2004.2 北京大学物理学院王稼军编写静电场边值问题的唯一性定理
静电场小结
典型的静电问题
给定导体系中各导体的 电量 或 电势 以及各导体的形状、相对位置（统称边界条件），求空间电场分布，即在 一定边界条件 下求解拉普拉斯方程泊松方程,
02
0
2
＝Uor
U
静电场的边值问题泛定方程 ＋边界条件
2004.2 北京大学物理学院王稼军编写唯一性定理
对于静电场，给定一组边界条件，空间能否存在不同的恒定电场分布？ —— 回答：否！
边界条件 可将空间里电场的分布 唯一 地确定下来
该定理对包括静电屏蔽在内的许多静电问题的正确解释至关重要
理论证明在电动力学中给出,p59 给出普物方式的论证
论证分三步：引理 —— 叠加原理 —— 证明
2004.2 北京大学物理学院王稼军编写几个引理
引理一：在无电荷的空间里电势不可能有极大值和极小值
证明（反证）若有极大，则极大矛盾但面内无电荷点背离点,指向
，,0
SE dΦ
PUPU
SE
E
极小
若有极小，同样证明
2004.2 北京大学物理学院王稼军编写
引理二：若所有导体的电势为 0，则导体以外空间的电势处处为 0
即意味着空间电势有极大值，
违背引理一
证明（反证）
在 无电荷 空间里电势分布连续变化，若空间有电势大于 0
（或小于 0）的点，而边界上电势又处处等于零 —— 必出现极大值或极小值 —— 矛盾
推广：若完全由导体所包围的空间里各导体的电势都相等（设为 U0）,则空间电势等于常量 U0
2004.2 北京大学物理学院王稼军编写引理三：若所有导体都不带电，
则各导体的电势都相等
证明（反证）
若不相等，必有一个最高，
如图设 U1>U2,U3,—— 导体 1是电场线的起点 —— 其表面只有正电荷 —— 导体 1
上的总电量不为 0—— 与前提矛盾
引理二 ( ＋ )引理三 可推论：所有导体 都不带电 的情况下空间各处的 电势 也和导体一样，等于同一 常量
2004.2 北京大学物理学院王稼军编写叠加原理
在给定各带电导体的几何形状、相对位置后，赋予两组边界条件：
1：给定每个导体的电势 UⅠ k（或总电量 QⅠ k）
2：给定每个导体的电势 UⅡ k（或总电量 QⅡ k)
设 UⅠ,UⅡ 满足上述两条件，则它们的线性组合
U=a UⅠ +b UⅡ 必满足条件 3:
3：给定每个导体的电势 Uk=a UⅠ k+b UⅡ k
（或总电量 Qk= QⅠ k a k+b QⅡ k）
特例,取 UⅠ k＝ UⅡ k，则 U=UⅠ － UⅡ (a=1,b=-1)满足
4：给定每个导体的电势为 0
2004.2 北京大学物理学院王稼军编写唯一性定理
给定每个导体电势的情形
设对应同一组边值
III
III
EE
UU
)2,1(kU k
有两种恒定的电势分布
III UU 和相当于所有导体上电势为 0时的恒定电势分布说明场分布是唯一的
2004.2 北京大学物理学院王稼军编写
IIIIII
S
EEUUUdS
n
U
k
常量0
0?
与电势参考点有关，
不影响电势梯度
给定每个导体上总电量的情形
第 k个导体上的电量
dS
n
UdSEdSQ
kk k SS S
nek
00
电量与场强、电势的关系设对应同一组边值有两种恒定电势分布说明场分布是唯一的
2004.2 北京大学物理学院王稼军编写解释静电屏蔽
唯一性定理表明：一旦找到某种电荷分布，既不违背导体平衡特性，又是物理实在，则这种电荷分布就是 唯一 可能的分布。
图中是根据导体内场强处处为零判断存在两种实在的电荷分布的迭加就是唯一的分布
2004.2 北京大学物理学院王稼军编写电像法 —— 解静电问题的一种特殊方法
在一接地的无穷大平面导体前有一点电荷 q求空间的电场分布和导体表面上的电荷分布
基本思想,利用唯一性定理，边界条件确定了，
解是唯一的，可以寻找合理的试探解像电荷
2004.2 北京大学物理学院王稼军编写解,? 任一 P点的电势
0)''(4 1),,(
0
zrqrqzyxU
222
222
)(
)('
azyxr
azyxr
；其中
222222
0 )(
1
)(
1
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azyxazyx
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导体上电荷的面密度 U
e 0 nDn
2
3222
0
0
)(2 ayx
aq
z
U
z
e
2l
2004.2 北京大学物理学院王稼军编写真空中有一半径为 R的 接地导体球，距球心为 a(a>R)处有一点电荷 Q,求空间各点电势
寻找像电荷
对称性分析，确定像电荷位置
使球面上电势＝ 0
任取 P点，利用叠加原理求出像电荷位置
''''0'' rQQrQQrrrQrQ
'co s2
co s2
22
22
QRaaR
QRbbR
对所有?都成立，
即要求与?无关，要求
22 'c o s aQbQ?的系数?
－？取 有 QaRQabQaRb '
2
三角形相似
2004.2 北京大学物理学院王稼军编写求 p点电势
'4
1
'
'
4
1
00 ar
RQ
r
Q
r
Q
r
QU
P
c o s2c o s2' 2222 RaaRrRbbRr ；其中讨论：由 Gaoss定理收敛于球面上的电通量为－ Q’,Q’=球面上的总感应电荷，它受电荷 Q产生的电场 吸引从接地处传至导体球上,|Q’|<Q,Q发出的电力线只有一部分收敛于导体球，剩下的伸展至无穷
2004.2 北京大学物理学院王稼军编写电偶极层
设想一厚度均匀的曲面薄壳，两面带有符号相反的面电荷
—— 电偶极层，如图，
求 P点的电势和场强
e
'0 '
'
4
1)(
S
e
r
dSpU?
'0
)(
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2004.2 北京大学物理学院王稼军编写
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面元 dS在垂直于矢径 r方向的投影
dr dS?2c o s?
定义电偶极层强度,—— 单位面积上的电偶极矩
lee
00 44
)(
e
S
e dpU
2004.2 北京大学物理学院王稼军编写
P点的电场强度
电偶极层的电势和场强只与对场点所张的立体角有关
几何上决定，电偶极层两侧立体角有的跃变
负电荷一侧：
曲面 S 对场点 P 所张的立体角
04
)( epUE
0,0co s,2/,co s 2
S
dr dSd
正电荷一侧,
0,0c o s,2/,c o s 2
S
dr dSd
夹角),(,nr?
2004.2 北京大学物理学院王稼军编写电偶极层两侧的电势跃变
具体考察图中两点
当该两点趋于偶极层表面时，相对应的立体角之差,－立体角
＋
立体角
P
P
4
电偶极层两侧的电势跃变：
000
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静电场小结
典型的静电问题
给定导体系中各导体的 电量 或 电势 以及各导体的形状、相对位置（统称边界条件），求空间电场分布，即在 一定边界条件 下求解拉普拉斯方程泊松方程,
02
0
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＝Uor
U
静电场的边值问题泛定方程 ＋边界条件
2004.2 北京大学物理学院王稼军编写唯一性定理
对于静电场，给定一组边界条件，空间能否存在不同的恒定电场分布？ —— 回答：否！
边界条件 可将空间里电场的分布 唯一 地确定下来
该定理对包括静电屏蔽在内的许多静电问题的正确解释至关重要
理论证明在电动力学中给出,p59 给出普物方式的论证
论证分三步：引理 —— 叠加原理 —— 证明
2004.2 北京大学物理学院王稼军编写几个引理
引理一：在无电荷的空间里电势不可能有极大值和极小值
证明（反证）若有极大，则极大矛盾但面内无电荷点背离点,指向
，,0
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极小
若有极小，同样证明
2004.2 北京大学物理学院王稼军编写
引理二：若所有导体的电势为 0，则导体以外空间的电势处处为 0
即意味着空间电势有极大值，
违背引理一
证明（反证）
在 无电荷 空间里电势分布连续变化，若空间有电势大于 0
（或小于 0）的点，而边界上电势又处处等于零 —— 必出现极大值或极小值 —— 矛盾
推广：若完全由导体所包围的空间里各导体的电势都相等（设为 U0）,则空间电势等于常量 U0
2004.2 北京大学物理学院王稼军编写引理三：若所有导体都不带电，
则各导体的电势都相等
证明（反证）
若不相等，必有一个最高，
如图设 U1>U2,U3,—— 导体 1是电场线的起点 —— 其表面只有正电荷 —— 导体 1
上的总电量不为 0—— 与前提矛盾
引理二 ( ＋ )引理三 可推论：所有导体 都不带电 的情况下空间各处的 电势 也和导体一样，等于同一 常量
2004.2 北京大学物理学院王稼军编写叠加原理
在给定各带电导体的几何形状、相对位置后，赋予两组边界条件：
1：给定每个导体的电势 UⅠ k（或总电量 QⅠ k）
2：给定每个导体的电势 UⅡ k（或总电量 QⅡ k)
设 UⅠ,UⅡ 满足上述两条件，则它们的线性组合
U=a UⅠ +b UⅡ 必满足条件 3:
3：给定每个导体的电势 Uk=a UⅠ k+b UⅡ k
（或总电量 Qk= QⅠ k a k+b QⅡ k）
特例,取 UⅠ k＝ UⅡ k，则 U=UⅠ － UⅡ (a=1,b=-1)满足
4：给定每个导体的电势为 0
2004.2 北京大学物理学院王稼军编写唯一性定理
给定每个导体电势的情形
设对应同一组边值
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有两种恒定的电势分布
III UU 和相当于所有导体上电势为 0时的恒定电势分布说明场分布是唯一的
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0?
与电势参考点有关，
不影响电势梯度
给定每个导体上总电量的情形
第 k个导体上的电量
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电量与场强、电势的关系设对应同一组边值有两种恒定电势分布说明场分布是唯一的
2004.2 北京大学物理学院王稼军编写解释静电屏蔽
唯一性定理表明：一旦找到某种电荷分布，既不违背导体平衡特性，又是物理实在，则这种电荷分布就是 唯一 可能的分布。
图中是根据导体内场强处处为零判断存在两种实在的电荷分布的迭加就是唯一的分布
2004.2 北京大学物理学院王稼军编写电像法 —— 解静电问题的一种特殊方法
在一接地的无穷大平面导体前有一点电荷 q求空间的电场分布和导体表面上的电荷分布
基本思想,利用唯一性定理，边界条件确定了，
解是唯一的，可以寻找合理的试探解像电荷
2004.2 北京大学物理学院王稼军编写解,? 任一 P点的电势
0)''(4 1),,(
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2004.2 北京大学物理学院王稼军编写真空中有一半径为 R的 接地导体球，距球心为 a(a>R)处有一点电荷 Q,求空间各点电势
寻找像电荷
对称性分析，确定像电荷位置
使球面上电势＝ 0
任取 P点，利用叠加原理求出像电荷位置
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对所有?都成立，
即要求与?无关，要求
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三角形相似
2004.2 北京大学物理学院王稼军编写求 p点电势
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2004.2 北京大学物理学院王稼军编写电偶极层
设想一厚度均匀的曲面薄壳，两面带有符号相反的面电荷
—— 电偶极层，如图，
求 P点的电势和场强
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定义电偶极层强度,—— 单位面积上的电偶极矩
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2004.2 北京大学物理学院王稼军编写
P点的电场强度
电偶极层的电势和场强只与对场点所张的立体角有关
几何上决定，电偶极层两侧立体角有的跃变
负电荷一侧：
曲面 S 对场点 P 所张的立体角
04
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正电荷一侧,
0,0c o s,2/,c o s 2
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2004.2 北京大学物理学院王稼军编写电偶极层两侧的电势跃变
具体考察图中两点
当该两点趋于偶极层表面时，相对应的立体角之差,－立体角
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电偶极层两侧的电势跃变：
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