教案 重积分变量代换公式的证明 1. 教学内容 我们先对本原变换证明二重积分变量代换公式，然后将一般的变量代换视为向量 值函数，将它分解为两个本原变换的复合，从而给出了重积分变量代换公式一个 容易理解而简单的证明。 2. 指导思想 重积分变量代换公式的证明是数学分析课程教学中的一个难点，如何化解这一难 点，使学生理解并掌握这一重要内容，是本教案的目的。我们通过将一般的变量 代换分解为两个本原变换的复合的方法，然后对本原变换的情况进行证明，使得 证明简单而容易理解。同时，也教给学生一个如何将复杂的问题化成简单问题的 方法。 3. 教学安排 1．我们先叙述定积分的变量代换公式（即换元法），然后利用类比法看一下 二重积分变量代换公式应该是怎样的： 定积分：设 在区间 上连续，变换)(xf ],[ ba )(tx ?= 是一一对应，有连续导数， ? α()= a:)(tx ?= ],[ βα （或 ],[ αβ ） （ ],[ ba→ β()= b， ? ），则 fxdx a b () ∫ = ft td(()) )?? α β ′( ∫ t 二重积分： 设 在有界闭区域 D连续，变换 是一一对应，有连续偏导数，则类比定积分的变量代换公式，重积分的变量代换 公式似乎应该是 )(: ),( ),( : DT vuyy vuxx T → ? ? ? = = D),( yxf ∫∫∫∫ ? ? = DD dudv vu yx vuyvuxfdxdyyxf T ),( ),( )),(),,((),( )( ， ),( ),( vu yx ? ? 是向量值函数 T 的导数。但是注意在定积分情况下，如果 0)(' <t?其中 ， 则 βα > ，即右端积分的上限小于下限，交换积分上下限后， )(' t? )(' t??就换成 ； 而在重积分情况下， ,( ,( u x ? ? ) ) v y 也有可能小于 0，但由于积分区域 D没有方向（或符 号）概念，因此对 ),( ),( vu yx ? ? 要加上绝对值符号，即 1 ∫∫∫∫ ? ? = DD dudv vu yx vuyvuxfdxdyyxf T ),( ),( )),(),,((),( )( 。 2．二重积分变量代换公式 设 U 为 平面上的开集， 是uv V xy 平面上开集，映射 T x x uv y y uv: (,), (,)= = 是 到 的一个一一对应。 进一步假设U V x x uv y y uv= =(,), (,)具有连续偏导数， 且有 ),( ),( vu yx ? ? ),( ),( vu yx ? ? ≠ 0，则由连续性可知 在 上不变号。对于 中任意具有分段 光滑边界的有界闭区域 ，记它的像为 U U ? ，则VD )(DE T= )(DE T= 也是具有分段 光滑边界的有界闭区域。换言之，区域 与 D )(DE T= 都具有零边界。在这样的假 设下，我们有如下的二重积分的变量代换公式。 定理 1(二重积分变量代换公式) 映射 T 和区域 D如上假设。如果二元函数 在 上连续，则 )(DT),( yxf ∫∫∫∫ ? ? = DD vu vu yx vuyvuxfyxyxf T dd ),( ),( )),(),,((dd),( )( 。 为证明定理 1，我们将区域 D用水平线与垂直线分割成许多小矩形，由于区 域 具有零边界，当分割充分细的时候，与区域 边界相交的小矩形的面积之和 可以任意小，因此我们只需要考虑包含在区域 内的小矩形 D D D 。 R 3．定义 形如 x T : ),(,),( vuyyuvuxx === 或 : vvuyyvuxx === ),(,),( y T 的映射称为本原映射。 ，等式 引理 1 设 T 为本原映射，则对于每个小矩形 R mR vu yx RmT vu ) ~ , ~ ( ),( ),( )( ? ? = 成立，这里 为 ( ~ , ~ )uv R 上某一点。 证 仅对本原映射 证明，对 的证明是类似的。 x T y T 设在 上 U J > 0 。由于这时成立 0 01 ),( ),( > ? === v y v y u y vu yx J ? ? ? ? ? ? ? ， 所以在每个小矩形 R=[e, f]×[g, h]上，对于固定的 是 的单调增加函数， 因此 v),(, vuyu 被一一对应地映到 R 。 )},(),(,|),{()( hxyygxyfxeyxRT ≤≤≤≤= 2 v h g O e fu y ),( hxy ),( gxy O e f x 图 13.3.9 T R()的面积为 所以 ),))(, ~ (), ~ (()],(),([)( ),( ),( )( efguyhuydxgxyhxydydxdxdyRmT f e hxy gxy f e RT ??=?=== ∫∫∫∫∫ 其中 。最后一步是利用了积分中值定理。再用一次微分中值定理得 eu f≤≤ ~ mR vu vu yx mRvu v y efghvu v y RmT ) ~ , ~ ( ),( ),( ) ~ , ~ ())()( ~ , ~ ()( ? ? ? ? ? ? ? ? = ? ? =?? ? ? = ， 其中 。 gvh<< ~ 如果 T 的 Jacobi 行列式为负的，以上讨论中关于 y 的不等式反向，重复以上 证明可同样得到 mR vu yx RmT vu ) ~ , ~ ( ),( ),( )( ? ? = 。 证毕 下面证明变量代换公式对于本原映射成立。 引理 2 设 T 为本原映射，二元函数 在 上连续，则 )(DT),( yxf ∫∫∫∫ ? ? = DD dudv vu yx vuyvuxfdxdyyxf T ),( ),( )),(),,((),( )( 。 证 考虑上述对区域 的分割，设 是包含在区域 内的所有小矩 形，由引理 1，在 上成立 M DDD ,,, 21 LD D i D i vu i m vu yx mT ii DD ) ~ , ~ ( ),( ),( )( ? ? = ， 这里 为 中某一点。设( ~ , ~ )uv ii ~ ( ~ , ~ ), ~ ( ~ , ~ )x xuv y yuv iiiiii D i = = ，则从上式得 ∑∑ ? ? = i i vu iiii i iii mD vu yx vuyvuxfDmTyxf ii ) ~ , ~ ( ),( ),( )) ~ , ~ (), ~ , ~ (()() ~ , ~ ( ， ρ ρ设所有小矩形的对角线长度的最大值为 ，令 趋于 0，由二重积分的定义，即 得 ∫∫∫∫ ? ? = DD dudv vu yx vuyvuxfdxdyyxf T ),( ),( )),(),,((),( )( 。 证毕 3 为了完全证明定理 1，还需要以下的结果： U∈= ),( 000 vuQ 引理 3 设 T 满足定理 1 的假设， 则对于任意点 ， T 在点 附近可以表示成 2 个具有连续偏导数的、一对一的本原映射的复合。 Q 0 证 设 ),(),,(),,( 000000000 yxPvuyyvuxx === 。 0),( ),( ),( 00 ≠ ? ? vu vu yx 0),( 00 ≠ ? ? vu u x 由于 ，行列式中必有元素不为零。不妨设 ， 于是，本原映射 ? ? ? = = v vux T η ξ ),,( : 1 0),( 00 ≠ ? ? vu u x = ? ? ),( ),( ),( 00 vu vu ηξ 的 Jacobi 行列式 ，由隐函数存在定理（或逆映射定 理），局部地可得逆映射 且 ? ? ? = = , ),,( η ηξ v gu g(, )ξ η 在 的一个邻域具有连续 偏导数。注意这时成立 Tu v 100 (,) 。 uvvuxg =)),,(( 作 ? ? ? = = ),),,(( , : 2 ηηξ ξ gyy x T 则有 。),()),),,((()),,(( ),,( vuyvvvuxgygyy vuxx === == ηηξ ξ 即 。 TTT = 12 o 证毕 4．二重积分变量代换公式的证明： 根据引理 3，对于每点 D∈= ),( vuQ 存在它的一个邻域 U ，在这个邻域 中， Q δ () { }D∈QQU |)( 2 δ T 可以表示为两个一对一的本原映射的复合。由于 覆盖了 ， 由 Heine-Borel 定理，存在有限多个邻域 D UQUQ U Q S Sδδ δ 1 2 1 2 2 2 2 (), (),, ( )L ， ? ? ? ? ? ? = 2 ,, 2 , 2 min 21 * S δδδ δ L它们覆盖了 。设 D 。 δ * i D取划分充分细，使得所有的小矩形的对角线长度都小于 ，那么当小矩形 与 )( 2 j j QU δ 相交时， 必包含在某个 中 i D )(QU j δ )1( Sj ≤≤ 。于是在每个 （ i D =i ）上成立 （为简便起见去掉了标记 i ，注意对不同的 ，可 能有不同 和 ），这里 和 是本原映射。设 i DM,,2,1 L TTT= 2 o 1 T 1 T 2 T 1 T 2 ? ? ? = = ),,( ),,( : 1 vu vu T ηη ξξ 和 ? ? ? = = ).,( ),,( : 2 ηξ ηξ yy xx T 那么 ),( ),( ),( ),( ),( ),( vu yx vu yx ? ? ? ? ? = ? ? ηξ ηξ 。 由引理 2 得 4 ∫∫∫∫ ? ? = )()( 1 ),( ),( )),(),,((),( i T i T dd yx yxfdxdyyxf DD ηξ ηξ ηξηξ 。 ∫∫ ∫∫ ? ? = ? ? ? ? = i i dudv vu yx vuyvuxf dudv vu yx vuvuyvuvuxf D D ),( ),( )),(),,(( ),( ),( ),( ),( ))),(),,(()),,(),,((( ηξ ηξ ηξηξ 因此 . ),( ),( ),(),,(( ),( ),( ),(),,(( ),(),( 1 1 )()( ∫∫ ∑ ∫∫ ∑ ∫∫∫∫ ? ? = ? ? = = = = DD DD dudv vu yx vuyvuxfdudv vu yx vuyvuxf dxdyyxfdxdyyxf M i i M i i TT 证毕 5． 重积分的变量代换公式 n 对于 重积分的变量代换，我们不加证明给出公式： n 设 U 为 n R （ ）上的开集，映射 2>n ),,(,),,,(: 1111 nnnn xxyyxxyyT LLL == 将 一一对应地映到 上。进一步假设 都具有连续偏导数，而且这个映射的 Jacobi 行列式不等于零。 U n RV ? yyxx yyxx nnn111 1 ==(, , ), , (, , )LL L n 设 ?为 中具有分片光滑边界的有界闭区域，则有与二维情形类似的结论： U 定理 2 映射 T 和区域 ?如上假设。如果 是),,,( 21 n yyyf L T (?)上的连续函 数，那么变量代换公式 ∫∫ ΩΩ = n n n n T nn dxdx xx yy yyfdydyyyf L L L LLL 1 1 1 1 )( 11 ),,( ),,( ))(,),((),,( ? ? xx 成立，其中 。 ),,( 1 n xx L=x 4．注意点 1．重积分变量代换的概念，是数学分析课程 中一个比较困难的内容。我们先通 过类比方法，写出重积分变量代换的公式，使得学生先有一个对重积分变量代换 的概念，然后再来证明，学生也就容易理解。同时通过类比，使学生容易记住这 一重要的公式。 2．将一般的变量代换视为向量值函数，将它 分解为两个本原变换的复合，也就 是将复杂的函数分解成简单函数的复合，将问题化为对简单函数的证明，这是数 学上常用的一种方法，通过学习，希望同学掌握这一方法。 3．在证明中，我们只考虑了包含在区域 内的小矩形，这是因为区域 具有零 边界。通过学习，要求同学理解为什么我们在本章开始要引进零边界区域的概念。 D D 5