教案 用微积分推导 Newton 的万有引力定律 复 旦 大 学 於 崇 华 Newton 万有引力定律 宇宙万物之间都存在相互的引力，其作用方向在 两者的连线上，其大小与两者质量的乘积成正比而和 两者距离的平方成反比。比例系数是绝对常数 为了推导内在的定量关系即数学规律，先要将行星运动定律 用数学形式表达出来。 Kepler 第一定律：行星围绕太阳运动的轨迹是一个椭 圆，太阳在椭圆的一个焦点上。 r sinθ θ 以太阳为极点，椭圆的长轴 为极轴建立极坐标，则行星的轨 道方程为 r p e = ?1cosθ ， 这里 p b a = 2 是焦参数， e 是离心率， a 分别是椭圆的半 长轴和半短轴。 b a =?1 2 2 b r cos 和 r θ 设在 t 时刻： 行星与太阳的距离为 r = r (t)，它们的连线与极轴的夹角 为 ，则行星的坐标可以用向量记号表示成 )(tθ=θ r=(cos, sin )rrθ θ 。 先从 Newton 第二运动定律 F a= m 入手 将 分解成水平分量 r θcosr 和垂直分量 θsinr ，利用运动 的独立性原理，用 Newton 第二运动定律 F a= m 2 2 d d t r = ， 分别求它们的二阶导数后再合成。 记行星沿极径方向的速度: t r d d r&≡ （称为径向速度） 加速度: 2 2 d d t r r && ≡ （称为径向加速度）， 角速度: ≡ θ td d ω 角加速度: ω≡ ω & td d 利用复合函数的求导法则( r 和 θ都是 t 的函数) ，行星在 x 方向和 方向上的加速度分量分别为 y dr dt rrr 2 2 2 (cos) && cos & sin [ & sin cos ] θ θωθωθω=? ? +θ =? ? +( && )cos ( & & )sinrr r rω θ ω ω θ 2 2 ； dr dt rr r 2 2 2 (sin) && sin & cos [ & cos sin ] θ θωθωθω=+ + ?θ = + + ?( & & )cos ( && )sin2 2 rr rrω ω θ ω θ 。 记 r 方向上的单位向量 r r 0 = r =(cos , sin )θ θ ，则加速度向量 =a 2 2 d d t r = ( ) + ( && rr?ω 2 0 r ω ω+ω && rr2 ) （1） 0 r & 为了得到行星运动规律，必须求出 && rr? ω 2 与 ω ω+ω && rr2 ， 而求这两个量只能借助其它的关系式 试着将 Kepler 的行星运动第二定律用数学形式表达出来： Kepler 第二定律：单位时间中，极径扫过的那块椭圆的 面积是常数。 记 是极径转过角度 Ad θd 所扫过的那块椭圆的面积，则由 极坐标下的面积公式的微分形式， Ad θ= d 2 1 2 r ， 因此，单位时间中扫过的面积 dA dt r= 1 2 2 ω = 常数。 记行星绕太阳运行一周的时间为 ，则经过 时间极径所 扫过的面积恰为整个椭圆的面积 T T πab ，由定积分的定义和性 质，利用微元法，即得 πab == ∫ dA dt dt r T T 0 2 1 2 ω ， 因此常数 r ab T 2 2 ω π = ， 两边求导后得到 () & & rrrr 22 20ω ω ω′ = + = ， 即 20 & & rrω ω+ = 。 这样，（1）的最后一项就去掉了，等式成为 =a 2 2 d d t r = ( && rr? ω 2 ) （2） 0 r 这表示： 行星在任一点的加速度的方向（也就是受力的方向）恰 与它的极径同向。 从求加速度分量的过程可以发现，加速度的值 来自 对 （或 ）求二阶导数，而椭圆方程 && rr?ω 2 θcosr θsinr pr e= ?(cos1 )θ 中恰含有 项。这提示我们 ．．．．． ，可能可以通过对椭圆方程两 边求二阶导数来计算出 θcosr &&rr? ω 2 。 == p&&0 er? && dt rd )cos( 2 θ =? ? && ( && )cosrrr eω θ 2 =? ? +( && )( cos )rr e rω θ ω 22 1 = ? ?+ && rr r pr ω ω 2 2 ， 所以 && () rr r rp ab T a br ?=? ?=? ?ω ω π 2 22 2 222 22 14 2 1 =? ? ?4 1 2 3 2 π a Tr 2 。 （3） Kepler 第三定律：椭圆的半长轴a的三次方和运行周期 T的平方成正比，即 a T 3 2 = 常数，记太阳的质量为 M ，有 F a= m =?mr r(&& )ω 2 0 r =? ? ?() 4 23 22 π M a T Mm r r 0 ， 记万有引力常数 G M a T = 4 23 2 π ≈ × ? ? 667 10 11 3 2 .(/mkgs) ， 便得到 万有引力定律的数学表示 F =?G Mm r 2 r 0 。 宇宙万物之间都存在相互的引力，其作用方向在 两者的连线上，其大小与两者质量的乘积成正比而和 两者距离的平方成反比。比例系数是绝对常数 说 明 (1) 以上只是论证了万有引力定律对太阳- 行星系统是正确 的。但以后的科学工作者（包括 Newton 本人）一系列的观测和 实验数据证实，它确实“放之四海而皆准” ，适用范围从天体运 动延展到微观世界，令人信服地定量 地解释了许多物理现象，并 成为探索未知世界的有力工具。其中一些著名的例子： ●计算出哈雷彗星的轨道和运行周期： ●发现海王星和冥王星； ●正确解释了潮汐的起因和规律； ●计算出第一、第二和第三宇宙速度，指导人类宇航活动。 (2) 数学的产生与发展离不开外部世界的推动，是和解决实 际问题紧密联系的。 万有引力定律是人类历史上最伟大的数学模 型之一。而一个成功的数学模型对文明发展的影响和作用可能无 法估量，因此数学及其应用对整个人类文明进程举足轻重。 (3) 一切伟大的科学发现都是站在巨人肩膀上取得的 ，因此 学好前人的科学总结，即打好基础 对于培养创新精神极为重要。 (4) 通过此过程可以复习微积分中的一系列重要内容，如： 高阶导数、复合函数求导法则、微元法等，并进一步学会如何具 体运用这些知识进行简单的数学建模和求解。 (5) 若承认 Newton 万有引力定律，用微积分作为工具，也可导 出 Kepler 的行星运动三大定律，这说明两者存在着深刻的内在 联系（今后在其它课程，如常微分方程、数学模型中学习）