绪 论 1．教学目标 1）．了解本课程的性质、内容、任务和学习方法 2）．掌握机器、机构、构件、零件等几个概念； 3）.了解机械设计的一般程序 4).掌握几个静力学公理与推论及其应用 2．教学重点和难点 重点：机器、机构、构件、零件、力等几个概念,公理2、3 难点：构件与零件的区别，三力平衡汇交定理 3．教学手段与方法： 多媒体、实物 4.讲授学时：2学时 0.1-0.3本课程的研究对象、内容、性质任务和学习方法 1. 研究对象： 本课程以各种机械中的常用机构及通用零部件为研究对象。 2. 内 容：本教材内容共包括两篇： 第一篇为组成平面机构的构件在载荷作用下的静力分析的基本理论；组成构件的各类零件承载能力的分析与计算。 第二篇主要介绍各种常用平面机构的结构组成、工作原理、运动特点及设计；各种常用机械零部件的结构特点、工作原理、材料和设计计算等。 3.性质:本课程是一门专业技术基础课，理论性、实践性比较强，是后继专业课程学习的重要技术基础。 4.任务: 通过对本课程的学习，学生应达到以下基本要求： 1）.熟练掌握静力分析的基本理论和基本计算方法，零件承载能力的分析与计算方法，能解决日常生活和工作实际中的有关构件的强度计算等问题。 2）.熟悉常用机构的结构特点、工作原理及应用等基本知识，并具有初步分析和设计常用机构的能力。 3）.掌握通用零、部件的类型、工作原理、失效形式、设计准则和设计方法，初步具有对一般工作条件和常用参数范围内的通用零、部件进行设计的能力。 4）.使学生获得机械设计实验、设计简单机械及传动装置的基本技能。 5）．使学生具有运用标准、规范、手册、图册等相关技术资料的能力。 5.学习方法： 1）．注意理论联系实际，学以致用，把知识学活。 2）.注意本课程内容的内在联系，抓住基本知识和设计两条主线。 3）．本课程的实践性较强，而常常采用经验参数、经验公式。 4）．本课程的一些计算结果不具有唯一性。 5）．注意重视结构设计。 4 机器的组成及相关概念 一、几个概念： 任何一种机器都是为实现某种功能而设计制造的。例如图0.1内燃机、图0.2颚式破碎机，尽管机器的功能、结构、工作原理也各不相同，但机器都具有一些共同的特征。 1．机器三个共同的特征： (1)都是人为的实物组合； (2)各实物之间具有确定的相对运动； (3)他们都能代替或减轻人类的劳动，去实现能量转换或完成机械功。 2.机器的功能组成 机器基本都由五个共同的部分组成，即：动力部分、传动部分、执行部分、控制部分和辅助部分。 3.机器定义：机器是转换或传递能量、物料和信息，执行机械运动，部分代替或减轻人的脑力或体力劳动的一种设备。 0．4．2 几个相关概念 与机器一词相关的概念有：机械、机构、构件、零件等。 4.机构：(1)都是人为的实物组合； (2)各实物之间具有确定的相对运动； 5.机械：工程上习惯将机器与机构统称为机械。 6.构件：构件是机械中最基本的运动单元，如图0.3、0.4中的连杆等。 7.零件：零件是机械中最基本的制造单元，每个零件都具有不可拆卸、不可再分的特性，如图0.3。  图0.3 整体式曲轴 图0.4 刚性组合式连杆 1—连杆体2—螺栓3—连杆盖4—螺母4 8、部件：在机器中，对于一套协同工作且完成共同任务的零件组合，称为部件。 9部件分类：部件也分为通用部件和专用部件，如减速器、轴承等属于通用部件；模具中的型芯、型腔等则属于专用部件。 0.5机械设计的基本要求和一般程序 基本要求：满足预期使用功能，经济性能好、生产效率高、制造成本低、采用新技术、造型美观和满足特殊要求 设计的一般程序：完成某种需要而萌生设计理念，设计、制造、鉴定、产品定型和批量生产等一系列过程。这就是机械设计的一般程序。 第一章 静力学基础 概述: 研究对象:平衡状态的刚体或刚体系统 研究内容:①物体的受力分析； ②力系的简化； ③物体在力系作用下处于平衡的条件及其在工程实践中的应用。 刚体：在外力作用下，大小和形状保持不变的物体。静力学中研究的物体均可视为刚体。 平衡:是指物体相对于惯性参考系(如地面)保持静止或作匀速直线运动的情形。如桥梁、高层建筑物、作匀速直线飞行的飞机等等都处于平衡状态。平衡是物体机械运动的一种特殊形式。 1静力学的基本概念 1．1．1 力的三要素及力的表示法 力的定义:力是物体间的相互机械作用，这种作用使物体的运动状态或形状发生改变。 力的作用效应表现在两个方面： (1)外效应(运动效应)——使物体的运动状态发生变化； (2)内效应(变形效应)——使物体的形状发生变化。 静力学研究的是力对物体的外效应。 力的三个要素：力的大小、方向、作用点，因此力是定位矢量。单位牛顿(N)。  图1.1 1．1．2 力系及其分类 力系定义:作用在物体上的一组力，称为力系。 力系分类: 按照力系中各力作用线在空间分布的不同形式分为: (1)汇交力系 各力作用线相交于一点； (2)平行力系 各力作用线相互平行； (3)任意力系 各力作用线既不相交于一点，又不相互平行。 按各力作用线是否位于同一平面内分又可分为： 平面力系和空间力系两类 等效力系 :两个不同的力系，如果对同一物体产生相同的外效应，则该两力系互为等效力系。若一个力与一个力系等效，则这个力称为该力系的合力。 1.2 静力学公理 人们在长期的生活和生产实践中，对力的基本性质进行了概括和归纳，提出了能深刻反映力的本质的一般规律，其正确性已为长期的实践反复验证，并为人们所公认，故称之为静力学公理，它们是静力学的理论基础。 公理1 二力平衡公理 公理内容： 作用在刚体上的两个力，使刚体保持平衡的必要和充分条件是：这两个力大小相等、方向相反，且作用在同一直线上(如图1.2所示)。即 F1=－F2 二力体:习惯上，将仅在两点受力作用而处于平衡的刚体，称为二力体。如果它是杆件则称为二力杆，如果是结构中的构件则称为二力构件。如图1.3a所示构件BC，不计其自重时，就可视为二力构件，其受力如图1.3b所示。  图1.3 公理2 加、减平衡力系公理 在已知力系上加上或减去任意平衡力系，并不改变原力系对刚体的作用效应。 该公理适用对象：刚体。 推论1 力的可传性 1.内容： 作用于刚体上某点的力，可以沿着它的作用线移动到刚体内任意一点，并不改变该力对刚体的作用效应。 2.证明：设有力F作用在刚体上的点A，如图1.4a所示将原来的力F沿其作用线由点A移到了点B。  图1.4 公理3 力的平行四边形法则 内容：作用在物体上同一点的两个力，可以合成为一个合力；合力的作用点也在该点，合力的大小和方向，由这两个力为边构成的平行四边形的对角线确定，如图1.5a所示。或者说，合力矢等于这两个力矢的几何和，即 FR =F1+F2  图1.5 该公理既是力的合成法则，也是力的分解法则，是较复杂力系简化的基础。 力三角形法则:如图1.5b所示.应用力三角形法则求解力的大小和方向时，可应用数学中的三角公式或在图上按比例直接量出。 推论2 三力平衡汇交定理 1. 内容： 刚体受三力作用而平衡，若其中的两个力的作用线汇交于一点，则三力必在同一平面内，且第三个力的作用线通过汇交点。 2.证明：如图1.6所示。  图1.6 公理4 作用和反作用定律 作用力和反作用力总是同时存在，两力的大小相等、方向相反、沿着同一直线，分别作用在两个相互作用的物体上。 注意:虽然作用力与反作用力两者等值、反向、共线，但它们是分别作用在两个不同的物体上，因此，不能把它们看成是一对平衡力。 总结：通过本次课程学习，一定要掌握刚体、平衡、力等概念；也要掌握四个公理及两个推论，这是学习后续内容的基础。 作业：p5 习题0.1、03 p43 习题1、2 约束和约束反力 1．教学目标 1）掌握工程上常见的几种约束类型及其约束力的画法 2）掌握物体及物体系的受力图画法 2．教学重点和难点 重点：四种约束类型及其约束力、物体的受力图 难点：二力杆的判断、外力与内力的区分 3．教学手段与方法： 多媒体、实物 4.讲授学时：4学时 复习 1.三个概念： 平衡的概念、刚体的概念、力的概念 2.四个静力学公理 （1）二力平衡公理 （2） 加减平衡力系公理 （3）力的平行四边形法则 （4）作用与反作用定律 ３、两个推论 （1）力的可传性原理 （2）三力平衡汇交定理 1.3 约束和约束反力 一、几个概念 1、自由体：物体能在空间做任意运动，他们的位移不受任何限制。如天空中飞行的飞机、鸟等。 2、非自由体：物体总是以一定的形式与周围其他物体相互联系，即物体的位移要受到周围其他物体的限制。如用绳悬挂的灯可向上、前、后、左、右运动，但不能向下运动，转轴要受到轴承的限制。 3、约束和约束反力 约束定义：能限制某些物体运动的其它物体。 约束反力(反力)：约束对被约束物体的作用力。 反力的作用点：约束与被约束物体的接触点 反力的方向：总是与该约束所能限制的运 动方向相反 反力的大小：总是未知的。在静力学中可以利用相关平衡条件求出。 下面介绍几种工程中常用的约束类型，并分析其约束反力的特点。 1．3．l 柔索约束 工程中常见柔索：钢丝绳、三角带、链条等。 约束特点：柔软易变形，只能承受拉，不能承受压。柔索约束只能限制非自由体沿约束伸长方向的运动而不能限制其它方向的运动。 约束反力FT 只能是拉力，作用在与非自由体的接触点处，作用线沿柔索背离非自由体。 举例：图1.7   图1.7 1．3．2 光滑接触面约束 约束特点：无论两物体间的接触面是平面还是曲面，只能承受压而不能承受拉，只能限制物体沿接触面法线方向的运动而不能限制物体沿接触面切线方向的运动。 约束反力FN ：垂直于接触处的公切面，而指向非自由体。 如图1.8中的FNA、FNB、FNC、FN所示。  图1.8 １.3．3 光滑圆柱铰链约束 约束特点：两非自由体相互联接后，接触处的摩擦忽略不计，只能限制两非自由体的相对移动，而不能限制两非自由体的相对转动的约束，包括中间铰链约束、固定铰链约束和活动铰支座三种类型。 约束反力FN ：通过铰链中心，大小、方向均未确定。一般用一对通过铰链中心，大小未知的正交分力来表示。但其中二力构件、活动铰支座的反力方向是可以确定的。 如图1.9a。在实际受力分析时，可利用力的正交分解将该约束反力表示为两个正交分力Fx和Fy，如图1.9b所示。  光滑圆柱铰链有以下不同的结构。 1.固定铰支座 如图1.10。   图1.10 图1.11 2.可动铰支座 若在由圆柱铰链构成的支座与光滑支承面之间装有辊轴，就构成辊轴支座或可动铰支座。其约束反力垂直于光滑支承面，如图1.11a所示。图1.11b、c为可动铰支座的简化画法。 3.中间铰链 将两个构件用圆柱铰链连接在一起成为中间铰链，其约束反力一般也用两个正交分量表示。如图1.10中A所示。 二力杆：在工程结构中，两端用光滑铰链与其它物体连接起来的刚杆，如果不计杆的自重且杆上无其它主动力的作用，若杆处于平衡状态，则该刚杆是二力杆。 1．3．4 光滑球形铰链约束 约束特点：空间铰链约束。 约束反力FN ：过接触点，一定通过球心，但方向不确定。 通常将球形铰链的约束反力表示为正交的三个分力Fx、 Fy、Fz，如图1.12所示。  图1.12 l．4 物体的受力分析 受力图 一、几个概念： 在工程实际中，常常需要对结构系统中的某一物体或几个物体进行力学计算。首先要确定研究对象，然后对它进行受力分析。即分析研究物体受那些力的作用，并确定每个力的大小、方向和作用点。即： 1、研究对象：我们把所研究的物体称为研究对象 2、分离体：解除约束后的自由物体。 3、受力图：在分离体上画上它所受的全部主动力和约束反力，就称为该物体的受力图。 4、内力与外力 　如果所取的分离体是由某几个物体组成的物体统时，通常将系统外物体对物体系统的 作用力称为外力，而系统内物体间相互作用的力称为内力。 二、受力图 1.画受力图的具体步骤： 画受力图是求解静力学问题的重要步骤。恰当地选取研究对象，正确地画出构件的受力图是解决力学问题的关键。画受力图的具体步骤如下： 1）.明确研究对象，画出分离体； 2）.在分离体上画出全部主动力； 3）.在分离体上画出全部约束反力。 2.应用举例 例1—1 简支梁AB的A端为固定铰支座， B端为活动铰支座，并放置在斜坡角为θ的支承面上，其上受有主动力P，Q作用，如图1.13a所示。试画出梁的受力图，梁的自重不计。  图1.13 解：(1)取梁AB为研究对象，除去约束画出其分离体。 (2)画主动力。有P和Q两力。 (3)画约束反力梁AB的受力图如图1.13b所示。 例1—2 折梯的AB、AC两部分在A处用中间铰链连接，并在D、E两点用水平绳子相连，梯子左侧站有一人重量为FP，如图1.14a所示。不计梯子自重和接触面的摩擦，试画AB、AC的受力图。  图1.14 折梯 例1—3 图1.15a所示的结构由杆AC、CD与滑轮B铰接组成。物体重W，用绳子挂在滑轮上。如杆、滑轮及绳子的自重不计，并忽略各处的摩擦，试分别画出滑轮B(包括绳索)、杆AC、CD及整个系统的受力图。  图1.15 解：(1)以滑轮及绳索为研究对象，画出分离体图。其受力图如图1.15c所示。 (3)以AC杆(包括销钉)为研究对象，画出分离体图。其受力图如图1.15d所示。 (4)以整个系统为研究对象，画出分离体图。系统所受的外力有：主动力W，约束反力FSD、FTE、FAx及FAy。其受力图如图1.15e所示。 注意：1）画受力图时一定要分清内力与外力，内力总是以等值、共线、反向的形式存在，故物体系统内力的总和为零。因此，取物体系统为研究对象画受力图时，只画外力，而不画内力。 2）二力杆、三力杆的判断 综上所述，要正确地画出受力图，必须熟练掌握以下几点： (1)根据题意选择恰当的研究对象。可以取单个物体为研究对象，也可以取由几个物体组成的系统为研究对象。这一点在学习了用平衡方程求解力学问题后，会有更深刻的体会。 (2)根据已知条件，画出全部主动力。 (3)根据约束的类型，画出相应的约束反力。一个物体往往同时受几个约束的作用，应根据每个约束的特征确定约束反力的个数(一个力、两个正交分力或三个正交分力)和方位。 学生练习题  作业：p43习题3、4、5 平面力对点之矩 合力矩定理 1．教学目的 1）熟悉力矩的概念，掌握合力矩定理 2）掌握力偶的性质及力偶系的合成方法 3）掌握力偶系作用下物体的平衡条件及其应用 2．教学重点和难点 重点：力矩的计算，合力矩定理，力偶系作用下物体的平衡条件及其应用 难点：合力矩定理的应用，力偶的性质 3．教学手段与方法： 多媒体、实物 4.讲授学时：2学时 1.5.1力矩：如图1.16所示 1.力矩定义：力使刚体绕某点的转动效应的量度则称为力对点之矩 ，简称力矩。 2.力矩的表示：力矩的矩心O、力臂d 大小、转向、作用面 3. 力矩的计算公式：  图1.16 力对点之矩是一个代数量 正负号规定：力使物体绕矩心逆时针方向转动时为正，反之为负 量纲单位：牛顿.米[N.m]或千牛.米[kN.m] 注意：1）、力矩是相对某一矩心而言的，离开了矩心，力矩就没有意义。而矩心的位置可以是力作用面内任一点，并非一定是刚体内固定的转动中心。 2）、从几何上看，力F对点O的矩在数值上等于△OAB面积的两倍，见图1.16。当力沿作用线移动时，力对点之矩保持不变；当力的作用线过矩心，则它对矩心的力矩为零。 1.5.2 合力矩定理 合力矩定理：力系中的合力对某点O之矩等于该力系中各分力对同一点之矩的代数和。即  其作用：合力矩定理建立了合力对点之矩与分力对同一点之矩的关系。它提供了计算力对点之矩的另一种方法，此外它还可用于确定力系合力作用线的位置。 例1—4 一齿轮受到与它相啮合的另一齿轮的作用力Fn=980N，压力角为α=20°，节圆直径D=160mm，如图1.17a所示。试求力Fn对齿轮轴心O之矩。 解：（1）应用力矩的计算公式 力臂：  由式(1—2)得力Fn对点O之矩  图1.17 负号表示力Fn使齿轮绕点O作顺时针方向转动。 (2)应用合力矩定理 将力Fn分解为圆周力Ft和径向力Fr，如图1.16b所示，则 ， ， 根据合力矩定理  因为径向力Fr过矩心O，故Mo(Fr)=0,于是  二者结果相同，在工程中齿轮的圆周力和径向力常常是分别给出的，故方法(2)用得较为普遍。另外，在计算力矩时，若力臂的大小不易求得时，也常用合力矩定理。 6平面力偶理论 力偶与力偶矩 1.定义：两个大小相等，方向相反，且不共线的平行力组成的力系称为力偶。 2.力偶的表示法：书面表示（F，F’） 3.图示：如图1.19所示  4.力偶矩大小：力偶矩指力偶中力的大小与力偶臂的乘积，表示为  式中，d为力偶臂，指力偶中两个力之间的垂直距离，如图1.20a所示。 5.力偶矩的正负号规定：力偶逆时针转动为正，反之为负，如图1.20b所示。力偶矩的单位与力矩的单位相同。  图1.20 力偶矩a）力偶臂b）力偶的正负号 1. 6. 2 力偶的性质及力偶等效变换 1．力偶的性质 力偶中的单个力有着一般力的性质，但力偶作为力的特殊组合，使它对刚体的作用有着如下特殊的性质： （1）力偶无合力，不能简化为一个合力，即力偶不能与一个力等效，力偶只能与力偶等效和平衡。 （2)力偶中的两个力对其作用面内任一点的矩，恒等于力偶矩，与矩心的位置无关，即 Mo(F)+Mo(F′)=M=±Fd （3）力偶的可移动性：（保持转向和力偶矩不变 （4）力偶的可改装性：（保持转向和力偶矩不变） 力偶作用面指力偶中的两个力所在的平面。 2．力偶的等效变换 (1)同一平面内力偶的等效变换 只要保持力偶矩大小和力偶的转向不变，作用于刚体上的力偶可以在其作用面内任意移动或转动，或同时改变力和力偶臂的大小而它对刚体的效应不变。 (2)平行平面内的等效变换 力偶在同一刚体上可以搬移到与其作用面相平行的平面内，而不改变其对刚体的效应。 两力偶等效的条件为：①力偶矩大小相等；②力偶作用面平行；③力偶转向相同。 1.6.3 平面力偶系的合成 定义： 两个或两个以上力偶组成的力系称为力偶系。力偶系合成的结果只能是力偶而不是力，这个力偶称为合力偶。 证明：设有平面力偶系(Fl，Fl′)、(F2， F2′)、(F3 ， F3′)，它们的力偶臂分别为d1、d2 、d3，如图1.24所示。  图1.24 平面力偶系的合成 合成结论：平面力偶系可以合成为一个合力偶，其矩为  注意：M1、M2、M3在代入数值时，逆时针转向的代正值，顺时针转向的代负值。 例1—6 要在汽车发动机气缸盖上钻四个相同直径的孔，如图1.25 所示。估计钻每个孔的切削力偶矩为M1＝M2＝M3＝M4＝-20N·m。若用多轴钻床同时钻这四个孔时，工件受到的总切削力偶矩有多大?  图1.25 汽缸盖 解：作用于气缸盖上的四个力偶位于同一平面内，各力偶矩大小相等、转向相同，则作用在工件上的合力偶矩为 M=∑Mi= M1+M2+M3+M4 ＝4×(-20)＝-80N·m 即合力偶矩大小为80N·m，按顺时针方向转动。 1.6.4．平面力偶系的平衡 平面力偶系平衡的必要和充分条件是所有各力偶矩的代数和等于零。即  例 1—7 图1.26a所示简支梁AB上，作用线相距为d=20cm的两反向平衡力F与F′和力偶矩为M的力偶的共同作用。若F=F′=100N，M=40N·m，θ=60°，梁长l= 1.6m，求支座A和B的约束反力。  解： 取梁AB为研究对象，因为梁只受主动力偶作用，而力偶只能用力偶来平衡，故两支座反力必构成一新力偶。现已知FNB的方向，则FNA应与FNB平行且反向，如图1.26b所示，由平面力偶系的平衡条件 ， 得  解得：  即 ，方向如图1.26b所示。 作业：p45 7 1.7平面汇交力系的合成与平衡 1．教学目的 1）掌握汇交力系合成的几何法与解析法 2）掌握汇交力系平衡的条件及其实际应用 3）合力投影定理及其应用 2．教学重点和难点 重点： 平衡的条件及其实际应用 难点：解析法合成时分力的符号问题 3．教学手段与方法： 课堂讲授与多媒体相结合 4.讲授学时：4学时 平面汇交力系定义：平面力系中，若各个力的作用线均汇交于一点，称为平面汇交力系。 1.7.1平面汇交力系的合成和简化 平面汇交力系可以合成为一个合力。平面汇交力系可以由两个、三个甚至更多的汇交力组成，由两个汇交力组成的汇交力系是最简单的汇交力系，平面汇交力系的合成和简化的方法有几何法和解析法。 1.平面汇交力系合成的几何法 （1）两个汇交力的合成 如图1.28所示，作用在物体上的任意两个不平行的力F1和F2，根据力的可传性原理将其沿作用线移至汇交点O，从而成为汇交力系。用力三角形法来合成：由F1、F2和FR组成的三角形OBC称为力三角形。  图1.28 力三角形法 （2）任意个汇交力的合成——力多边形法 可以连续使用“力三角形法”来求任意个汇交力的合力。如图1.29所示力系，合成得如图1.30所示多边形。 合成的结果用矢量式表示为 FR=F1+F2+F3+…+Fn=∑Fi 由力F1，F2,F3，…，Fn和合力FR构成的多边形称为“力多边形”，代表合力FR的边称力多边形的封闭边，这种求合力的方法称为“力多边形法”。 图1.29 图1.30 力多边形作法 图1.31 力的分解多答案性 2.平面汇交力系合成的解析法 （1）力的分解 如图1.31所示，以合力FR为对角线可作出多个平行四边形，因此须事先确定分解合力的作用线方位。 图1.33力在坐标轴上的投影 （2）力在坐标轴上的投影 定义： 设力F作用在物体上A点，如图1.33所示，在力F的作用线所在平面内取一直角坐标系 xOy，过力F的始点A和终点B分别向x轴引垂线，得到垂足a、b，则线段ab称为力F在x轴的投影，用Fx表示。 投影正负号规定：力在坐标轴上的投影是代数量，其正负号规定如下：由a到b的方向与x轴正向一致时，力的投影为正：反之为负。 投影大小：若已知力F的大小及力F与x轴的夹角α(取锐角)，则力F在x、y轴上的投影可按下式计算： } （1—6） 若已知力F在x、y轴上的投影Fx、Fy，则力F的大小和方向分别表示为  (1—7)  (1—8) α角是锐角，至于F画在第几象限由Fx、Fy的符号决定。 （3）合力投影定理 定义：合力在某一直角坐标轴上的投影，等于各分力在同一轴上投影的代数和。 证明：如图1.34所示。  图1.34 合力投影定理 结论：  (1—9)  即合力FR在x、y轴上的投影，等于力系中各力在同一轴上投影的代数和。 （4）平面汇交力系合成的解析法方法步骤如下： 根据平面汇交力系的情况建立适当的坐标系。 求出力系中各力在两坐标轴上的投影Fx1、Fx2、…Fxn； Fy1、Fy2、…Fyn. 根据合力投影定理求出两坐标轴上所有投影的代数和   即为合力FR在x、y轴上的投影。 例1—9 用解析法求图1.35所示平面汇交力系的合力的大小和方向。已知F1=1.5 kN，F2=0.5kN，F3=0.25kN，F4=1kN。 解： 由式(1—9)计算合力FR在x，y轴上的投影分别为   故合力FR的大小为合力  合力FR的方向余弦为  可得 ：  因为FRx为正，FRy为负，故合力FR在第四象限，其作用线通过力系的汇交点O，如图1.35所示。  图1.35 1.7.2平面汇交力系的平衡条件及应用 1. 平面汇交力系平衡的几何条件 由力多边形法则知，平面汇交力系可用其合力等效替换，显然，平面汇交力系平衡的必要和充分条件是合力等于零。如果用矢量式表示，即  ∑Fi =0 （1—10） 结论：平面汇交力系平衡的必要和充分条件是该力系的力多边形自行封闭。 例1—10 减速器盖重G=800N，用两根铁链AB和AC吊起，如图1.36a所示，已知铁链与铅直线的夹角为=35°，°，试求箱盖平衡时铁链的拉力。 图1.36 减速器盖受力 解：选箱盖为研究对象，其受力分析如图1.36b所示，根据三力平衡汇交定理，此三力作用线必汇交于铁环的中心A，构成平面汇交力系。 根据平面汇交力系平衡的几何条件，这三个力构成一自行封闭的力三角形。如用作图法求解，可选力的比例尺如图，先画已知力G=，如图1.36c所示，过a，b两点分别作直线平行于FC 、、FB，这两直线相交于点c，得到力三角形△abc。FC 、、FB的指向应符合首尾相接的原则。按照图示比例尺，直接从力三角形上量得铁链的拉力为  本例的几何关系并不复杂，也可画出力三角形示意图后应用α，β这一已知条件，对力三角形△abc应用正弦定理，则有   由此例题可以看出：用几何法解题，各力之间的关系直观、清晰。但作图时应准确地画出各力的方向和已知力的大小，否则从图上量取的结果会产生较大的误差；由力三角形可知，在重力G不变的情况下，角α和β增大，铁链的拉力也随之增大。因此吊起重物时应将铁链放长一些，使角α和β小一些，这样铁链才不易被拉断。 2.平面汇交力系平衡的解析条件 由前面知，平面汇交力系平衡的必要和充分条件是：该力系的合力FR等于零。即：   此式即平面汇交力系的平衡方程，它表明：用解析式表示的平面汇交力系平衡的必要和充分条件是各力在两个坐标轴上投影的代数和分别等于零。平面汇交力系有两个独立的平衡方程。可以求解两个未知量。 用解析法求解平衡问题时，未知力的指向可先假设，若计算结果为正值，则表示所假设力的指向与实际受力情况相同；反之则相反。 例1—11 如图1.37a表示一简单的压轧设备，当在点A加力F时，物体M即受到比F大若干的力的挤压。设F=200N ，求当α=10°时物体M所受的压力。  图1.37 解：（1）物体M所受的力是由连杆AB传来的。因此先取销钉A为研究对象。求AB杆所受的力。 画出点A的受力图如图1.37b所示。这里AB、AC均为二力杆。 建立坐标系，列平衡方程，得   解得  （2）选取压板为研究对象，其受力图为1.37c。求P  解得  从上面的计算可知，将M逐渐压缩而α越来越小，压力将越来越大，从而将物体压紧。 3.通过上例分析，可归纳出解析法解题的主要步骤如下： (1)根据题意恰当地选取研究对象。 (2)分析研究对象的受力情况，正确地画出相应的受力图，较复杂的问题可能要多次选取研究对象进行分析计算。 (3)选取合适的投影轴，列出平衡方程求解未知量。在此应注意，所取投影轴无须相互正交，若取的投影轴与某未知力垂直，则相应的平衡方程就不会出现该未知力，可以避免求解联立方程，从而简化计算。 作业：p45习题6、9 1.8平面任意力系 1．教学目的 1）掌握力的平移定理 2）掌握平面任意力系向作用面内一点简化及四种结论的意义 3) 平面任意力系的平衡条件及其应用 2．教学重点和难点 重点：平面任意力系的平衡条件应用 难点： 力的平移定理的逆定理的应用 3．教学手段与方法： 课堂讲授与多媒体辅助教学 4.讲授学时：4学时 1.8.1 平面任意力系的简化 为了研究力系对刚体总的作用效果，首先讨论力的平移定理。 1. 力的平移定理 定理 作用在刚体上某一点的力F可以平移到刚体内任一点，但必须同时附加一个力偶，这个附加力偶的矩等于原来的力F对新作用点的矩。 证明：，应用加减平衡力系公理  图1.38 图1.39 由力的平移定理可知，平面内的一个力和一个力偶也可以合成为一个力。合成过程为图 1.38所示的逆过程。 实际工程意义：力的平移定理它建立了力与力偶这两个基本力学量之间的联系。例如用丝锥攻螺纹时，操作规程要求必须用两手同时握紧扳手，而且用力要均匀。 2 .平面任意力系向作用面内一点简化 设刚体上作用一平面任意力系（F1，F2，…，Fn）,如图1.40a所示，下面将该力系向平面内某一点进行简化。  图1.40 结论：得到一个主矢和一个主矩 主矢： FR′=Fi′=Fi （1—12） 在直角坐标轴上投影，可得   （1—13） 由此可求得主矢的大小和方向为：  式中，α为 FR′与轴x所夹的锐角，FR′的指向由Fx′，Fy′的正负号判定。 主矩：附加平面力偶系可以简化为一个合力偶，该力偶的矩等于各附加力偶矩的代数和，它称为原力系对点O的主矩，用MO表示，即  (1—15) 由简化过程不难看出，力系的主矢与简化中心的选取无关，而主矩一般随简化中心的不同而改变， 应用：分析平面固定端(插入端)支座的约束反力。例如，图1.41所示的梁。  图1.41 固定端约束受力 3.简化结果的讨论 (1)FR′=0，MO≠ 0则原力系与一力偶等效，此力偶称为平面力系的合力偶，其力偶矩等于主矩，即。由力偶的性质可知，这种情形主矩与简化中心的选取无关。 (2) FR′≠0 ，MO= 0，则原力系等效于作用线过简化中心的一个合力。合力矢FR由力系的主矢FR′确定，即FR=FR′。 (3) FR′≠0，MO≠ 0，这种情形还可以作进一步简化。根据力的平移定理知，FR′和MO可以由一个合力FR等效替换，且FR= FR′，但是其作用线不过简化中心O。若设合力作用线到简化中心O的距离为d，则。图1.42可说明上述简化过程，其中点Ol为合力FR的作用点。  图1.42 另外，从图1.42b及其推证过程不难知道  (4)FR′=0,MO=0，则原力系为平衡力系。这种情形将在后面详细讨论。 举例：例1—12 作用于物体上的力系如图1.43a所示，已知Fl=1kN，F2=1kN，F3=2kN，M=4kN·m，θ=30°，图中长度单位为m，试求该力系向点O简化的结果以及该力系最终简化结果。  图1.43 解：将力系向点O简化。首先，以简化中心O为原点，建立直角坐标系Oxy，如图1-43a所示，求力系的主矢FR′。由式(1—13)得主矢FR′在轴x，y上的投影。   故由式(1—14)得主矢FR′的大小及方向为   即α=36.2° 式中，α是FR′与轴x所夹的锐角，FR′位于第四象限。 其次，求力系对简化中心O的主矩Mo。由式(1—15)得  最后，由于FR′≠0,MO≠0，故力系最终简化结果为一合力FR。FR的大小和方向与主矢FR′相同，合力FR的作用线距点O的距离为d  MO为正值,表示主矩为逆时针转向,故合力FR的作用线如图1.43c所示 1.8.2 平面力系的平衡 1.平面任意力系的平衡条件 根据前面的分析，平面任意力系向一点简化后，得到一个主矢FR′和一个主矩MO。力和力偶不能互相平衡，因此要使力系平衡，应使主矢和主矩分别平衡。也就是   由此得到平面任意力系的平衡方程为：    平面任意力系平衡的解析条件是：力系中各力在两个任选的直角坐标轴上的投影的代数和分别为零，以及各力对任一点之矩的代数和为零。 式(1—16)中，前两个为投影方程，最后一个为力矩方程。平面任意力系的平衡方程还可以有以下不同的形式： 两矩式平衡方程    A、B两点的连线不能垂直于x轴 三矩平衡方程    A、B、C三点不能共线 可以证明：当平面任意力系满足两矩式、三矩式平衡方程时，有FR′=0,MO=0。 不论何种形式的平面任意力系平衡方程，均只有三个独立方程，可求解三个未知量。在实际应用中选用哪一种形式，主要取决于解题的方便。 例1—13一端固定的悬臂梁AB如图1.44a所示。梁上作用有力偶M和载荷集度为q的均布载荷，在梁的自由端还受一集中力F的作用，梁的长度为l。试求固 定端A处的约束反力。  图1.44 解：(1)取悬臂梁AB为研究对象。 (2)分析梁的受力，并作受力图如图1.44b所示。梁受主动力F、FQ(FQ=ql)、M和固定端约束反力FAx、FAy和MA作用，这些力构成平面一般力系。 （3）取坐标系Axy，建立平衡方程    （4）解得：   此处，均布载荷可用其合力FQ等效替代。 2.几种特殊平面力系的平衡方程 平面任意力系的平衡方程是各种力系的一般形式，其他特殊平面力系平衡方程可根据一般形式推导出来。 （1）平面汇交力系的平衡方程 根据前面的分析可知，平面汇交力系可以合成为一个合力FR，不可能有力偶。因此，一般方程中的∑MO≡0，平衡方程只有两个，即   可见，平面汇交力系平衡的解析条件是：力系中各分力在直角坐标轴上投影的代数和分别为零。 （2）平面力偶系的平衡方程 根据前面的分析知道，平面力偶系合成的结果是一个合力偶，则一般方程中∑Fxi≡0、∑Fyi≡0因此，平衡方程只有一个，即  因此，平面力偶系平衡的必要与充分条件是：力偶系中各分力偶矩的代数和为零。 （3）平面平行力系  图1.45 平面平行力系 图1.46 由于平面平行力系中各力均平行，所以建立直角坐标系时，可选择某坐标轴与各力平行，则另一坐标轴与各力垂直。如图 1.45中，令y轴平行于各力，则各力在x轴上的投影均为零，因而有∑Fxi≡0且∑Fyi=∑Fio因此一般方程中只余下两个  （1—19）  （1—20） 即为平面平行力系的平衡方程。 例1—14 塔式起重机如图1.46所示，已知轨距b=3 m，机身重G=500kN，其作用线至右轨的距离e=1.5 m，起重机的最大载荷P=250kN，其作用线至右轨的距离=10m。欲使起重机满载荷时不向右倾倒，空载时不向左倾倒，试确定平衡重W之值，设其作用线至左轨的距离a=6m。 解：(1)先考虑满载时的情况 取起重机为研究对象。作用于起重机上的力有主动力G、W、P和约束反力FNA、FNB，这些力组成平面平行力系。满载时，在绕B点不向右翻倒的临界情况下，应有FNA=0，此时平衡重W为取值范围的下限Wmin，可由平衡条件求出Wmin。列平衡方程  得 Wmin=361kN (2)考虑空载时的情况 空载时(P=0)在绕A点不向左翻倒的临界情况下应有FNB=0，此时平衡重W为取值范围的上限Wmax。列平衡方程  解得 Wmax=375 kN 可见，平衡重W取在361 KN≤W≤375 kN范围内时，起重机是平衡的。 作业 p45 习题10、11 物体系统的平衡 1．教学目的 1）掌握静定问题与超静定问题的判断方法； 2）掌握物体系统的静定问题，有利用静力平衡方程求解系统约束反力的能力 2．教学重点和难点 重点：建立平衡方程求约束反力 难点： 内力与外力的区别，平衡方程的建立 3．教学手段与方法： 多媒体辅助 4.讲授学时：2学时 1.物体系统定义： 工程实际中通常遇到的是机械和结构由若干个物体组成，称为物体系统。 2.物体系统的平衡： 物体系统平衡时，组成系统的每一个物体都处于平衡状态n个物体组成的物体系统最多能列出3n个独立的静力平衡方程。 3.静定问题： 若平衡问题中未知量的数目不超过独立方程的总数，则用静力平衡方程可以求解出全部未知量，这类问题称为静定问题。 4.超静定问题（或静不定问题）： 若未知量的数目超过了独立方程的总数，则单靠静力平衡方程不能求解出全部未知量，这类问题称为超静定问题或静不定问题。在工程实际中为了提高刚度和稳固性，常对物体增加一些支承或约束，因而使问题由静定变为超静定。如图1.47a所示。  图1.47 静定与超静定问题 5.求解物体系统平衡问题的方法与步骤： 方法：在解决工程实际的平衡问题时，应首先判断该问题是静定还是超静定，若是静定问题，则可以利用静力平衡方程来求解。 步骤：（1）先部分后整体 （2）先整体后部分 注意：选取研究对象的原则是应该使每个平衡方程中的未知量数目尽可能地少，以避免解联立方程。 举例：例1—15 图1.48a所示的曲柄压力机由飞轮1、连杆2和滑块3组成。飞轮在驱动转矩M作用下，通过连杆推动滑块在水平导轨中移动。已知滑块受到工件的阻力为F，连杆长为l，曲柄半径OB=r，飞轮重为G，曲柄、连杆和滑块的重量及各处摩擦均不计。求在图示位置（∠AOB=90°）时，作用于飞轮的驱动转矩M以及连杆、轴承O和滑块导轨所受到的力。 解 （1）先取滑块为研究对象。滑块所受的力有工件阻力F，连杆（二力杆）拉力Fs和导轨的约束反力FN 受力图如图1.48b所示。 （2）列平衡方程。取坐标系Axy，由图1-48b可知，滑块3受到的是平面汇交力系，其平衡方程为    图1.48 曲柄压力机 由图中直角三角形OAB得：,代入方程得  (3)再以飞轮为研究对象。飞轮受有重力G、驱动转矩M、连杆作用力FS′（FS′=FS）、轴承约束反力FOX和FOy其受力图如图1-48c所示. (4)列平衡方程。取坐标系Oxy，由受力图c可知；飞轮受到的是平面任意力系, 其平衡方程为    解上述方程,得  根据作用力和反作用力的关系，不难确定连杆、轴承和导轨所受的力。 本题属于物体系统的平衡问题，但若先取整体为研究对象，则平衡方程中未知量较多，不易求解，故本题是将系统中的物体逐个取出作为研究对象进行受力分析，并列平衡方程求解。机构平衡问题的特点是：主动力之间要满足一定关系才能平衡。在进行受力分析时通常按传动顺序依次选取研究对象，逐个求解。 例1—14 图1.49a为三铰拱结构示意图。所谓三铰拱，就是由AC、BC两半拱用铰链C连接，并由铰链A与B固定于支座上的建筑物，如拱门、拱桥等。现已知两半拱的重量相等，即G1=G2=40kN，重心分别在D、E两点处，结构受到铅直载荷P=20kN，水平载荷F=10kN。求支座A、B和中间铰链C的反力。  图1.49 解：本例属于系统的静定平衡问题。要求的未知量共有6个，因此需要取多次研究对象，若先取AC（或BC）为研究对象，都有4个未知量。因此，先取整体分析，再取部分分析。 取整体画出受力图，见图1.49b，列平衡方程。  （1）  （2）  （3） 解方程，得  尚有FAx、FBx不能从方程（3）中解出。下面分析部分的平衡。 取AC（左半拱）为研究对象，受力情况如图1.49c，列平衡方程    解方程组得  将FAx值代入（3）式，得FBx=23.75kN 至此，6个未知量全部求出。答案是否正确，可用BC（右半拱）来进行校核。如图1.49d是BC的受力图，应有成立。下面进行验证。  成立 故以上的解答是正确的。 作业：p46 习题15、16 1.8.4 考虑摩擦时物体的平衡问题 1．教学目的 1）掌握静摩擦力、最大静摩擦力、摩擦角等几个概念 2）掌握摩擦角及自锁的条件及其实际应用 3）掌握考虑摩擦时物体的平衡问题的解题方法与步骤 2．教学重点和难点 重点：摩擦角及自锁的条件 难点：自锁的条件及其实际应用 考虑摩擦时物体的平衡 3．教学手段与方法： 多媒体辅助 4.讲授学时：2学时 摩擦是机械传动中普遍存在的一种自然现象。无论是静止或运动着的物体，它们之间都可以有摩擦力存在，例如，在路上行驶的汽车，受到路面的摩擦作用。前面在分析刚体或物体系的平衡问题时，都认为接触表面是“光滑”的而不考虑摩擦的影响，是因为在摩擦力比法向约束反力小得多时，摩擦力对所研究问题而言属次要因素，可以将它忽略不计。 在工程实际中，摩擦在许多情况下是作为主要因素而不能忽略的，如汽车的摩擦制动、皮带传动，机床夹具夹紧工件等，均是利用摩擦力来工作的。另外还应注意到，摩擦也有不利的方面，它会引起发热、磨损、降低精度和效率、缩短寿命等。因此，有必要对摩擦加以分析，掌握其基本规律，发挥其有用之处。 摩擦是一种十分复杂的物理现象。按物体之间的相对运动形式不同，摩擦可分为滑动摩擦和滚动摩擦。关于摩擦机理的研究已形成了专门的学科——摩擦学，这里只介绍滑动摩擦的基本内容。滚动摩擦的知识可以查阅以前物理等书籍。 1.滑动摩擦 滑动摩擦是指两个互相接触的物体，沿其接触面相对滑动或有相对滑动趋势时，接触面上产生的沿切线方向的相互作用力。此时，两接触面之间彼此阻碍相对滑动的力即为滑动摩擦力。如图1. 50a所示，放于桌面上重力为G的物体，如只受到重力G和法向力FN作用而  图1.50 平衡，则物体在水平方向无滑动趋势，接触面之间没有摩擦力。当在物体上施加一水平拉力FP后，则会随FP的大小不同出现以下几种情况。 （1）静摩擦力 当FP由零逐渐增加但不够大时，物体不会向右滑动，这是因为物体与水平面之间产生了摩擦力如图1.50b所示。这种在两个物体之间有相对滑动趋势时接触面之间产生的摩擦力，称为静动摩擦力，简称静摩擦力，用Ff表示。此时，根据平衡条件得  如果FP继续增大，在某一范围内，物体仍保持静止状态，但摩擦力Ff随FP而增加。由此可见静摩擦力的性质为： 1）静摩擦力产生的条件是有切向力FP存在，物体间有相对滑动趋势但仍静止。 2）静摩擦力的大小可根据平衡条件确定，其方向与滑动趋势方向相反。 （2）最大静摩擦力 静摩擦力Ff不能随FP的增大而无限增加，当FP增大到某一极限值FPk时，物体处于将要滑动而尚未滑动的临界状态。此时，静摩擦力达到最大值，称为最大静摩擦力，用Ffmax表示。试验证明，最大静摩擦力与两物体间的正压力FN成正比，方向仍与相对滑动趋势方向相反，即  （1—21） 式(1—21)称为静摩擦定律。式中fs称为静摩擦因数，其大小与两接触物体的材料性质及表面状况有关。各种材料在不同表面状况下的fs值可查阅有关工程手册。由以上分析可知，静摩擦力的范围 是：0≤Ff≤Ffmax。 只要拉力FP稍大于FPk后，物体即开始滑动。此时，两相对滑动物体接触面上产生的阻碍物体滑动的力，称为动滑动摩擦力，简称动摩擦力，用Ff′表示。试验表明，动摩擦力的大小与两接触面间的正压力FN成正比，即  （1—22） 式(1—22)称为动摩擦定律。式中f称为动摩擦因数，其大小除了与两接触物体的材料性质、表面状况有关外，还与相对滑动速度有关，可查阅有关工程手册。一般f≈fs。 2.摩擦角及自锁的条件 （1）摩擦角 由以上分析可知，当物体的接触面之间有摩擦存在时，约束面除了对物体产生法向约束反力FN以外，还产生切向约束反力即摩擦力Ff。摩擦力Ff与法向反力FN的合力FR，称为全反力。全反力FR作用线与法向反力FN作用线之间的夹角用表示。随着拉力FP的增大，摩擦力Ff也增大，夹角也随之加大。当摩擦力Ff达到最大值Ffmax时，夹角也出现了最大值，用表示。即在最大静摩擦力Ffmax时，全反力FR与法向约束反力FN之间的夹角，称为摩擦角。  图1.51 摩擦角 由图l.51可知  （1—23） 式(1—23)说明，摩擦角的正切等于静摩擦因数fs。可见，摩擦角也是反映材料摩擦性质的物理量。 （2）自锁条件 当物体平衡时，总有Ff≤Ffmax，即夹角≤。因此，摩擦角的大小，表明了物体平衡时全反力FR的作用线的位置范围。如图 1.52所示，所有主动力的合力FQ与接触面法线之间的夹角为α，则当物体平衡时，根据二力平衡条件应有：FQ与FR等值、反向、共线，即α=，而≤。 因此可得出物体保持平衡时需满足的条件为  （1—24） 式(1—24)说明，只要保持主动力的合力FQ的作用线在摩擦角范围内，无论FQ大小如何，总能保持物体平衡，这种现象称为自锁。是与主动力大小无关，只与摩擦角有关的平衡条件，称为自锁条件。见图1.52所示。  图1.52自锁概念 图1.53 自锁现象在工程上经常被利用，如设计一些机构或夹具等。例如，螺旋千斤顶、起重装置中的蜗轮蜗杆，满足自锁条件时不会自行下落。而在一些机构中，则要求避免出现自锁，如汽车发动机中的凸轮机构，要求挺杆在任何位置均不发生自锁。又如图1.53所示的自卸车中的翻斗车厢，抬起的角度也应避免自锁，以使车厢内的物料能倾倒干净。因此，了解自锁条件，可以便于利用自锁或防止自锁。 3.考虑摩擦时的平衡问题 考虑摩擦时物体的平衡问题，同样是根据平衡条件来解决，所不同的是在受力分析时要考虑摩擦力。因此，解决这类问题的—个关键就是正确判断摩擦力的方向和确定其大小。 摩擦力的方向总是与物体相对滑动(或相对滑动趋势)方向相反；而摩擦力的大小则需由平衡条件来确定。由于静摩擦力Ff，总是在o≤Ff≤Ffmax范围内，因此物体的平衡是有一定的条件和范围的。通常对物体的临界状态进行分析，以便确定平衡的范围，即当Ff=Ffmax列出Ffmax=FNfs作为补充方程，计算出结果后再进行讨论计算。 考虑摩擦时物体的平衡问题一般可分为以下几类： 1)已知物体处于临界平衡状态，要求计算主动力大小或确定平衡时的位置 2)已知作用在物体上的主动力，要求判断物体是否平衡并计算摩擦力。 3)求物体的平衡范围。 例1-17 制动器的构造简图如图1.54a所示。已知制动轮与制动块之间的静摩擦系数为fs，鼓轮上挂一重物，重量为W，几何尺寸如图所示。求制动时所需的最小力Fmin 解：制动块与制动轮之间的摩擦力与正压力大小有关，即与制动力F有关。如果制动力太小，则二者之间的摩擦力不能形成足够大的力偶矩以平衡重物所产生的力偶矩；因而达不到制动的目的。 (1)先以制动轮和鼓轮为研究对象。其受力图如图1.54b所示,取鼓轮中心为矩心，列一个力矩平衡方程  解得：   图1.54 制动器 (2)再取制动杆(含制动块)为研究对象，其受力图如图1.54c所示。设最小制动力为Fmin，此时制动处于临界状态。取铰链A且为矩心，列力矩平衡方程  又因为摩擦力，且由作用力与反作用力有，代人上述平衡方程，解得  例1—18 皮带输送机的简图如图1.55所示，胶带倾角为α，物料与胶带间的静摩擦因数为fs，所运输的物料重力为G。为保证运输过程物料不下滑，倾角α应小于何值?  图1.55胶带输送机 解 取物料为分离体画出受力图(为了清楚起见，物料已放大)，并取一直角坐标系，如图1.55。由于物料重力作用，物料有向下滑动的趋势，因此物料受到皮带的阻碍，摩擦力Ff应沿皮带向上。 列平衡方程得：   另有  解之得： ，即 。 因此，在沿斜面向上输送物料时，斜面倾角的大小与输送的重量无关，但与物料与皮带之间的摩擦因数有关。即胶带输送机的倾角不能超过物料与胶带之间的摩擦角。 作业：p47 习题17