复旦大学2005～2006学年第一学期期末考试试卷 课程名称： 数学分析I 课程代码： 318.157.1.01 开课院系： 数学科学学院 学生姓名： 学号： 专业： 题 目 1 2 3 4 5 6 7 8 总 分 得 分 填充题 1．（每空格5分，共40分） （1） 111 lim 3 n nnn n abc →∞ ?? ++ ? = ?? ?? ? 。 （2） 2 1 0 arctan lim x x x x → ?? = ?? ?? 。 （3）设 1 sin 0 () 00 xx fx x x α ? > ? = ? ? ≤ ? ， 当α在 范围时，)(xf ′在连续； 0=x 当α在 范围时，)0(f ′′存在。 （4） 22 2 1 (arcsin 2 ) x yx，则axa a =?+ 'y = 。 （5） 2 1 x y x + =，则 2 dy= 。 （6）曲线在(0点处的切线方程为 2 34 x ye y x+?= ,1) 。 （7）不定积分 2 cos dx x = ∫ 。 2．求不定积分： 1 1 x x e dx e ? + ∫ （10分）。 1 3．设 证明：0x<<1, 1 (1 ) n xx ne ?<（10分）。 4．求椭圆1 2 2 2 2 =+ b y a x 上的点( ) 00 , yx ( ) 00 0, 0xy>>，使过( ) 00 , yx点的切线 与x轴，轴所围的三角形面积最小？并求出最小的面积（10分）。 y 2 5. 设，问是否存在 0 '( ) 0fx> 0δ >，使()f x在 00 (,xx)δ δ? +上单调增加？ 是的话，证明你的断言，不一定的话，举出反例（10分）。 6．设 23 () 1 2! 3! ! n n x xx Px x n =++ + + +L， 1 () () () nn Fx PxP x + = ， 证明有唯 一的实根（10分）。 () 0Fx= 3 7. 讨论函数 3 2 (1) x y x = ? 的单调性、凹凸性、极值与拐点、渐近线，并 作出它的图象（10分）。 4