§ 3.高斯定理习题
p73 1-14,15,16,17,20
2004.2,北京大学物理学院王稼军编写电力线、通量
为什么要研究通量、环流？
对象变导致一系列深刻的变化 —— 不仅规律的形式，而且规律的性质发生变化研究范畴 对象 规律 规律的性质牛顿力学 质点、刚体、连续体 可逆 决定论热学 大量分子构成的群体 不 可逆性 非决定论引入熵 概率论
表明研究对象变化,规律性质发生变化,
会有相应的数学手段的引入
如牛顿研究引力的同时提出了微积分
2004.2,北京大学物理学院王稼军编写场是一定空间范围内连续分布的客体
温度 T 温度分布 —— 温度场（标量场）
流速 v 流速分布 —— 流速场（矢量场）
电荷产生的场具有什么性质？
已知电荷可以根据场强定义和叠加原理求场分布
已知场分布也可求得其他带电体在其中的运动
物理学家不满足于这些,各种各样的电荷的场分布五花八门，只是表面现象，其本质是什么？
期望从不同的角度揭示电场的规律性
经过探索通过与流体类比找到用矢量场论来描述电场
2004.2,北京大学物理学院王稼军编写流速场
有源（或汇）、有旋,两者兼而有之
0
0
0
0
0
lvSv
LS
d环流d通量
2004.2,北京大学物理学院王稼军编写类比
流线 —— 电力线
流量 —— 电通量
SdEE d SdS Ec o s?的通量通过d
物理意义：穿过 dS的电力线的根数
电通量与电场强度的关系？
定义电力线数密度：单位面积内电力线的根数令其等于该处电场强度的大小
人为定义
EdSdEE d SdNdS
dNE'
'
EdS?'
2004.2,北京大学物理学院王稼军编写任意曲面
规定：
取闭合面外法线方向为正,则
S
E SdE
任意闭合曲面
S
E SdE
0,2;0,2 EE dd
2004.2,北京大学物理学院王稼军编写高斯定理 p22
立体角定义
内S
i
S
E qSdE
0
1
通过任意闭合曲面的电通量 Gauss
面
Gauss面上的场强,是所有电荷产生的场面内电量的代数和,与面外电荷无关
）球面度(?' 22 r drdSd Sr
2004.2,北京大学物理学院王稼军编写证明,从特殊到一般
点电荷 q被任意 球面 包围设 q >0，场具有球对称性
2
04
1
r
qE
0
2
0
2
0
4
1
4
1
q
dS
r
q
dS
r
q
E d SSdE
S
S SS
E
24 r?
一个点电荷所产生的电场，在以点电荷为中心的任意球面的电通量等于
0?
q
2004.2,北京大学物理学院王稼军编写点电荷 q被任意 曲面 包围
对整个闭合面 S有
dqr dqrSqd E
0
2
0
2
0 4
4
'
4
Sr
000 44
qdqdqd
SSS
EE
4
包围一个点电荷的任意曲面上的电通量等于
结果与电力平方反比律分不开 0?
q
2 rf
2004.2,北京大学物理学院王稼军编写闭合曲面不包围点电荷
闭合曲面不包围点电荷,
dS′与 dS所对的立体角 dd'
则电通量也有 EE'
对于闭合面 S’+S，总通量为 0
E
结论：通过不包围点电荷的闭合曲面的电通量为零
2004.2,北京大学物理学院王稼军编写多个点电荷被任意闭合曲面包围
设带电体系由 n个点电荷组成,其中 k个在 闭合面内,
n-k个在 闭合面外
由场强叠加原理，通过闭合面的总通量为
内S
i
S
n
S
k
S
k
SS
E
qSdESdE
SdESdESdE
0
1
1
1
=0
2004.2,北京大学物理学院王稼军编写讨论,Gauss 定理说明
闭合面内的电荷决定通过闭合面的电通量,只要 S内 电荷不为零,则通量不为零 —— 有源
正电荷 —— 喷泉形成的流速场 —— 源
负电荷 —— 有洞水池中的流速场 —— 汇
闭合 面外的电荷 虽然对通量没有贡献,但并不意味着不影响闭合面上的电场,高斯面上的场强是空间所有带电体所产生的
高斯定理是静电场的一条重要的定理,有其重要的理论地位,是静电场基本方程之一,它是由库仑定律导出的,反映了电力平方反比律,如果电力平方反比律不满足,则高斯定理也不成立 。
2004.2,北京大学物理学院王稼军编写
静电力是有心力，但高斯定理只给出了源和通量的关系，并没有反映静电场是有心力场这一特性，它只反映静电场性质的一个侧面（下一节还要讲另一个定理 —— 环路定理）
所以不能说高斯定理与库仑定律完全等价
若不添加附加条件（如场的对称性等），
无法从高斯定理导出库仑定理
电力平方反比律 —— 高斯定理
电荷间的作用力是有心力 —— 环路定理
2004.2,北京大学物理学院王稼军编写从 Gauss定理看 电场线 的性质
电场线疏的地方场强小，密的地方场强大
）管内无电荷(0c osc os 222111 SESEE
1
2
22
11
co s
co s
S
S
E
Eor
＝：－
电场线起始于正电荷或无穷远，止于负电荷或无穷远
2004.2,北京大学物理学院王稼军编写
Gauss定理应用列举
定理反映了静电场的性质 —— 有源场
提供求带电体周围的电场强度的方法
P24－ p29
球对称的电场
轴对称的电场
无限大带电平面的电场
2004.2,北京大学物理学院王稼军编写球对称的电场 p24
例题 6：求均匀带正电球壳内外的场强,设球壳所带电量为 Q,半径为 R
在球坐标下分析, EEEpE r,，~)(
球壳电荷均匀分布,围绕任一直径都是旋转不变 —— 场强分布也不变,但旋转时 E?
和 E?变 —— 只有 E?＝ 0和 E?＝ 0
只有径向分量 Er不为零,r相同 Er相同 ——
场呈球对称分布
2004.2,北京大学物理学院王稼军编写
根据场的对称性做高斯面
求出通过 Gauss面的通量
00
1
QqSdERr
S
i
S
E
内
2
0
2
44 r
QEErdSEE d S
SS
0
04 2
E
ErdSEE d SRr
SS
结论：球壳内 E=0； 球壳外 与点电荷场相同
2004.2,北京大学物理学院王稼军编写
P26例题 7
利用例题 6的结果，球外一样
在球内任意取半径为 r的 Gauss面
注意计算 r<R时，高斯面内所包围的电量为 体电荷
3
4' 3rq
e
)(
4
1
)(
4
1
3
0
2
0
Rr
R
Qr
Rr
r
Q
E
2004.2,北京大学物理学院王稼军编写轴对称的电场
p27例题 8求无限长均匀带电棒外的场强分布
在柱坐标下分析
作平面 П1和 П2
柱体对 П1镜像反射变换是不变的 —— 场分布也不变
但此变换下 Eφ分量反向，只有 Eφ＝ 0
柱体对 П2镜像反射变换是不变的 —— 场分布也不变
但此变换下 Ez分量反向，只有 Ez＝ 0
剩下唯一不可能等于 0的分量只有 Er
无限长圆柱体具有沿 z方向的平移不变性
—— 等 r处 Er相等 —— 轴对称性
2004.2,北京大学物理学院王稼军编写设棒上线电荷密度为 +?e
作高斯面 —— 以细棒为对称轴的圆柱（ l长）
求出通过 Gauss面的通量
00
1
lqSdE e
S
i
S
E
内
r l ESdESdESdE?2
侧面下底上底
E⊥ dS E 是常数
r
E e?
02
1?
2004.2,北京大学物理学院王稼军编写无限大带电平面的电场
设带电板的面电荷密度为 +?e
对称性分析
在直角坐标下分析
对 yz平面,镜像反射变换不变,场也不变
—— Ex=0
对 zx平面 镜像反射变换不变，场也不变
—— Ey=0
只有 Ez不为零，
无限大平面自身具有平移不变性,Ez与场点的坐标无关
2004.2,北京大学物理学院王稼军编写
结论：均匀带电的无限大平面板产生的场强大小与场点到平面的距离无关
图示 c板间场强为何？
EΔS
00
1
SqSdE e
S
i
S
E
内
SESdESdESdE 2
侧面下底上底方向如图,2
0?
eE
2004.2,北京大学物理学院王稼军编写讨论,
以上三例电荷分布分别具有球对称性、轴对称性、
面对称性，电荷分布的对称性决定了场的对称性。
用 Gauss定理可以计算具有强对称性场的场强
通量要好算
注意选取合适的 Gauss面
Gauss定理可以和场强叠加原理结合起来运用，
计算各种球对称性、轴对称性、面对称性的场。
上述三个例子的结论可以作为已知结论运用,例如
求两块无限大带电平面板的场分布
求均匀带电球体内外的场分布
求均匀带电的无限长圆柱内外场分布
整体不具有对称性,但局部具有对称性的电荷分布的电场,可以分别求出场强再叠加
p73 1-14,15,16,17,20
2004.2,北京大学物理学院王稼军编写电力线、通量
为什么要研究通量、环流？
对象变导致一系列深刻的变化 —— 不仅规律的形式，而且规律的性质发生变化研究范畴 对象 规律 规律的性质牛顿力学 质点、刚体、连续体 可逆 决定论热学 大量分子构成的群体 不 可逆性 非决定论引入熵 概率论
表明研究对象变化,规律性质发生变化,
会有相应的数学手段的引入
如牛顿研究引力的同时提出了微积分
2004.2,北京大学物理学院王稼军编写场是一定空间范围内连续分布的客体
温度 T 温度分布 —— 温度场（标量场）
流速 v 流速分布 —— 流速场（矢量场）
电荷产生的场具有什么性质？
已知电荷可以根据场强定义和叠加原理求场分布
已知场分布也可求得其他带电体在其中的运动
物理学家不满足于这些,各种各样的电荷的场分布五花八门，只是表面现象，其本质是什么？
期望从不同的角度揭示电场的规律性
经过探索通过与流体类比找到用矢量场论来描述电场
2004.2,北京大学物理学院王稼军编写流速场
有源（或汇）、有旋,两者兼而有之
0
0
0
0
0
lvSv
LS
d环流d通量
2004.2,北京大学物理学院王稼军编写类比
流线 —— 电力线
流量 —— 电通量
SdEE d SdS Ec o s?的通量通过d
物理意义：穿过 dS的电力线的根数
电通量与电场强度的关系？
定义电力线数密度：单位面积内电力线的根数令其等于该处电场强度的大小
人为定义
EdSdEE d SdNdS
dNE'
'
EdS?'
2004.2,北京大学物理学院王稼军编写任意曲面
规定：
取闭合面外法线方向为正,则
S
E SdE
任意闭合曲面
S
E SdE
0,2;0,2 EE dd
2004.2,北京大学物理学院王稼军编写高斯定理 p22
立体角定义
内S
i
S
E qSdE
0
1
通过任意闭合曲面的电通量 Gauss
面
Gauss面上的场强,是所有电荷产生的场面内电量的代数和,与面外电荷无关
）球面度(?' 22 r drdSd Sr
2004.2,北京大学物理学院王稼军编写证明,从特殊到一般
点电荷 q被任意 球面 包围设 q >0，场具有球对称性
2
04
1
r
qE
0
2
0
2
0
4
1
4
1
q
dS
r
q
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r
q
E d SSdE
S
S SS
E
24 r?
一个点电荷所产生的电场，在以点电荷为中心的任意球面的电通量等于
0?
q
2004.2,北京大学物理学院王稼军编写点电荷 q被任意 曲面 包围
对整个闭合面 S有
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0
2
0
2
0 4
4
'
4
Sr
000 44
qdqdqd
SSS
EE
4
包围一个点电荷的任意曲面上的电通量等于
结果与电力平方反比律分不开 0?
q
2 rf
2004.2,北京大学物理学院王稼军编写闭合曲面不包围点电荷
闭合曲面不包围点电荷,
dS′与 dS所对的立体角 dd'
则电通量也有 EE'
对于闭合面 S’+S，总通量为 0
E
结论：通过不包围点电荷的闭合曲面的电通量为零
2004.2,北京大学物理学院王稼军编写多个点电荷被任意闭合曲面包围
设带电体系由 n个点电荷组成,其中 k个在 闭合面内,
n-k个在 闭合面外
由场强叠加原理，通过闭合面的总通量为
内S
i
S
n
S
k
S
k
SS
E
qSdESdE
SdESdESdE
0
1
1
1
=0
2004.2,北京大学物理学院王稼军编写讨论,Gauss 定理说明
闭合面内的电荷决定通过闭合面的电通量,只要 S内 电荷不为零,则通量不为零 —— 有源
正电荷 —— 喷泉形成的流速场 —— 源
负电荷 —— 有洞水池中的流速场 —— 汇
闭合 面外的电荷 虽然对通量没有贡献,但并不意味着不影响闭合面上的电场,高斯面上的场强是空间所有带电体所产生的
高斯定理是静电场的一条重要的定理,有其重要的理论地位,是静电场基本方程之一,它是由库仑定律导出的,反映了电力平方反比律,如果电力平方反比律不满足,则高斯定理也不成立 。
2004.2,北京大学物理学院王稼军编写
静电力是有心力，但高斯定理只给出了源和通量的关系，并没有反映静电场是有心力场这一特性，它只反映静电场性质的一个侧面（下一节还要讲另一个定理 —— 环路定理）
所以不能说高斯定理与库仑定律完全等价
若不添加附加条件（如场的对称性等），
无法从高斯定理导出库仑定理
电力平方反比律 —— 高斯定理
电荷间的作用力是有心力 —— 环路定理
2004.2,北京大学物理学院王稼军编写从 Gauss定理看 电场线 的性质
电场线疏的地方场强小，密的地方场强大
）管内无电荷(0c osc os 222111 SESEE
1
2
22
11
co s
co s
S
S
E
Eor
＝：－
电场线起始于正电荷或无穷远，止于负电荷或无穷远
2004.2,北京大学物理学院王稼军编写
Gauss定理应用列举
定理反映了静电场的性质 —— 有源场
提供求带电体周围的电场强度的方法
P24－ p29
球对称的电场
轴对称的电场
无限大带电平面的电场
2004.2,北京大学物理学院王稼军编写球对称的电场 p24
例题 6：求均匀带正电球壳内外的场强,设球壳所带电量为 Q,半径为 R
在球坐标下分析, EEEpE r,，~)(
球壳电荷均匀分布,围绕任一直径都是旋转不变 —— 场强分布也不变,但旋转时 E?
和 E?变 —— 只有 E?＝ 0和 E?＝ 0
只有径向分量 Er不为零,r相同 Er相同 ——
场呈球对称分布
2004.2,北京大学物理学院王稼军编写
根据场的对称性做高斯面
求出通过 Gauss面的通量
00
1
QqSdERr
S
i
S
E
内
2
0
2
44 r
QEErdSEE d S
SS
0
04 2
E
ErdSEE d SRr
SS
结论：球壳内 E=0； 球壳外 与点电荷场相同
2004.2,北京大学物理学院王稼军编写
P26例题 7
利用例题 6的结果，球外一样
在球内任意取半径为 r的 Gauss面
注意计算 r<R时，高斯面内所包围的电量为 体电荷
3
4' 3rq
e
)(
4
1
)(
4
1
3
0
2
0
Rr
R
Qr
Rr
r
Q
E
2004.2,北京大学物理学院王稼军编写轴对称的电场
p27例题 8求无限长均匀带电棒外的场强分布
在柱坐标下分析
作平面 П1和 П2
柱体对 П1镜像反射变换是不变的 —— 场分布也不变
但此变换下 Eφ分量反向，只有 Eφ＝ 0
柱体对 П2镜像反射变换是不变的 —— 场分布也不变
但此变换下 Ez分量反向，只有 Ez＝ 0
剩下唯一不可能等于 0的分量只有 Er
无限长圆柱体具有沿 z方向的平移不变性
—— 等 r处 Er相等 —— 轴对称性
2004.2,北京大学物理学院王稼军编写设棒上线电荷密度为 +?e
作高斯面 —— 以细棒为对称轴的圆柱（ l长）
求出通过 Gauss面的通量
00
1
lqSdE e
S
i
S
E
内
r l ESdESdESdE?2
侧面下底上底
E⊥ dS E 是常数
r
E e?
02
1?
2004.2,北京大学物理学院王稼军编写无限大带电平面的电场
设带电板的面电荷密度为 +?e
对称性分析
在直角坐标下分析
对 yz平面,镜像反射变换不变,场也不变
—— Ex=0
对 zx平面 镜像反射变换不变，场也不变
—— Ey=0
只有 Ez不为零，
无限大平面自身具有平移不变性,Ez与场点的坐标无关
2004.2,北京大学物理学院王稼军编写
结论：均匀带电的无限大平面板产生的场强大小与场点到平面的距离无关
图示 c板间场强为何？
EΔS
00
1
SqSdE e
S
i
S
E
内
SESdESdESdE 2
侧面下底上底方向如图,2
0?
eE
2004.2,北京大学物理学院王稼军编写讨论,
以上三例电荷分布分别具有球对称性、轴对称性、
面对称性，电荷分布的对称性决定了场的对称性。
用 Gauss定理可以计算具有强对称性场的场强
通量要好算
注意选取合适的 Gauss面
Gauss定理可以和场强叠加原理结合起来运用，
计算各种球对称性、轴对称性、面对称性的场。
上述三个例子的结论可以作为已知结论运用,例如
求两块无限大带电平面板的场分布
求均匀带电球体内外的场分布
求均匀带电的无限长圆柱内外场分布
整体不具有对称性,但局部具有对称性的电荷分布的电场,可以分别求出场强再叠加
