教案 实数系的连续性——实数系的基本定理 1． 教学内容 利用实数的无限小数表示，证明非空有界的实数集合必有上确界与下确界， 即最小上界与最大下界。 2． 指导思想 （1） Newton , Leibniz 建立微积分以来，它在解决实际问题上的正确性与 在逻辑上的不严格性的矛盾困惑了一代又一代 的数学家，不少人对微积 分理论产生过怀疑，直到 Cauchy , Weierstrass 建立了极限论的严格基础， 人类科学史上最辉煌的成就之一—— 微积分理论的大厦才得以牢固建 立。作为极限论的出发点，实数系的基本定理 ——实数系的连续性，在 数学分析课程中占有重要的地位。 （2） 实数系的基本定理有多种表达方式： Dedkind 切割定理，确界存在 定理，单调有界数列收敛定理，闭区间套定理， Bolzano-Weierstrass 定 理，Cauchy 收敛原理和 Cantor 定理。这些定理是等价的，其中每一个 都可以作为极限论的出发点，建立起整个极限理论。 （3） 传统的教材常采用 Dedkind 切割定理作为实数系连续性定理，并由 此出发导出极限论的全部理论。但由于 Dedkind 切割定理过分抽象，对 大学一年级学生来说难以接受，而将实数连续 性作为一个公理加以承认 又使人感到极限理论不够完备。我们则采用对 学生来说非常熟悉的实数 的无限小数表示方法，直观而简明地证明了确 界存在定理，既使得学生 容易掌握，又使得本书的极限理论得以完备化。 （4） 通过本节的教学， 要求使学生了解人类对数的认识的发展历史；对 实数系的连续性不仅能从几何上理解，还能从分析上掌握如何加以证明； 并认识正是由于实数系的连续性，才使它成为 整个数学分析课程的“活 动舞台”。 3． 教学安排 （1） 讲述人类对数的认识的发展历史： 自然数 ?整数 ?有理数 ?实数。 讲解促使这一发展历史的原因和例子。指出整数系具有离散性, 有理数系具有稠 密性, 对于实数系，让学生先从几何上理解它的连续性：实数布满整个数轴而无 “空隙”。 （2） 先给出数集的最大数与最小数的定义： 设 S 是一个数集，如果 ? ， 使得 ，有 ，则称 是数集 ∈ξ S ?∈xS x ≤ξ ξ S 的最大数，记为 ξ = maxS ；如果 ， 使得 ,有 ?∈η S ?∈xS x ≥η，则称 η是数集 S 的最小数，记为 η = minS 。 当数集 S 是非空有限集，即 S 只含有有限个数时， maxS与 显然存在，minS 且 maxS是这有限个数中的最大者， min 是这有限个数中的最小者。但是当S S 是 无限集时，情况就不同了。例如 集合 A = ≥{| }xx 0 没有最大数，但有最小数， 且 min A = 0；集合 B =≤<{| }xx01没有最大数，但有最小数。 注意在证明数集 没有最大数时，我们采用的思路是： S xxSxSx >∈?∈? ':', 。 （3）给出数集的上确界与下确界的定义： 设数集 S 有上界，记 U 为 S 的上界 全体所组成的集合，则显然 U 不可能有最大数，但是 U 是否一定有最小数? 如 果 U 有最小数 β，就称 β为数集 S 的上确界，即最小上界,记为 β = supS 。 由定义，可知上确界 β满足下述两性质： （a ） β是数集 S 的上界： ? ∈xS，有 x ≤β； （b） 任何小于 β的数不是数集 S 的上界： ?ε>0， ? ∈xS,使得 。 x >?βε （4）叙述实数的无限小数表示：任何一个实数 x可表示成 x =［ x］+( x )， 其中［ x ］表示 x 的整数部分，( x )表示 x 的非负小数部分。例如对 x = 34.,有 []x = 3,( ) .x = 04；对 x =?27.,有 []x = ?3, ( ) .x = 03。我们将 ( x )表示成无限小数 的形式： ( x ) = , 0 12 .aa a n LL 其中 aa 中的每一个都是数字 0， 1， 2，…，9 中的一个。若(a n12 ，，，，L L x ) 是有限小数，则在后面接上无限个 0，这称为实数的无限小数表示。注意无限小 数 0 ( )与无限小数 0000 12 .aa a p LLa p ≠ 0 1 999 12 .()aa a p L L? 是相等的，为了保持 表示的唯一性，我们约定在( x )的无限小数表示中不出现后者。这样，任何一个 实数集合 S 就可以由一个确定的无限小数的集合来表示： ｛ ｜ a =［LL n aaaa 210 .0+ 0 x］, = (0 12 .aa a n LL x ), x S∈ ｝。 （ 5）我们通过下述方法来找 出数集的上确界：设数集 S 有上界，则可令 S 中 元素的整数部分的最大者为 (α 0 α 0 一定存在，否则的话， S 就不可能有上界 )， 并记 S 0 =∈ ={| [] }xx S x并且 α 0 。 显然 不是空集，并且 ?S 0 x ∈S ，只要 x ?S 0 ，就有 x＜ α 0 。 再考察数集 中元素的无限小数表示中第一位小数的数字，令它们中最大 的为 α ，并记 S 0 1 S 1 =∈{| }xx S x 01 并且 的第一位小数为α 。 显然 S 也不是空集，并且 1 ? x ∈S ，只要 x ?S 1 ，就有 x＜ α 0 +0. 。 α 1 一般地，考察数集 中元素的无限小数表示中第 n 位小数的数字，令它们 中最大的为 α ，并记 S n?1 n S n =∈ ? {| }xx S x n nn1 并且 的第 位小数为 α 。 显然 也不是空集，并且 ?S n x ∈S ，只要 xS 0 1 2 n +0. … α 。 α α n ? ，就有 x＜ α 不断地做下去，我们得到一列非空数集 S ? S 0 ? S 1 ?… ? S n ?…，和一列 数 α ， ， ，…， α ,…，满足 0 1 2 n α α α 0 ∈Z ； ｛0,1,2,…，9},α k ∈ ? ∈k N 。 令 β = α 0 +0.α 1 α 2 … α n …， 这就是我们要找的数集 的上确界。 S （6）我们分两步证明 β就是数集 S 的上确界。 （a ） ，或者存在整数 ，使得?∈xS n 0 0≥ xS n ? 0 ；或者对任何整数 ， 有 。若 ,便有 n ≥ 0 xS n ∈ xS n ? 0 x ＜ α 0 +0.α 1 α 2 … α n 0 ≤ β。 若 ( )，由 的定义并逐位比较xS n ∈ ?∈nNU{}0 S n x与 β的整数部分与每一个小 数位上的数字，即知 x = β。所以 ? ∈xS，有 x≤ β，即 β是数集 S 的上界。 (b) ?ε ，只要将自然数 取得充分大，便有 > 0 n 0 1 10 0 n <ε。 取 ，则 β与 的整数部分及前 位小数是相同的，所以 xS n0 0 ∈ x 0 n 0 β? x 0 ≤ 1 10 0 n <ε， 即 x 0 > ?β ε 即任何小于 β 的数 εβ ? 不是数集 的上界。 S （ 7） 最后我们说明有理数集不具备“确界存在定理” ，即有理数集是不连续 的。 设 Tx ，证明xQ x x=∈ > <{| }并且 ， 0 2 2 T 在 中没有上确界。 Q 证 用反证法。 假设 T 在 Q内有上确界，记 supT = n m （ 且 m 互质），则显然有 mnN， ∈ n， 1＜ () n m 2 ＜3。 由于有理数的平方不可能等于 2，于是只有下述两种可能： (a) 1＜ () n m 2 ＜2： 记 2 2 2 ?= n m t ，则 0＜ ＜1。令t r n m t= 6 , 则 n m r+ ＞0, n m rQ+∈，并且 () n m rr n m rt+?=+ ?< 22 2 2 0。 这说明 n m rT+∈，与 n m 是 T 的上确界矛盾。 (b) 2＜ () n m 2 ＜3： 记 n m t 2 2 2?=,则 0＜ ＜1。令t r n m t= 6 ，显然也有 n m r? ＞0, n m r? ∈Q并且 () n m rr n m rt??=? +> 22 2 2 0。 这说明 n m r? 也是 T 的上界，与 n m 是 T 的上确界矛盾。 由此得到结论： T 在 Q中没有上确界。 4． 注意点： （1） 由于学生初学微积分，对极限论的 抽象概念不易接受，应该在讲课 中突出几何直观。如 2 位于有理数集合的“ 空隙” 中, 应通过单位正方形 的对角线在数轴上标出它的位置；在确界定理 的叙述中，应指出若实数 系在数轴上有“空隙” ， 则位于空隙左边的实数集合没有上确界，位于 空隙右边的实数集合没有下确界。 （2） 本节课程中要遇到不少与一些抽象 概念有关的命题，在给出它们的 分析证明时要教会学生正确的逻辑思维方法。如证明“集合 没有最大 数”的逻辑思路是证明： S xxSxSx >∈?∈? ':', ；证明“ β 是集合 的上 确界”的逻辑思路是证明： S β≤∈? xSx : （即 β 是 的上界），且S εβε ?>∈?>? xSx :,0 （即任意小于 β 的数不是上界）；证明“有理数 集合 { }2,: 2 <∈= xQxxT 在 中没有上确界”的逻辑思路是：假设 ，则可以找到有理数 ，或者 Q QxT ∈= 0 sup 0>r Trx ∈+ 0 （即 不是 T 的 上界），或者 0 x rxxTx ?≤∈? 0 , （即 不是最小上界），从而推出矛盾。 0 x （3） 通过讲课，要让学生了解实数系的 连续性有多种等价的表达形式， 这些等价的定理贯穿于极限论的整个理论，构 成了极限论最基本、最丰 富的内容。