教案 函 数 的 幂 级 数 展 开 1． 教学内容 函数的幂级数（Taylor 级数）展开是数学分析课程中最重要的内容之一，也是整 个分析学中最有力的工具之一。通过讲解将函数展开成幂级数的各种方法，比较 它们的优缺点，使学生在充分认识函数的幂级数展开的重要性的基础上，掌握如 何针对不同的函数选择最简单快捷的方法来展开幂级数，提高学生的计算与运算 能力。 2．指导思想 （1）函数的幂级数（Taylor 级数）展开作为一个强有力的数学工具，在分析学 中占有举足轻重的地位。通常的数学分析教科书往往注重于讲解幂级数的理论， 而忽视了讲解将函数展开成幂级数的方法，这样容易造成学生虽然掌握了幂级数 的基本理论，但在实际计算中，即使对于一个很简单的函数，在求它的幂级数展 开时也会感到很困难，这种状况必须加以改变。 （ 2）求函数的幂级数展开是每个数学工作者时时会碰到的问题，虽然我们有函 数的幂级数展开公式（见下面的（ *）式） ，但一般来说，直接利用（ *）式来求 函数的幂级数展开往往很不方便，因此有必要向学生介绍一些方便而实用的幂级 数展开方法，提高学生的实际计算能力，这也是我们在数学分析课程中推行素质 教育的一个不可忽视的环节。 3. 教学安排 首先回顾在讲述幂级数理论时已学过的相关内容：设函数f (x)在 x 0 的某个邻域 O(x 0 , r)中能展开幂级数，则它的幂级数展开就是f (x) 在 x 0 的Taylor 级数： （*） ).,(,)( ! )( )( 0 0 0 0 )( rxOxxx n xf xf n n n ∈?= ∑ ∞ = 另外我们已得到了以下一些基本的幂级数展开式： (1) f (x) = e x = ∑ ∞ =0 ! n n n x !!3!2 1 32 n xxx x n LL++++= + …, x ∈( -∞ , +∞) 。 (2) f (x) = sin x = ∑ ∞ = + + ? 0 12 !)12( )1( n n n x n )!12( )1( !5!3 1253 + ?+?+?= + n xxx x n n LL+ …, x ∈( -∞, + ∞) 。 (3) f (x) = cos x = ∑ ∞ = ? 0 2 !)2( )1( n n n x n 1 )!2( )1( !4!2 1 242 n xxx n n ?+?+?=LL+ …, x ∈( -∞, + ∞) 。 (4) f (x) = arctan x = ∑ ∞ = ? ? ? ? 1 12 1 12 )1( n n n x n 12 )1( 53 1253 + ?+?+?= + n xxx x n n LL + …, x ∈[ -1, 1]。 (5) f (x) = ln (1 + x) = ∑ ∞ = + ? 1 1 )1( n n n x n n xxxx x n n 1 432 )1( 432 ? ?++?+?=LL + …, x ∈( -1, 1]。 (6) ，α≠0 是任意实数。 fx x() ( )=+1 α 当 α是正整数 m 时， f (x) = (1 + x) m = 1 + mx + 2 2 )1( x mm ? + … + + x 1?m mx m ，x ∈( -∞, + ∞) 即它的幂级数展开就是二项式展开，只有有限项。 当 α不为 0 和正整数时， ∑ ∞ = α ? ? ? ? ? ? ? ?α =+ 0 )1( n n x n x , ? ? ? ? ? > <<? ?≤ ?∈ ?∈ ?∈ .0 ,01 ,1 ],1,1[ ],1,1( ),1,1( α α α 当 当 当 x x x 其中 = ? ? ? ? ? ? ? ? n α ! )1()1( n n +?α?ααLL , (n = 1,2,… ) 和 。 1 0 = ? ? ? ? ? ? ? ?α 设函数f (x)在 x 0 的某个邻域O (x 0 , r)中任意阶可导，要求它在O (x 0 , r)中的幂级数 展开，一开始就考虑利用公式（ *）往往不是明智之举。下面我们通过具体实例 介绍幂级数展开的一些方便而实用的方法： 1． 通过各种运算与变换，将函数化成已知 幂级数展开的函数的和。 例 1 求 2 253 1 )( xx xf ?+ = 在 0=x 的幂级数展开。 解 利用部分分式得到 ? ? ? ? ? ? + ?+ ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?= x x xf 21 1 7 2 3 1 1 21 1 )( ， 再利用（6 ）式（ 1?=α ） ，得到 () n n n n xxf ∑ ∞ = + + ? ? ? ? ? ? ??= 0 1 1 2 3 1 7 1 )( ， ). 2 1 , 2 1 (?∈x 例 2 求 在xxf 3 sin)( = 6 π =x 的幂级数展开。 解 ) 6 (3cos 4 1 ) 6 ( 6 sin 4 3 3sin 4 1 sin 4 3 sin)( 3 πππ ?? ? ? ? ? ? ? ?+=?== xxxxxxf ) 6 (3cos 4 1 ) 6 cos( 8 3 ) 6 sin( 8 33 πππ ???+?= xxx ， 2 利用（2 ）式与（3 ）式，即得到 ).,(,) 6 )(132( )!2( )1( 8 3 ) 6 ( )!12( )1( 8 33 )( 212 00 12 +∞?∞∈??? ? ?? + ? = ? ∞ = ∞ = + ∑∑ xx n x n xf nn n n n n n ππ 例 3 求 )0(,ln)( >= xxxf 关于变量 1 1 + ? x x 的幂级数展开。 解 令 , 1 1 + ? = x x t 则 )10(, 1 1 << ? + = t t t x 。利用（5 ）式，即得到 )1ln()1ln( 1 1 lnln tt t t x ??+= ? + = n n n n n t n t n ∑∑ ∞ = ∞ = + + ? = 11 1 1)1( .0,) 1 1 ( 12 1 2 12 1 2 1 1212 1 > + ? ? + =? + = ∑∑ ∞ = ++ ∞ = x x x n t n n nn n 2．对已知幂级数展开的函数进行逐项求导或逐项积分。 例 4 求 2 1 )( x xf = 在 的幂级数展开。 1=x 解 由于 ∑ ∞ = ?= ?+ == 0 )1( )1(1 11 )( n n x xx xg ，利用逐项求导，即可得到 ).2,0(,)1)(1()1()(')( 10 1 ∈?+=?=?= ∑∑ ∞ = ∞ = ? xxnxnxgxf nn nn 例 5 求 f (x)= arcsin x 在 0=x 的幂级数展开。 解 利用 (6)式 ) 2 1 ( ?=α ，可知当 x∈(-1,1)时， 2 1 1 x? = 2 1 2 )1( ? ? x = ∑ ∞ = ? ? ? ? ? ? ? ? ?? 0 22 1 )( n n x n = 1 + 2 2 1 x + 4 8 3 x + … + n x n n 2 !)!2( !)!12( ? + …， 对等式两边从 0 到 x 积分，利用幂级数的逐项可积性与 ∫ ? x t t 0 2 1 d = arcsin x， 即得到 arcsin x = x + ∑ ∞ = + + ? 1 12 12!)!2( !)!12( n n n x n n ， x∈ [-1, 1]。 其中关于幂级数在区间端点 x = ± 1 的收敛性，可用 Raabe 判别法得到。 特别，取 x = 1，我们得到关于π的一个级数表示： 2 π = 1 + ∑ ∞ = + ? ? 0 12 1 !)!2( !)!12( n nn n 。 3．对形如 ，)()( xgxf )( )( xg xf 的函数，可分别用 Cauchy 乘积与“待定系数法” 。 设 f (x) 的幂级数展开为 ，收敛半径为R ∑ ∞ =0n n n xa 1 ， g(x) 的幂级数展开为 ∑ , 收敛半径为R ∞ =0n n n xb 2 ，则f (x)g(x)的幂级数展开就是它们的Cauchy乘积： 3 f (x)g(x) = ( )( ) = , ∑ ∞ =0n n n xa ∑ ∞ =0n n n xb ∑ ∞ =0n n n xc 其中c n = , 的收敛半径 ∑ = ? n k knk ba 0 ∑ ∞ =0n n n xc ≥R min｛ R 1 ， R 2 ｝。 当 b 0 ≠ 0时，我们可以通过待定系数法求 )( )( xg xf 的幂级数展开：设 )( )( xg xf = , ∑ ∞ =0n n n xc 则 ( ∑ ) ( )= , ∞ =0n n n xb ∑ ∞ =0n n n xc ∑ ∞ =0n n n xa 分离 x 的各次幂的系数，可依次得到 b 0 c 0 = a 0 ? c 0 = 0 0 b a , b 0 c 1 + b 1 c 0 = a 1 ? c 1 = 0 011 b cba ? ， b 0 c 2 + b 1 c 1 + b 2 c 0 = a 2 ? c 2 = 0 02112 b cbcba ?? ， …… 一直继续下去，可求得所有的c n 。 例6 求 e x sin x的幂级数展开( 到 x 5 )。 解 e x sin x = ( !4!3!2 1 432 xxx x ++++ + … )(L?+? !5!3 53 xx x ) = x + 532 30 1 3 1 xxx ?+ + …， 由于 与 的收敛半径都是 x e xsin ∞=R ， 所以上述幂级数展开对一切 x∈ (-∞ , + ∞ ) 都成立。 例7 求 tan x的幂级数展开( 到 x 5 )。 解 由于 tan x 是奇函数，我们可以令 tan x = x x cos sin = c 1 x + c 3 x 3 + c 5 x 5 + …， 于是 (c 1 x + c 3 x 3 + c 5 x 5 + … )(L?+? !4!2 1 42 xx ) = L?+? !5!3 53 xx x ， 比较等式两端x , x 3 与 x 5 的系数，就可得到 c 1 = 1, c 3 = 3 1 , c 5 = 15 2 , 因此 tan x = x + 3 1 x 3 + 15 2 x 5 + …。 4． “代入法” 对于例 7，我们还可采用如下的“代入法”求解：在 4 u?1 1 = = 1 + u + u ∑ ∞ =0n n u 2 + … 中，以 u = L+? !4!2 42 xx 代入，可得到 xcos 1 = 1 + (L+? !4!2 42 xx ) + (L+? !4!2 42 xx ) 2 + … = 1 + x 2 + 24 5 x 4 + …， 然后求 sin x 与 xcos 1 的 Cauchy 乘积，同样得到上述关于 tan x 的幂级数展开。 需要向学生指出的是，利用“待定系数法”与“代入法”求幂级数展开，我们目 前无法得到它的收敛范围，而只能知道在x = 的小邻域中，幂级数展开是成立 的（事实上， tan x的幂级数展开的收敛范围是 (- 0 x 2 π , 2 π )，它的证明需要用到复 变函数的知识） 。 “代入法”经常用于复合函数，例如形如e f (x) ， ln(1 + f (x))等函数的求幂级数展 开问题。 例 8 求 在 的幂级数展开( 到 x x exf sin )( = 0=x 4 ) 解 以 L+?= + ? == + ∞ = ∑ 6)!12( )1( sin 3 12 0 x xx n xu n n n 代入 L+++++=== ∑ ∞ = xxxx n x exf n n x 432 0 sin sin 24 1 sin 6 1 sin 2 1 sin1 ! sin )( ， 即可得到 ),(, 8 1 2 1 1)( 42sin +∞?∞∈+?++== xxxxexf x L。 注 对于求函数 在 x exf cos )( = 0=x 的幂级数展开问题，我们不能采用以 L?+?== 42 24 1 2 1 1cos xxxu 代入 ∑ ∞ = = 0 ! cos )( n n n x xf 的方法，请学生思考为什 么，并思考应该怎样正确使用“代入法” 。 例9 求 ln x xsin 的幂级数展开( 到 x 4 )，其中函数 x xsin 应理解为 f (x) = ? ? ? ? ? = ≠ .01 ,0, sin x x x x ， 解 首先，利用 sin x 的幂级数展开，可以得到 x xsin = L?+? !5!3 1 42 xx 。 令 u = L?+? !5!3 42 xx 代入 ln (1 + u) = u - L?+ 32 32 uu ，即得 ln x xsin = (L?+? !5!3 42 xx ) - 2 1 (L?+? !5!3 42 xx ) 2 + … 5 = L??? 1806 42 xx 。 利用例 9，我们可以得到一些有趣的结果。在前面我们已得到等式 x xsin = ∏ ∞ = π ? 1 22 2 )1( n n x , 两边取对数，再分别将 ln )1( 22 2 π ? n x 展开成幂级数， ln x xsin = ∑ ∞ = π ? 1 22 2 )1ln( n n x = - ∑ ∞ = + π + π 1 44 4 22 2 ) 2 1 ( n n x n x L。 将上式与本例中的结果相比较，它们的 x 2 系数， x 4 系数都对应相等，于是就得到 等式 ∑ ∞ =1 2 1 n n = 6 2 π , ∑ ∞ =1 4 1 n n = 90 4 π 。 如果我们在计算时更精细些，也就是将ln x xsin 的幂级数展开计算到x 6 ， x 8 ，…， 还可以获得 ∑ ∞ =1 6 1 n n ， ∑ ∞ =1 8 1 n n ，…的精确值。 注意点 1． 如果 在 邻域的幂级数展开存在，则幂级数必然是它在 x)(xf 0 x 0 的 Taylor 级数 （ *） ；但反之则不然。事实上，我们举出过在 0 xx = 任意阶可导的函 数 ，它在 的 Taylor级数并不收敛于 。但一般来说，对于有解析 表达式的初等函数 ，只要它在 )(xf 0 x )(xf )(xf 0 xx = 任意阶可导，则它在 的 Taylor 级数就是它在 邻域的幂级数展开。 0 x 0 x 2． 要让学生知道，遇到求函数的幂级数展开问题，不要首先想到用（ *）式。 事实上，上面我们介绍的求幂级数展开的一些方法，比起直接利用公式（* ） 来都要方便，而学生应该学会如何在上述方法中选择一种最方便最快捷的方 法。 3． 一般来说，利用“待定系数法”与“代入法” 求幂级数展开，我们往往只 能求出幂级数的初始几项，而不易求出幂级数的一般项，也不易求出幂级数 的收敛半径。但是对于许多具体问题，只要求出幂级数的初始几项就够了， 例如例 9 中的问题。关于幂级数的收敛半径，等学生学习了复变函数课程后 就很容易确定。 6