2.1- 2.2 概述、 轴向拉伸与压缩 1．教学目标 1）掌握轴力的计算方法及轴力图的绘制 2）掌握轴向拉伸（压缩）时的应力分布规律及计算 3）了解轴向拉伸或压缩时的变形 胡克定律的两种形式 2．教学重点和难点 重点：轴力图的绘制 应力计算 胡克定律计算形变量 难点： 轴力的符号问题 线应变ε 3．教学手段与方法： 多媒体 4.讲授学时：4学时 2．1 概 述 2．1．1 材料力学的任务 构件：机械或结构物的每一组成部分称为构件，构件的承载能力一般从以下三方面衡量。 1．足够的强度 在材料力学中，构件抵抗破坏的能力称为强度。在载荷作用下构件应不致于破坏，即具有足够的强度。 2．足够的刚度 构件抵抗变形的能力称为刚度。在载荷作用下构件所产生的变形应在工程允许的范围以内，即具有足够的刚度。 3．足够的稳定性 某些构件，例如细长直杆，在一定数值的压力作用下不再保持其原有的直线形状下的平衡状态，而突然变弯或折断。构件在原有几何形状下保持平衡的能力称为构件的稳定性。 2．1．2 材料力学的基本假设 由各种固体材料制成的构件在载荷作用下将产生变形，故称变形固体或变形体。为了便于理论分析和实际计算，对变形固体作以下基本假设。 1．连续性假设 构件在其所占用的整个体积内毫无空隙地充满了物质。 2．均匀性假设 整个构件由同一材料制成，其任意部分都具有相同的力学性能。 3．各向同性假设 认为材料在各个方向的力学性能均相等。 4．小变形假设 认为构件受力后的变形与构件原始尺寸相比是极其微小的。 5.完全弹性假设 当载荷不超过一定限度时，材料在载荷作用下的变形，在撤去载荷后可全部消失，这种变形称为弹性变形。 2．1．3 杆件变形的基本形式 杆件 即长度尺寸远大于横向尺寸的构件。杆件的几何特点由轴线和横截面描述。 轴线：横截面与杆的长度方向相垂直；横截面形心的连线称为轴线。 杆件变形的基本形式有以下四种： 轴向拉伸与压缩，如图2.1所示。  图2.1 图2.2 图2.3 图2.4 (2)剪切，如图2.2所示。(3)扭转，如图2.3所示。 (4)弯曲，如图2.4所示。 2.1.4 内力、截面法、应力 1.内力： 构件内部质点之间相互作用力(固有内力)的改变量即由外力作用而引起的“附加内力”，简称内力。 2．截面法 截面法是分析、计算内力的方法，就是假想用一截面把构件截为两部分，取其中一部分对研究对象，并以内力代替另一部分对研究部分的作用，根据研究部分内力与外力的平衡来确定内力的大小和方向。 如图2.5所示可求出截面m-m上的内力。 3．应力 截面法可以确定杆件截面上内力的合力，但不能确定内力在截面上的分布密度，由此需引入应力的概念。  图2.5 截面法 图2.6应力的概念 平均应力 如图2.6a所示，  K点的全应力p： p是一个矢量，通常把p分解为两个正交的分量：垂直于截面的分量σ称为正应力，切于截面的分量τ称为切应力，如图2.6b所示。 应力的单位是Pa(帕)，1Pa=1N／m2。另外，在工程实践中还常用MPa和GPa，其换算关系为1MPa＝106Pa，1GPa＝109Pa。 2.2 轴向拉伸与压缩 2．2.1 轴向拉伸与压缩的概念 工程中杆件承受轴向拉伸或压缩的。例如，简易吊车中的AB杆(图2.7)、紧固螺栓(图2.8)等是受拉伸的杆件，而油缸活塞杆(图2.9)等则是受压缩的杆件。 受力特点：作用于杆件的外力合力的作用线与杆件的轴线相重合。 变形特点：为沿杆轴线方向的伸长或缩短。  图2.7 图2.8 图2.9 2.2.2 拉压杆的内力计算、轴力图 1.内力的计算 图2.10a所示的拉杆受两个力F的作用，现用截面法求其内力：  图2.10 拉杆内力计算 用截面m—m假想将杆截为两段，取左段为研究对象，并单独画出。同时，用内力FN表示右段对左段的作用，如图2.10b所示。根据平衡条件列出平衡方程如下  求得  如果取右段为研究对象，如图2.10c所示，所得结果相同，即  轴力：由于外力F沿杆的轴线方向，内力的合力FN也可合成为一个合力，作用于杆轴线，故称为轴力，如图2.10d所示。 轴力的正负号规定如下：轴力的正负号由杆件的变形确定，当轴力沿轴线离开截面，即与横截面外法线方向一致时为正，这时杆件受拉；反之轴力为负，杆件受压。一般未知指向的轴力可假设为正向，由计算结果的正负判断截面受拉还是受压。 例2—1 杆件在A、B、C、D各截面处作用有外力如图2.11，求1—1、2—2、3—3横截面处的轴力。 解：由截面法，沿各所求截面将杆件切开，取左段为研究对象，在相应截面分别画出轴力FN1，FN2，FN3，列平衡方程∑Fx=0 由图2.11b  (1)  同理，由图2.11c  (2)  由图2.11d  （3）   图2.11 由式(1)、(2)、(3)，不难得到以下结论： 拉(压)杆各横截面上的轴力在数值上等于该截面一侧(研究段)各外力的代数和。外力离开该截面时取为正，指向该截面时取为负。即  (2—1) 求得的轴力为正时，表示轴力离开截面，此段杆件受拉；轴力为负时，表示轴力指向截面，此段杆件受压。 2．轴力图 多力杆：工程上受拉、压的杆件往往同时受多个外力作用，称为多力杆。 轴力图： 可按选定的比例尺，用平行于杆件轴线的坐标表示杆件截面的位置，用垂直于杆件轴线的另一坐标表示轴力数值的大小，正轴力画在坐标轴正向，反之画在负向。这样绘出的图形称为轴力图。清楚地表达轴力随截面位置变化的情况。 例2-2 图2.12a表示一等截面直杆，其受力情况如图所示。试作其轴力图。 解：(1)作杆的受力图(图2.12b)，求约束反力FA 根据∑Fx=0，得   (2)求各段横截面上的轴力并作轴力图 计算轴力可用截面法，亦可直接应用式(2-1)，因而不必再逐段截开及作研究段的分离体图。在计算时，取截面左侧或右侧均可，一般取外力较少的杆段为好。 AB段  (考虑左侧) BC段  (考虑左侧) CD段  (考虑右侧) DE段  (考虑右侧) 由以上计算结果可知，杆件在CD段受压，其它各段均受拉。最大轴力FNmax在BC段，其轴力图如图2.12c所示。  图2.12 轴力图 2.2.3轴向拉伸或压缩时横截面上的正应力 1、应力分析：取一等截面直杆试验，结论： 横截面上各点只有正应力且均匀分布(图2.13b)，故横截面上各点的正应力可以直接表示为  图2.13 公式： （2—2） 例2—3 一钢制阶梯杆如图2.14a所示。各段杆的横截面面积分别为AB段A1=1500mm2，BC段A2=500mm2 ，CD段A3=900mm2，试画出轴力图，并求出此杆横截面上的最大正应力。  图2.14 解：(1)求各段轴力 根据式(2—1)，得    (2)作轴力图 由各横截面上的轴力数值，作轴力图(图2.14b)。 (3)求横截面上的最大正应力 根据式(2—2)，得 AB 段  BC段  CD段  由计算可知，杆横截面上的最大正应力在BC段内，其值为200MPa。由此可见轴力最大处并非一定是应力最大截面。 2．2.4 轴向拉伸或压缩时的变形 胡克定律 轴向拉伸或压缩时，杆件的变形主要表现为沿轴向的伸长或缩短，即纵向变形。由试验可知，当杆沿轴向伸长(或缩短)时，其横向尺寸也会相应缩小(或增大)，即产生垂直于轴线方向的横向变形。 1. 纵向变形 设一等截面直杆原长为l，横截面面积为A。在轴向拉力F的作用下，长度由l变为l 1(图2.15a)。杆件沿轴线方向的伸长量为  （2—3）  图2.15 拉伸时为正，压缩时为负。 杆件的伸长量与杆的原长有关，为了消除杆件原长的影响，将除以，即以单位长度的伸长量表征杆件变形的程度，称为纵向线应变，用ε表示  （2—4） ε是一个无量纲的量，其正负号与的正负号一致。 2.胡克定律 试验证明：若杆横截面上的正应力不超过某一限度时，则杆件的伸长量与轴力FN、杆原长度成正比，与横截面面积A成反比。即  引入比例常数E，则上式可写为  （2—5） 上式称为胡克定律。 将式(2—2)和(2—4)代入上式，可得  （2—6） 这是胡克定律的另一形式。可表述为：若应力不超过某一限度，则横截面上的正应力与纵向线应变成正比。式中E为材料的弹性模量，其单位与应力相同，常用单位为GPa。材料的弹性模量由试验测定。 弹性模量表示杆在受拉(压)时抵抗弹性变形的能力。由式(2—5)可看出，EA越大，杆件的变形就越小，故称EA为杆件的抗拉(压)刚度。 3. 横向变形 在轴向外力作用下，杆件沿轴向伸长(缩短)的同时，横向尺寸也将缩小(增大)。设横向尺寸由b变为b1 (图7.15b)，则横向线应变为  (2-7) 也为一个无量纲的量。 拉伸时，纵向伸长＞0；横向变细，＜0。 压缩时，纵向缩短＜0；横向增粗，＞0。 4.泊松比 试验表明，对于同一种材料，当应力不超过比例极限时，横向线应变与纵向线应变之比的绝对值为常数。比值υ称为泊松比，亦称横向变形系数。即 　　　　　　　　　　　（2－8a） 由于这两个应变的正负号恒相反，故有  （2－8b） 泊松比υ是材料的另一个弹性常数，为一个无量纲的量，由试验测得。工程上常用材料的泊松比见表2.1。 例2—4 图2.16a为一阶梯形钢轴，已知材料的弹性模量E=200GPa，AC段的横截面面积为AAB=ABC=500mm2，CD段的横截面面积为ACD=250mm2，杆的各段长度及受力情况如图所示。试求： (1)杆横截面上的轴力和正应力； (2)杆的总变形。 解：(1)求各段杆横截面上的轴力 AB段  BC段与CD段  (2)画轴力图(图2.16b) (3)计算各段正应力 AB段  BC段  CD段  (4)杆的总变形 杆总变形等于各段杆变形的代数和，即  将有关数据代人，即得  负值说明整个杆件是缩短的。  作业 p114习题1.2.5 材料在拉伸与压缩时的力学性能 1．教学目标 1）掌握低碳钢在拉伸时的四个阶段及力学性能参数 2）了解伸长率和断面收缩率的实际工程意义 3）了解其它材料在拉伸时的力学性能及其参数 4)掌握轴向拉伸（压缩）时的强度条件及其应用 2．教学重点和难点 重点：低碳钢在拉伸时的四个阶段的特征应力值 强度条件及其应用 难点：低碳钢拉伸时的应力—应变曲线的理解强度条件及其应用 3．教学手段与方法： 多媒体 4.讲授学时：4学时 材料的力学性能：是指材料在外力作用下表现出来的变形和破坏方面的特性。 试件：应按国家标准(GB／T228—1987)加工成标准试件(图2.17)。对圆截面试件，标距l与横截面直径d有两种比例: l=5d 或l=10d。  图2.17 拉伸试验件 1.低碳钢在拉伸时的力学性能 低碳钢是指碳的质量分数在0．3％以下的碳素钢。低碳钢在工程中使用最广，且它在拉伸实验中表现出的力学性能较全面。因此这里选择低碳钢为典型材料，研究其拉伸时的力学性能。 应力应变曲线：表示σ与ε的关系曲线(图2.18)，称为应力应变曲线，它表明了低碳钢在拉伸时的力学性能。  图2.18 低碳钢拉伸时的应力—应变曲线 （1） 根据低碳钢的应力应变曲线特点，可以将整个拉伸过程分为四个阶段。 第Ⅰ阶段 弹性阶段 图2.18所示Ob段为弹性阶段。 Oa段为直线段，它表明应力σ与应变ε成正比，即： 或写成  上式即为拉(压)虎克定律，E为弹性模量，它是与材料有关的常量，由此实验可测定。这里直线oa的斜率即为E的大小。 Oa段的最高点a所对应的应力：σp称为比例极限。显然，只有应力低于比例极限时，应力才与应变成正比，材料才服从虎克定律。 第Ⅱ阶段 屈服阶段 屈服 ： 图2.18所示bc段为屈服阶段。过b点材料出现塑性变形，σ-ε曲线上出现一段沿ε坐标方向上、下微微波动的锯齿形线段，这说明应力变化不大，而变形却迅速增长，材料好像失去了对变形的抵抗能力，这种现象称为材料的屈服。 屈服应力：屈服阶段的最低应力值σs称为材料的屈服点。是衡量材料强度的重要指标。 第Ⅲ阶段 强化阶段 强化： 图2.18所示ce段为强化阶段。屈服阶段过后，要增加变形就必须增加拉力，材料又恢复了抵抗变形的能力，这种现象称为材料的强化。 抗拉强度：强化阶段中的最高点e所对应的应力σb是材料承受的最高应力，称为抗拉强度。它是衡量材料强度的另一重要指标。 第Ⅳ阶段 颈缩阶段 在应力达到抗拉强度之前，沿试件的长度变形是均匀的。到达抗拉强度后，试件在某一局部范围内横向尺寸突然缩小，形成颈缩现象见图2.19。颈缩部分的急剧变形引起试件迅速伸长；颈缩部位截面面积快速减小，试件承受的拉力明显下降，到f点试件被拉断。  图2.19 颈缩现象 （2）伸长率和断面收缩率 材料的塑性可用试件断裂后遗留下来的塑性变形来表示。一般有下面两种表示方法： 长率δ  式中 l——试件标距原长度； l1——试件拉断后的标距长度。 面收缩率  式中 A——试验前试件的横截面面积； A1——试件断口处最小横截面面积。 δ、大，说明材料断裂时产生的塑性变形大，塑性好。工程上通常将δ>5％的材料称为塑性材料，如钢、铜、铝等；δ<5％的材料称为脆性材料，如铸铁、玻璃、陶瓷等。几种常用材料的力学性能指标见表2.1、2.2。 2 其它材料在拉伸时的力学性能 名义屈服强度：其他塑性材料拉伸时的σ—ε曲线介绍。图2.20a所示为几种塑性材料拉伸时的σ—ε曲线，这些塑性材料没有明显屈服阶段，工程上常采用屈服强度σ0.2作为其强度指标。σ0.2是产生0．2％塑性应变的应力值(图2.20b)。又称名义屈服强度。  图2.20 其它材料拉伸试验曲线(σ—ε曲线) 3．铸铁拉伸时的力学性能 铸铁是工程上广泛应用的脆性材料，它在拉伸时的σ—ε曲线是一段微弯的曲线(图2.20c)，它表明应力与应变的关系不符合虎克定律，但在应力较小时，σ—ε曲线很接近于直线，故可近似地认为服从虎克定律。 由图还可以看出，铸铁在较小的应力下就被突然地拉断，没有屈服和颈缩现象，拉断前变形很小，伸长率通常只有0．5％一0．6％。 铸铁没有屈服现象，拉断时的抗拉强度σb是衡量强度的惟一指标。一般说，脆性材料的抗拉强度都比较低。 4. 材料压缩时的力学性能 金属材料的压缩试件一般制成很短的圆柱，以免被压弯。圆柱高度约为直径的1．5～3倍。 低碳钢压缩：σ—ε曲线(图2.21)与其拉伸的σ—ε曲线(图2.21中虚线所示)相比，在屈服阶段以前，两曲线基本重合。这说明压缩时的比例极限σp、弹性模量E以及屈服点σs与拉伸时基本相同。屈服阶段以后，试件越压越扁，曲线不断上升，无法测出强度极限。因此，对于低碳钢一般不做压缩实验。 铸铁压缩时的σ—ε曲线如图2.22所示。试件在较小的变形下突然破坏，破坏断面的法线与轴线的夹角大致成45°～55°。比较图2.20c与图2.22可见，铸铁的抗压强度比抗拉强度要高出 4～5倍。其它脆性材料也具有这样的性质。  图2.21 低碳钢压缩时的σ—ε曲线 图2.22 铸铁压缩时的σ—ε曲线 通过研究低碳钢、铸铁在拉伸与压缩时的力学性能，可以得出塑性材料和脆性材料力学性能的主要区别是： 1)塑性材料在断裂时有明显的塑性变形；而脆性材料在变形很小时突然断裂，无屈服现象。 2)塑性材料在拉伸时的比例极限、屈服点和弹性模量与压缩时相同，说明它的抗拉与抗压强度相同；而脆性材料的抗拉强度远远小于抗压强度。因此，脆性材料通常用来制造受压构件。表2．1 几种常用材料的E值和υ 表2．2 几种常用材料主要力学性能 2.2.6拉(压)杆件的强度计算 1.许用应力的确定 表2.3 拉伸和压缩时的许用应力[σ] 塑 性 材 料 脆 性 材 料  许用拉压（应）力[σ] 许用拉应力[σt] 许用压应力[σc]      2.杆件的强度条件 为使杆件在工作中安全可靠(即强度足够)，必须使其所受的最大工作正应力σmax小于或等于其在拉伸（压缩）时的许用正应力[σ]，即  上述强度条件，可以解决三种类型的强度计算问题： （1）若已知杆件尺寸，所受载荷和材料的许用应力，则由式（2—9）校核杆件是否满足强度要求，即  （2）设计截面尺寸 若已知杆件所受的载荷和材料的许用应力，则由（2—9）得： 由此先确定出面积，再根据截面形状得相应的尺寸。 （3）确定许可载荷 若已知杆件尺寸和材料的许用应力，则由（2—9）得：  例2—5 图2.23a所示为一刚性梁ACB由圆杆CD在C点悬挂连接，B端作用有集中载荷F=25kN，已知：CD杆的直径d=20mm，许用应力[σ]=160MPa。 试校核CD杆的强度； 试求结构中保证CD强度时B点处的许可载荷[F]。  图 2.23 解：(1)校核CD杆强度 因CD杆是二力杆，故取AB杆为研究对象作受力图（图2.23b）求FCD。 由平衡方程，有   则杆CD的轴力 ： 杆CD的工作应力：  即σCD＜[σ]，所以CD杆的强度足够。 (2)求结构中保证CD强度时B点处的许可载荷[F] 由  得  由此得结构中CD杆的许可载荷[F]=33．5kN。 例2—6 如图2.24a所示的三角形托架，其杆AB是由两根等边角钢所组成。已知载荷F＝75kN，钢的许用应力[σ]＝160MPa。试选择等边角钢的型号。  图 2.24 解： (1)杆AB、BC均为二力杆件，为求杆AB的轴力，取结点B为研究对象，受力如图2.24b所示。 列出平衡方程   联立求解，得   (2)确定AB杆横截面面积。根据强度条件，有  选择角钢型号。查型钢表可知，边厚为3mm的4号等边角钢的横截面面积为2.359cm2＝235.9mm2。采用两个这样的角钢，其总横截面积为235.9mm2×2＝ 471.8mm2>A=469mm2，能满足设计要求。 作业：p114 习题2、3、7 2.3 剪切与挤压 1．教学目标 1）掌握剪切的实用计算公式及应用 2）掌握挤压的实用计算公式及应用 2．教学重点和难点 重点：剪切、挤压强度条件及应用 难点： 剪切面、挤压面的判断 3．教学手段与方法： 多媒体 4.讲授学时：2学时 2．3.1 剪切的概念与实用计算 工程结构中的许多联接件，如铆钉、螺栓、键、销等，受力后产生的主要变形为剪切，剪切是杆件的基本变形形式之一。 1.剪切的概念 图2.27为一剪床剪切钢板的示意图。钢板在上、下刀刃产生的力F作用下，在相距很近的δ区域内，迫使钢板左右两部分沿中间截面m—m发生相对错动，当力F足够大时，钢板被剪断。  图2.27 简板原理 图2.28a为一铆钉联接简图。当被联接件(钢板)上受到外力F的作用后，力由两块钢板传到铆钉与钢板的接触面上，铆钉受到大小相等、方向相反的两组分布力（合力为F）的作用，使铆钉上下两部分沿中间截面m—m发生相对错动的变形，如图2.28b、c所示。 由上述两例，可见剪切的受力特点是：作用在杆件两侧面上且与杆轴线垂直的外力的合力大小相等，方向相反，作用线相距很近。其变形为使杆件两部分沿中间截面m—m沿作用力的方向上发生相对错动。杆件的这种变形称为剪切，杆件所沿发生相对错动的中间截面m—m称为剪切面。  图2.28铆钉受剪图 只有一个剪切面的剪切称为单剪，如上述两例。有两个剪切面的剪切称为双剪，  图2.29 如图2.29中螺栓所受的剪切。剪切面上的内力仍然由截面法求得，它也是分布内力的合力，称为剪力，用FS表示如图2.30c。剪切面上分布内力的集度即为切应力τ(图2.30d)。  图2.30 2 剪切的实用计算 切应力在剪切面上分布的情况比较复杂。为便于计算，工程中通常采用实用计算，即根据构件的实际破坏情况，作出粗略的、简单的、但基本符合实际情况的假设，作为强度计算的依据。在这种实用计算中，假设切应力在剪切面内是均匀分布的(图2.30d)，按此假设计算出的切应力实质上是截面上的平均应力，称为名义切应力，即  材料的极限切应力τu是按名义切应力概念，用试验方法得到的。将此极限切应力除以适当的安全因数，即得材料的许用切应力  由此建立剪切强度条件  大量实践结果表明，剪切的实用计算能满足工程实际的要求。 剪切强度条件同样可解决三类问题：校核强度，设计截面尺寸和确定许可载荷。 2．3.2 挤压的概念与实用计算 1.挤压的概念 铆钉等联接件在外力的作用下发生剪切变形的同时，在联接件和被联接件接触面上互相压紧，产生局部压陷变形，以至压溃破坏，这种现象称为挤压(图2.31a)。接触面上的压力称为挤压力，用Fbs表示。由挤压力引起的接触面上的表面压强，习惯上称为挤压应力，用σbs表示。 注意，挤压与压缩的概念是不同的。压缩变形是指杆件的整体变形，其任意横截面上的应力是均匀分布的；挤压时，挤压应力只发生在构件接触的局部表面，一般并不均匀分布。 2.挤压的实用计算 与切应力在剪切面上的分布相类似(图2.31a)，挤压面上挤压应力的分布也较复杂，如图 2.31b所示。为了简化计算，工程中同样采用挤压的实用计算，即假设挤压应力在挤压面上是均匀分布的(图2.31c)。按这种假设所得的挤压应力称为名义挤压应力。当接触面为平面时，挤压面就是实际接触面；对于圆柱状联接件，接触面为半圆柱面，挤压面面积Abs。取为实际接触面的正投影面，即其直径面面积Abs=td(图2.31c)，因此有  应用名义挤压应力的概念，也可通过试验得到材料的极限挤压应力。除以适当的安全因数n，即得材料的许用挤压应力   图2.31 由此建立挤压强度条件  工程实践证明，挤压的实用计算能满足工程实际的要求。工程中常用材料的许用挤压应力，可以从有关的设计手册中查到。 应当注意，挤压应力是联接件和被联接件之间的相互作用。当两者材料不同时，应对其中许用挤压应力较低的材料进行挤压强度校核。 对于剪切问题，工程上除应用式(2—13)进行剪切的强度校核，以确保构件正常工作外，有时会遇到相反的问题，即所谓剪切破坏。例如，车床传动轴的保险销，当载荷超过极限值时，保险销首先被剪断，从而保护车床的重要部件。而冲床冲剪工件，则是利用剪切破坏来达到加工目的的。剪切破坏的条件为  式中：Fb一破坏时横截面上的剪力； τb一材料的剪切强度极限。 例2—7 电机车挂钩的销钉联接如图2.32a。已知挂钩厚度t=8 mm，销钉材料的[τ]= 60MPa，[σbs]=200MPa，电机车的牵引力F=20 kN，试选择销钉的直径。 解：（1）求剪力Fs，销钉受力情况如图2.32b所示，因销钉受双剪，故每个剪切面上的剪力，剪切面面积。 根据剪切强度条件设计销钉直径 由式(2-13)可得  有  取d=15mm。 根据挤压强度条件设计销钉直径  图2.32 由图2.32b可知，销钉上、下部挤压面上的挤压力，挤压面面积Abs=t·d，由式（2—16）得  即  选d=15mm，可同时满足挤压和剪切强度的要求。 例2—8 已知钢板厚度t=8mm(图2.33a)，其剪切强度极限为τb=300MPa。若用冲床将钢板冲出直径d=25mm的孔，问需要多大的冲剪力F?  图2.33 解：由题意知，剪切面是圆柱形侧面，如图2.33b所示。其面积为  冲孔所需要的冲剪力就是钢板破坏时横截面上的剪力,由式(2—17)得  故冲孔所需要的最小冲剪力为188.4kN 作业：p115 习题8、9 2.4 扭 转 1．教学目标 1）掌握外力偶矩的计算 2）掌握扭矩的计算和扭矩图绘制 3）掌握圆轴扭转时的横截面上的应力计算和变形计算 2．教学重点和难点 重点： 扭矩图、应力计算及分布规律 难点： 扭矩的符号问题 3．教学手段与方法： 多媒体 4.讲授学时：4学时 2.4.1 扭转的概念 扭转是杆件的基本变形之一。扭转变形是指杆件在若干截面内受到转向不同的外力偶作用，使杆件的轴线变成螺旋线的一种变形形式。如图2.34。实例：如图2.35所示 受力特点：在垂直于杆件轴线的平面内，作用着一对大小相等，转向相反的力偶。 变形特点：各横截面绕轴线发生相对转动， 轴：工程上常将以扭转变形为主要变形的杆件称为轴。  图 2.34 扭转变形 图2.35 转向盘轴 2.4.2 外力偶矩、扭矩和扭矩图 1.外力偶矩  式中：T——为轴所受的外力偶矩(N·m) P ——轴所传递的功率(kW) N——为轴的转速(r／min) 轴所承受的力偶矩与传递的功率成正比，与轴的转速成反比。当轴所传递的功率相同时，则高速轴所受外力偶矩较小，低速轴所受外力偶矩较大。因此，在同一传动系统中，低速轴的轴径要大于高速轴轴径。 2.扭矩 定义： 圆轴扭转时各横截面上的内力 计算方法：截面法 当已知作用在轴上的所有外力偶矩后，即可用“截面法”计算圆轴扭转时各横截面上的内力。如图2.36a所示AB轴，在其两端垂直于杆轴线的平面内，作用有  图 2.36 a)扭矩计算 b)扭矩的正负号 一对反向力偶，杆件处于平衡状态。为了求出轴的内力，用一假想截面m—m将轴一分为二，先研究左段的平衡，其上受一外力偶矩T作用，要使左段平衡，m—m截面上必有一力偶矩Mn与外力偶矩T相平衡，即截面上的内力是一力偶矩。 根据平衡条件得    （2—19） Mn是轴在扭转时截面上的内力偶矩，称为扭矩。如果研究右段的平衡，会得到同一截面上大小相等、方向相反的扭矩Mn′，实际上两者是作用力与反作用力的关系。 扭矩的正负号规定如下：用右手螺旋定则判断，右手四指绕向表示扭矩绕轴线方向，则大拇指指向与截面外法线方向一致时扭矩为正，反之扭矩为负，如图2.36b所示。同一截面的扭矩符号是一致的，如上例中扭矩Mn、Mn′均为正。一般情况下未知扭矩画其正方向。 3. 扭矩图 定义：为了形象地表达轴上各截面扭矩大小和符号的变化情况，以平行于轴线的直线为横轴，轴上各点表示轴上横截面的位置，纵轴表示扭矩的大小；按照选定的比例尺，正扭矩画在纵轴正向，负扭矩画在负向。 意义：根据扭矩图可清楚地看出轴上扭矩随截面的变化规律，便于分析轴上的危险截面，以便进行强度计算。 例2—9 如图2.37a所示，传动轴ABC上装有三个轮子。已知主动轮B上的外力偶矩TB=6kN·m，从动轮上的外力偶矩为TA＝4kN·m、Tc=2kN·m，试求1—1、2—2截面的内力，并画出扭矩图。  图2.37 传动轴ABC 图2.38传动轴AD 解 （1） 取1—1截面，以左轴段为研究对象，画出受力图如图2.37b所示。由平衡条件得   得  （2） 取2—2截面，以右轴段为研究对象，并画出受力图如图2.37c所示。由平衡条件得   得  (3) 根据计算结果画扭矩图，如图2.37d所示。 例2—10 如图2.38a所示传动轴AD，已知轴的转速为 n＝300r／min，主动轮A的输入功率PA＝400kW，三个从动轮B、C、D的输出功率分别为PB＝120kW、PC=120kW、PD＝160kW，试求各段轴的扭矩并画出传动轴的扭矩图，确定最大扭矩。 解 （1） 先求出主、从动轮上所受的外力偶矩    截面法求各段轴的扭矩：在BC、CA、 AD段任取截面1—1、2—2、3—3，并取相应轴段为研究对象，画受力图如图2.38b所示。由平衡条件得       （3） 画扭矩图如图2.38c所示，最大扭矩7．6kN·m。 从以上两个例子的分析可知：轴上任一截面的扭矩等于该截面以左或以右轴段上各外力偶矩的代数和。 2.4.3 圆轴扭转时的应力和变形 前面分析了圆轴扭转时横截面上的内力，即扭矩的计算。为了对受扭圆轴进行强度和刚度计算，还需进一步分析讨论应力和变形。 1.圆轴扭转时横截面上的应力 (1) 扭转试验 为了分析圆轴扭转时横截面上应力的分布情况，现取一等直圆轴，事先在圆轴表面画上若干平行于轴线的纵向线和垂直于轴线的圆周线，然后在圆轴两端分别用一外力偶矩T，使圆轴发生扭转变形，如图2.39所示。  图 2.39圆轴扭转实验 试验特点： 1)各圆周线形状、大小以及相邻圆周线之间距离均未改变，只是绕轴线转过了一定的角度。 2)各纵向线都倾斜了同一角度γ，使圆轴表面的小方格变成了菱形。 试验结论： 圆轴扭转时，由于横截面间距离未变，即线应变ε＝0，所以横截面上没有正应力。 横截面绕轴线相对转动，即发生了相对错动，故横截面上有切应力存在。 由于截面半径长度未变，故切应力应垂直于半径方向。 （2）．切应力分布规律 经推导，还可得出圆轴扭转时横截面上切应力τ的分布规律为：横截面上任一点的切应力大小与该点到圆心的距离成正比，并垂直于半径方向呈线性分布，如图2.40所示。 此规律可用下式表示  式中：ρ——为截面上任一点到中心的距离 Mn——所求截面上的扭矩值 Ip——为横截面对圆心的极惯性矩 τP——半径为ρ处的切应力 因此，圆心处(即ρ＝0) τ＝0，圆轴表面处(ρ＝ρmax)切应力为最大。 圆轴扭转时横截面上最大切应力计算公式为  上式中，R和IP均为与截面尺寸有关的几何量，可令WP=IP/R，则有  式中，WP称为抗扭截面系数。 (3) 截面的极惯性矩和抗扭截面系数的计算 工程上，轴的形状通常采用实心圆和空心圆两种，如图2.41所示。它们的IP、WP、计算公式如下：  图4.41 轴的截面形状 实心圆截面： 极惯性矩  抗扭截面系数  空心圆截面:： 极惯性矩  抗扭截面系数  式中，D、d分别为空心轴的外、内径；α为内、外径之比，α＝d／D。 2. 圆轴扭转时的变形 圆轴扭转时，其变形可用扭转角来表示。所谓扭转角，是指变形时圆轴上任意两截面相对转过的角度，如图2.42所示，其单位是rad(弧度)。 由理论分析可证明，扭转角与扭矩Mn以及两截面间的距离l 成正比，而与材料的切变模量G及轴横截面的极惯性矩IP成反比，即  (2—23) 式中，G——轴材料的切变模量；GIp称为抗扭刚度，反映了圆轴的材料和横截面尺寸两个方面因素抵抗扭转变形的能力， GIp越大，圆轴抵抗扭转变形的能力就越强。 注意，两截面之间的扭矩、直径有变化时，需分段计算各段的扭转角，然后求其代数和。扭转角的正负号与扭矩相同。  图2.42 轴扭转时的变形 从式(2—23)中可看出，扭转角的大小与距离l有关。为消除l的影响，工程上常用“单位长度扭转角θ”来表示其变形的程度，计算公式如下：  式中，θ为单位长度扭转角(rad／m)，而工程中常用(°／m)作为θ的单位。因此，θ一般用下式来计算  （2—24） 作业：p116 习题10 2.4.4 圆轴扭转时强度和刚度的计算 1．教学目标 1）掌握圆轴扭转时强度条件及其应用 2）掌握圆轴扭转时刚度条件及其应用 2．教学重点和难点 重点：公式  难点： 应用公式解决实际问题，如危险截面的判断，τmax的确定 3．教学手段与方法： 多媒体辅助 4.讲授学时：2学时 1．强度条件 为了保证轴在扭转时能安全工作，必须使轴的危险截面上的最大切应力τmax不超过材料的许用切应力[τ]，即  (2—25) 式中，Mn——为轴上危险截面的扭矩(绝对值)； Wp——为危险截面的抗扭截面系数； [τ]——为材料的许用切应力。 所谓危险截面，对于等截面轴是指扭矩最大的截面；而对于阶梯轴，应该是扭矩大而抗扭截面系数小的截面，需综合考虑Mn和Wp两个因素来定。对于许用切应力[τ]，可通过 [σ]来近似确定： 塑性材料 [τ]=（0.5~0.6）[σ] 脆性材料 [τ]= (0.8~1.0)[σt] 2．刚度条件 圆轴在扭转时，除了须满足强度条件外，还应该具有足够的刚度，以免产生过大的变形，影响机器的精度；尤其对一些精密机械，刚度条件往往起主要作用。因此，对于圆轴扭转时的刚度条件往往要加以限制。通常要求单位长度扭转角θ不得超过许用的单位长度扭转角[θ]，即  （2—26） 式中，[θ]值根据轴的工作条件和机器运转的精度要求等因素确定，一般规定如下： 精密机械的轴 [θ]＝(0.25～0.5)°／m 一般传动轴 [θ]＝(0.1～1.0)°／m 精度要求不高的轴 [θ]＝(1.0～2.5)°／m 具体数值可参考有关设计手册。 应用圆轴扭转时的强度、刚度条件，同样可解决工程上的三类问题，即强度、刚度校核，截面设计和许可载荷或许可功率的计算。 例2—11 如图2.43所示为汽车传动轴(图中AB轴)，由45钢无缝管制成，其外径D=90mm，内径d=85mm，材料的许用切应力[τ]＝60MPa，工作时最大扭矩Mn＝1.5×103N·m。(1)试校核轴的强度；(2)若将传动轴AB改为实心轴，且其强度相同，试确定轴的直径D′，并比较空心轴和实心轴的重量。  图2.43 汽车传动轴 解 （1） 校核轴的强度  抗扭截面系数  最大切应力为  由于＜[τ]，所以强度足够。 （2）AB轴改为实心轴后确定轴径D′。因要求实心轴与空心轴强度相同，故有    在两轴材料相同、长度相等的情况下，其重量之比应等于横截面面积之比，于是有  也就是说，改为实心轴后，其重量是空心轴的3．2倍。可见，在其他条件相同的情况下，采用空心轴可减少重量及材料消耗。在工程上，空心轴有着广泛的应用。 例2—12 如图2.44所示，有一减速器传动轴，直径d=45mm，转速n＝300r／min，主动轮输入功率PA=36．7kW，从动轮B、C、D的输出功率分别为PB＝ 14．7kW、PC=PD＝llkW，轴的材料为45钢，材料的切变模量G=8×104MPa，许用切应力为[τ]＝ 40MPa，许用单位长度扭转角[θ]=2°／m，试校核轴的强度和刚度。  图2.44 减速器传动轴 解 （1） 计算外力偶矩    （2） 画扭矩图，确定最大扭矩。用截面法在BA、AC、CD段分别取截面1-1、2-2、3-3，并根据平衡条件求出相应的扭矩及正负号如下    最大扭矩在AC段  （3）校核强度 轴的极惯性矩  抗扭截面系数  最大切应力  ＜[τ] 因此轴的强度足够。 （4）校核刚度 轴的最大单位长度扭转角  由于＜[θ]，所以轴的刚度也足够。 作业：p116 习题 11、12、13 2.5 平面弯曲 1．教学目标 1）掌握梁弯曲时的内力— 剪力与弯矩的计算及剪力图与弯矩图绘制 2）掌握剪力图和弯矩图的规律，能用简捷法熟练绘制梁的剪力图和弯矩图 2．教学重点和难点 重点： 绘制剪力图和弯矩图 难点： 剪力和弯矩的符号 3．教学手段与方法： 多媒体 4.讲授学时：4学时 2.5.1 概述 1. 弯曲的概念 工程实例：桥式起重机的大梁(图2.45)，火车轮轴 (图2.46)等。 这类杆件受力的共同特点：是外力(横向力)与杆轴线相垂直； 变形特点：变形时杆轴线由直线变成曲线。这种变形称为弯曲变形。 梁：工程上将以弯曲为主要变形的杆件统称为梁。  图2.45 图2.46 平面弯曲：工程中常见的梁，其横截面通常多有一个纵向对称轴。该对称轴与梁的轴线组成梁的纵向对称面(图2.47)。若梁上所有外力、外力偶作用在梁的纵向对称平面内，则梁变形时其轴线在此平面内弯曲成一条平面曲线，这种弯曲称为平面弯曲。  图2.47 2.梁的计算简图及分类 （1）支承的简化 固定端 凡是在梁的支承处，不允许梁的端截面有相对移动和相对转动的，均可简化为固定端。如图2.48所示，车床刀架上的割刀，其支承可简化为固定端。固定端的简化形式与约束反力如图2.49所示。 固定铰支座简化 可动铰支座简化 （2）简单梁的分类 根据梁的支承简化情况，在实际工程中常见的梁分为三种： 简支梁 梁的一端为固定铰支座，另一端为可动铰支座，如图2.51a所示。 外伸梁 梁的一端（或两端）伸出支座以外的简支梁，如图2.51b所示。 （3）作用于梁上的载荷可简化为以下三种形式： 集中力F，  图2.51 梁的类型 2.52 载荷的类型 a)简支梁 b)外伸梁 c)悬臂粱 a)集中力 b)集中力偶 c)分布载荷 2)集中力偶 指作用于梁纵向平面内的外力偶， 3)分布载荷 在梁的部分长度或全长上连续分布的横向力。如均匀分布，则称为均布载荷，常用载荷集度q来表示，其单位为N／m或kN／m，如图2.52c所示。梁的自重等，就属此类载荷。 2.5.2 梁弯曲时的内力 1.梁的内力— 剪力与弯矩 作用于梁上的外力以及支承对梁的约束反力都是梁的外载荷。支承对梁所产生的约束反力一般都由静力平衡条件求得。在外载荷的作用下，梁要产生弯曲变形，梁的各横截面内就必定存在相应的内力。梁的内力可由截面法求出。 设梁AB受力如图2.53a。截面上的内力：剪力和弯矩。 剪力和弯矩大小：由左（或右）段梁的平衡方程确定。  图 2.53 由  得  即剪力FS等于左段梁上所有外力的代数和。 由  得  矩心C为截面m—m的形心，于是弯矩M等于左段梁上所有外力对截面形心C的力矩的代数和。 2 剪力和弯矩的符号规定  图 2.54 综上所述，可得如下结论： 弯曲时梁横截面上的剪力在数值上等于该截面一侧外力的代数和；横截面上的弯矩在数值上等于该截面一侧外力对该截面形心的力矩的代数和。 当由外力直接计算横截面上的内力时，按照以上的正负号规定，对于剪力，截面左侧的向上外力或右侧的向下外力产生正剪力，反之为负。至于弯矩，向上的外力(不论在截面的左侧或右侧)产生正弯矩，反之为负；或截面左侧的顺时针力偶及截面右侧的逆时针力偶产生正弯矩，反之为负。 利用上述规则，可直接根据截面左侧或右侧梁上的外力求横截面上的剪力和弯矩。 例2—13 简支梁如图2.55所示，试求图中各指定横截面上的剪力和弯矩。  图 2.55简支梁 解 (1)求A、B支座的反力   (2)求1—1截面内力 以左段为研究对象，根据平衡条件列平衡方程可求得该截面的剪力和弯矩为  显然，弯矩和剪力均为正值。 (3)求2—2截面内力 仍以左段为研究对象，同样可求得该截面的剪力和弯矩为  弯矩为正值，剪力为负值。 例2—14 图2.56a是薄板轧机的示意图。下轧辊尺寸表示在图2.56b中。轧制力约为104 kN，并假定均匀分布于轧辊的 CD范围内。试求轧辊中央截面上的弯矩及截面C的剪力。 解 轧辊可简化为如图2.56c所示形式。轧制力均匀分布于长度为0．8m的范围内，故轧制力的载荷集度为  由于梁上的载荷与约束反力对跨度中点是对称的，所以容易求出两端支座的约束反力为  以截面C左侧为研究对象求得该截面上的剪力为  在跨度中点截面左侧的外力为FA和一部分均布载荷。以中点截面左侧为研究对象，求得弯矩为  2.5.3 剪力图与弯矩图 1.剪力方程和弯矩方程 由上节可求出任意横截面上的剪力和弯矩。一般地，它们随横截面的位置而变化。如果沿梁的轴线方向选取坐标x表示横截面的位置，则各横截面上的剪力和弯矩可以表示为坐标x的函数，即  （2—27） 上述二函数式称为剪力方程和弯矩方程。 如果以x为横坐标轴，以Fs或M为纵坐标轴，分别绘制FS=FS(x)和M=M（x）函数图线，这样得出的图形分别称为剪力图和弯矩图。 利用剪力图和弯矩图，很容易确定梁的最大剪力和最大弯矩，以及梁的危险截面的位置。所以画剪力图和弯矩图往往是梁的强度和刚度计算中的重要步骤。 下面举例说明剪力图和弯矩图的作法。 例2—15图示悬臂梁，在自由端受集中力作用(图2.57a),试作剪力图和弯矩图。 解：(1)列剪力方程和弯矩方程 选取截面A的形心为坐标原点，坐标轴如图2.57a所示。在离原点为x的截面处切开取左段为研究对象(图2.57b)，则  (a)  (b) (2)画剪力图 式(a)表明，剪力Fs为常数，所以，剪力图为一条平行于x轴的直线。因剪力FS为负值，故画在x轴的下方(图2.57c)。 (3)画弯矩图 式(b)表明，弯矩M为x的一次函数，所以弯矩图为一条斜直线。 由式(b)可知 x=0，M=0 x=l，M=-Fl 过原点(0，0)与点(l，-Fl)连直线即得弯矩图(图 2.57d)。 由图可知，剪力在各个截面上均相等；弯矩的最大值在固定端B的左侧截面上。   图2.57 图2.58 例2—16 图2.58a所示简支梁，在全梁上受集度q 的均布载荷。试作此梁的剪力图和弯矩图。 解：(1)求支座反力 由及得：  (2)列剪力方程和弯矩方程 取A为坐标轴原点，并在截面x处切开取左段为研究对象(2.58b)，则  (0＜x＜l) (a)  (0≤x≤l) (b) (3)画剪力图 式(a)表明，剪力Fs是x的一次函数，所以剪力图是一斜直线   (4)画弯矩图 式(b)表明，弯矩M是x的二次函数，弯矩图是一条抛物线。由方程  即曲线顶点为，开口向下。可按下列对应值确定几点： x 0      M 0    0  剪力图与弯矩图分别为图2.58c、d。由图可知，剪力最大值在两支座A、B内侧的横截面上。。弯矩的最大值在梁的中点，。 例2—17图示简支梁，在C点处受集中载荷F作用(图2.59a)。试作其剪力图和弯矩图。  图 2.59 解：(1)求支反力 由及得：  (2)列剪力方程与弯矩方程 因梁在C点处有集中力，故应分段列方程任取A点为坐标原点，AB为x轴，则： AC段  （0＜x＜a）  （0≤x≤a） CB段（截开取右侧列方程）  （a＜x＜l)  （a≤x≤l） (3)分段画剪力图 由剪力方程知，C截面左右段均为水平直线，剪力图如图2.59b所示，。 (4)画弯矩图 由弯矩方程知，C截面左右段均为斜直线。 AC段  BC段  弯矩图如图2.59c所示。最大弯矩在集中力作用处横截面。 2. 总结剪力图和弯矩图的规律 （1）梁段上没有分布载荷时，剪力图为一水平直线；弯矩图为一斜直线。 （2）梁段上作用均布载荷q时，剪力图为一斜直线，弯矩图为二次曲线，且在剪力等于零时弯矩存在极值。 （3）集中力F作用的截面，剪力图发生突变，从截面左侧往右侧看，剪力突变的方向与集中力的作用方向一致；弯矩图出现一个尖角。 （4）在集中力偶Me作用处，剪力图不受影响，弯矩图出现突变。从截面左侧往右侧看，Me逆时针时，弯矩图由上向下突变，Me顺时针时，弯矩图由下向上突变。 作业：p116习题 14 2.5.4 梁的弯曲强度计算 1．教学目标 1）掌握纯弯曲时梁横截面上的正应力的分布规律 2）掌握梁的弯曲强度条件公式及应用 3）提高梁的弯曲强度的主要措施 2．教学重点和难点 重点：应用 求截面上一点的应力，弯曲强度条件公式及应用 难点：危险截面的位置及 计算 3．教学手段与方法： 多媒体 4.讲授学时：6学时 概述： 前面虽求出了梁横截面上的剪力和弯矩，但却并不能以此判断梁的强度，必须要进一步研究梁横截面上内力的分布规律，也就是要研究梁横截面上的应力。 梁在弯曲时，其横截面上既有剪力又有弯矩。横截面上应存在切应力τ；而有弯矩则横截面上也必然存在正应力σ。 1．纯弯曲时梁横截面上的正应力 纯弯曲： 若梁的各个横截面上仅有弯矩而无剪力，则梁的横截面上仅有正应力而无切应力，这时梁的弯曲称为纯弯曲。 横力弯曲：若梁的横截面上同时存在弯矩和剪力，这种弯曲就称为横力弯曲或剪切弯曲。如图2.62所示为一矩形简支梁，CD段产生纯弯曲，而AC段和DB段产生横力弯曲。 首先分析纯弯曲时梁横截面正应力分布规律的分析和计算，推导出梁的弯曲强度条件。 要想分析正应力的分布规律并计算正应力，还必须从梁的几何变形入手，并考虑变形的物理关系和静力学关系。 试验： (1)变形几何关系 取一截面具有纵向对称轴的等直梁如图2．63试验 观察到如下现象：  图2．62 纯弯曲与横力弯曲 图2．63 弯曲变形 中性层 1)横向直线mm和nn在梁变形后仍为直线，且仍然垂直于已经变成弧线的a′a′和b′b′，只是相对旋转了一个角度。 2)纵向线变成了弧线，梁下部的纵向线bb变成弧线b′b′后伸长了，而上部的纵向线aa变成弧线a′a′后则缩短了，因此，梁的矩形横截面上部变宽，下部变窄。 结论：梁的弯曲变形就是横截面绕其中性轴产生了转动。 纵向线bb的线应变计算为：  上式表示各纵向线的线应变ε与它到中性层的距离y成正比。 (2)物理关系 当梁横截面上的正应力没有超过比例极限时，由胡克定律可得横截面距中性层距离为y处的正应力σ为  横截面上正应力的分布规律：横截面上任一点处的正应力与它到中性轴的距离y成正比，与中性层距离相同的点，正应力相等，距离中性层越远，正应力越大，中性轴上各点的正应力为零。由此可得横截面上各点的正应力分布情况，如图2．64所示。  图2.64 弯曲正应力的分布规律 为了准确计算正应力值，必须确定中性轴的位置与曲率半径ρ的大小，而这又需要通过应力与内力间的静力学关系来解决。 (3)静力学关系 梁发生纯弯曲时，横截面上只有弯矩而无剪力，且弯曲变形时横截面绕中性轴z转动。所以，横截面上所有内力合成的结果只有一个对中性轴z的弯矩M，而沿梁轴线的分量FN和对横截面对称轴的弯矩My均为零。 通过对静力学和截面形心进行分析可得如下结论： 1)纯弯曲时，横截面的中性轴必通过截面的形心。 2)纯弯曲时，中性轴的曲率半径的计算公式为  (2—30) 上式中，EIZ值越大，则梁弯曲的曲率半径ρ越大，中性轴的曲率就越小，也就是梁的弯曲变形越小；反之，EIZ值越小，则梁的弯曲变形越大。因此，EIZ值的大小反映了梁抵抗弯曲变形的能力，故EIZ称为梁的弯曲刚度。将式(2—30)代入式（2—29）中，得到纯弯曲梁横截面上任意一点正应力的计算公式：  (2—31) 式中：M——截面上的弯矩， y——截面上所求应力点到中性轴的距离， IZ——为横截面对中性轴z的惯性矩， IZ是一个仅与横截面形状和尺寸有关的几何量，可以通过理论计算来求得，一般地，各种平面几何图形的IZ都以求出并列表备用，使用时直接查表即可。 式(2—30)和式 (2—31)是纯弯曲梁的两个重要公式，前者用于计算梁的变形，后者用于计算梁横截面上的应力。在用式 (2—31)计算正应力时，M和y均以绝对值代人，而正应力的正负号则可由弯矩图中弯矩的正负直接判断或由梁的变形情况来确定，即梁凹入一侧受压，凸出一侧受拉。 由公式 (2—31)可知，在截面的上、下边缘处，y达到最大值，因此，梁横截面上的最大弯曲正应力发生在此处，其值为  令  式中WZ，称为横截面对于中性轴z的弯曲截面系数。与惯性矩IZ一样WZ也是一个只与截面形状和尺寸有关的几何量，于是，梁横截面上的最大弯曲应力为  表2.4列出了几种常用几何图形的截面惯性矩IZ和弯曲截面系数WZ的计算公式。 例2—20 图2．65a所示矩形截面简支梁。已知：F=5kN，a=180mm，b=30mm，h=60mm。试分别求将截面竖放和横放时梁横截面上的最大正应力。 解 (1)求支座反力 根据外力平衡条件列平衡方程可解得支座反力为:  (2)画出剪力图和弯矩图 (图2.65b与图2.65c)。可见，在CD段横截面上剪力为零，故CD段为纯弯曲段，截面上弯矩值可求得如下:  图2.65 简支梁受力图  (3)竖放时最大正应力 先由表2.4中查得矩形截面的截面弯曲系数WZ的计算公式，代人式(2—34) 中即可求出竖放时横截面上的最大正应力为  同理可求得横放时横截面上的最大正应力为  由本例得结论：矩形截面梁的横截面放置方位不同，其最大正应力值也不同，即梁的弯曲强度不同。矩形截面梁的横截面竖放比横放时强度高。 2．横力弯曲时梁横截面上的正应力 当梁的跨度l与横截面的高度h之比大于5时，横截面上的切应力对弯曲正应力分布规律的影响甚小，其误差不超过1％，所以根据式(2—31)来计算横力弯曲时的正应力，其精度足以满足工程上的强度要求。 横力弯曲时，各截面上的弯矩M不再是常量，要随横截面的位置而变化。因此，对于等截面梁来说，其最大正应力应发生在弯矩最大的截面的上、下边缘处。计算公式为  (2—35) 危险截面：最大弯曲正应力所在的截面称为梁的危险截面。 3 梁的弯曲强度条件 弯曲强度条件：  强度条件公式适用：于抗拉强度和抗压强度相同的材料(比如钢制梁)且梁的截面形状以中性轴为对称轴(如矩形、圆形、工字形、箱形、圆环形等)的场合。此时因梁的凸侧和凹侧应力大小相等，所以只需计算一侧应力即可。 而对于抗拉强度和抗压强度不同的脆性材料(比如铸铁梁)，或梁的截面形状不以中性轴为对称轴(如槽形、T字形、角形截面等)的情况，由于抗拉强度和抗压强度不同，且梁的凸侧和凹侧应力大小不相等，因此应按拉、压两种情况分别进行强度计算，计算公式如下   (2—37) 与拉(压)强度条件的应用相似，弯曲强度条件同样可以用来解决强度校核、截面尺寸设计和确定最大许可载荷三方面的强度问题。下面通过例题说明弯曲强度条件的应用。 例2—21 图2.66a所示阶梯圆截面轴，CD段受均布载荷q=1000kN／m作用。已知直径D=330mm，d=250mm，材料的许用应力[σ]=160MPa。试校核轴的强度。  图2.66 阶梯圆轴受力及弯矩图 解： (1)求支座约束反力 根据外力平衡条件，列平衡方程求得支座约束反力为 FAy=FBy=700 kN (2)绘制弯矩图，确定最大弯矩及危险截面 因只需校核强度，可不必求出剪力和画剪力图，根据弯矩方程可画出梁的弯矩图如图2．66b。由弯矩图可知，梁的中点弯矩最大，该处可能是危险截面；另外，在梁的C、D两处截面上，尽管弯矩不是最大，但该处是截面尺寸发生变化处，截面上的应力有可能最大。因此应分别校核梁的中点和C或D处截面的强度。先求出这些点的弯矩值如下： MA=MB=0 MC=MD=210kN.m Mmax=445 kN.m (3)校核强度 AC段或BD段上 C（或D）截面 由式(2—35)有  同理有CD段危险截面上 Mmax=445 kN.m，则  两危险截面处的强度均满足要求，故梁弯曲强度足够。 例2—22图2.67a所示起重机。梁由两根工字钢组成，起重机自重G=50kN，起重量F=10kN，材料的许用应力[σ]=160MPa。试按正应力强度条件选定工字钢型号(不考虑梁自重的影响)。  图2.67 起重机受力图 解：（1）取起重机为研究对象，求起重机对梁的作用力FC、′、FD′   得  则，  同理  所以， （2）求梁AB的支座反力（设DB=x时） 由得  即  同理由   (3)求最大弯矩(可能发生在C或D截面) 对于C截面：  令  D截面  令  (4)选取工字钢型号   查表，取N028a型工字钢，W=508.15cm3 4 提高梁的弯曲强度的主要措施 从前面的分析和计算可知，同样载荷情况下，弯曲正应力σmax越小强度越好。要使σmax减小，可从Mmax和WZ两个方面考虑，一是在相同载荷的情况下设法减小最大弯矩Mmax；二是在截面面积相同的情况下增大抗弯截面系数WZ，因此工程上可采取以下几项措施： （1）合理布置梁的支座和载荷 如图2.68a所示受均布载荷作用的简支梁，其弯矩最大值Mmax=ql2／8。若将支座改为图2.68b所示位置，则从弯矩图可知最大弯矩Mmax′=ql2／40，是原来的1／5，弯曲承载能力提高了4倍。  图2.68 合理布置梁的支座 （2）选择合理的截面形状 由弯曲强度条件可知，抗弯截面系数WZ越大，梁的抗弯曲强度越高。因此，应尽量选择横截面面积较小，而抗弯截面系数大的截面形状，即WZ／A值大的截面是合理截面。工程中常用截面的WZ／A值如下，设各式中h=d＝D。 圆形截面  矩形截面  工字钢  槽钢  圆环截面  从上述表达式可得如下结论：工字钢最好。 对于抗拉、压强度相等的材料，可选对称于中性轴的截面，使最大拉应力、压应力同时接近许用应力值；而对于抗拉、压强度不等的材料，一般抗压强度大于抗拉强度，最好采用中性轴靠近受拉一侧的截面，可实现最大拉应力和最大压应力同时接近许用拉、压应力。 （3）采用等强度梁 一般情况下，梁截面上弯矩随截面位置不同而变化。若能在弯矩较大处采用较大截面、弯矩较小处采用较小截面，就能实现全梁强度基本相等，即等强度梁。如  图2.70 等强度梁 图2.70a所示的悬臂梁、图2.70b的阶梯梁及图2.70c所示汽车车架上的纵梁等均为等强度梁。采用等强度梁既能满足强度要求，又减少了材料的消耗。 作业：p117 习题 16、17、21