《数学分析（II）》试题 2004.6 一．计算下列各题： 1．求定积分 ∫ + e xx dx 1 2 )ln2( ； 2．求定积分； ∫ ? 2 2 2 ),1max( dxx 3．求反常积分dx x x ∫ ∞+ + 0 2 1 ln ； 4．求幂级数() ∑ ∞ = ?+ 1 2 21 n nn xnn的收敛域； 5．设，求du。 yz xu = 二．设变量代换可把方程 ? ? ? += ?= ayxv yxu ,2 06 2 22 2 2 = ? ? ? ?? ? + ? ? y z yx z x z 简化为0 2 = ?? ? vu z ，求 常数。 a 三．平面点集(){} ? ? ? ? ? ? = ? ? ? ? ? ? LU ,2,1 1 sin, 1 0,0 n nn 是否为紧集？请说明理由。 四．函数项级数 n n n n x x n + ? ? ∑ ∞ = ? 1 )1( 1 1 在上是否一致收敛？请说明理由。 ]1,0[ 五．设函数在上连续，且满足)(xf ),( ∞+?∞ 1)1( =f和 )arctan( 2 1 )2( 2 0 xdttxtf x =? ∫ 。 求。 ∫ 2 1 )( dxxf 六．设函数在上具有连续导数，且满足)(xf ),1[ ∞+ 1)1( =f和 22 )]([ 1 )( xfx xf + =′，+∞<≤ x1。 证明：存在且小于)(lim xf x +∞→ 4 1 π +。 七．设如下定义函数： dt t t xf x x t 1 sin 2 1)( 2 ∫ ? ? ? ? ? ? +=，。 1>x 判别级数 ∑ ∞ =2 )( 1 n nf 的敛散性。 八．设 ∫ = 4 0 cossin π xdxxI n n （L,2,1,0=n）。求级数的和。 ∑ ∞ =0n n I