 证明函数项级数 ∑ ∞ = ? ? ? ? ? ? + 1 1 n n n xn 在 )1,1(? 上不一致收敛 （注 意该函数项级数的收敛域为 )1,1(? ）。 证 记 n n n xnxu ? ? ? ? ? ? += 1 )( ， 则函数序列 )}({ xu n 在 )1,1(? 上收敛于 0)( =xu 。 由推论 10.1.1 知，要证明 ∑ ∞ = ? ? ? ? ? ? + 1 1 n n n xn 在 )1,1(? 上不一致收敛，只要 证明函数序列 )}({ xu n 在 )1,1(? 上不一致收敛于 0)( =xu 即可。 取 )1,1( 1 1 ?∈?= n x n ，则 ∞→=? nxuxu nnn )()( （ ∞→n ）， 由定理 10.1.2， )}({ xu n 在 )1,1(? 上不一致收敛于 0)( =xu 。