《数学分析（III）》试题 2005.1 一．在球面上找点，满足，，， 使得该球面在点处的切平面与三个坐标平面围成的四面体的体积最小。 1 222 =++ zyx ),,( 0000 zyxP 0 0 >x 0 0 >y 0 0 >z 0 P 二．求球面（）被平面 2222 azyx =++ 0>a 4 a z =与 2 a z =所夹部分的面积。 三．计算二重积分 () ∫∫ + D dxdy x yx 2 4 ，其中是由D x轴，直线xy =以及曲线 1=+ yx，2=+ yx所围成的平面闭区域。 四．计算三重积分 ∫∫∫ ，其中。 Ω dxdydze z|| }1|),,({ 222 ≤++=Ω zyxzyx 五． 计算曲线积分 ∫ + L dszy 22 2， 其中L是球面（）与平面 2222 azyx =++ 0>a yx =相交而成的圆周。 六．计算曲面积分，其中 ∫∫ Σ ++ dxdyzdzdxydydzx 222 Σ为锥面在平面 与（）之间的部分，定向为下侧。 222 zyx =+ 0=z hz = 0>h 七．设是右半平面ji λλ )()(2),( 24224 yxxyxxyyxA +?+= }0|),({ >= xyxD上 的向量场，试确定常数λ，使得为上函数的梯度场，并求出 。 ),( yxA D ),( yxu ),( yxu 八．将|（sin|)( xxf = ππ ≤≤? x）展开为Fourier级数，并分别求级数 ∑ ∞ = ? 1 2 14 1 n n ， () ∑ ∞ = ?1 2 2 14 1 n n 的和。 九．设 ∫ ∞+ + = 1 2 )1( cos )( dt tt xt xf，),( ∞+?∞∈x。 （1）证明积分 ∫ ∞+ + 1 2 )1( cos dt tt xt 关于x在),( ∞+?∞上一致收敛； （2）证明； 0)(lim = +∞→ xf x （3）证明在上一致连续。 )(xf ),( ∞+?∞