教学目标：掌握三角网条件评差方法和程序。 重点难点：条件方程列立，闭合差检核 第3章 控制网平差 3—1 概述 在测量工作中，常要确定某些几何量的大小。由几何量组成的模型称为几何模型。 为了确定一个几何模型，并不需要知道该模型中所有元素的大小，而只需要知道其中部分元素的大小就行了，其它元素可以通过它们来确定。能够唯一地确定一个几何模型所必要的元素，简称必要元素；必要元素的个数用t来表示。必要元素不仅要考虑其个数，而且要考虑它的类型。由此可知，当某个几何模型给定之后，能够唯一确定该模型的必要元素的个数t及其类型，t只与几何模型有关，与实际观测无关。 约定：――真值，　　――平差值，　　Ｌ――观测值 在一个几何模型中，除了t个独立量以外，若再增加一个量，则必然产生一个相应函数关系式。例，必要量选为、、，若增加一个量， 则存在 ， 若再增加一个量，则有  由此可知，一个几何模型的独立量个数最多为t个，除此之外，增加一个量必然要产生一个相应的函数关系式，这种函数关系式，在测量平差中称为条件方程。 在测量工程中，为了求得一个几何模型中各量的大小就必须进行观测。如果总共观测了该模型中n个量的大小，若观测个数少于必要元素的个数，即n＜t，显然它无法确定该模型，即出现了数据不足的情况；若观测了t个独立量，n=t，则可唯一地确定该模型。由于它们都是独立量，故不存在任何条件方程，在这种情况下，如果观测结果中含有粗差甚至错误，都将无法发现，在测量工作中是不允许这样做的。为了能及时发现粗差和错误，并提高测量成果的精度，就必须使n＞t，若令 r=n–t （3-1） 式中n为观测值的个数，t称为必要观测数，r称为多余观测数。多余观测数在测量中又称“自由度”。一个几何模型如果有r个多余观测，就产生r个条件方程。 由于观测下不可避免地存在偶然误差，当n>t时，几何模型中应该满足r=n-t个条件方程，实际存在闭合差而并不满足，如何调整观测值，即对观测值合理地加上改正数，使其达到消除闭合差的目的，这是测量平差的主要任务。 一个测量平差问题，首先要由观测值和待求量间组成数学模型，然后采用一定的平差原则对待求量进行估计，这种估计要求是最优的，最后计算和分析成果的精度。 3—2 测量平差的数学模型 在测量工程中，涉及的是通过观测量来确定某些几何量或物理量大小等有关的数量问题，因而考虑的模型总是数学模型。平差的数学模型与一般数学只考虑函数模型不同，它还要考虑随机模型，因为观测量是一种随机变量。所以平差的数学模型同时包含函数模型和随机模型两种，在研究任何平差方法时必须予以考虑。 函数模型是由描述观测量和待求量间的数学函数关系的模型，是确定客观实际的本质或特征的模型。随机模型是描述观测量及其相互间统计相关性质的模型。对于一个实际平差问题，可建立不同形式的函数模型，与此相应，就产生了不同的平差方法。 条件平差法 以条件方程为函数模型的平差方法，称为条件平差法 。 一般而言，如果有n个观测值，t个必要观测，则应列出r=n–t个条件方程，  　　（3-8） 为常数向量， 将代入，并令 　　　　　　　 （3-9） 则（3-8）式为  （3-10） （3-8）或（3-10）式为条件平差的函数模型。 条件平差的自由度极为多余观测数r，即条件方程的个数。 间接平差法 在一个几何模型中，最多只能选出t个独立量，如果在进行平差就选定t个独立量为参数，那么通过这t个独立参数就能唯一地确定几何模型了。换言之，模型中的所有量都一定是这t个独立参数的函数，亦即每个观测量都可表达成所选t个独立参数的函数。 选择几何模型中t个独立量为平差参数，将每一个观测量表达成所选参数的函数，即列出n个这种函数关系式，以此为平差的函数模型，称为间接平差法，又称参数平差法。 尽管间接平差法是选了t个独立参数，但多余观测数不随平差不同而异，其自由度仍是r=n-t。 3—3 条件平差原理 某一平差问题，如必要观测数为t，则只能选出t个独立的未知数，每增加一个未知数，就会产生一个应满足的条件方程。在条件平差法中选n个观测量的平差值作为未知数，由于多选了r=n–t个未知数，因而就产生了r个条件方程。条件平差法就是在满足r个条件方程的需求下，求函数VTPV=min的V值，在数学中是求函数的条件极值问题。 基础方程和它的解 设有r个平差值线性条件方程：  （3-23） 式中ai、bi、…、ri（i=1,2,…,n）为条件方程系数，a0、b0、…、r0为条件方程常数项。将（3-22）式代入上式，得条件方程为  （3-24） 式中、、…、称为条件方程的闭合差，或称不符值，其值为  （3-25） 设 ，，，， 则（3-24）、（3-25）式的矩阵表达式为  （3-26）  （3-27） 按求函数极值的拉格朗日乘数法，设其乘数为，称为联系数向量。组成函数  将对求一阶导数，并令其为零，得  即  将上式两边左乘权逆阵P-1，得改正数V的计算公式为  　 （3-28） 上式称为改正数方程 将n个改正数方程（3-28）和r个条件方程（3-26）联立求解，就可以得一组唯一的解：n个改正数和r个联系数。 将（3-26）和（3-28）式合称为条件平差的基础方程。显然，由基础方程解出的一组改正数V不仅能消除闭合差，也必能满足的要求。 解算基础方程式，是先将（3-28）式代入（3-26）式，得  令  （3-30） 则有  （3-31） 上式称为联系数法方程，简称法方程。法方程系数阵N的秩，即N是一个r阶的满秩方阵，且可逆。由此可得联系数K的唯一解。 解出联系K后，将K值代入改正数方程式，求出改正数V值，再求平差值，这样就完成了按条件平差求平差值的工作。 三角网的条件方程式 三角网有独立三角网（网中仅有必要的起算数据）和非独立三角网（网中具有多余的起算数据）之分。三角网平差有按角度平差和按方向平差两种方法。以下仅讨论独立三角网的条件和条件方程式。 图形条件 图3-4所示的三角网中，有五个独立的三角形图形条件，每个三角形都应列出其图形条件方程式。对于第i个三角形而言，设、、为各三角形内角的平差值，则其图形条件方程为 。 (3–33) 设各三角形内角的观测值为ai、bi、ci ，则有  (3–34) 上式代入(3–33)式，整理后可得  （3-35） 式中wi是三角形图性条件的闭合差，简称三角形闭合差。 大地四边形每个三角形都可以组成一个图形条件方程式。但是，大地四边形中独立的图形条件方程式只有三个，第四个图形条件方程式可由三个独立的图形条件方程式导出。 图形条件闭合差的限值： 设各角度观测中误差为m，对式（3-35）应用误差传播定律可得闭合差w的中误差为  取闭合差中误差的两倍作为闭合差的限值，即  （3-36） 同理可得，n条边的多边形图形条件闭合差的限值为  (3-37) 圆周角条件 在中点多边形中，尽管所有三角形的图形条件都满足，还必须使角度满足下列条件  (3-38) 这种条件就称为圆周角条件。以改正数表示的圆周角条件方程式的一般形式为  （3-39） 式中w是圆周角条件方程式的闭合差。 当三角网按方向平差，即以方向观测值作为平差元素时，就不会产生圆周角条件。这是因为每个角度是由两个方向组成，当组成圆周角条件方程式时，在方程中每个方向都出现两次，并且一次为正，一次为负，正好抵消。 极条件 对于中点多边形，若从OA边出发，依次解算三角形①、②、…，最后解算得的边长应与出发边OA相等。这种条件的数学形式为  （12-40） 或  （12-41） 依次解算的三角形有共同顶点O，这个共同顶点O成为极点，故这种条件称为极条件。 上式是一个非线性的条件方程式，为能按最小二乘法原理进行平差，必须把它化为线性形式。按泰勒级数直接展开（仅取至一次项），分别求得以角度改正数表达的极条件方程的线性形式，线性化的过程可表达为  令 δai = ctg ai δbi = ctg bi 则上式可化简为  （3-43） 其中  （3–44） 对于大地四边形可以任一点为极列立条件方程式；有时也可以对角线交点为极点列出极条件方程式，有如下形式  （3-45） 极条件闭合差的限值： 由（3-44）式，按一般函数应用误差传播定律可得极条件闭合差的中误差为  或  取两倍闭合差的中误差作为闭合差的限值，则  （3-47） 基线条件 如图3-8，设SAB、SCD为起算边长，图中虚线为由AB边长到CD边长的推算路线，则基线条件可写为  （3-48） 顾及（3-34）式，仿前面的讨论，可得用改正数表达的基线条件方程式  （3-49） 式中wB0为基线条件闭合差。 一个三角锁中，只要有一条起算边，即可推算所有的边长，如果有二条起算边，就有一个多余的观测，因而就产生一个基线条件。 基线条件闭合差的限值： 基线条件闭合差的中误差为  取两倍闭合差的中误差作为闭合差的限值，即  （3-50） 例3-1 水准网的条件方程式 水准网平差的主要目的，是确定网中未知点的最或然高程。例如图3-11的水准网中，四个已知水准点（图中以“⊕”表示的点），两个未知点（图中以“o”表示的点），并有六个观测值。从图中可以看出，要确定E和F点的高程，必须观测两个观测值，如h1和h6，或h4和h3等等。可见，在已知点的水准网中，必要观测的个数就等于未知点的个数。图3-11中，必要观测个数t=2，而条件方程个数r=n–t=6-2=4。 精度评定 在条件平差中，精度评定包括给出单位权方差的估值和平差函数的中误差。 单位权方差估值 计算任何平差方法中的单位权方差估值，都是用VTPV除以该平差方法的自由度r，即  （3-51） 因为  故有  （3-53） 即二次型VTPV可以用联系系数K的具体方阵Naa 的二次型来进行计算。 VTPV也可用联系数K和闭合差W进行计算：  （3-54） 平差值函数的协因数 设有平差值函数为  （3-60） 平差值函数的协因数公式为  （3-66） 由此可见，当列出平差函数式后，只要求出系数fi，即可代入上式计算的协因数。 按条件平差法求平差值的计算步骤 综合以上所述可知，按条件平差求平差值的计算步骤可归结为 1．根据平差问题的具体情况，列出条件方程式，条件方程的个数等于多余观测数r。 2．根据条件式的系数，闭合差及观测值的权组成法方程式 3．解算法方程，求出联系数K值。 4．将K代入改正数方程式，求出V，并求出平差值。 5．用平差值重新列出平差值条件方程式，看是否满足方程，检查平差计算的正确性。