为保证车辆平稳运行，需在线路改变方向
处加设曲线进行过渡。
圆曲线,具有一定半径的圆弧。
平面曲线
缓和曲线,半径 R由无穷大渐变
到圆曲线半径 。
曲线主要点测设
曲线测设
曲线详细测设
第五章 曲线测设
主点测设,在地面上标定出不同线型的分
界点及曲中点。
曲线详细测设,测设出具有一定密度的线路
中线点。
如果使用 测距仪 或 全站仪 按 任意点极
坐标法 测设曲线，则曲线 主点和曲线详细点
可同时设出。
注意,必须更换臵镜点重新测一次。
§ 5-1 圆曲线主点及要素计算
一、圆曲线的主点 ZY, QZ, YZ
α
QZ
YZ
R
T
ZY
O
α
JD
E
0
L
T
图 5 ?? 1 圆曲线主点及要素
α
QZ
YZ
ZY
L
JD
α
O
E
0
R — 圆曲线半径（设计选配）
?— 转向角（现场实测）
LTq ?? 2
4、切曲差：
R
二、圆曲线的要素计算
2t a n
?RT ?1、切线长：
??? 180
??RL2、曲线长：
)12( s e c
0
?? ?RE
3、外矢距：
ZY
1
YZ 2
JD
1
JD
2
YZ
1
ZY
2
ZD
图 5 ?? 2 主点里程推算推算方向是：
ZD?ZY1?QZ1?YZ1?ZY2?QZ2?YZ2。
三、曲线主点里程推算
[例 5-2］ 已知铁路线路转点 ZD的里程为 K125+032.58，
其它已知数据如表 5-1,试推算各主点的里程 。
表 5-1 曲线资料
点 号
圆曲线半 径 R
（ m）
转向角 ?
（ ° ′ ″）
水平距离 D
(m)
ZD
1032,75
JD1 500 32 15 43 （ Y）
724.86JD
2 500 25 30 16 （ Z）
点号 切线长 T（ m） 曲线长 L（ m） 外矢距 E0（ m） 切曲差 q（ m）
JD1 144.61 281.54 20.49 7.68
JD2 113.16 222.57 12.65 3.75
表 5-2 曲线要素计算表
ZY
1
YZ 2
JD 1
JD
2
YZ
1
ZY
2
ZD
图 5 ?? 2 主点里程推算
里程推算：
ZD DK125+032.58
+（ D1-T1） 888.14
ZY1 DK125+920.72
+L1/2 140.77
QZ1 DKI26+061.49
+L1/2 140.77
YZ1 DK126+202.26
+（ D2-T1-T2） 467.09
ZY2 DK126+669.35
+L2/2 111.28
QZ2 DK126+780.63
+L2/2 111.29
YZ2 DK126+891.92
检核计算：
ZY1 DK125+920.72
+2T1 289.22
DK126+209.94
-q 7.68
YZ1 DK126+202.26
ZY2 DK126+669.35
+2T2 226.32
DK126+895.67
-q 3.75
YZ2 DK126+891.92
缓和曲线：直线与圆曲
线之间的一段过渡曲线。
一、作用和性质
作用：
超高过渡,外轨超高
加宽过渡,内轨加宽
h
图 5 ?? 3 超高示意图
§ 5-2 缓和曲线
运动状态过渡：匀速直线运动 匀速圆周运动
RP∝ 1/ lP 或 RP = C / lP
C — 缓和曲线半径的变更率
在 HY（ YH）处,RP = R,则 C=R l0
性质：
HY
J D
R→
∞
ZH
P
x
y
y
0
x
0
ZH β
β
0
dx
dy
β
d
β
HY
l
p
dl
p
Y
X
图 5 - 4 缓和曲线
R
→
∞
R
P
P
1,缓和曲线 坐标系
原点,ZH（ HZ）。
X轴正向：
沿切线指向 JD。
Y轴正向：
过原点与切线垂直，指向
内侧。
二、缓和曲线的方程
x
y
y
0
x
0
ZH β
β
0
dx
dy
β
d
β
HY
l
p
dl
p
Y
X
图 5 - 4 缓和曲线
R
→
∞
R
P
P
— 过 P点的切线与 X轴的夹角 β2、缓和曲线角
PdlRl
ld
??
??? 1 8 0
0
180
2
180
0
2
0
0
?
?
?
?
?
??
?
?? ?
Rl
l
dl
Rl
l
P
l
P
Pp
将 cosβ, sinβ 按级数展开：
PPPP
PPPP
dll
lR
l
Rl
dldy
dll
lR
l
lR
dldx
?
?
?
?
?
?
?
?
????
?
?
?
?
?
????
?
?
?
?
?
?
?
?
?????
?
?
?
?
?
????
??
??
6
3
0
3
2
0
53
8
4
0
4
4
2
0
2
42
48
1
2
1
!5
1
!3
1
3 8 4
1
8
1
1
!4
1
!2
1
1
???
??
p
p
dldy
dldx
?
?
s in
c o s
?
?
x
y
y
0
x
0
ZH β
β
0
dx
dy
β
d
β
HY
l p
dl p
Y
X
图 5 - 4 缓和曲线
R
→
∞
R
P
P
3、坐标 X,Y
X
Y
14
1
)2(
1
)!12(
)1(
34
1
)2(
1
)!22(
)1(
0
14
12
01
1
0
1
34
22
0
1
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
??
?
?
??
?
??
?
?
??
? ?
? ?
?
?
?
?
?
?
?
?
P
P
l
j
Pj
n
j
j
l
n
j
j
Pj
j
l
jRlj
dyy
l
jRljdxx
积分得：
铁路或汽车专用公路设计中, 圆曲线半径一
般要大于 200m,因此式中的 n值通常取 2,且为
3366
40
3
0
3
7
0
3
2
0
2
5
?
?
?
?
?
?
?
??
??
lR
l
Rl
l
y
lR
l
lx
PP
P
P
(5-6)
(5-4)
? ?
? ?
)34()2()!12(
)14()2()!2(
12
22
0
1
2
12
0
1
?
?
?
?
?
?
?
????
?
???
?
?
?
?
?
?
nRn
l
yR
nRn
l
xR
n
n
n
n
n
n
显然, 式 （ 5-4） 是交错级数, 且各项的绝对
值又依次递减, 故其截断误差可按下式估算：
? ?
? ?
mm107.81 0 0 0
114 0 0!5
70
mm100.31 0 0 0
94 0 0!4
70
3
5
6
3
1
4
5
3
?
?
?
?
?
?
?
???
??
?
???
??
?
?
?
yR
xR
［例 5 - 3］ 已知某曲线设计时选配的圆曲线半径 R =
200 m，缓和曲线长 l0 = 70 m，若 n=2试按（ 5-5）式
估算坐标计算的截断误差。
[解 ]
我国采用的方法：
圆曲线 R半径不变,圆心内移,插入缓和曲线
三、加缓和曲线后曲线的变化
R
变化 1：
圆心移动
变化 2：
园曲线减
短 l0
变化 3：
曲线总长
度增加 l0
?
?
?
?
?
?
?
?
?
??
??
?
??
3
4
0
2
0
0
2
3
0
00
0
0
3 3 66
40
1 8 0
2
R
l
R
l
y
R
l
lx
R
l
?
?
四、缓和曲线常数
1.缓和曲线切线角
将 lp=l0代入缓和曲线方程 (5-6)得：
2,缓和曲线终点横坐标
3,缓和曲线终点纵坐标
4.内移距 p p =（ y0 + Rcosβ0） - R
6.缓和曲线偏角
7.缓和曲线反偏角
b0 = β 0 ?δ 0
x0
R
X
Y
ZH
y0
β0
P
m
δ0
b0
5.切垂距
m = x0 ? Rsinβ0
0
0
0
0 3
1 ?? ??
x
ya r ct g
一、曲线主点
1,ZH
2,HY
3,QZ
4,YH
5,HZ
T
l 0
x 0
p
δ
0
JD
y 0
R
E
0
QZ
β
0
b
0
β
0
β 0
O
m
ZH
HY
YH
HZ
L
图 5 ?? ? ?? 加缓和曲线后曲线综合示意图
§ 5-3 曲线综合要素计算及主点测设
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
??
???
?
?
??
?
?
???
???
LTq
RpRE
lRL
lRL
mtgpRT
2,
2
s ec)(,
1 8 0
2
1 8 0
)2(,
2
)(,
0
0
00
切曲差
外矢距
或
曲线长
切线长
?
?
?
?
??
?
二、曲线综合要素计算
［ 例 5 -4］ 已知线路某转点 ZD的里程为 DK25+536.32，
ZD到 JD的距离为 D= 893.86 m。 R = 500 m,l0 = 60 m，
?Z = 35° 51′23″,试计算缓和曲线常数和综合要素
并推算各主点的里程 。
［ 解 ］ 1,缓和曲线常数：
m200.1
3366
m987.59
40
61 62 3
180
2
3
4
0
2
0
0
2
3
0
00
0
0
???
???
?????
?
??
R
l
R
l
y
R
l
lx
R
l
?
?
三、主点里程推算
64 80 1
0
0
0 ?????? x
ya r c tg?
p =（ y0 + Rcosβ0） - R=0.300m
m = x0 - Rsinβ0=29.996m
m86.1 9 1
2
)( ???? mtgpRT ?
m91.372180 0 ????? lRL ??
m83.252s ec)(0 ???? RpRE ?
2、曲线综合要素：
q=2T?L=10.81m
b0 = β0 -δ0= 2° 17′30″
3,主点里程推算：
里程推算,检核计算：
ZD DK25+536.32 ZH DK26+238.32
+（ D- T ） 702.00 + 2T 383.72
ZH DK26+238.32 DK26+622.04
+ l0 60 - q 10.81
HY DK26+298.32 HZ DK26+611.23
+（ L- 2l0)/2 126.45
QZ DK26+424.77
+ (L- 2l0)/2 126.46
YH DK26+551.23
+l0 60
HZ DK26+611.23
1,在 JD上安臵经纬仪，对中、整平。
2,后视始端切线方向上的相邻交点或转点, 自
JD 于视线方向上测设 (T- x0),可钉设出
HY在始切线上的垂足 YC；据此继续向里程
减少方向测设 x0,则可钉设出 ZH。
3,后视末端切线方向上的相邻交点或转点, 自
JD于视线方向上测设 (T- x0),可钉设出
YH在始切线上的垂足 YC；据此继续向里程
增加方向测设 x0,则可钉设出 HZ。
四、曲线主点测设
4,测设出内角平分线，自 JD于内角平分上测设
外矢距 E0,则可钉出 QZ。
5,在始切线上的垂足 YC上安臵经纬仪, 对中,
整平。
6,后视始端切线方向上的相邻交点或转点，向
曲线内侧测设切线的垂线方向，自 YC 于该方
向测设 y0，可钉设出 HY。
同理可测设出 YH。
曲线详细测,按一定的密度对曲线进行加
密点测设，以详细标定出曲线的平面形状。
缓和曲线 每隔 10m
铁路
圆曲线 20m整桩
公路无论缓和曲线或园曲线均设臵 20m整桩
特殊情况：如果设计需要或在地形变化处另
设整米加桩。
§ 5-4 曲线详细测设的偏角法
偏角,弦切角
δ P,1,δ P,2,δ P,3,…
弦长,c1,c2,c3 …
偏角法实质,角度与距离的交会法。
关键,偏角计算,测站点仪器定向
一、偏角法原理
δ1 δ2
δ3
1
2
3
p
c
c
c
若切线方向的水平度盘读数为 0° 00′00″
正拨,平盘读数 = 偏角值
反拨,平盘读数 =360° - 偏角值。
正拨与反拨
P
P
c 1
c 2
δ
p,1
1
δ
p,2
2
δ
p,3
c 3
3
正拨 反拨
1．圆曲线偏角
?
? ??? 1 8 0
2
,
,R
l ji
ji
δi,j— 过 i点的切线与 i,j两点弦线之偏角
li,j — i,j两点间的曲线长
R — 圆曲线半径
二、偏角计算 j
i δi,j R
2．缓和曲线偏角
图 5 - 8 缓和曲线偏角计算原理
ZH
j
Y
δ
i,j
?
j,i
?
β
i
X
i
δi,j =βi??j,i
而
ji
ji
ijijii xx
yy
l
Rl ?
?
???,,2
0
t a n
2
1
???,；、；,6 1 6 1 3
0
3
0
jjjjiiii lRlylxlRlylx ????
)2)((
6
1
0
,jiijji llllRl ????
)2)((
6
1
0
,jijiji llllRl ????
当 R比较大时,?j,i较小 则
得
若 j点位于 i点与缓和曲线终点之间，则
)(6 1 22
0
,jjii
ji
ji
ij llllRlxx
yy ???
?
???
)2(||10,jijiji ??? ??
铁路缓和曲线每隔 10m测设一点。曲线点序号：
m
l
j
m
li ji
10
10
??,
设
180
6
10
0
2
10 ??
?
??
Rl
则
?
?
?
??
?
?
1 8 0
)2(
6
||
0
,ji
ji
ji llRl
ll
一般表达式：
当圆曲线的半径 R较小时，坐标计算的截断误差
较大，按上述方法计算的偏角精度偏低，无法满足要
求。此时可按坐标反算求出其坐标方位角 ?i,j ；求
出切线的坐标方位角 ?i，则
δ i,j =|?i,j -?i|
102,0 ?? jj ?
当 i点位于缓和曲线起点即 ZH或 HZ点时, i=0，
上式可化简为
)2(||10,jijiji ??? ??
［例 5 - 5］ 已知线路设计时选配的圆曲线半径 R = 500 m，缓
和曲线长 l0 = 60 m，试计算臵镜于 3，点前视其它各点的缓和曲
线的偏角。
95 4, 5 10 01 8 0 610
0
2
10 ?????
???
?? Rl
? 3,0＝ ?10|3?0|(2?3+0 )=0? 34? 23?
? 3,1＝ ?10|3?1|(2?3+1 )=0? 26? 44?
? 3,2＝ ?10|3?2|(2?3+2 )=0? 15? 17?
? 3,4＝ ?10|3?4|(2?3+4 )=0? 19? 06?
? 3,5＝ ?10|3?5|(2?3+5 )=0? 42? 01?
? 3,6＝ ?10|3?6|(2?3+6 )=1? 08? 45?
［解］ )2(||
10,jijiji ??? ??
弧弦差：圆弧与相应的弦长之差。
半径（ m） 4000 3000 2000 1000 800 700 600 500 300 200
弧弦差 （ mm）
0.02 0.04 0.08 0.33 0.52 0.68 0.93 1.33 3.70 8.33
表 5-3 弧弦差对比表
2
3
24 R
lc ?
圆曲线 半径越 大,其弧弦差越小。因此，当圆曲线半径
较大时，且相邻两点间的距离 不超过 20m 时，可用弧长代替
相应的弦长，其代替误差远小于测设误差。
三、弦线长度
寻找臵镜点处与测设方向一致的切线方向，
并使该切线方向的 水平度盘读数 aF为某一定值
（通常为 0° 00′00″）的过程。
图 5 - 9 定向后视读数计算原理
A
β
B
a
B
a
F
安臵经纬仪于 A
点，后视 B点，并
配臵水平度盘读数
为 aB。则定向后视
读数
aB = aF +β
四、定向
已知 R = 500 m,l0 = 60 m,?Z = 35° 51′23″。
臵镜 HY,后视 ZH,偏角法测设 HY— ZH,HY— QZ段；
臵镜 YH，后视 HZ，偏角法测设 YH— HZ,YH— QZ段；
试完成测设资料计算 。
图 5 - 10 定向后视读数计算示意图
β
ZH
HY
JD
a B a
F
a F
图 5 - 1 定向后视读数计算示意图
ZH
a B
β
HY
JD
1,HY?ZH段
臵镜 HY后视 ZH
δ6,0=b0
=2° 17′31″
设 aF = 0° 00′00″
则定向后视读数
［例 5-6］
aB = aF +β = 2° 17′31″
表 5-4a HY?ZH段测设资料计算表
偏角根据下式计算，其结果列于表 5?4a中。
)2(||10,jijiji ??? ??
里程
ZH（ 0） DK26+238.32 2 17 31
正拨
2 17 31
1 +248.32 2 04 08 2 04 08
2 +258.32 1 46 57 1 46 57
3 +268.32 1 25 57 1 25 57
4 +278.32 1 01 07 1 01 07
5 +288.32 0 32 28 0 32 28
臵镜点 HY（ 6） DK26+298.32 后视点 ZH aB=2° 17′31″ ?F =0° 00′00″
点 号 偏角° ′″ 正反拨 平盘读数 ° ′″ 备注
注：表中缓和曲线点是由缓和曲线的起点向终点进行编号 。
图 5 - 10 定向后视读数计算示意图
β
ZH
HY
JD
a
B a F
a
F
图 5 - 1 定向后视读数计算示意图
ZH
a
B
β
HY
JD
2,HY?QZ段
臵镜 HY后视 ZH,测设圆曲线
β=δ6,0+180° =182° 17′31″
设 aF= 0° 00′00″,则
定向后视读数为
aB=aF+β=182° 17′31″
偏角根据下式计算，其结果列于表 5?4b中。
点 号 里程 偏 角° ′ ″ 正反拨 平盘读数° ′ ″ 备 注
臵镜点 HY（ 0） DK26+298.32 后视点 ZH aB=182° 17′31″ ?F =0° 00′00″
1 +300 0 05 47
反拨
359 54 13
2 +320 1 14 32 358 45 28
3 +340 2 23 17 357 36 43
4 +360 3 32 02 356 27 58
5 +380 4 40 48 355 19 12
6 +400 5 49 33 354 10 27
7 +420 6 58 18 353 01 42
QZ DK26+424.77 7 14 42 352 45 18
表 5-4b HY?QZ段测设资料计算表
??
??? 1 8 0
2
,
,R
l ji
ji
3,YH?QZ段测设数据计算
臵镜 YH后视 HZ,测设圆曲线
β=180° ?δ6,0=177° 42′29″
设 aF = 0° 00′00″,则
定向后视读数 aB = aF +β=177° 42′29″
图 5 - 12 定向后视读数计算示意图
a
B
HZ
YH
β
JD
a
F
图 5 - 13 定向后视读数计算示意图
β
JD
a
F
YH
HZ
a
B
偏角根据下式计算，其结果列于表 5?4c中。
点 号 里 程 偏 角° ′ ″ 正反拨 平盘读数° ′ ″ 备 注
QZ DK26+424.77 7 14 44
正拨
7 14 44
6 +440 6 22 23 6 22 23
5 +460 5 13 38 5 13 38
4 +480 4 04 52 4 04 52
3 +500 2 56 07 2 56 07
2 +520 1 47 22 1 47 22
1 +540 0 38 36 0 38 36
臵镜点 YH
（ 0）
DK26+551.
23 后视点 HZ aB=177° 42′29″ ?F =0° 00′00″
表 5-4c YH?QZ段测设资料计算表
??
??? 180
2
,
,R
l ji
ji
4,YH?HZ段测设数据计算
臵镜 YH后视 HZ,测设缓和曲线
β=360° ?δ6,0=357° 42′29″
设 aF = 0° 00′00″,则
定向后视读数 aB = aF +β= 357° 42′29″
图 5 - 12 定向后视读数计算示意图
a
B
HZ
YH
β
JD
a
F
图 5 - 13 定向后视读数计算示意图
β
JD
a
F
YH
HZ
a
B
表 5-4d YH?HZ段测设资料计算表
点 号 里 程 偏 角° ′ ″ 正反拨 平盘读数° ′ ″ 备 注
臵镜点 YH（ 6） DK26+551.23 后视点 HZ aB=357° 42′29″ ?F =0° 00′00″
5 +561.23 0 32 28
反拨
359 27 32
4 +571.23 1 01 07 358 58 53
3 +581.23 1 25 57 358 34 03
2 +591.23 1 46 57 358 13 03
1 +601.23 2 04 08 357 55 52
HZ（ 0） DK26+611.23 2 17 31 357 42 29
)2(||10,jijiji ??? ??
偏角根据下式 计算, 其结果列于表 5?4d中 。
注：表中缓和曲线点是由缓和曲线的起点向终点进行编号。
A
图 5 ?? 14 遇障碍曲线测设原理
2
1
i
3
i + 1
i + 2
a
B
a
F
β
五、遇障碍时曲线测设
即找出 i点的切线方向；
计算 i点至后续各点的偏
角，据此继续测设。
原理：如图所示，臵镜于已设出的曲线某主
点 A，测设 1,2,…, i，至 i+1点时视线受阻；
迁站至 i点，后视 A点定向，
［ 例 5-7］ 已知 R = 500 m,l0 = 60 m,?Z = 35° 51′ 23″ 。
臵镜于 HY,后视 ZH定向, 测设缓和曲线, 测设至 2点
时遇障碍, 则迁站到已设出的 3点继续测设至 ZH；
臵镜于 HY,后视 ZH定向, 测设圆曲线, 至 5点时遇
障碍, 则迁站到已设出的 4 点继续测设曲线 。 试完
成相关的计算, 并简述测设步骤 。
［ 解 ］ 依表 5-4 及图 5-15
ZHa
B
1
图 5 ?? 1 5 偏角法测设曲线遇障碍时的测设方法示意图
a
F
2
3
HY
1
2
a
F
3
4
JD
5
ZHa
B
1
图 5 ?? 1 5 偏角法测设曲线遇障碍时的测设方法示意图
a
F
2
3
HY
1
2
a
F
3
4
JD
5
臵镜于 HY,测设缓和曲线段
（ 1） 臵镜及定向
臵镜 HY,后视 ZH,定向后视读数 aB = 2° 17′ 31″
（ 2） 测设
旋转照准部至平盘读数为 δ 6,5=0° 32′ 28″, 自 HY 于视线
上丈量 10m平距, 得 5点；
旋转照准部至平盘读数为 δ 6,4=1° 01′ 07″, 自 5点向前丈
量 10 m平距, 与视线交于 4点；
同法测向前测设, 至 2点时仪器视线受到障碍物阻挡, 故需
迁站至 3点继续向前测设 。
2,臵镜于 3点, 测设缓和曲线段
（ 1） 臵镜, 定向及偏角计算
臵镜 3点, 后视 HY,定向后视读数
aB = aF +β= 178° 51′15″
β= 180° -δ 3,6
?3,6=?10?|3?6|(（ 2?3+6） =1? 08? 45?
1 2
JD
HY
3ZH
a B
a F
β
图 5 ?? 1 6 置镜 3 点测设缓和曲线示意图
95 4, 5 10 01 8 0 610
0
2
10 ?????
???
?? Rl
其它待测点偏角,?3,2=?10?|3?2|(2?3+2)=0° 15′ 17″
?3,1=?10?|3?1|(2?3+1)=0° 26′ 44″
?3,0=?10?|3?0|(2?3+0)=0° 34′ 23″
（ 2） 测设
旋转 照准部至平盘读数为 δ 3,2=0° 15′ 17″, 自 3点于
视线上丈量 10 m平距, 得 2点；
旋转 照准部至平盘读数为 δ 3,1=0° 26′ 44″, 自 2点向
前丈量 10m平距, 交视线于 1点；
同法 测至 ZH闭合 。
1 2
JD
HY
3ZH
a B
a F
β
图 5 ?? 1 6 置镜 3 点测设缓和曲线示意图
3,臵镜于 HY,测设圆曲线段
（ 1） 臵镜及定向
臵镜 HY,后视 ZH,定向后视读数 aB = aF +β= 182° 17′31″
（ 2） 测设
逆时 针旋转照准部至平盘读数为 360° ?δ 0,1=359° 54′ 13″,
自 HY于视线上丈量 1.68 m平距得 1点；
逆时 针旋转照准部至平盘读数为 360° ?δ 0,2=358° 45′ 28″,
自 1点向前丈量 20 m平距, 交视线于 2点；
同法 向前测设, 至 5点时仪器视线受阻, 故需迁站至 4点
继续向前测设 。
ZHa
B
1
图 5 ?? 1 5 偏角法测设曲线遇障碍时的测设方法示意图
a
F
2
3
HY
1
2
a
F
3
4
JD
5
aB = aF +β= 183° 32′ 02″
β= 180° +δ 4,0
δ 4,0 =3° 32′ 02″ （ ）?? ??? 1 8 02,,Rl jiji
2
HY
1
3
4
5
a F
a B
图 5 - 17 置镜 4 点测设圆曲线示意图
其它待测点偏角为
δ 4,5 =1° 08′ 45.30″ δ 4,6 =2δ 4,5=2° 17′ 31″
……
δ 4,QZ =3° 42′ 40″
4、臵镜于 4点，测设圆曲线段
（ 1）臵镜、定向及偏角计算
臵镜 4点，后视 HY，
定向后视读数
（ 2） 测设
逆时针旋转照准部至平盘读数为 360° ?δ 4,5 =358° 51′ 15″
，
自 4点于视线上丈量 20 m平距得 5点；
逆时针旋转照准部至平盘读数为 360° ?δ 4,6 =357° 42′ 29″
，
自 5点向前丈量 20 m平距交视线于 6点；
同法测至 QZ闭合 。
2
HY
1
3
4
5
a F
a B
图 5 - 17 置镜 4 点测设圆曲线示意图
偏角法测设圆曲线遇障碍迁站后，切线方向平盘 读数可设
臵为测设该切点时的平盘读数，如本例中 aF =356° 27′58″
（ 360° ?δ 4,0 ） 此时定向后视读数（ aB =aF +β =180° ），则
测设后续各点的平盘读数仍用原表中的数据，而无需再算。
对于圆曲线测段之所以能按上述方法处理，是因为其偏角与
曲线长成线性关系。
闭合差：由拨角误差和量距误差共同引起的，
其大小不应超过一定的限值。
,新建铁路工程测量规范, 规定：
fZ 纵向闭合差
闭合差 f
fH 横向闭合差
JD
ZH
QZ
f f H
f Z
HZ
图 5 ?? 1 8 曲线测设闭合差示意图
?
?
?
?
?
?
?
1 0 c m
2 0 0 0
1
H
Z
f
l
f
六、曲线测设的精度要求
仪器：全站仪
优点：设站灵活, 不受地形条件限制, 主点和
曲线细部点可同时测设 。
注意：应检核, 点位误差不应大于 5cm。
关键：统一直角坐标系下的控制点
曲线点直角坐标的计算
测设数据的计算 。
§ 5-6 任意点极坐标法 测设曲线
计算曲线点在曲线坐标系
ZH-xy中的坐标，再将其
转换为统一坐标系 O-XY
中的坐标，利用已知坐标
的平面控制点通过坐标反
算得出已知点到测设点的
坐标方位角和 水平距离（
?MA,DMA）,（ ?MB，
DMB） ….,然后用极坐
标法进行测设。
一、基本原理
M
N
ZH
HY
YH
HZ
A
B
C
αMN
αMA
dMA
αMB
dMB
x
y
Y
O
X
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
???
??
3
0
3
7
0
3
2
0
2
5
3366
40
lR
l
Rl
l
y
lR
l
lx
AA
A
A
AA
曲线右偏 yA为正 ;曲线左偏 yA 为负。
二、曲线点坐标计算
ZH
HY
YH
HZ
A
B
C
X
Y
1．曲线坐标系 ZH-
xy下的坐标
(1)ZH-HY段曲线点
的坐标 直接根据缓
和曲线方程得出：
由图可得：
?
?
?
????
??
])c o s1([
s i n
pRy
mRx
B
B
?
?
?
?
?
?
?
?
??
?
?
?
?
?
?
1802/
180
0
0
R
lKK
R
KK
HYB
HYB
曲线右偏 yB为正 ;左偏 yB为负。
ZH
HY
YH
HZ
B
x
y
(2) HY-YH段曲线点的坐标
o
m
R
θβ
0
p
3 3 66
40
3
0
3
7
0
3
2
0
2
5
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
????
?
?
?
?
?
?
?
?
????
lR
l
Rl
l
y
lR
l
lx
CC
C
C
CC
曲线右偏 yC’为正 ;左偏 yC' 为负。
ZH
HY
YH
HZ
α
x’
C
x
y
y’
(i) 在以 HZ点为原点，以 HZ点切线为
x’轴，交点至 HZ方向为正向的测量坐
标系（ HZ-x’y'）下的坐标
(3)YH-HZ段曲
线点的坐标计算
ZH
HY
YH
HZ
?
x’
C
x
y
y’
(ii)在曲线坐标系（ ZH-xy ）
下的坐标根据坐标平移旋
转公式得出
?
?
?
?
?
?
??
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
? ?
??
?
?
?
?
?
HZ
HZ
C
C
C
C
y
x
y
x
y
x
??
??
c o ss i n
s i nc o s
?
?
?
?
??
?
?
s i n
)c o s1(
Ty
Tx
HZ
HZ
其中：
yHZ
xHZ
T
曲线左偏 ? =360???Z（ 或 ? = ??Z） ;右偏 ? = ?Y 。
（ 1）按前述方法计算出
曲线上所有点在 ZH-xy坐标
系下的坐标；
（ 2） 根据 ZH-xy坐标系
与既有坐标系之间的关系,
应用坐标平移, 旋转公式,
将坐标转换到既有坐标系
O-XY下 。
2．既有坐标系下曲线点坐标计算
?
α
ZH
x
y
X
YO
1．获得控制点坐标
既有控制点：其坐标为既有坐标 。
专为测设曲线而建立的控制点：通过观测确
定其坐标 。
2,测设数据计算
按坐标反算方法计算测设数据
?
?
?
??
?
?
????
?
?
?
22
,
,
)()( ijijji
ij
ij
ji
yyxxD
xx
yy
tg ?
三、测设步骤与方法
臵镜于已知点 M,后
视另一已知点 N定向，
定向后视读数配臵为
?MN ；旋转仪器当平
盘读数为 ?MA时，于
视线方向上测设 DMA,
得 A点；同样方法可
测出 B,C等点。
3,测设曲线点
M
N
ZH
HY
YH
HZ
A
B
C
αMN
αMA
dMA
αMB
dMB
x
y
某曲线 αz=35o51’23”,R=500m,l0=60m,既
有控制点 M,N坐标所在的平面直角坐标系为 O-
XY,在此坐标系下控制点, ZD,JD 的坐标分
别为 xM =9326.422,yM =5243.888，
xN =8852.585,yN =5342.891，
xZD =8567.294,yZD =5633.515，
xJD =9338.7206,yJD =5181.9768。
臵镜在 M点后视 N点, 极坐标法测设曲线,
试计算 DK26+278.32,DK26+400,DK26+571.225
三点的测设数据 。
[例 5-9］ (P.146)
该曲线缓和曲线常数
及曲线综合要素为：
m=29.996m,p=0.300m,
T=191.86m,L=372.91m,
E0=25.83m。
? 1.建立曲线坐标系 ZH-
x’y’并计算各点在此坐标
下的坐标
解,
ZH
HY
YH
HZ
JD
αZ
x’
y’
DK26+278.32在 ZH-HY段，该点在 ZH-x’y’
坐标系下的坐标 x’,y’ 直接利用缓和曲线方程
计算：
(1) DK26+278.32
3 5 6.0)
3 3 66
('
9 9 7.39
40
'
3
0
3
7
0
3
1
2
0
2
5
1
?????
???
lR
l
Rl
l
y
lR
l
lx
PP
P
P
曲线左转
该点在 HY-YH段, 在 ZH-x’y’ 坐标系下的
坐标 x2’,y2’,
(2) DK26+400
540.17])c os1(['
159.160s i n'
2
2
??????
???
pRy
mRx
?
?
"9.21'0515
1 8 0
5 0 0
3032.2 9 84 0 0
1 8 0
0
??
?
?
??
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
R
KK
HYB
该点在 YH-HZ段, 先
计算该点在 HZ-x”y” 坐
标系下的坐标 x”,y”
(3) DK26+571.225
3 5 6.0)
3 3 66
("
9 9 7.39
40
"
3
0
3
7
0
3
3
2
0
2
5
3
?????
???
lR
l
Rl
l
y
lR
l
lx
PP
P
P
x” y”
HZ
3 JD
x’
ZH y’
再计算该点在 ZH-xy坐标系下的坐标 x’,y’
x” y”
HZ
3 JD
ZH x’
y’
?’ = ??Z = ? 35° 51′23″
xHZ = T(1+cos? ) = 347.361
yHZ = T sin? = ?112.383
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
??
???
?
?
?
?
?
?
?
2 4 3.89
7 3 5.3 1 4
'
'
"
"
c o ss i n
s i nc o s
'
'
3
3
3
3
3
3
y
x
y
x
y
x
y
x
HZ
HZ
??
??
2.计算各点在 O-XY坐标系下的坐标
（ 1）根据 JD,ZD在 O-XY坐标系下的坐标，
按坐标反算切线 ZD?JD的坐标方位角：
? ZD,JD =329° 39′30″
得 ? = ?ZD,JD =329° 39′30″
（ 2）计算 ZH点在 O-XY坐标系下的坐标：
xZH =xJD +Tcos?JD,ZD = 9173.140
yZH = yJD +Tsin?JD,ZD = 5278.896
（ 3） 计算曲线上各点在 O-XY坐标系下
的坐标 x,y,按下式计算：
?
?
?
?
?
?
??
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
? ?
??
?
?
?
?
?
ZH
ZH
i
i
i
i
y
x
y
x
y
x
??
??
c o ss i n
s i nc o s
得,x1=9207.479,y1=5258.384
x2=9302.502,y2=5182.853
x3=9399.684,y3=5042.887
(4) 计算曲线上各点的测设数据 （ 按坐标
反算公式, 计算结果列于 P.147表 5-9。 ）
一、副交点的测设
交点可能落在无法测设的地方。（地物地形限制）
交点距中线较远，不便测设。 （转向角较大）
§ 5-7曲线测设中常见问题处理方法
图 15 ? 24 副交点法示意图
AZD
1
JD
α
B
ZD
2
α
1
α
2
X
A
B
JD
D
1
D
2
D n
ZD
1
ZD
2
Y
y
B
x B α
图 5 ?? 23 导 线法示意图
1、导线法
?
?
?
?
?
?
??
?
?
s i n
||
||
,
,
B
JDB
BBJDA
y
D
c tgyxD
线路右偏,?=?B,ZD2
线路左偏,?=360° -?B,ZD2。
图 15 ? 24 副交点法示意图
AZD 1
JD
α
B
ZD
2
α 1
α 2
?
?
?
??
?
?
?
?
?
?
ABJDA
ABJDA
DD
DD
)s i n (
s i n
)s i n (
s i n
21
1
,
21
2
,
??
?
??
?
? 为转向角, 且 ? = ?1+?2
2,副交点法
二、主点遇障碍
主点遇障碍：由于受地物、地貌的限制主点可能
落在无法测设的地方。
解决方法,选定若干个位臵适当曲线点，以不
低于主点测设的精度，用直角坐标
法或极坐标法将其测设出。
三、圆曲线两端设有不等长缓和曲线时的曲线要素计算
四、线路其它种类的形状及复曲线要素计算 P.151
五、回头曲线的测设 P.155
处加设曲线进行过渡。
圆曲线,具有一定半径的圆弧。
平面曲线
缓和曲线,半径 R由无穷大渐变
到圆曲线半径 。
曲线主要点测设
曲线测设
曲线详细测设
第五章 曲线测设
主点测设,在地面上标定出不同线型的分
界点及曲中点。
曲线详细测设,测设出具有一定密度的线路
中线点。
如果使用 测距仪 或 全站仪 按 任意点极
坐标法 测设曲线，则曲线 主点和曲线详细点
可同时设出。
注意,必须更换臵镜点重新测一次。
§ 5-1 圆曲线主点及要素计算
一、圆曲线的主点 ZY, QZ, YZ
α
QZ
YZ
R
T
ZY
O
α
JD
E
0
L
T
图 5 ?? 1 圆曲线主点及要素
α
QZ
YZ
ZY
L
JD
α
O
E
0
R — 圆曲线半径（设计选配）
?— 转向角（现场实测）
LTq ?? 2
4、切曲差：
R
二、圆曲线的要素计算
2t a n
?RT ?1、切线长：
??? 180
??RL2、曲线长：
)12( s e c
0
?? ?RE
3、外矢距：
ZY
1
YZ 2
JD
1
JD
2
YZ
1
ZY
2
ZD
图 5 ?? 2 主点里程推算推算方向是：
ZD?ZY1?QZ1?YZ1?ZY2?QZ2?YZ2。
三、曲线主点里程推算
[例 5-2］ 已知铁路线路转点 ZD的里程为 K125+032.58，
其它已知数据如表 5-1,试推算各主点的里程 。
表 5-1 曲线资料
点 号
圆曲线半 径 R
（ m）
转向角 ?
（ ° ′ ″）
水平距离 D
(m)
ZD
1032,75
JD1 500 32 15 43 （ Y）
724.86JD
2 500 25 30 16 （ Z）
点号 切线长 T（ m） 曲线长 L（ m） 外矢距 E0（ m） 切曲差 q（ m）
JD1 144.61 281.54 20.49 7.68
JD2 113.16 222.57 12.65 3.75
表 5-2 曲线要素计算表
ZY
1
YZ 2
JD 1
JD
2
YZ
1
ZY
2
ZD
图 5 ?? 2 主点里程推算
里程推算：
ZD DK125+032.58
+（ D1-T1） 888.14
ZY1 DK125+920.72
+L1/2 140.77
QZ1 DKI26+061.49
+L1/2 140.77
YZ1 DK126+202.26
+（ D2-T1-T2） 467.09
ZY2 DK126+669.35
+L2/2 111.28
QZ2 DK126+780.63
+L2/2 111.29
YZ2 DK126+891.92
检核计算：
ZY1 DK125+920.72
+2T1 289.22
DK126+209.94
-q 7.68
YZ1 DK126+202.26
ZY2 DK126+669.35
+2T2 226.32
DK126+895.67
-q 3.75
YZ2 DK126+891.92
缓和曲线：直线与圆曲
线之间的一段过渡曲线。
一、作用和性质
作用：
超高过渡,外轨超高
加宽过渡,内轨加宽
h
图 5 ?? 3 超高示意图
§ 5-2 缓和曲线
运动状态过渡：匀速直线运动 匀速圆周运动
RP∝ 1/ lP 或 RP = C / lP
C — 缓和曲线半径的变更率
在 HY（ YH）处,RP = R,则 C=R l0
性质：
HY
J D
R→
∞
ZH
P
x
y
y
0
x
0
ZH β
β
0
dx
dy
β
d
β
HY
l
p
dl
p
Y
X
图 5 - 4 缓和曲线
R
→
∞
R
P
P
1,缓和曲线 坐标系
原点,ZH（ HZ）。
X轴正向：
沿切线指向 JD。
Y轴正向：
过原点与切线垂直，指向
内侧。
二、缓和曲线的方程
x
y
y
0
x
0
ZH β
β
0
dx
dy
β
d
β
HY
l
p
dl
p
Y
X
图 5 - 4 缓和曲线
R
→
∞
R
P
P
— 过 P点的切线与 X轴的夹角 β2、缓和曲线角
PdlRl
ld
??
??? 1 8 0
0
180
2
180
0
2
0
0
?
?
?
?
?
??
?
?? ?
Rl
l
dl
Rl
l
P
l
P
Pp
将 cosβ, sinβ 按级数展开：
PPPP
PPPP
dll
lR
l
Rl
dldy
dll
lR
l
lR
dldx
?
?
?
?
?
?
?
?
????
?
?
?
?
?
????
?
?
?
?
?
?
?
?
?????
?
?
?
?
?
????
??
??
6
3
0
3
2
0
53
8
4
0
4
4
2
0
2
42
48
1
2
1
!5
1
!3
1
3 8 4
1
8
1
1
!4
1
!2
1
1
???
??
p
p
dldy
dldx
?
?
s in
c o s
?
?
x
y
y
0
x
0
ZH β
β
0
dx
dy
β
d
β
HY
l p
dl p
Y
X
图 5 - 4 缓和曲线
R
→
∞
R
P
P
3、坐标 X,Y
X
Y
14
1
)2(
1
)!12(
)1(
34
1
)2(
1
)!22(
)1(
0
14
12
01
1
0
1
34
22
0
1
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
??
?
?
??
?
??
?
?
??
? ?
? ?
?
?
?
?
?
?
?
?
P
P
l
j
Pj
n
j
j
l
n
j
j
Pj
j
l
jRlj
dyy
l
jRljdxx
积分得：
铁路或汽车专用公路设计中, 圆曲线半径一
般要大于 200m,因此式中的 n值通常取 2,且为
3366
40
3
0
3
7
0
3
2
0
2
5
?
?
?
?
?
?
?
??
??
lR
l
Rl
l
y
lR
l
lx
PP
P
P
(5-6)
(5-4)
? ?
? ?
)34()2()!12(
)14()2()!2(
12
22
0
1
2
12
0
1
?
?
?
?
?
?
?
????
?
???
?
?
?
?
?
?
nRn
l
yR
nRn
l
xR
n
n
n
n
n
n
显然, 式 （ 5-4） 是交错级数, 且各项的绝对
值又依次递减, 故其截断误差可按下式估算：
? ?
? ?
mm107.81 0 0 0
114 0 0!5
70
mm100.31 0 0 0
94 0 0!4
70
3
5
6
3
1
4
5
3
?
?
?
?
?
?
?
???
??
?
???
??
?
?
?
yR
xR
［例 5 - 3］ 已知某曲线设计时选配的圆曲线半径 R =
200 m，缓和曲线长 l0 = 70 m，若 n=2试按（ 5-5）式
估算坐标计算的截断误差。
[解 ]
我国采用的方法：
圆曲线 R半径不变,圆心内移,插入缓和曲线
三、加缓和曲线后曲线的变化
R
变化 1：
圆心移动
变化 2：
园曲线减
短 l0
变化 3：
曲线总长
度增加 l0
?
?
?
?
?
?
?
?
?
??
??
?
??
3
4
0
2
0
0
2
3
0
00
0
0
3 3 66
40
1 8 0
2
R
l
R
l
y
R
l
lx
R
l
?
?
四、缓和曲线常数
1.缓和曲线切线角
将 lp=l0代入缓和曲线方程 (5-6)得：
2,缓和曲线终点横坐标
3,缓和曲线终点纵坐标
4.内移距 p p =（ y0 + Rcosβ0） - R
6.缓和曲线偏角
7.缓和曲线反偏角
b0 = β 0 ?δ 0
x0
R
X
Y
ZH
y0
β0
P
m
δ0
b0
5.切垂距
m = x0 ? Rsinβ0
0
0
0
0 3
1 ?? ??
x
ya r ct g
一、曲线主点
1,ZH
2,HY
3,QZ
4,YH
5,HZ
T
l 0
x 0
p
δ
0
JD
y 0
R
E
0
QZ
β
0
b
0
β
0
β 0
O
m
ZH
HY
YH
HZ
L
图 5 ?? ? ?? 加缓和曲线后曲线综合示意图
§ 5-3 曲线综合要素计算及主点测设
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
??
???
?
?
??
?
?
???
???
LTq
RpRE
lRL
lRL
mtgpRT
2,
2
s ec)(,
1 8 0
2
1 8 0
)2(,
2
)(,
0
0
00
切曲差
外矢距
或
曲线长
切线长
?
?
?
?
??
?
二、曲线综合要素计算
［ 例 5 -4］ 已知线路某转点 ZD的里程为 DK25+536.32，
ZD到 JD的距离为 D= 893.86 m。 R = 500 m,l0 = 60 m，
?Z = 35° 51′23″,试计算缓和曲线常数和综合要素
并推算各主点的里程 。
［ 解 ］ 1,缓和曲线常数：
m200.1
3366
m987.59
40
61 62 3
180
2
3
4
0
2
0
0
2
3
0
00
0
0
???
???
?????
?
??
R
l
R
l
y
R
l
lx
R
l
?
?
三、主点里程推算
64 80 1
0
0
0 ?????? x
ya r c tg?
p =（ y0 + Rcosβ0） - R=0.300m
m = x0 - Rsinβ0=29.996m
m86.1 9 1
2
)( ???? mtgpRT ?
m91.372180 0 ????? lRL ??
m83.252s ec)(0 ???? RpRE ?
2、曲线综合要素：
q=2T?L=10.81m
b0 = β0 -δ0= 2° 17′30″
3,主点里程推算：
里程推算,检核计算：
ZD DK25+536.32 ZH DK26+238.32
+（ D- T ） 702.00 + 2T 383.72
ZH DK26+238.32 DK26+622.04
+ l0 60 - q 10.81
HY DK26+298.32 HZ DK26+611.23
+（ L- 2l0)/2 126.45
QZ DK26+424.77
+ (L- 2l0)/2 126.46
YH DK26+551.23
+l0 60
HZ DK26+611.23
1,在 JD上安臵经纬仪，对中、整平。
2,后视始端切线方向上的相邻交点或转点, 自
JD 于视线方向上测设 (T- x0),可钉设出
HY在始切线上的垂足 YC；据此继续向里程
减少方向测设 x0,则可钉设出 ZH。
3,后视末端切线方向上的相邻交点或转点, 自
JD于视线方向上测设 (T- x0),可钉设出
YH在始切线上的垂足 YC；据此继续向里程
增加方向测设 x0,则可钉设出 HZ。
四、曲线主点测设
4,测设出内角平分线，自 JD于内角平分上测设
外矢距 E0,则可钉出 QZ。
5,在始切线上的垂足 YC上安臵经纬仪, 对中,
整平。
6,后视始端切线方向上的相邻交点或转点，向
曲线内侧测设切线的垂线方向，自 YC 于该方
向测设 y0，可钉设出 HY。
同理可测设出 YH。
曲线详细测,按一定的密度对曲线进行加
密点测设，以详细标定出曲线的平面形状。
缓和曲线 每隔 10m
铁路
圆曲线 20m整桩
公路无论缓和曲线或园曲线均设臵 20m整桩
特殊情况：如果设计需要或在地形变化处另
设整米加桩。
§ 5-4 曲线详细测设的偏角法
偏角,弦切角
δ P,1,δ P,2,δ P,3,…
弦长,c1,c2,c3 …
偏角法实质,角度与距离的交会法。
关键,偏角计算,测站点仪器定向
一、偏角法原理
δ1 δ2
δ3
1
2
3
p
c
c
c
若切线方向的水平度盘读数为 0° 00′00″
正拨,平盘读数 = 偏角值
反拨,平盘读数 =360° - 偏角值。
正拨与反拨
P
P
c 1
c 2
δ
p,1
1
δ
p,2
2
δ
p,3
c 3
3
正拨 反拨
1．圆曲线偏角
?
? ??? 1 8 0
2
,
,R
l ji
ji
δi,j— 过 i点的切线与 i,j两点弦线之偏角
li,j — i,j两点间的曲线长
R — 圆曲线半径
二、偏角计算 j
i δi,j R
2．缓和曲线偏角
图 5 - 8 缓和曲线偏角计算原理
ZH
j
Y
δ
i,j
?
j,i
?
β
i
X
i
δi,j =βi??j,i
而
ji
ji
ijijii xx
yy
l
Rl ?
?
???,,2
0
t a n
2
1
???,；、；,6 1 6 1 3
0
3
0
jjjjiiii lRlylxlRlylx ????
)2)((
6
1
0
,jiijji llllRl ????
)2)((
6
1
0
,jijiji llllRl ????
当 R比较大时,?j,i较小 则
得
若 j点位于 i点与缓和曲线终点之间，则
)(6 1 22
0
,jjii
ji
ji
ij llllRlxx
yy ???
?
???
)2(||10,jijiji ??? ??
铁路缓和曲线每隔 10m测设一点。曲线点序号：
m
l
j
m
li ji
10
10
??,
设
180
6
10
0
2
10 ??
?
??
Rl
则
?
?
?
??
?
?
1 8 0
)2(
6
||
0
,ji
ji
ji llRl
ll
一般表达式：
当圆曲线的半径 R较小时，坐标计算的截断误差
较大，按上述方法计算的偏角精度偏低，无法满足要
求。此时可按坐标反算求出其坐标方位角 ?i,j ；求
出切线的坐标方位角 ?i，则
δ i,j =|?i,j -?i|
102,0 ?? jj ?
当 i点位于缓和曲线起点即 ZH或 HZ点时, i=0，
上式可化简为
)2(||10,jijiji ??? ??
［例 5 - 5］ 已知线路设计时选配的圆曲线半径 R = 500 m，缓
和曲线长 l0 = 60 m，试计算臵镜于 3，点前视其它各点的缓和曲
线的偏角。
95 4, 5 10 01 8 0 610
0
2
10 ?????
???
?? Rl
? 3,0＝ ?10|3?0|(2?3+0 )=0? 34? 23?
? 3,1＝ ?10|3?1|(2?3+1 )=0? 26? 44?
? 3,2＝ ?10|3?2|(2?3+2 )=0? 15? 17?
? 3,4＝ ?10|3?4|(2?3+4 )=0? 19? 06?
? 3,5＝ ?10|3?5|(2?3+5 )=0? 42? 01?
? 3,6＝ ?10|3?6|(2?3+6 )=1? 08? 45?
［解］ )2(||
10,jijiji ??? ??
弧弦差：圆弧与相应的弦长之差。
半径（ m） 4000 3000 2000 1000 800 700 600 500 300 200
弧弦差 （ mm）
0.02 0.04 0.08 0.33 0.52 0.68 0.93 1.33 3.70 8.33
表 5-3 弧弦差对比表
2
3
24 R
lc ?
圆曲线 半径越 大,其弧弦差越小。因此，当圆曲线半径
较大时，且相邻两点间的距离 不超过 20m 时，可用弧长代替
相应的弦长，其代替误差远小于测设误差。
三、弦线长度
寻找臵镜点处与测设方向一致的切线方向，
并使该切线方向的 水平度盘读数 aF为某一定值
（通常为 0° 00′00″）的过程。
图 5 - 9 定向后视读数计算原理
A
β
B
a
B
a
F
安臵经纬仪于 A
点，后视 B点，并
配臵水平度盘读数
为 aB。则定向后视
读数
aB = aF +β
四、定向
已知 R = 500 m,l0 = 60 m,?Z = 35° 51′23″。
臵镜 HY,后视 ZH,偏角法测设 HY— ZH,HY— QZ段；
臵镜 YH，后视 HZ，偏角法测设 YH— HZ,YH— QZ段；
试完成测设资料计算 。
图 5 - 10 定向后视读数计算示意图
β
ZH
HY
JD
a B a
F
a F
图 5 - 1 定向后视读数计算示意图
ZH
a B
β
HY
JD
1,HY?ZH段
臵镜 HY后视 ZH
δ6,0=b0
=2° 17′31″
设 aF = 0° 00′00″
则定向后视读数
［例 5-6］
aB = aF +β = 2° 17′31″
表 5-4a HY?ZH段测设资料计算表
偏角根据下式计算，其结果列于表 5?4a中。
)2(||10,jijiji ??? ??
里程
ZH（ 0） DK26+238.32 2 17 31
正拨
2 17 31
1 +248.32 2 04 08 2 04 08
2 +258.32 1 46 57 1 46 57
3 +268.32 1 25 57 1 25 57
4 +278.32 1 01 07 1 01 07
5 +288.32 0 32 28 0 32 28
臵镜点 HY（ 6） DK26+298.32 后视点 ZH aB=2° 17′31″ ?F =0° 00′00″
点 号 偏角° ′″ 正反拨 平盘读数 ° ′″ 备注
注：表中缓和曲线点是由缓和曲线的起点向终点进行编号 。
图 5 - 10 定向后视读数计算示意图
β
ZH
HY
JD
a
B a F
a
F
图 5 - 1 定向后视读数计算示意图
ZH
a
B
β
HY
JD
2,HY?QZ段
臵镜 HY后视 ZH,测设圆曲线
β=δ6,0+180° =182° 17′31″
设 aF= 0° 00′00″,则
定向后视读数为
aB=aF+β=182° 17′31″
偏角根据下式计算，其结果列于表 5?4b中。
点 号 里程 偏 角° ′ ″ 正反拨 平盘读数° ′ ″ 备 注
臵镜点 HY（ 0） DK26+298.32 后视点 ZH aB=182° 17′31″ ?F =0° 00′00″
1 +300 0 05 47
反拨
359 54 13
2 +320 1 14 32 358 45 28
3 +340 2 23 17 357 36 43
4 +360 3 32 02 356 27 58
5 +380 4 40 48 355 19 12
6 +400 5 49 33 354 10 27
7 +420 6 58 18 353 01 42
QZ DK26+424.77 7 14 42 352 45 18
表 5-4b HY?QZ段测设资料计算表
??
??? 1 8 0
2
,
,R
l ji
ji
3,YH?QZ段测设数据计算
臵镜 YH后视 HZ,测设圆曲线
β=180° ?δ6,0=177° 42′29″
设 aF = 0° 00′00″,则
定向后视读数 aB = aF +β=177° 42′29″
图 5 - 12 定向后视读数计算示意图
a
B
HZ
YH
β
JD
a
F
图 5 - 13 定向后视读数计算示意图
β
JD
a
F
YH
HZ
a
B
偏角根据下式计算，其结果列于表 5?4c中。
点 号 里 程 偏 角° ′ ″ 正反拨 平盘读数° ′ ″ 备 注
QZ DK26+424.77 7 14 44
正拨
7 14 44
6 +440 6 22 23 6 22 23
5 +460 5 13 38 5 13 38
4 +480 4 04 52 4 04 52
3 +500 2 56 07 2 56 07
2 +520 1 47 22 1 47 22
1 +540 0 38 36 0 38 36
臵镜点 YH
（ 0）
DK26+551.
23 后视点 HZ aB=177° 42′29″ ?F =0° 00′00″
表 5-4c YH?QZ段测设资料计算表
??
??? 180
2
,
,R
l ji
ji
4,YH?HZ段测设数据计算
臵镜 YH后视 HZ,测设缓和曲线
β=360° ?δ6,0=357° 42′29″
设 aF = 0° 00′00″,则
定向后视读数 aB = aF +β= 357° 42′29″
图 5 - 12 定向后视读数计算示意图
a
B
HZ
YH
β
JD
a
F
图 5 - 13 定向后视读数计算示意图
β
JD
a
F
YH
HZ
a
B
表 5-4d YH?HZ段测设资料计算表
点 号 里 程 偏 角° ′ ″ 正反拨 平盘读数° ′ ″ 备 注
臵镜点 YH（ 6） DK26+551.23 后视点 HZ aB=357° 42′29″ ?F =0° 00′00″
5 +561.23 0 32 28
反拨
359 27 32
4 +571.23 1 01 07 358 58 53
3 +581.23 1 25 57 358 34 03
2 +591.23 1 46 57 358 13 03
1 +601.23 2 04 08 357 55 52
HZ（ 0） DK26+611.23 2 17 31 357 42 29
)2(||10,jijiji ??? ??
偏角根据下式 计算, 其结果列于表 5?4d中 。
注：表中缓和曲线点是由缓和曲线的起点向终点进行编号。
A
图 5 ?? 14 遇障碍曲线测设原理
2
1
i
3
i + 1
i + 2
a
B
a
F
β
五、遇障碍时曲线测设
即找出 i点的切线方向；
计算 i点至后续各点的偏
角，据此继续测设。
原理：如图所示，臵镜于已设出的曲线某主
点 A，测设 1,2,…, i，至 i+1点时视线受阻；
迁站至 i点，后视 A点定向，
［ 例 5-7］ 已知 R = 500 m,l0 = 60 m,?Z = 35° 51′ 23″ 。
臵镜于 HY,后视 ZH定向, 测设缓和曲线, 测设至 2点
时遇障碍, 则迁站到已设出的 3点继续测设至 ZH；
臵镜于 HY,后视 ZH定向, 测设圆曲线, 至 5点时遇
障碍, 则迁站到已设出的 4 点继续测设曲线 。 试完
成相关的计算, 并简述测设步骤 。
［ 解 ］ 依表 5-4 及图 5-15
ZHa
B
1
图 5 ?? 1 5 偏角法测设曲线遇障碍时的测设方法示意图
a
F
2
3
HY
1
2
a
F
3
4
JD
5
ZHa
B
1
图 5 ?? 1 5 偏角法测设曲线遇障碍时的测设方法示意图
a
F
2
3
HY
1
2
a
F
3
4
JD
5
臵镜于 HY,测设缓和曲线段
（ 1） 臵镜及定向
臵镜 HY,后视 ZH,定向后视读数 aB = 2° 17′ 31″
（ 2） 测设
旋转照准部至平盘读数为 δ 6,5=0° 32′ 28″, 自 HY 于视线
上丈量 10m平距, 得 5点；
旋转照准部至平盘读数为 δ 6,4=1° 01′ 07″, 自 5点向前丈
量 10 m平距, 与视线交于 4点；
同法测向前测设, 至 2点时仪器视线受到障碍物阻挡, 故需
迁站至 3点继续向前测设 。
2,臵镜于 3点, 测设缓和曲线段
（ 1） 臵镜, 定向及偏角计算
臵镜 3点, 后视 HY,定向后视读数
aB = aF +β= 178° 51′15″
β= 180° -δ 3,6
?3,6=?10?|3?6|(（ 2?3+6） =1? 08? 45?
1 2
JD
HY
3ZH
a B
a F
β
图 5 ?? 1 6 置镜 3 点测设缓和曲线示意图
95 4, 5 10 01 8 0 610
0
2
10 ?????
???
?? Rl
其它待测点偏角,?3,2=?10?|3?2|(2?3+2)=0° 15′ 17″
?3,1=?10?|3?1|(2?3+1)=0° 26′ 44″
?3,0=?10?|3?0|(2?3+0)=0° 34′ 23″
（ 2） 测设
旋转 照准部至平盘读数为 δ 3,2=0° 15′ 17″, 自 3点于
视线上丈量 10 m平距, 得 2点；
旋转 照准部至平盘读数为 δ 3,1=0° 26′ 44″, 自 2点向
前丈量 10m平距, 交视线于 1点；
同法 测至 ZH闭合 。
1 2
JD
HY
3ZH
a B
a F
β
图 5 ?? 1 6 置镜 3 点测设缓和曲线示意图
3,臵镜于 HY,测设圆曲线段
（ 1） 臵镜及定向
臵镜 HY,后视 ZH,定向后视读数 aB = aF +β= 182° 17′31″
（ 2） 测设
逆时 针旋转照准部至平盘读数为 360° ?δ 0,1=359° 54′ 13″,
自 HY于视线上丈量 1.68 m平距得 1点；
逆时 针旋转照准部至平盘读数为 360° ?δ 0,2=358° 45′ 28″,
自 1点向前丈量 20 m平距, 交视线于 2点；
同法 向前测设, 至 5点时仪器视线受阻, 故需迁站至 4点
继续向前测设 。
ZHa
B
1
图 5 ?? 1 5 偏角法测设曲线遇障碍时的测设方法示意图
a
F
2
3
HY
1
2
a
F
3
4
JD
5
aB = aF +β= 183° 32′ 02″
β= 180° +δ 4,0
δ 4,0 =3° 32′ 02″ （ ）?? ??? 1 8 02,,Rl jiji
2
HY
1
3
4
5
a F
a B
图 5 - 17 置镜 4 点测设圆曲线示意图
其它待测点偏角为
δ 4,5 =1° 08′ 45.30″ δ 4,6 =2δ 4,5=2° 17′ 31″
……
δ 4,QZ =3° 42′ 40″
4、臵镜于 4点，测设圆曲线段
（ 1）臵镜、定向及偏角计算
臵镜 4点，后视 HY，
定向后视读数
（ 2） 测设
逆时针旋转照准部至平盘读数为 360° ?δ 4,5 =358° 51′ 15″
，
自 4点于视线上丈量 20 m平距得 5点；
逆时针旋转照准部至平盘读数为 360° ?δ 4,6 =357° 42′ 29″
，
自 5点向前丈量 20 m平距交视线于 6点；
同法测至 QZ闭合 。
2
HY
1
3
4
5
a F
a B
图 5 - 17 置镜 4 点测设圆曲线示意图
偏角法测设圆曲线遇障碍迁站后，切线方向平盘 读数可设
臵为测设该切点时的平盘读数，如本例中 aF =356° 27′58″
（ 360° ?δ 4,0 ） 此时定向后视读数（ aB =aF +β =180° ），则
测设后续各点的平盘读数仍用原表中的数据，而无需再算。
对于圆曲线测段之所以能按上述方法处理，是因为其偏角与
曲线长成线性关系。
闭合差：由拨角误差和量距误差共同引起的，
其大小不应超过一定的限值。
,新建铁路工程测量规范, 规定：
fZ 纵向闭合差
闭合差 f
fH 横向闭合差
JD
ZH
QZ
f f H
f Z
HZ
图 5 ?? 1 8 曲线测设闭合差示意图
?
?
?
?
?
?
?
1 0 c m
2 0 0 0
1
H
Z
f
l
f
六、曲线测设的精度要求
仪器：全站仪
优点：设站灵活, 不受地形条件限制, 主点和
曲线细部点可同时测设 。
注意：应检核, 点位误差不应大于 5cm。
关键：统一直角坐标系下的控制点
曲线点直角坐标的计算
测设数据的计算 。
§ 5-6 任意点极坐标法 测设曲线
计算曲线点在曲线坐标系
ZH-xy中的坐标，再将其
转换为统一坐标系 O-XY
中的坐标，利用已知坐标
的平面控制点通过坐标反
算得出已知点到测设点的
坐标方位角和 水平距离（
?MA,DMA）,（ ?MB，
DMB） ….,然后用极坐
标法进行测设。
一、基本原理
M
N
ZH
HY
YH
HZ
A
B
C
αMN
αMA
dMA
αMB
dMB
x
y
Y
O
X
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
???
??
3
0
3
7
0
3
2
0
2
5
3366
40
lR
l
Rl
l
y
lR
l
lx
AA
A
A
AA
曲线右偏 yA为正 ;曲线左偏 yA 为负。
二、曲线点坐标计算
ZH
HY
YH
HZ
A
B
C
X
Y
1．曲线坐标系 ZH-
xy下的坐标
(1)ZH-HY段曲线点
的坐标 直接根据缓
和曲线方程得出：
由图可得：
?
?
?
????
??
])c o s1([
s i n
pRy
mRx
B
B
?
?
?
?
?
?
?
?
??
?
?
?
?
?
?
1802/
180
0
0
R
lKK
R
KK
HYB
HYB
曲线右偏 yB为正 ;左偏 yB为负。
ZH
HY
YH
HZ
B
x
y
(2) HY-YH段曲线点的坐标
o
m
R
θβ
0
p
3 3 66
40
3
0
3
7
0
3
2
0
2
5
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
????
?
?
?
?
?
?
?
?
????
lR
l
Rl
l
y
lR
l
lx
CC
C
C
CC
曲线右偏 yC’为正 ;左偏 yC' 为负。
ZH
HY
YH
HZ
α
x’
C
x
y
y’
(i) 在以 HZ点为原点，以 HZ点切线为
x’轴，交点至 HZ方向为正向的测量坐
标系（ HZ-x’y'）下的坐标
(3)YH-HZ段曲
线点的坐标计算
ZH
HY
YH
HZ
?
x’
C
x
y
y’
(ii)在曲线坐标系（ ZH-xy ）
下的坐标根据坐标平移旋
转公式得出
?
?
?
?
?
?
??
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
? ?
??
?
?
?
?
?
HZ
HZ
C
C
C
C
y
x
y
x
y
x
??
??
c o ss i n
s i nc o s
?
?
?
?
??
?
?
s i n
)c o s1(
Ty
Tx
HZ
HZ
其中：
yHZ
xHZ
T
曲线左偏 ? =360???Z（ 或 ? = ??Z） ;右偏 ? = ?Y 。
（ 1）按前述方法计算出
曲线上所有点在 ZH-xy坐标
系下的坐标；
（ 2） 根据 ZH-xy坐标系
与既有坐标系之间的关系,
应用坐标平移, 旋转公式,
将坐标转换到既有坐标系
O-XY下 。
2．既有坐标系下曲线点坐标计算
?
α
ZH
x
y
X
YO
1．获得控制点坐标
既有控制点：其坐标为既有坐标 。
专为测设曲线而建立的控制点：通过观测确
定其坐标 。
2,测设数据计算
按坐标反算方法计算测设数据
?
?
?
??
?
?
????
?
?
?
22
,
,
)()( ijijji
ij
ij
ji
yyxxD
xx
yy
tg ?
三、测设步骤与方法
臵镜于已知点 M,后
视另一已知点 N定向，
定向后视读数配臵为
?MN ；旋转仪器当平
盘读数为 ?MA时，于
视线方向上测设 DMA,
得 A点；同样方法可
测出 B,C等点。
3,测设曲线点
M
N
ZH
HY
YH
HZ
A
B
C
αMN
αMA
dMA
αMB
dMB
x
y
某曲线 αz=35o51’23”,R=500m,l0=60m,既
有控制点 M,N坐标所在的平面直角坐标系为 O-
XY,在此坐标系下控制点, ZD,JD 的坐标分
别为 xM =9326.422,yM =5243.888，
xN =8852.585,yN =5342.891，
xZD =8567.294,yZD =5633.515，
xJD =9338.7206,yJD =5181.9768。
臵镜在 M点后视 N点, 极坐标法测设曲线,
试计算 DK26+278.32,DK26+400,DK26+571.225
三点的测设数据 。
[例 5-9］ (P.146)
该曲线缓和曲线常数
及曲线综合要素为：
m=29.996m,p=0.300m,
T=191.86m,L=372.91m,
E0=25.83m。
? 1.建立曲线坐标系 ZH-
x’y’并计算各点在此坐标
下的坐标
解,
ZH
HY
YH
HZ
JD
αZ
x’
y’
DK26+278.32在 ZH-HY段，该点在 ZH-x’y’
坐标系下的坐标 x’,y’ 直接利用缓和曲线方程
计算：
(1) DK26+278.32
3 5 6.0)
3 3 66
('
9 9 7.39
40
'
3
0
3
7
0
3
1
2
0
2
5
1
?????
???
lR
l
Rl
l
y
lR
l
lx
PP
P
P
曲线左转
该点在 HY-YH段, 在 ZH-x’y’ 坐标系下的
坐标 x2’,y2’,
(2) DK26+400
540.17])c os1(['
159.160s i n'
2
2
??????
???
pRy
mRx
?
?
"9.21'0515
1 8 0
5 0 0
3032.2 9 84 0 0
1 8 0
0
??
?
?
??
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
R
KK
HYB
该点在 YH-HZ段, 先
计算该点在 HZ-x”y” 坐
标系下的坐标 x”,y”
(3) DK26+571.225
3 5 6.0)
3 3 66
("
9 9 7.39
40
"
3
0
3
7
0
3
3
2
0
2
5
3
?????
???
lR
l
Rl
l
y
lR
l
lx
PP
P
P
x” y”
HZ
3 JD
x’
ZH y’
再计算该点在 ZH-xy坐标系下的坐标 x’,y’
x” y”
HZ
3 JD
ZH x’
y’
?’ = ??Z = ? 35° 51′23″
xHZ = T(1+cos? ) = 347.361
yHZ = T sin? = ?112.383
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
??
???
?
?
?
?
?
?
?
2 4 3.89
7 3 5.3 1 4
'
'
"
"
c o ss i n
s i nc o s
'
'
3
3
3
3
3
3
y
x
y
x
y
x
y
x
HZ
HZ
??
??
2.计算各点在 O-XY坐标系下的坐标
（ 1）根据 JD,ZD在 O-XY坐标系下的坐标，
按坐标反算切线 ZD?JD的坐标方位角：
? ZD,JD =329° 39′30″
得 ? = ?ZD,JD =329° 39′30″
（ 2）计算 ZH点在 O-XY坐标系下的坐标：
xZH =xJD +Tcos?JD,ZD = 9173.140
yZH = yJD +Tsin?JD,ZD = 5278.896
（ 3） 计算曲线上各点在 O-XY坐标系下
的坐标 x,y,按下式计算：
?
?
?
?
?
?
??
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
? ?
??
?
?
?
?
?
ZH
ZH
i
i
i
i
y
x
y
x
y
x
??
??
c o ss i n
s i nc o s
得,x1=9207.479,y1=5258.384
x2=9302.502,y2=5182.853
x3=9399.684,y3=5042.887
(4) 计算曲线上各点的测设数据 （ 按坐标
反算公式, 计算结果列于 P.147表 5-9。 ）
一、副交点的测设
交点可能落在无法测设的地方。（地物地形限制）
交点距中线较远，不便测设。 （转向角较大）
§ 5-7曲线测设中常见问题处理方法
图 15 ? 24 副交点法示意图
AZD
1
JD
α
B
ZD
2
α
1
α
2
X
A
B
JD
D
1
D
2
D n
ZD
1
ZD
2
Y
y
B
x B α
图 5 ?? 23 导 线法示意图
1、导线法
?
?
?
?
?
?
??
?
?
s i n
||
||
,
,
B
JDB
BBJDA
y
D
c tgyxD
线路右偏,?=?B,ZD2
线路左偏,?=360° -?B,ZD2。
图 15 ? 24 副交点法示意图
AZD 1
JD
α
B
ZD
2
α 1
α 2
?
?
?
??
?
?
?
?
?
?
ABJDA
ABJDA
DD
DD
)s i n (
s i n
)s i n (
s i n
21
1
,
21
2
,
??
?
??
?
? 为转向角, 且 ? = ?1+?2
2,副交点法
二、主点遇障碍
主点遇障碍：由于受地物、地貌的限制主点可能
落在无法测设的地方。
解决方法,选定若干个位臵适当曲线点，以不
低于主点测设的精度，用直角坐标
法或极坐标法将其测设出。
三、圆曲线两端设有不等长缓和曲线时的曲线要素计算
四、线路其它种类的形状及复曲线要素计算 P.151
五、回头曲线的测设 P.155
