第三章 控制网平差
? 完成控制网测量的外业工作后要进行
内业计算, 内业计算分为概算, 平差计
算和编制控制点成果表 。 本章重点介绍
独立三角网的条件平差方法 。
? 第一节 测量平差的数学模型
? 第二节 条件平差原理
? 第三节 独立三角网条件平差
第一节 测量平差的数学模型
一、必要观测与多余观测
在测量工作中, 最常见的问题是要确定
某些几何量的大小 。 由各种几何量构成的模型
（ 测量中就是各种控制网 ） 就是几何模型 。
为了确定一个几何模型，并不需要知道该
模型中所有元素的大小，而只需要知道其中部
分元素，其它元素可以通过已知的元素确定。
能够唯一地确定一个几何模型所必要的元
素，称必要元素；确定必要元素的观测称为必
要观测。必要元素的个数用 t 表示。
? 为了确定一个几何模型就必须进行观测 。 如果
观测个数 n 少于必要元素的个数, 即 n＜ t,显
然无法确定该模型, 出现了数据不足的情况；
若观测了 t 个独立量, n =t,则可唯一地确定
该模型 。 在这种情况下, 如果观测结果中含有
错误, 将无法发现 。 为了能及时发现错误, 并
提高测量成果的精度, 就必须使 n＞ t,即必须
进行多余观测 。 多余观测的个数在测量中又称
,自由度, 。 令
r = n – t
显然, r 就是多余观测数 。
例如, 为确定三角
形 ABC，只需要 3
个必要观测，它们
可以是,S1,a,b
或,S1,a,c
或,S1,S2,b
或,S1,S2,S3
……
C
c
S2 S3
b a
B S1 A
如果观测了所有六个元素，则有 3 个多余观测
二、平差的数学模型
? 测量中是通过观测来确定控制网中的某些几
何量, 因而考虑的模型总是数学模型 。 因为
观测量是一种随机变量, 所以平差的数学模
型应同时包含函数模型和随机模型 。 函数模
型和随机模型总称为数学模型 。
? 函数模型是由描述观测量和待求量间的函数
关系的模型, 随机模型是描述观测量及其相
互间统计相关性质的模型 。 建立这两种模型
是测量平差中最基本而首先考虑的问题 。
? 测量平差通常是基于线性函数模型的,
当函数模型为非线性形式时, 是将其用
泰勒公式展开, 并取其一次项化为线性
形式 。
? 对于一个实际平差问题, 可建立不同形
式的函数模型, 相应地就有不同的平差
方法 。 测量中常见的控制网平差方法有
条件平差和间接平差两种 。
1、条件平差法
以观测量之间必须满足一定的条件方程为
函数模型的平差方法, 称为条件平差法 。
例如：为了确定 B、
C,D三点的高程，
其必要观测数 t =3，
实际观测了 6 段高
差,故多余观测数
r = n–t =3，应列出
3个线性无关条件
方程,
h1
A B
h2
C h3
h4 h5 h6
D
这个水准网可以列出 7个条件方程,其中只有
3个是相互独立的,我们取：
0
0
0
452
461
231
???
???
???
hhh
hhh
hhh
式中,表示观测量 hi 的平差值。
这就是用平差值表达的条件方程。
ih
（ a）
由于平差值应该等于观测值与其改正数之和，
即：
iii vhh ??
代入 (a)式得,其中：
0
,0
0
3542
2641
1321
????
????
????
wvvv
wvvv
wvvv
(b)
5423
6412
3211
hhhw
hhhw
hhhw
???
???
???
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?
3
2
1
,
011010
101001
000111
w
w
w
WA
令：
V = ( v1 v2 v3 v4 v5 v6)T
则条件方程可表达为以下矩阵形式：
AV +W=0 （ c）
这就是 条件平差 函数模型的 一般形式 。
条件方程 AV +W=0 中，
A － 为 r? n 阶矩阵,称为系数矩阵；
V － 为 n ? 1列阵,称为改正数向量；
W－ 为 r ? 1列阵,称为闭合差向量。
2、间接平差法
? 一个几何模型中，只会有 t 个独立量，如果平
差时就以这 t 个独立量为参数，模型中的所有
量都一定是这 t 个独立参数的函数，亦即每个
观测量都可表达成所选 t 个独立参数的函数。
? 选择几何模型中 t 个独立量为平差参数，将每
一个观测量表达成所选参数的函数，即列出 n
个这种函数关系式，以此为平差的函数模型，
称为间接平差法，又称参数平差法。
例如：
△ ABC中，观测量为其中的三个内角，选
定 ∠ A和 ∠ B为平差参数，设为 X1和 X2，将
每一个观测量均表达为这两个平差参数的
函数，构成数学模型, C
L3
X1 X2
L1 L2
A B
?????
?
?
1 8 0
21
3
2
2
1
1
XXL
XL
XL
?
?
?
?
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?
?
1 8 0
0
0
,,
11
10
01
2
1
3
2
1
3
2
1
3
2
1
d
X
X
XB
VL
v
v
v
L
L
L
L
L
L
L
令：
则间接平差的函数模型可用以下矩阵形式表达：
L+V=BX+d
或,V=BX – l
此式称为间接平差误差方程。
式中,L 为观测值向量（ n ? 1 阶）；
V 为改正数向量（ n ? 1 阶） ；
B 为系数矩阵（ n ? t 阶） ；
X 为未知数向量（ t ? 1 阶） ；
l =L – d 为常数矩阵（ n ? 1 阶） 。
第二节 条件平差原理
条件方程 AV +W=0 中，
A 为 r ? n 阶矩阵，
V 为 n ? 1 列阵，
即有 r 个方程,n 个未知数,且 r <n，
这样的方程组有无穷多组解 。然而，根
据最小二乘准则，观测量的最或然值应
该满足 VTPV=min。
在 AV +W=0的条件下确定 VTPV 的最
小值，这在数学中是求函数 Ф=VTPV
的条件极值问题。 条件平差，实际上
是确定条件方程满足 VTPV=min 的唯
一解 。
根据计算函数的条件极值的拉格朗
日乘数法则组成新函数：
Ф = VTPV－ 2KT（ AV+W)
其中,K =（ k1,k2,…, kr )T 是拉格
朗日乘数，测量平差中称之为联系数
向量。
显然，只要令 Ф对 V的一阶导数等于
零就可以求出 VTPV 的极值。
矩阵求导的两个公式：
(1) 设 C为常数阵,X为列阵，则
dX
dYZ
dX
dZY
dX
ZYd TTT ??)(
C
dX
CXd ?)(
(2)设 Y,Z 均为列阵，则：
一、改正数方程
令其等于零，注意到 (PV )T = V T P，从而有：
V T P =K T A
转置后左乘 P –1 得：
V =P –1 ATK (1)
该公式表达了改正数 V 与联系数 K 的关系。
AKPVPV
dV
d TTT 2)( ????
函数 Ф = VTPV － 2 KT ( AV+W ) 对 V 求导：
二、法方程式
将（ 1）式代入条件方程 AV +W=0 中得：
AP –1 AT K+W=0 （ 2）
这就是条件平差的法方程式。式中,P为观测值
的权矩阵，设第 i 个观测值的权为 pi,则
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
n
p
p
p
P
...
......
...
...
2
1
显然 P 是一个对角阵，其逆存在，且：
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
n
p
p
p
P
1
...
..,,..
..
1
.
...
1
2
1
1
三、法方程的解
令 N = AP –1 AT （ 3）
则法方程式的形式为
N K+W =0
其中 N 称为法方程式系数矩阵，是一个满
秩二次型方阵，其逆存在。从而可解出联系
数向量：
K = － N –1 W （ 4）
四、条件平差的一般过程
（ 1）列出条件方程 AV +W=0
（ 2）组成法方程系数矩阵 N = AP –1 AT
（ 3）解法方程得到联系数 K = － N –1 W
（ 4）计算改正数 V=P –1 ATK
（ 5）计算平差值
（ 6）精度评定
VLL ??
上一讲内容回顾
? 条件平差函数模型的一般形式：
AV +W=0
? 条件平差的法方程式
AP –1 AT K+W=0
或 NK+W=0
? 法方程的解 K = － N –1 W
? 改正数 V=P –1 ATK
? 条件平差的一般过程
（ 1）列出条件方程
VLL ??
AV +W=0
（ 2）组成法方程系数矩阵 N = AP –1 AT
（ 3）解法方程得到联系数 K = － N –1 W
（ 4）计算改正数 V=P –1 ATK
（ 5）计算平差值
（ 6）精度评定（计算单位权方差、观测值中误
差、平差值函数的中误差等）
第三节 独立三角网条件平差
根据三角网中起算数据的多少，三角网有
独立三角网（网中仅有必要的起算数据）和非
独立三角网（网中具有多余的起算数据）之分。
三角网平差有按角度平差和按方向平差两种方
法。本节讨论独立三角网按角度进行条件平差
时，条件方程式列立、法方程式组成和解算的
详细步骤和方法。
一、图形条件
图形条件通常是指平差后三角形内角应满足
的几何条件，所以也称为 三角形闭合条件 。
条件平差时，关键是列出条件方程。独立
三角网的观测量主要是三角形的内角，这些角
在几何上应该满足一定的条件，这些条件就是
列立条件方程的基础。
根据几何条件的不同，独立三角网的条件
方程分为图形条件、圆周角条件、极条件、基
线条件四种类型。
1.平差值表达的图形条件
? 对于有 n 个三角形组成的中点多边形 (a)
或三角锁 (b)，可以列出 n 个图形条件：
01 8 0 ????? iii cba
（ i =1,2,…, n）
a1
ci an bn
b1 c1
ci
ai bi ai bi cn
(a) (b)
? 对于大地四边形，
可以列出 7个图形条件，
但是只有 3 个是相互独
立的，其余几个可以由
这 3 个方程推导出来：
a3 b3
b2 a4
a2 b4
b1 a1
0180
0180
0180
4433
3322
2211
??????
??????
??????
baba
baba
baba
2,改正数表达的图形条件
代入用平差值表达的条件方程，整理后可得;aiii vaa ??;biii vbb ??
ciii vcc ??
平差值、观测值、改正数三者的关系为：
（ 1）中点多边形和三角锁：
vai+vbi+vci+wi=0;
wi= ai+ bi +ci - 180o
（ 2）大地四边形：
va1+vb1+va2+ vb2 +w1=0;
va2+vb2+va3+ vb3 +w2=0;
va3+vb3+va4+ vb4 +w3=0;
w1= a1+ b1 +a2 +b2- 180o
w2= a2+ b2 +a3 +b3- 180o
w3= a3+ b3 +a4 +b4- 180o
a3 b3
b2 a4
a2 b4
b1 a1
3.图形条件闭合差的限差
设角度观测中误差为 m，应用误差传播定律
可得三角形闭合差 w 的中误差为
3mm w ?
32 mw ?限
取闭合差中误差的两倍作为闭合差的限值，即
同理,n 个角的图形条件闭合差的限值为
nmw 2?限
二、圆周角条件
在中点多边形中，尽管所有三角形的图形
条件都满足，但在中心点处，仍然可能出现
各角度值之和不等于 360° 的现象，平差时
除了要满足三角形闭合条件外，还必须使中
心点处的角度满足下列条件：
03 6 0 ???? ic
a1
b1 c1
ci
ai bi
用改正数表达的圆周角条件为：
其中,wo 称为圆周角条件闭合差。
nmw 2?限
式中,m 为角度观测中误差；
n 为圆周角的个数。
??? ? 360io cw0??? oci wv ；
对 wo应用误差传播定律，并以 2倍中误差作
为限差，则圆周角闭合差的限差为：
三、极条件
以中点多边形为例，若从 OA边出发，
依次解算三角形①、②,…,最后解算
出的 OA边长应与出发边 OA相等。即：
A
a1
① ? EB b
1 c1 O
a2 ② c2 ci
b2 ?
ai bi
C D
1
1
s in
s in
b
aSS
OAOB ?
21
21
2
2
s i ns i n
s i ns i n
s i n
s i n
bb
aaS
b
aSS
OAOBOC ??
n
n
OAOA
bbb
aaa
SS
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.,,,,,,
21
21
?
?
?
1.平差值形式的极条件方程
1
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21
21 ?
n
n
bbb
aaa
?
?
01
)s i n ()s i n ()s i n (
)s i n ()s i n ()s i n (
2211
2211 ??
???
???
bnnbb
annaa
vbvbvb
vavava
?
?
依次解算的三角形有共同顶点 O，这个共同顶
点 O成为极点，故这种条件称为极条件。
将上述公式中的平差值用观测值加改正数的形
式表达，则有：
即：
2.改正数形式的极条件方程
上述方程按台劳级数展开取至改正数的一次
项使其线性化：
0)
s i n
c o s
(
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)
s i n
s i n
(
s i ns i ns i n
s i ns i nc o s
1
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1
)s i n ()s i n ()s i n (
)s i n ()s i n ()s i n (
12
121
21
1
1
1
21
21
21
21
2211
2211
?
?
?
?????
??
?
???
???
?
b
n
n
n
n
a
n
n
n
n
bnnbb
annaa
v
b
b
bbb
aaa
v
a
a
bbb
aaa
bbb
aaa
vbvbvb
vavava
?
?
?
?
?
?
?
?
令 δai = ctg ai,δbi = ctg bi
")
s i n
s i n
1( ?
?
???
i
i
s a
b
w
称为极条件闭合差。
则上式可化简为：
Σδai vai –Σ δbi vbi+ws = 0
其中：
3,极条件闭合差的限差
对极条件闭合差的表达式应用误差传播定律得：
? ???mmm wow 22 ??限
mwo2 = δa12 ma12+ δa22 ma22+…+ δbn2 mbn2
由于通常各三角形内角是等精度观测，即
mai = mbi = m,
以 2倍中误差为闭合差的限差，从而得到极条件
闭合差的限差为：
四、基线条件
对于有两条基线的三角网，其角度观测值
平差后应满足：两条基线经三角形边长传算后
相等。例如以下三角锁中,B1,B2为两条基
线，由 B1 经三角形①、②,…, ? 传算到 B2
后，应该与 B2 相等。这个条件称为基线条件。
c 1 ci an bnB
1
① ② ? B2
a1 b1 ai bi cn
1.平差值表达的基线条件方程
n
n
bbb
aaa
BB
s i ns i ns i n
s i ns i ns i n
21
21
12
?
?
?
根据正弦定理，上述三角锁中，仿照极条件
的推导过程，基线 B1,B2 与传距角 ai,bi的平
差值应该满足：
2.改正数表达的基线条件方程
")
s i n
s i n
1(
1
2 ?
?
???
aB
bB
w B
0
)s i n ()s i n ()s i n (
)s i n ()s i n ()s i n (
2
2211
2211
1 ?????
??? B
vbvbvb
vavavaB
bnnbb
annaa
?
?
上式中的平差值用观测值加改正数的形式表
达并移项后得：
线性化后令 δai = ctg ai,δbi = ctg bi,则有：
Σδai vai –Σ δbi vbi+wB= 0
3.基线条件闭合差的限差
? ?
2
2
2
2
2
1
2
12 ""2
B
m
B
m
mw BBB ???? ????限
称为基线条件闭合差。应用误差传播定律可
计算其中误差，取 2 倍中误差为限差可得：
")
s i n
s i n
1(
1
2 ?
?
???
aB
bB
w B
五、典型三角网的条件方程
设独立三角网中观测值个数为 n，三角点的
总数为 N，其中要有 2 个是已知坐标的点，未
知点个数为（ N - 2），每个未知点需要 2 个必
要观测以确定其 x,y 坐标，则必要观测的个
数为 t = 2(N - 2),独立的条件方程数目为：
r = n - t
其中大地四边形和中点多边形要有 1个极条件。
网中每 增加 1条已知边，应增加 1个基线条件。
条件方程的数目：
1.三角锁
条件方程的个数：
c 1 ci an bnB
1
① ② ? B2
a1 b1 ai bi cn
第一个三角形有 3个点，每增加 1个三角形增
加 1个点,n个三角形共有 n+2个点，必要观测
个数是,t = 2 (n + 2 – 2) = 2n ；
共有 3n个角度观测值,2条基线，其中一条
是起算边长，因此条件方程的个数为：
r = 3n - 2n +1 = n +1
条件方程的种类：
? 图形条件 n个：
")
s i n
s i n
1(
1
2 ?
?
???
aB
bB
w B
vai+vbi+vci+wi=0;
wi= ai+ bi +ci –180o (i = 1,2,…,n)
?基线条件 1个：
Σδai vai –Σ δbi vbi+wB= 0
2.大地四边形
共有 4个点，其中 2
个为起算点,2个未
知点，应有 4个必要
观测（ t=4），共有
8个观测值 (n=8)，
条件方程的个数为：
r = n - t = 4
a3 b3
b2 a4
a2 b4
b1 a1
B
其中图形条件 3个：
va1+vb1+va2+ vb2 +w1=0;
w1= a1+ b1 +a2 +b2 – 180o
va2+vb2+va3+ vb3 +w2=0;
w2= a2+ b2 +a3 +b3 –180o
va3+vb3+va4+ vb4 +w3=0;
w3= a3+ b3 +a4 +b4 –180o
极条件 1个,
Σ δai vai – Σδbi vbi +ws = 0 ；
其中：
")
s i n
s i n
1( ?
?
?
??
i
i
s
a
b
w
δai = ctg ai,δbi = ctg bi
3.中点多边形
条件方程的数目,Aa
1
① ? E
B b1 c1 O
a2 c2
② ci
b2 ?
ai bi
C D
t=2(n+1–2)=2n– 2
共有 n+1个点，必
要观测个数：
观测值个数 3n；
条件方程个数：
r = 3n –(2n –2 ) = n+2
条件方程的种类：
? 图形条件 n个：
")
s i n
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1( ?
?
???
i
i
s a
b
w
vai+vbi+vci+wi=0;
wi= ai+ bi +ci –180o (i = 1,2,…,n)
?圆周角条件 1个：
Σ vci+wo= 0 ； wo= Σ ci -360o
?极条件 1个：
Σδai vai –Σ δbi vbi+ws= 0
六、精度评定
在条件平差中，精度评定包括计算单位
权方差和平差值函数的中误差。
r
PVV
r
p vv T?? ][2?
其中,r 为条件方程的个数,[pvv]=VTPV 可
以根据改正数向量 V 直接计算，也可以根据
联系数向量 K 计算。
1.单位权方差：
由于 V=P-1ATK
所以 VTPV=KTAP-1PP-1ATK= KTNK
式中,N 为法方程系数矩阵。
VTPV还可以用闭合差向量 W 进行计算。
将 V=P-1ATK 代入 VTPV 中得：
VTPV=VTP（ P-1ATK） =(AV)TK
而由条件方程 AV+W=0知：
W= － AV
所以有,VTPV=－ WTK
2,平差值函数的权倒数
我们知道，未知量 x 的中误差的平方 mx2
与单位权中误差的平方 μ2 成正比，与该量的
权 Px 成反比，即：
x
x pm
2
2 ??
同样，对于平差值的函数，只要能够确定
它的权 Px，根据单位权中误差，就可以计算
出该函数的中误差。
设有平差值函数为
T
nLLL
f ][
21 ?
????
?
?
?
?? ???
),,,( 21 nLLLf ?????
i
i Lf ?
?? ?
则平差值函数的权倒数公式为
P?-1=f T P-1 f - (AP-1f )TN-1AP-1f
其中,P为观测值的权矩阵； A为条件方程系数
矩阵； N为法方程系数矩阵； f 为列矩阵：
可见，列出平差函数式后，只要求出 f 列阵的系数
即可由上式计算函数的权倒数。
【 例 3-1 】 （ p.49)
某一级小三角网如
图，知 A点坐标为
(500.000,500.000)，
AB边坐标方位角
α=32° 12’36”，长
度 S=872.562m，三
角网角度观测值如
下表，计算各点坐
标。
七、独立三角网条件平差算例
B
b1 a2
S c1 c2
D c3
a1 b2
b3 a3
A C
1.列条件方程
本题有 2个未知点，需 4个必要观测，实际
有 9个观测值，故应列出 5个条件方程。其中
3个图形条件,1个圆周角条件,1个极条件。
【 解 】,
角度观测值 三角
形
a δ b δ c Σ
闭
合
差
1 3 0 5 2 3 9, 2 1, 6 7 4 2 1 6 4 1, 2 1, 1 0 1 0 6 5 0 4 0, 6 1 8 0 0 0 0 1, 0 +1, 0
2 3 3 4 0 5 4, 8 1, 5 0 2 0 5 8 2 6, 4 2, 6 1 1 2 5 2 0 3 7, 2 1 7 9 5 9 5 8, 4 - 1, 6
3 2 3 4 5 1 2, 5 2, 2 7 2 8 2 6 0 7, 9 1, 8 5 1 2 7 4 8 3 9, 0 1 7 9 5 9 5 9, 4 - 0, 6
Π s i n 0, 1 1 4 6 4 3 1 0, 1 1 4 6 6 1 5 Σ 3 5 9 5 9 5 6, 8
2,闭合差检核
一级小三角网测角中误差应不大于 5”
"3.1732 ??? mw 限
"3.1732 ??? mw O 限
? ? "5.462 ??? ??mw s 限
?图形条件闭合差检核：
|wi| max =1.6”< w限
?圆周角条件闭合差检核：
wO = -3.2”< wO限
?极条件闭合差检核：
限s
i
i
s wa
b
w ?????
?
? "1.33")
s i n
s i n
1( ?
3,列立条件方程
条件方程的矩阵形式为,AV+W=0,本例中：
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
???
?
.85.127.2.61.250.1.10.167.1
1..1..1..
111......
...111...
......111
A
W=(1.0 -1.6 -0.6 -3.2 -33.1)T
V=( va1 vb1 vc1 va2 vb2 vc2 va3 vb3 vc3)T
4,组成法方程
法方程的组成与解算可以利用 Matlab软件。
打开 Matlab，进入命令编辑器后，先输入常
数矩阵 A和 W，再进行矩阵运算，得到法方程
式，解法方程式得到联系数向量 K和改正数向
量 V。
注意：本例中所有观测值都是等精度角度观测
值，所以法方程中权矩阵为单位阵。
先输入 2个常
数矩阵 A,W
再点击 workspace按钮，
对这两个矩阵进行修改
常数矩阵的输入
组成法方程系数矩阵
5,解算联系数和改正数 Matlab中，函数必须使
用小写字母
6,精度评定
直接在 MATLAB中计算 [PVV]：
"45.3
5
3972.59][ ?????
r
p vvm ?
m<10”说明该三角网角度观测达到精度要求。
？ PVV=V′*V
PVV
=59.3972
据此计算测角中误差：
7,计算观测量的平差值
三角形 角 观测值 v 平差值
a 3 0 5 2 3 9, 2 1, 5 8 3 0 5 2 4 0, 7 8
b 4 2 1 6 4 1, 2 - 2, 8 6 4 2 1 6 3 8, 3 4
c 1 0 6 5 0 4 0, 6 0, 2 7 1 0 6 5 0 4 0, 8 7
1
Σ 1 8 0 0 0 0 1, 0 - 1, 0 1 1 7 9 5 9 5 9, 9 9
a 3 3 4 0 5 4, 8 3, 0 8 3 3 4 0 5 7, 8 8
b 2 0 5 8 2 6, 4 - 3, 5 1 2 0 5 8 2 2, 8 9
c 125 2 0 3 7, 2 2, 0 4 1 2 5 2 0 3 9, 2 4
2
Σ 1 7 9 5 9 5 8, 4 1, 6 1 1 8 0 0 0 0 0, 0 1
a 2 3 4 5 1 2, 5 3, 1 6 2 3 4 5 1 5, 6 6
b 2 8 2 6 0 7, 9 - 3, 4 5 2 8 2 6 0 4, 4 5
c 1 2 7 4 8 3 9, 0 0, 8 9 1 2 7 4 8 3 9, 8 9
3
Σ 1 7 9 5 9 5 9, 4 0, 6 0 1 8 0 0 0 0 0, 0 0
8,平差值闭合差检核
? 图形条件：
"00.0
"2 0 6 2 6 5)
1 1 4 6 5 1 1 6 3.0
1 1 4 6 5 1 1 6 2.0
1(
")
s i n
s i n
1('
?
??
??
?
?
?
i
i
s
a
b
w
w1’=Σ1－ 180° = -0.01”
w2’=Σ2－ 180° =+0.01”
w3 ’=Σ3－ 180° = 0.00”
?圆周角条件,wo ’=Σc－ 360° = 0.00”
?极条件：
9,推算三角网各边长度
从已知边 AB起，应用正弦定理依次计算。
三角形 角 角度平差值 边 边长（ m ）
a 3 0 5 2 4 0, 7 8 BD 4 6 7, 8 8 4 1
b 4 2 1 6 3 8, 3 4 AD 6 1 3, 3 0 4 2 1
c 1 0 6 5 0 4 0, 8 7 AB 8 7 2, 5 6 2
a 3 3 4 0 5 7, 8 8 CD 7 2 4, 9 6 5 3
b 2 0 5 8 2 2, 8 9 BD ( 4 6 7, 8 8 4 1 ) 2
c 1 2 5 2 0 3 9, 2 4 BC 1 0 6 6, 2 7 1 9
a 2 3 4 5 1 5, 6 6 AD 6 1 3, 3 0 4 2
b 2 8 2 6 0 4, 4 5 CD ( 7 2 4, 9 6 5 3 ) 3
c 1 2 7 4 8 3 9, 8 9 AC 1 2 0 2, 8 6 2 9
10,计算各点坐标 （按闭合导线计算）
点号 右角 方位角 边长 Δ x Δ y x y
A 5 0 0, 0 0 0 5 0 0, 0 0 0
3 2 1 2 3 6, 0 0 8 7 2, 5 6 2 0 7 3 8, 2 7 4 8 4 6 5, 0 9 6 4
B 7 5 5 7 3 6, 2 2 1 2 3 8, 2 7 5 9 6 5, 0 9 6
1 3 6 1 4 5 9 7 8 1 0 6 6, 2 7 1 9 - 7 7 0, 2 3 5 6 7 3 7, 3 4 1 8
C 2 0 5 8 2 2, 8 9 4 6 8, 0 3 9 1 7 0 2, 4 3 8
2 9 5 1 6 3 6, 8 9 7 2 4, 9 6 5 3 3 0 9, 5 5 5 5 - 6 5 5, 5 5 3 3
D 2 3 2 1 1 2 0, 1 1 7 7 7, 5 9 5 1 0 6 4, 8 8 5
2 4 3 0 5 1 6, 7 8 6 1 3, 3 0 4 2 - 2 7 7, 5 9 4 7 - 5 4 6, 8 8 5 0
A 3 0 5 2 4 0, 7 8 5 0 0, 0 0 0 5 0 0, 0 0 0
3 2 1 2 3 6, 0 0
B
Σ 3 6 0 0 0 0 0, 0 0
0, 0 0 0 0 0, 0 0 0 0
? 完成控制网测量的外业工作后要进行
内业计算, 内业计算分为概算, 平差计
算和编制控制点成果表 。 本章重点介绍
独立三角网的条件平差方法 。
? 第一节 测量平差的数学模型
? 第二节 条件平差原理
? 第三节 独立三角网条件平差
第一节 测量平差的数学模型
一、必要观测与多余观测
在测量工作中, 最常见的问题是要确定
某些几何量的大小 。 由各种几何量构成的模型
（ 测量中就是各种控制网 ） 就是几何模型 。
为了确定一个几何模型，并不需要知道该
模型中所有元素的大小，而只需要知道其中部
分元素，其它元素可以通过已知的元素确定。
能够唯一地确定一个几何模型所必要的元
素，称必要元素；确定必要元素的观测称为必
要观测。必要元素的个数用 t 表示。
? 为了确定一个几何模型就必须进行观测 。 如果
观测个数 n 少于必要元素的个数, 即 n＜ t,显
然无法确定该模型, 出现了数据不足的情况；
若观测了 t 个独立量, n =t,则可唯一地确定
该模型 。 在这种情况下, 如果观测结果中含有
错误, 将无法发现 。 为了能及时发现错误, 并
提高测量成果的精度, 就必须使 n＞ t,即必须
进行多余观测 。 多余观测的个数在测量中又称
,自由度, 。 令
r = n – t
显然, r 就是多余观测数 。
例如, 为确定三角
形 ABC，只需要 3
个必要观测，它们
可以是,S1,a,b
或,S1,a,c
或,S1,S2,b
或,S1,S2,S3
……
C
c
S2 S3
b a
B S1 A
如果观测了所有六个元素，则有 3 个多余观测
二、平差的数学模型
? 测量中是通过观测来确定控制网中的某些几
何量, 因而考虑的模型总是数学模型 。 因为
观测量是一种随机变量, 所以平差的数学模
型应同时包含函数模型和随机模型 。 函数模
型和随机模型总称为数学模型 。
? 函数模型是由描述观测量和待求量间的函数
关系的模型, 随机模型是描述观测量及其相
互间统计相关性质的模型 。 建立这两种模型
是测量平差中最基本而首先考虑的问题 。
? 测量平差通常是基于线性函数模型的,
当函数模型为非线性形式时, 是将其用
泰勒公式展开, 并取其一次项化为线性
形式 。
? 对于一个实际平差问题, 可建立不同形
式的函数模型, 相应地就有不同的平差
方法 。 测量中常见的控制网平差方法有
条件平差和间接平差两种 。
1、条件平差法
以观测量之间必须满足一定的条件方程为
函数模型的平差方法, 称为条件平差法 。
例如：为了确定 B、
C,D三点的高程，
其必要观测数 t =3，
实际观测了 6 段高
差,故多余观测数
r = n–t =3，应列出
3个线性无关条件
方程,
h1
A B
h2
C h3
h4 h5 h6
D
这个水准网可以列出 7个条件方程,其中只有
3个是相互独立的,我们取：
0
0
0
452
461
231
???
???
???
hhh
hhh
hhh
式中,表示观测量 hi 的平差值。
这就是用平差值表达的条件方程。
ih
（ a）
由于平差值应该等于观测值与其改正数之和，
即：
iii vhh ??
代入 (a)式得,其中：
0
,0
0
3542
2641
1321
????
????
????
wvvv
wvvv
wvvv
(b)
5423
6412
3211
hhhw
hhhw
hhhw
???
???
???
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
3
2
1
,
011010
101001
000111
w
w
w
WA
令：
V = ( v1 v2 v3 v4 v5 v6)T
则条件方程可表达为以下矩阵形式：
AV +W=0 （ c）
这就是 条件平差 函数模型的 一般形式 。
条件方程 AV +W=0 中，
A － 为 r? n 阶矩阵,称为系数矩阵；
V － 为 n ? 1列阵,称为改正数向量；
W－ 为 r ? 1列阵,称为闭合差向量。
2、间接平差法
? 一个几何模型中，只会有 t 个独立量，如果平
差时就以这 t 个独立量为参数，模型中的所有
量都一定是这 t 个独立参数的函数，亦即每个
观测量都可表达成所选 t 个独立参数的函数。
? 选择几何模型中 t 个独立量为平差参数，将每
一个观测量表达成所选参数的函数，即列出 n
个这种函数关系式，以此为平差的函数模型，
称为间接平差法，又称参数平差法。
例如：
△ ABC中，观测量为其中的三个内角，选
定 ∠ A和 ∠ B为平差参数，设为 X1和 X2，将
每一个观测量均表达为这两个平差参数的
函数，构成数学模型, C
L3
X1 X2
L1 L2
A B
?????
?
?
1 8 0
21
3
2
2
1
1
XXL
XL
XL
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
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?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
1 8 0
0
0
,,
11
10
01
2
1
3
2
1
3
2
1
3
2
1
d
X
X
XB
VL
v
v
v
L
L
L
L
L
L
L
令：
则间接平差的函数模型可用以下矩阵形式表达：
L+V=BX+d
或,V=BX – l
此式称为间接平差误差方程。
式中,L 为观测值向量（ n ? 1 阶）；
V 为改正数向量（ n ? 1 阶） ；
B 为系数矩阵（ n ? t 阶） ；
X 为未知数向量（ t ? 1 阶） ；
l =L – d 为常数矩阵（ n ? 1 阶） 。
第二节 条件平差原理
条件方程 AV +W=0 中，
A 为 r ? n 阶矩阵，
V 为 n ? 1 列阵，
即有 r 个方程,n 个未知数,且 r <n，
这样的方程组有无穷多组解 。然而，根
据最小二乘准则，观测量的最或然值应
该满足 VTPV=min。
在 AV +W=0的条件下确定 VTPV 的最
小值，这在数学中是求函数 Ф=VTPV
的条件极值问题。 条件平差，实际上
是确定条件方程满足 VTPV=min 的唯
一解 。
根据计算函数的条件极值的拉格朗
日乘数法则组成新函数：
Ф = VTPV－ 2KT（ AV+W)
其中,K =（ k1,k2,…, kr )T 是拉格
朗日乘数，测量平差中称之为联系数
向量。
显然，只要令 Ф对 V的一阶导数等于
零就可以求出 VTPV 的极值。
矩阵求导的两个公式：
(1) 设 C为常数阵,X为列阵，则
dX
dYZ
dX
dZY
dX
ZYd TTT ??)(
C
dX
CXd ?)(
(2)设 Y,Z 均为列阵，则：
一、改正数方程
令其等于零，注意到 (PV )T = V T P，从而有：
V T P =K T A
转置后左乘 P –1 得：
V =P –1 ATK (1)
该公式表达了改正数 V 与联系数 K 的关系。
AKPVPV
dV
d TTT 2)( ????
函数 Ф = VTPV － 2 KT ( AV+W ) 对 V 求导：
二、法方程式
将（ 1）式代入条件方程 AV +W=0 中得：
AP –1 AT K+W=0 （ 2）
这就是条件平差的法方程式。式中,P为观测值
的权矩阵，设第 i 个观测值的权为 pi,则
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
n
p
p
p
P
...
......
...
...
2
1
显然 P 是一个对角阵，其逆存在，且：
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
n
p
p
p
P
1
...
..,,..
..
1
.
...
1
2
1
1
三、法方程的解
令 N = AP –1 AT （ 3）
则法方程式的形式为
N K+W =0
其中 N 称为法方程式系数矩阵，是一个满
秩二次型方阵，其逆存在。从而可解出联系
数向量：
K = － N –1 W （ 4）
四、条件平差的一般过程
（ 1）列出条件方程 AV +W=0
（ 2）组成法方程系数矩阵 N = AP –1 AT
（ 3）解法方程得到联系数 K = － N –1 W
（ 4）计算改正数 V=P –1 ATK
（ 5）计算平差值
（ 6）精度评定
VLL ??
上一讲内容回顾
? 条件平差函数模型的一般形式：
AV +W=0
? 条件平差的法方程式
AP –1 AT K+W=0
或 NK+W=0
? 法方程的解 K = － N –1 W
? 改正数 V=P –1 ATK
? 条件平差的一般过程
（ 1）列出条件方程
VLL ??
AV +W=0
（ 2）组成法方程系数矩阵 N = AP –1 AT
（ 3）解法方程得到联系数 K = － N –1 W
（ 4）计算改正数 V=P –1 ATK
（ 5）计算平差值
（ 6）精度评定（计算单位权方差、观测值中误
差、平差值函数的中误差等）
第三节 独立三角网条件平差
根据三角网中起算数据的多少，三角网有
独立三角网（网中仅有必要的起算数据）和非
独立三角网（网中具有多余的起算数据）之分。
三角网平差有按角度平差和按方向平差两种方
法。本节讨论独立三角网按角度进行条件平差
时，条件方程式列立、法方程式组成和解算的
详细步骤和方法。
一、图形条件
图形条件通常是指平差后三角形内角应满足
的几何条件，所以也称为 三角形闭合条件 。
条件平差时，关键是列出条件方程。独立
三角网的观测量主要是三角形的内角，这些角
在几何上应该满足一定的条件，这些条件就是
列立条件方程的基础。
根据几何条件的不同，独立三角网的条件
方程分为图形条件、圆周角条件、极条件、基
线条件四种类型。
1.平差值表达的图形条件
? 对于有 n 个三角形组成的中点多边形 (a)
或三角锁 (b)，可以列出 n 个图形条件：
01 8 0 ????? iii cba
（ i =1,2,…, n）
a1
ci an bn
b1 c1
ci
ai bi ai bi cn
(a) (b)
? 对于大地四边形，
可以列出 7个图形条件，
但是只有 3 个是相互独
立的，其余几个可以由
这 3 个方程推导出来：
a3 b3
b2 a4
a2 b4
b1 a1
0180
0180
0180
4433
3322
2211
??????
??????
??????
baba
baba
baba
2,改正数表达的图形条件
代入用平差值表达的条件方程，整理后可得;aiii vaa ??;biii vbb ??
ciii vcc ??
平差值、观测值、改正数三者的关系为：
（ 1）中点多边形和三角锁：
vai+vbi+vci+wi=0;
wi= ai+ bi +ci - 180o
（ 2）大地四边形：
va1+vb1+va2+ vb2 +w1=0;
va2+vb2+va3+ vb3 +w2=0;
va3+vb3+va4+ vb4 +w3=0;
w1= a1+ b1 +a2 +b2- 180o
w2= a2+ b2 +a3 +b3- 180o
w3= a3+ b3 +a4 +b4- 180o
a3 b3
b2 a4
a2 b4
b1 a1
3.图形条件闭合差的限差
设角度观测中误差为 m，应用误差传播定律
可得三角形闭合差 w 的中误差为
3mm w ?
32 mw ?限
取闭合差中误差的两倍作为闭合差的限值，即
同理,n 个角的图形条件闭合差的限值为
nmw 2?限
二、圆周角条件
在中点多边形中，尽管所有三角形的图形
条件都满足，但在中心点处，仍然可能出现
各角度值之和不等于 360° 的现象，平差时
除了要满足三角形闭合条件外，还必须使中
心点处的角度满足下列条件：
03 6 0 ???? ic
a1
b1 c1
ci
ai bi
用改正数表达的圆周角条件为：
其中,wo 称为圆周角条件闭合差。
nmw 2?限
式中,m 为角度观测中误差；
n 为圆周角的个数。
??? ? 360io cw0??? oci wv ；
对 wo应用误差传播定律，并以 2倍中误差作
为限差，则圆周角闭合差的限差为：
三、极条件
以中点多边形为例，若从 OA边出发，
依次解算三角形①、②,…,最后解算
出的 OA边长应与出发边 OA相等。即：
A
a1
① ? EB b
1 c1 O
a2 ② c2 ci
b2 ?
ai bi
C D
1
1
s in
s in
b
aSS
OAOB ?
21
21
2
2
s i ns i n
s i ns i n
s i n
s i n
bb
aaS
b
aSS
OAOBOC ??
n
n
OAOA
bbb
aaa
SS
s i ns i ns i n
s i ns i ns i n
.,,,,,,
21
21
?
?
?
1.平差值形式的极条件方程
1
s i ns i ns i n
s i ns i ns i n
21
21 ?
n
n
bbb
aaa
?
?
01
)s i n ()s i n ()s i n (
)s i n ()s i n ()s i n (
2211
2211 ??
???
???
bnnbb
annaa
vbvbvb
vavava
?
?
依次解算的三角形有共同顶点 O，这个共同顶
点 O成为极点，故这种条件称为极条件。
将上述公式中的平差值用观测值加改正数的形
式表达，则有：
即：
2.改正数形式的极条件方程
上述方程按台劳级数展开取至改正数的一次
项使其线性化：
0)
s i n
c o s
(
s i ns i ns i n
s i ns i ns i n
)
s i n
s i n
(
s i ns i ns i n
s i ns i nc o s
1
s i ns i ns i n
s i ns i ns i n
1
)s i n ()s i n ()s i n (
)s i n ()s i n ()s i n (
12
121
21
1
1
1
21
21
21
21
2211
2211
?
?
?
?????
??
?
???
???
?
b
n
n
n
n
a
n
n
n
n
bnnbb
annaa
v
b
b
bbb
aaa
v
a
a
bbb
aaa
bbb
aaa
vbvbvb
vavava
?
?
?
?
?
?
?
?
令 δai = ctg ai,δbi = ctg bi
")
s i n
s i n
1( ?
?
???
i
i
s a
b
w
称为极条件闭合差。
则上式可化简为：
Σδai vai –Σ δbi vbi+ws = 0
其中：
3,极条件闭合差的限差
对极条件闭合差的表达式应用误差传播定律得：
? ???mmm wow 22 ??限
mwo2 = δa12 ma12+ δa22 ma22+…+ δbn2 mbn2
由于通常各三角形内角是等精度观测，即
mai = mbi = m,
以 2倍中误差为闭合差的限差，从而得到极条件
闭合差的限差为：
四、基线条件
对于有两条基线的三角网，其角度观测值
平差后应满足：两条基线经三角形边长传算后
相等。例如以下三角锁中,B1,B2为两条基
线，由 B1 经三角形①、②,…, ? 传算到 B2
后，应该与 B2 相等。这个条件称为基线条件。
c 1 ci an bnB
1
① ② ? B2
a1 b1 ai bi cn
1.平差值表达的基线条件方程
n
n
bbb
aaa
BB
s i ns i ns i n
s i ns i ns i n
21
21
12
?
?
?
根据正弦定理，上述三角锁中，仿照极条件
的推导过程，基线 B1,B2 与传距角 ai,bi的平
差值应该满足：
2.改正数表达的基线条件方程
")
s i n
s i n
1(
1
2 ?
?
???
aB
bB
w B
0
)s i n ()s i n ()s i n (
)s i n ()s i n ()s i n (
2
2211
2211
1 ?????
??? B
vbvbvb
vavavaB
bnnbb
annaa
?
?
上式中的平差值用观测值加改正数的形式表
达并移项后得：
线性化后令 δai = ctg ai,δbi = ctg bi,则有：
Σδai vai –Σ δbi vbi+wB= 0
3.基线条件闭合差的限差
? ?
2
2
2
2
2
1
2
12 ""2
B
m
B
m
mw BBB ???? ????限
称为基线条件闭合差。应用误差传播定律可
计算其中误差，取 2 倍中误差为限差可得：
")
s i n
s i n
1(
1
2 ?
?
???
aB
bB
w B
五、典型三角网的条件方程
设独立三角网中观测值个数为 n，三角点的
总数为 N，其中要有 2 个是已知坐标的点，未
知点个数为（ N - 2），每个未知点需要 2 个必
要观测以确定其 x,y 坐标，则必要观测的个
数为 t = 2(N - 2),独立的条件方程数目为：
r = n - t
其中大地四边形和中点多边形要有 1个极条件。
网中每 增加 1条已知边，应增加 1个基线条件。
条件方程的数目：
1.三角锁
条件方程的个数：
c 1 ci an bnB
1
① ② ? B2
a1 b1 ai bi cn
第一个三角形有 3个点，每增加 1个三角形增
加 1个点,n个三角形共有 n+2个点，必要观测
个数是,t = 2 (n + 2 – 2) = 2n ；
共有 3n个角度观测值,2条基线，其中一条
是起算边长，因此条件方程的个数为：
r = 3n - 2n +1 = n +1
条件方程的种类：
? 图形条件 n个：
")
s i n
s i n
1(
1
2 ?
?
???
aB
bB
w B
vai+vbi+vci+wi=0;
wi= ai+ bi +ci –180o (i = 1,2,…,n)
?基线条件 1个：
Σδai vai –Σ δbi vbi+wB= 0
2.大地四边形
共有 4个点，其中 2
个为起算点,2个未
知点，应有 4个必要
观测（ t=4），共有
8个观测值 (n=8)，
条件方程的个数为：
r = n - t = 4
a3 b3
b2 a4
a2 b4
b1 a1
B
其中图形条件 3个：
va1+vb1+va2+ vb2 +w1=0;
w1= a1+ b1 +a2 +b2 – 180o
va2+vb2+va3+ vb3 +w2=0;
w2= a2+ b2 +a3 +b3 –180o
va3+vb3+va4+ vb4 +w3=0;
w3= a3+ b3 +a4 +b4 –180o
极条件 1个,
Σ δai vai – Σδbi vbi +ws = 0 ；
其中：
")
s i n
s i n
1( ?
?
?
??
i
i
s
a
b
w
δai = ctg ai,δbi = ctg bi
3.中点多边形
条件方程的数目,Aa
1
① ? E
B b1 c1 O
a2 c2
② ci
b2 ?
ai bi
C D
t=2(n+1–2)=2n– 2
共有 n+1个点，必
要观测个数：
观测值个数 3n；
条件方程个数：
r = 3n –(2n –2 ) = n+2
条件方程的种类：
? 图形条件 n个：
")
s i n
s i n
1( ?
?
???
i
i
s a
b
w
vai+vbi+vci+wi=0;
wi= ai+ bi +ci –180o (i = 1,2,…,n)
?圆周角条件 1个：
Σ vci+wo= 0 ； wo= Σ ci -360o
?极条件 1个：
Σδai vai –Σ δbi vbi+ws= 0
六、精度评定
在条件平差中，精度评定包括计算单位
权方差和平差值函数的中误差。
r
PVV
r
p vv T?? ][2?
其中,r 为条件方程的个数,[pvv]=VTPV 可
以根据改正数向量 V 直接计算，也可以根据
联系数向量 K 计算。
1.单位权方差：
由于 V=P-1ATK
所以 VTPV=KTAP-1PP-1ATK= KTNK
式中,N 为法方程系数矩阵。
VTPV还可以用闭合差向量 W 进行计算。
将 V=P-1ATK 代入 VTPV 中得：
VTPV=VTP（ P-1ATK） =(AV)TK
而由条件方程 AV+W=0知：
W= － AV
所以有,VTPV=－ WTK
2,平差值函数的权倒数
我们知道，未知量 x 的中误差的平方 mx2
与单位权中误差的平方 μ2 成正比，与该量的
权 Px 成反比，即：
x
x pm
2
2 ??
同样，对于平差值的函数，只要能够确定
它的权 Px，根据单位权中误差，就可以计算
出该函数的中误差。
设有平差值函数为
T
nLLL
f ][
21 ?
????
?
?
?
?? ???
),,,( 21 nLLLf ?????
i
i Lf ?
?? ?
则平差值函数的权倒数公式为
P?-1=f T P-1 f - (AP-1f )TN-1AP-1f
其中,P为观测值的权矩阵； A为条件方程系数
矩阵； N为法方程系数矩阵； f 为列矩阵：
可见，列出平差函数式后，只要求出 f 列阵的系数
即可由上式计算函数的权倒数。
【 例 3-1 】 （ p.49)
某一级小三角网如
图，知 A点坐标为
(500.000,500.000)，
AB边坐标方位角
α=32° 12’36”，长
度 S=872.562m，三
角网角度观测值如
下表，计算各点坐
标。
七、独立三角网条件平差算例
B
b1 a2
S c1 c2
D c3
a1 b2
b3 a3
A C
1.列条件方程
本题有 2个未知点，需 4个必要观测，实际
有 9个观测值，故应列出 5个条件方程。其中
3个图形条件,1个圆周角条件,1个极条件。
【 解 】,
角度观测值 三角
形
a δ b δ c Σ
闭
合
差
1 3 0 5 2 3 9, 2 1, 6 7 4 2 1 6 4 1, 2 1, 1 0 1 0 6 5 0 4 0, 6 1 8 0 0 0 0 1, 0 +1, 0
2 3 3 4 0 5 4, 8 1, 5 0 2 0 5 8 2 6, 4 2, 6 1 1 2 5 2 0 3 7, 2 1 7 9 5 9 5 8, 4 - 1, 6
3 2 3 4 5 1 2, 5 2, 2 7 2 8 2 6 0 7, 9 1, 8 5 1 2 7 4 8 3 9, 0 1 7 9 5 9 5 9, 4 - 0, 6
Π s i n 0, 1 1 4 6 4 3 1 0, 1 1 4 6 6 1 5 Σ 3 5 9 5 9 5 6, 8
2,闭合差检核
一级小三角网测角中误差应不大于 5”
"3.1732 ??? mw 限
"3.1732 ??? mw O 限
? ? "5.462 ??? ??mw s 限
?图形条件闭合差检核：
|wi| max =1.6”< w限
?圆周角条件闭合差检核：
wO = -3.2”< wO限
?极条件闭合差检核：
限s
i
i
s wa
b
w ?????
?
? "1.33")
s i n
s i n
1( ?
3,列立条件方程
条件方程的矩阵形式为,AV+W=0,本例中：
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
???
?
.85.127.2.61.250.1.10.167.1
1..1..1..
111......
...111...
......111
A
W=(1.0 -1.6 -0.6 -3.2 -33.1)T
V=( va1 vb1 vc1 va2 vb2 vc2 va3 vb3 vc3)T
4,组成法方程
法方程的组成与解算可以利用 Matlab软件。
打开 Matlab，进入命令编辑器后，先输入常
数矩阵 A和 W，再进行矩阵运算，得到法方程
式，解法方程式得到联系数向量 K和改正数向
量 V。
注意：本例中所有观测值都是等精度角度观测
值，所以法方程中权矩阵为单位阵。
先输入 2个常
数矩阵 A,W
再点击 workspace按钮，
对这两个矩阵进行修改
常数矩阵的输入
组成法方程系数矩阵
5,解算联系数和改正数 Matlab中，函数必须使
用小写字母
6,精度评定
直接在 MATLAB中计算 [PVV]：
"45.3
5
3972.59][ ?????
r
p vvm ?
m<10”说明该三角网角度观测达到精度要求。
？ PVV=V′*V
PVV
=59.3972
据此计算测角中误差：
7,计算观测量的平差值
三角形 角 观测值 v 平差值
a 3 0 5 2 3 9, 2 1, 5 8 3 0 5 2 4 0, 7 8
b 4 2 1 6 4 1, 2 - 2, 8 6 4 2 1 6 3 8, 3 4
c 1 0 6 5 0 4 0, 6 0, 2 7 1 0 6 5 0 4 0, 8 7
1
Σ 1 8 0 0 0 0 1, 0 - 1, 0 1 1 7 9 5 9 5 9, 9 9
a 3 3 4 0 5 4, 8 3, 0 8 3 3 4 0 5 7, 8 8
b 2 0 5 8 2 6, 4 - 3, 5 1 2 0 5 8 2 2, 8 9
c 125 2 0 3 7, 2 2, 0 4 1 2 5 2 0 3 9, 2 4
2
Σ 1 7 9 5 9 5 8, 4 1, 6 1 1 8 0 0 0 0 0, 0 1
a 2 3 4 5 1 2, 5 3, 1 6 2 3 4 5 1 5, 6 6
b 2 8 2 6 0 7, 9 - 3, 4 5 2 8 2 6 0 4, 4 5
c 1 2 7 4 8 3 9, 0 0, 8 9 1 2 7 4 8 3 9, 8 9
3
Σ 1 7 9 5 9 5 9, 4 0, 6 0 1 8 0 0 0 0 0, 0 0
8,平差值闭合差检核
? 图形条件：
"00.0
"2 0 6 2 6 5)
1 1 4 6 5 1 1 6 3.0
1 1 4 6 5 1 1 6 2.0
1(
")
s i n
s i n
1('
?
??
??
?
?
?
i
i
s
a
b
w
w1’=Σ1－ 180° = -0.01”
w2’=Σ2－ 180° =+0.01”
w3 ’=Σ3－ 180° = 0.00”
?圆周角条件,wo ’=Σc－ 360° = 0.00”
?极条件：
9,推算三角网各边长度
从已知边 AB起，应用正弦定理依次计算。
三角形 角 角度平差值 边 边长（ m ）
a 3 0 5 2 4 0, 7 8 BD 4 6 7, 8 8 4 1
b 4 2 1 6 3 8, 3 4 AD 6 1 3, 3 0 4 2 1
c 1 0 6 5 0 4 0, 8 7 AB 8 7 2, 5 6 2
a 3 3 4 0 5 7, 8 8 CD 7 2 4, 9 6 5 3
b 2 0 5 8 2 2, 8 9 BD ( 4 6 7, 8 8 4 1 ) 2
c 1 2 5 2 0 3 9, 2 4 BC 1 0 6 6, 2 7 1 9
a 2 3 4 5 1 5, 6 6 AD 6 1 3, 3 0 4 2
b 2 8 2 6 0 4, 4 5 CD ( 7 2 4, 9 6 5 3 ) 3
c 1 2 7 4 8 3 9, 8 9 AC 1 2 0 2, 8 6 2 9
10,计算各点坐标 （按闭合导线计算）
点号 右角 方位角 边长 Δ x Δ y x y
A 5 0 0, 0 0 0 5 0 0, 0 0 0
3 2 1 2 3 6, 0 0 8 7 2, 5 6 2 0 7 3 8, 2 7 4 8 4 6 5, 0 9 6 4
B 7 5 5 7 3 6, 2 2 1 2 3 8, 2 7 5 9 6 5, 0 9 6
1 3 6 1 4 5 9 7 8 1 0 6 6, 2 7 1 9 - 7 7 0, 2 3 5 6 7 3 7, 3 4 1 8
C 2 0 5 8 2 2, 8 9 4 6 8, 0 3 9 1 7 0 2, 4 3 8
2 9 5 1 6 3 6, 8 9 7 2 4, 9 6 5 3 3 0 9, 5 5 5 5 - 6 5 5, 5 5 3 3
D 2 3 2 1 1 2 0, 1 1 7 7 7, 5 9 5 1 0 6 4, 8 8 5
2 4 3 0 5 1 6, 7 8 6 1 3, 3 0 4 2 - 2 7 7, 5 9 4 7 - 5 4 6, 8 8 5 0
A 3 0 5 2 4 0, 7 8 5 0 0, 0 0 0 5 0 0, 0 0 0
3 2 1 2 3 6, 0 0
B
Σ 3 6 0 0 0 0 0, 0 0
0, 0 0 0 0 0, 0 0 0 0
