§ 4 环路定理习题
p74 1-24,25,26、
36,37,39,41
2004.2,北京大学物理学院王稼军编写静电场力做功与路径无关
电荷间的作用力是有心力 —— 环路定理
讨论静电场的环流
无旋有旋流速场的环流
0
0
ldv
静电场：电力线不闭合
可以猜到静电场的环流为零 0ldE
2004.2,北京大学物理学院王稼军编写证明
单个点电荷产生的场
把试探电荷 q0从 P移到 Q
QPQP rrQP rrQPQPPQ rdrqqF d rF d rdlFldFA '' 2
0
0
4c o s
Q
P
Q
P
r
r
Qp
r
rPQ
drrEq
rr
qq
r
drqqA
''
)(11
44 0'0
0
2
0
0
静电场力做功只与起点终点有关,与路径无关
2004.2,北京大学物理学院王稼军编写点电荷组产生的场
在电场中把试探电荷从 P移至 Q电场力所做的功
nqqq,,,21?
nEEEE21
Q
P n
Q
P
Q
P
Q
P
Q
PPQ
ldEldEldEq
ldEqldFA
210
0
Qn
n
pn
n
QpQp r
q
r
q
r
q
r
q
r
q
r
qq?
2
2
2
2
1
1
1
1
0
0
4
P到 q1
的距离 Q到 q1的距离 每项均与路径无关，只与位置有关
2004.2,北京大学物理学院王稼军编写任意有限大的带电体产生的电场
可以将带电体无限分割成微元，每一个微元均为一点电荷 —— 点电荷组
结论,在任何电场中移动试探电荷时,
电场力所做的功除了与电场本身有关外,
只与试探电荷的大小及其起点,终点有关,与移动电荷所走过的路径无关
2004.2,北京大学物理学院王稼军编写静电场的环路定理
静电场力做功与路径无关 等价于 静电场力沿任意闭合回路做功恒等于零
0ldE? 在任意电场中取一闭合回路,将试探电荷沿路径
L从 p—— Q—— P,电场力所做的功为
P LQQ LP
L
ldEqldEqldEqA
)(0)(00 21
0)(0)(0
21
Q LpQ Lp ldEqldEq 0ldE
2004.2,北京大学物理学院王稼军编写讨论
在证明 Gauss定理中,说电力必须与 r2成反比,
那么在环路定理的证明中是否也必须要求与 r2成反比？
答：不一定 也有类似性质如弹性力 krf?
哪些力具有做功与路径无关这种性质？
引力 引入引力势能
重力 引入重力势能 势函数
弹性力 引入弹性势能 （ 位 ）
静电力 引入静电势能
2004.2,北京大学物理学院王稼军编写电势能,电势差,电势
可以与重力做功类比
电场力做正功,电势能将减少
电场力做负功,电势能将增加电势能的改变量
q0在 P点的电势能 q0在 Q点的电势能 电势增量
)(0 PQQPPQ
Q
PPQ WWWWWldEqA
定义 静电场与 q0有能量交换电场力 的功
2004.2,北京大学物理学院王稼军编写电势的定义
从中扣除 q0,即引入电势
加电场吸收能量，能量增均有关与场源和( 电势能的减少少电场付出能量，能量减
0
0
0qWA PQPQ,
Q
PPQ
PQPQ ldEU
q
A
q
W
00
P,Q两点之间的电势差定义为
从 P点到 Q点移动单位正电荷时电场力所作的功
单位正电荷的电势能差
2004.2,北京大学物理学院王稼军编写空间某点的电势值
为了确定某点的值，还需要选择零点
一般选择无穷远为势能零点,P点电势值为
PPP ldEqAUpU
0
)(
两点之间电势差可表为两点电势值之差
)()( QUPUldEldEldEU QPQPPQ
单位,1V(伏特）＝ 1J/C
2004.2,北京大学物理学院王稼军编写电势叠加原理
点电荷组有
i
piPkPP
P kPPPP
UUUU
ldEldEldEldEU
21
21
连续带电体有
dUldEU PP
PP
P r
dq
r
dq
r
dqdU
00
2
0 4
1(
4
1
4
1
i
i
i r
qU
04
1
2004.2,北京大学物理学院王稼军编写讨论
电势 与场强一样是一个描述场本身性质的物理量，
与试探电荷无关，是 标量。电势叠加是标量叠加。
电势 UP,P与无穷处电势差
电势零点 选取
可以任意选取
选择零点原则：场弱、变化不太剧烈
问题
选无穷远为零点?？选地为零点即地和无穷远等电势吗？
2004.2,北京大学物理学院王稼军编写地与无穷远的电势差
实际地球周围大气中有一个方向向下的静电场是地球所带的负电荷和大气中的等离子体产生的
若以无穷远为势能零点,则地球的电势为
VU 8104.5地
思考：
点电荷的势能零点是否可以选在电荷上？
无限大平面板的势能零点能否选在无穷远？
2004.2,北京大学物理学院王稼军编写例题 10一示波器中阳极 A和阴极 K之间的电压是
3000 V，试求阴极发射的电子到达阳极时的速度，
设电子从阴极出发时初速为零。
[解 ]电子带负电,它沿电势升高的方向加速运动,即从阴极
K出发到达阳极 A,静电场力是保守力,按能量守恒
J.
Uevm e
16
192
10804
)0 0 03()1060.1(
2
1
JKA
电子到达阳极时获得的动能为
m / s1025.3m / s
1011.9
1080.422 7
13
16
e
KA
m
Uev
2004.2,北京大学物理学院王稼军编写电子伏特
电子伏特：能量单位
带有电量 +e或 -e的粒子飞跃一个电势差为 1V的区间，电场力对它作的功 (从而粒子本身获得这么多能量（动能） —— 1eV
JVCeV 1919 1060.111060.11
兆千 eVM e VeVk e V 63 101101
太吉 eVT e VeVG e V 129 101101
2004.2,北京大学物理学院王稼军编写求电势? 用电势定义求：
用电势叠加原理求
PP ldEU
dUU P
P35例题 11－ 12自己看
补充题两个均匀带电的同心球面,半径分别为 Ra和 Rb，
带电总量分别为 Qa和 Qb,求图中 Ⅰ,Ⅱ,Ⅲ 区内的电势分布方法一：已知场强求电势
b
ba
ba
a
a
Rr
r
QQ
E
RrR
r
Q
E
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2
0
3
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1
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2004.2,北京大学物理学院王稼军编写
r
QQldEUI I I ba
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0
33 4
1
)(
4
1
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)
11
(
4 000
322
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b
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a
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b
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ldEldEldEldEUI
b
b
a
a
2004.2,北京大学物理学院王稼军编写方法二：电势叠加
各区域的电势分布是内外球壳单独存在时的
电势的叠加
r
Q
URr
R
Q
URr
a
a
a
a
a
0
0
4
4
外内内壳单独存在
r
Q
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R
Q
URr
b
b
b
b
b
0
0
4
4
外内外壳单独存在
Ⅰ,
Ⅱ,
Ⅲ,
内内 21 UU?
内内 21 UU?
外外 21 UU?
2004.2,北京大学物理学院王稼军编写小结：
求一点电势要已知这点到无穷远的场强分布；
电势叠加要先求各带电体单独存在时的电势，然后再叠加；
电势是标量，叠加是标量叠加，比场强叠加容易
2004.2,北京大学物理学院王稼军编写电场强度和电势
已知场强 可求电势
已知电势 可否求场强？
0c o s0c o s00E d lqldEqdA
ldE 2
等势面
等势面与电力线处处正交
证明：设一试探电荷 q0沿任意一个等势面作一任意元位移 dl电场力所做的元功
2004.2,北京大学物理学院王稼军编写
等势面密集处场强大，稀疏处场强小
证明,设：电场中任意两个相邻等势面之间的电势差为一定的值，按这一规定画出等势面图（见图），以点电荷为例，其电势为
r
qrU
04
1)(
drrqrdU 2
04
1)(
微分因为相邻等势面电势差为一定值,所以有
UdUrdr,
Urqr 204
半径之差 ∝ r2
定值
2
1
rE?而
E 越大 越密 等势面间距越小 越小越小
E 越小 越稀 等势面间距越大 越大越大
，，，
，，，
2
2
rr
rr
2004.2,北京大学物理学院王稼军编写电势梯度
场有分布，沿各方向存在不同的方向微商
梯度：最大的方向微商
如 速度梯度 温度梯度等
沿?l的方向微商可以表示为
l
U
l
U
ol?
lim
若取垂直方向，即场强方向?n，则沿该方向的方向微商为显然nUnU
on?
lim?c o sln
c o s,c o s1 nUlUlUnU 或有 n
U
l
U
2004.2,北京大学物理学院王稼军编写结论,两等势面间 U沿 Δn 方向的变化率比沿其他任何方向的变化率都大
电势梯度
方向,沿电势变化最快的方向
大小：
n
U
在三微空间
n
U
g ra d UU 或?
电势梯度与场强的关系
nEldEU Q
P
n
U
n
UE
n?
0
lim
Δn 很小，
场强 E变化不大
2004.2,北京大学物理学院王稼军编写
E总是沿着指向电势减少的方向 —— E与 Δn相反
在数学场论中把
)( g r a d UUE k
z
j
y
i
x?
矢量微分算符 直角坐标系表示称作梯度:U?
称作散度:A
称作旋度:A
例题
2004.2,北京大学物理学院王稼军编写静电场的基本方程的微分形式
数学场论公式体积分面积分
S V
dVd ASA
面积分线积分 SAlA dd
SL
)(
对静电场方程积分形式进行变换可以得到一组静电场的 基本微分方程
2004.2,北京大学物理学院王稼军编写
000
1
EESE VS V dV
qdVd
00)( ESElE dd
SL
0?
E
0 E
有源无旋
0?
EE 代入将 U
0
2)(
UUE
拉普拉斯方程0若泊松方程,得
02
0
2
＝＝ U
U
场方程的微分形式静电场的基本微分方程
p74 1-24,25,26、
36,37,39,41
2004.2,北京大学物理学院王稼军编写静电场力做功与路径无关
电荷间的作用力是有心力 —— 环路定理
讨论静电场的环流
无旋有旋流速场的环流
0
0
ldv
静电场：电力线不闭合
可以猜到静电场的环流为零 0ldE
2004.2,北京大学物理学院王稼军编写证明
单个点电荷产生的场
把试探电荷 q0从 P移到 Q
QPQP rrQP rrQPQPPQ rdrqqF d rF d rdlFldFA '' 2
0
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静电场力做功只与起点终点有关,与路径无关
2004.2,北京大学物理学院王稼军编写点电荷组产生的场
在电场中把试探电荷从 P移至 Q电场力所做的功
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P到 q1
的距离 Q到 q1的距离 每项均与路径无关，只与位置有关
2004.2,北京大学物理学院王稼军编写任意有限大的带电体产生的电场
可以将带电体无限分割成微元，每一个微元均为一点电荷 —— 点电荷组
结论,在任何电场中移动试探电荷时,
电场力所做的功除了与电场本身有关外,
只与试探电荷的大小及其起点,终点有关,与移动电荷所走过的路径无关
2004.2,北京大学物理学院王稼军编写静电场的环路定理
静电场力做功与路径无关 等价于 静电场力沿任意闭合回路做功恒等于零
0ldE? 在任意电场中取一闭合回路,将试探电荷沿路径
L从 p—— Q—— P,电场力所做的功为
P LQQ LP
L
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)(0)(00 21
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21
Q LpQ Lp ldEqldEq 0ldE
2004.2,北京大学物理学院王稼军编写讨论
在证明 Gauss定理中,说电力必须与 r2成反比,
那么在环路定理的证明中是否也必须要求与 r2成反比？
答：不一定 也有类似性质如弹性力 krf?
哪些力具有做功与路径无关这种性质？
引力 引入引力势能
重力 引入重力势能 势函数
弹性力 引入弹性势能 （ 位 ）
静电力 引入静电势能
2004.2,北京大学物理学院王稼军编写电势能,电势差,电势
可以与重力做功类比
电场力做正功,电势能将减少
电场力做负功,电势能将增加电势能的改变量
q0在 P点的电势能 q0在 Q点的电势能 电势增量
)(0 PQQPPQ
Q
PPQ WWWWWldEqA
定义 静电场与 q0有能量交换电场力 的功
2004.2,北京大学物理学院王稼军编写电势的定义
从中扣除 q0,即引入电势
加电场吸收能量，能量增均有关与场源和( 电势能的减少少电场付出能量，能量减
0
0
0qWA PQPQ,
Q
PPQ
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q
A
q
W
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P,Q两点之间的电势差定义为
从 P点到 Q点移动单位正电荷时电场力所作的功
单位正电荷的电势能差
2004.2,北京大学物理学院王稼军编写空间某点的电势值
为了确定某点的值，还需要选择零点
一般选择无穷远为势能零点,P点电势值为
PPP ldEqAUpU
0
)(
两点之间电势差可表为两点电势值之差
)()( QUPUldEldEldEU QPQPPQ
单位,1V(伏特）＝ 1J/C
2004.2,北京大学物理学院王稼军编写电势叠加原理
点电荷组有
i
piPkPP
P kPPPP
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21
21
连续带电体有
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1
2004.2,北京大学物理学院王稼军编写讨论
电势 与场强一样是一个描述场本身性质的物理量，
与试探电荷无关，是 标量。电势叠加是标量叠加。
电势 UP,P与无穷处电势差
电势零点 选取
可以任意选取
选择零点原则：场弱、变化不太剧烈
问题
选无穷远为零点?？选地为零点即地和无穷远等电势吗？
2004.2,北京大学物理学院王稼军编写地与无穷远的电势差
实际地球周围大气中有一个方向向下的静电场是地球所带的负电荷和大气中的等离子体产生的
若以无穷远为势能零点,则地球的电势为
VU 8104.5地
思考：
点电荷的势能零点是否可以选在电荷上？
无限大平面板的势能零点能否选在无穷远？
2004.2,北京大学物理学院王稼军编写例题 10一示波器中阳极 A和阴极 K之间的电压是
3000 V，试求阴极发射的电子到达阳极时的速度，
设电子从阴极出发时初速为零。
[解 ]电子带负电,它沿电势升高的方向加速运动,即从阴极
K出发到达阳极 A,静电场力是保守力,按能量守恒
J.
Uevm e
16
192
10804
)0 0 03()1060.1(
2
1
JKA
电子到达阳极时获得的动能为
m / s1025.3m / s
1011.9
1080.422 7
13
16
e
KA
m
Uev
2004.2,北京大学物理学院王稼军编写电子伏特
电子伏特：能量单位
带有电量 +e或 -e的粒子飞跃一个电势差为 1V的区间，电场力对它作的功 (从而粒子本身获得这么多能量（动能） —— 1eV
JVCeV 1919 1060.111060.11
兆千 eVM e VeVk e V 63 101101
太吉 eVT e VeVG e V 129 101101
2004.2,北京大学物理学院王稼军编写求电势? 用电势定义求：
用电势叠加原理求
PP ldEU
dUU P
P35例题 11－ 12自己看
补充题两个均匀带电的同心球面,半径分别为 Ra和 Rb，
带电总量分别为 Qa和 Qb,求图中 Ⅰ,Ⅱ,Ⅲ 区内的电势分布方法一：已知场强求电势
b
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2004.2,北京大学物理学院王稼军编写
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2004.2,北京大学物理学院王稼军编写方法二：电势叠加
各区域的电势分布是内外球壳单独存在时的
电势的叠加
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外内内壳单独存在
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外内外壳单独存在
Ⅰ,
Ⅱ,
Ⅲ,
内内 21 UU?
内内 21 UU?
外外 21 UU?
2004.2,北京大学物理学院王稼军编写小结：
求一点电势要已知这点到无穷远的场强分布；
电势叠加要先求各带电体单独存在时的电势，然后再叠加；
电势是标量，叠加是标量叠加，比场强叠加容易
2004.2,北京大学物理学院王稼军编写电场强度和电势
已知场强 可求电势
已知电势 可否求场强？
0c o s0c o s00E d lqldEqdA
ldE 2
等势面
等势面与电力线处处正交
证明：设一试探电荷 q0沿任意一个等势面作一任意元位移 dl电场力所做的元功
2004.2,北京大学物理学院王稼军编写
等势面密集处场强大，稀疏处场强小
证明,设：电场中任意两个相邻等势面之间的电势差为一定的值，按这一规定画出等势面图（见图），以点电荷为例，其电势为
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微分因为相邻等势面电势差为一定值,所以有
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半径之差 ∝ r2
定值
2
1
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E 越大 越密 等势面间距越小 越小越小
E 越小 越稀 等势面间距越大 越大越大
，，，
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2
2
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2004.2,北京大学物理学院王稼军编写电势梯度
场有分布，沿各方向存在不同的方向微商
梯度：最大的方向微商
如 速度梯度 温度梯度等
沿?l的方向微商可以表示为
l
U
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lim
若取垂直方向，即场强方向?n，则沿该方向的方向微商为显然nUnU
on?
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c o s,c o s1 nUlUlUnU 或有 n
U
l
U
2004.2,北京大学物理学院王稼军编写结论,两等势面间 U沿 Δn 方向的变化率比沿其他任何方向的变化率都大
电势梯度
方向,沿电势变化最快的方向
大小：
n
U
在三微空间
n
U
g ra d UU 或?
电势梯度与场强的关系
nEldEU Q
P
n
U
n
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n?
0
lim
Δn 很小，
场强 E变化不大
2004.2,北京大学物理学院王稼军编写
E总是沿着指向电势减少的方向 —— E与 Δn相反
在数学场论中把
)( g r a d UUE k
z
j
y
i
x?
矢量微分算符 直角坐标系表示称作梯度:U?
称作散度:A
称作旋度:A
例题
2004.2,北京大学物理学院王稼军编写静电场的基本方程的微分形式
数学场论公式体积分面积分
S V
dVd ASA
面积分线积分 SAlA dd
SL
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对静电场方程积分形式进行变换可以得到一组静电场的 基本微分方程
2004.2,北京大学物理学院王稼军编写
000
1
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拉普拉斯方程0若泊松方程,得
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场方程的微分形式静电场的基本微分方程
