教案 数学分析中一个反例的教学 教学内容 讲授数学分析发展历史上一个重要的反例：处处连续处处不可导的函数，以及这 一反例对数学学科发展的影响；介绍德国数学家 Weierstrass 的生平与对数学分析 所作的贡献。 指导思想 通过讲授处处连续处处不可导的函数的例子与介绍德国数学家 Weierstrass 的贡 献，使学生掌握函数项级数一致收敛理论的重要应用，认识到数学家如何通过从 提出猜想，到证明或否定猜想的过程，使数学学科得到发展的，从而使学生在今 后的学习中重视对反例的探讨。 教学安排 （ 1）德国数学家 Weierstrass 的简单介绍 同学们，前一阶段，我们学习了函数项级数一致收敛的理论，有了这一基础， 我们可以来介绍一个在数学分析中非常重要的内容。这个结果是属于 Weierstrass 的。关于 Weierstrass 这个名字，我们并不陌生（我们已学过以他的名字冠名的定 理有：有界数列必有收敛子列，函数项级数的 Weierstrass 判别法等），在以后的 学习中，你们将会不断遇上 Weierstrass 这个名字。 Karl Weierstrass （1815—1897） 是 19 世纪德国数学家，他在数学的许多领域都作出了重大贡献，其中不少成果 是在他做中学教师时取得的。后来他被聘为柏 林大学教授和法国巴黎科学院院 士。他是数学分析基础的主要奠基者之一，是把严格的数学论证引进分析学的一 位大师。 Weierstrass 利用单调有界的有理数数列来定义无理数，从而在严格的逻 辑基础上建立了实数理论；关于连续函数的分析定义（即 δε ? 语言）也是他给 出的，这些贡献使得数学分析的叙述精确化，论证严格化。 （ 2）处处连续处处不可导的函数 在数学分析的发展历史上，数学家们一直猜测：连续函数在其定义区间中， 至多除去可列个点外都是可导的。也就是说，连续函数的不可导点至多是可列集。 在当时，由于函数的表示手段有限，而仅仅从初等函数或从分段初等函数表示的 角度出发去考虑，这个猜想是正确的。 但是随着级数理论的发展，函数表示的 手段扩展了，数学家可以通过函数项级数来表示更广泛的函数类。 Weierstrass 是 一位研究级数理论的大师，他于 1872 年利用函数项级数第一个构造出了一个处 处连续而处处不可导的函数，为上述猜测做了一个否定的终结： () 0 () sin nn n f xab ∞ = = ∑ x， ba <<< 10 ， 。 1>ab 下面叙述的反例在证明上要相对简易些，它是由 荷兰数学家 Van Der Waerden 于 1930 年给出的： 设 (x)表示 x 与最邻近的整数之间的距离，例如当 x = 1.26，则 (x) = 0.26； 当 x = 3.67，则 ? ? ? (x) = 0.33。显然 ? (x)是周期为 1 的连续函数，且 。 2/1)( ≤? x 注意当 yx, ] 2 1 ,[ +∈ kk 或 ]1, 2 1 [ ++ kk 时，成立 |||)()(| yxyx ?=??? 。 Van Der Waerden 给出的例子是： )(xf = ∑ ∞ = ? 0 10 )10( n n n x . 由 n n x 10 )10(? ≤ n 102 1 ? ，及 ∑ ∞ = ? 0 102 1 n n 的收敛性，根据 Weierstrass 判别法，上述函数 项级数关于 一致收敛。所以 在),( +∞?∞∈x )(xf ),( +∞?∞ 连续。 （ 3）处处不可导的证明 现考虑 在任意一点 x 的可导性。由于 的周期性，不妨设 ， 并将 x 表示成无限小数 )(xf )(xf 10 <≤ x x = 0.a 1 a 2 …a n …。 若 x 是有限小数时，则在后面添上无穷多个 0。然后我们取 h m = ? ? ? =? = ? ? ,9,4,10 ,8,7,6,5,3,2,1,0,10 m m m m a a 当 当 例如设x = 0.309546…，则我们取h 1 = ， h 1 10 ? 2 = ， h 2 10 ? 3 = ， h 3 10 ? ? 4 = ， h 4 10 ? 5 = ，h 5 10 ? ? 6 = ，…。显然 6 10 ? 0→ m h ( ∞→m )。 于是我们只要证明极限 m m m h xfhxf )()( lim ?+ ∞→ 不存在。 m m h xfhxf )()( ?+ = ∑ ∞ = ??+? 0 10 )10())(10( n m n n m n h xhx ∑ ? = ??+? = 1 0 10 )10())(10( m n m n n m n h xhx ∑ ∞ = ??+? + mn m n n m n h xhx 10 )10())(10( 当 时， (10mn ≥ ? n (x + h m )) = ? (10 n x± ) = mn? 10 ? (10 n x)，所以 m m h xfhxf )()( ?+ ∑ ? = ??+? = 1 0 10 )10())(10( m n m n n m n h xhx . 当 1,,2,1,0 ?= mnL，在 的表示中 的位置是第x n 10 m a nm? 位小数， ,.10 121 LLL mnn n aaaaax + = ,)1(.)(10 121 LLL±=+ + mnnm n aaaaahx 由 的取法，可知 10 m h n (x + h m )与 x同时属于 n 10 ] 2 1 ,[ +kk 或 ]1, 2 1 [ ++ kk ，因此 ? ( (x + )) - n 10 m h ? ( x) = n 10 ± m n h10 ， 于是我们得到 m m h xfhxf )()( ?+ = ， ∑ ? = ± 1 0 1 m n 等式右端必定是整数，且其奇偶性与 m 一致，由此可知极限 ∞→m lim m m h xfhxf )()( ?+ 不存在，也就是说， 在任意一点 x 是不可导的。这样，一个处处连续，但)(xf 处处不可导的函数反例通过了函数项级数这一工具而被构造出来了。 （ 4）电子课件演示 （ 5）总结 Weierstrass 的反例构造出来后，在数学界引起极大的震动，因为对于这类函 数，传统的数学方法已无能为力，这使得经典数学陷入又一次危机。但是反过来 危机的产生又促使数学家们去思索新的方法对这类函数进行研究，从而促成了一 门新的学科“分形几何”的产生。所谓“分形” ，就是指几何上的一种“形” ，它 的局部与整体按某种方式具有相似性。“形”的这种性质又称为“自相似性”。 我们知道，经典几何学研究的对象是规则而光滑的几何图形，但是自然界存 在着许多不规则不光滑的几何图形，它们都具 有上面所述的“自相似性” 。如云 彩的边界；山峰的轮廓；奇形怪状的海岸线；蜿蜒曲折的河流；材料的无规则裂 缝，等等。这些变化无穷的曲线，虽然处处连续，但可能处处不可导。因此“分 形几何”自产生起，就得到了数学家们普遍的关注，很快就发展为一门有着广泛 应用前景的新的学科。 通过这个例子，同学们可以了解到数学学科的发展规律，认识到一个反例如 何促成一门新学科的产生。希望同学们在今后的学习中，重视对反例的探索。 注意点 （1）在 Weierstrass 反例的证明中，注意 的符号的选取是证明的关键。这样的 符号选取保证了当 m h 1,,2,1,0 ?= mnL时， 与 或者同时属于)(10 m n hx+ x n 10 ] 2 1 ,[ +kk ，或者同时属于 ]1, 2 1 [ ++ kk ，从而有 m m h xfhxf )()( ?+ ∑ ? = ??+? = 1 0 10 )10())(10( m n m n n m n h xhx = 。 ∑ ? = ± 1 0 1 m n （2）在用电子课件演示 Weierstrass 反例的几何性状时，应强调 Weierstrass 函数 的局部与整体性质上的相似性，从而使学生对“分形”有一个初步的感性认识。