例 ? ? xx c o ss i n ?? xs i n 是 xcos 的原函数,
? ? )0(1ln ??? xxx
xln 是 x1 在区间 ),0( ?? 内的原函数,
如果在区间 I 内，定义,可导函数 )( xF 的
即 Ix ??,都有 )()( xfxF ??
或 dxxfxdF )()( ?,那么函数 )( xF 就称为 )( xf
导函数为 )( xf,
或 dxxf )( 在区间 I 内 原函数,
一、原函数与不定积分的概念
原函数存在定理：
如果函数 )( xf 在区间 I 内连续，
简言之,连续函数一定有原函数,
问题,(1) 原函数是否唯一？
例 ? ? xx c o ss i n ??? ? xCx c o ss i n ???
（ 为任意常数）C
那么在区间 I 内存在可导函数 )( xF,
使 Ix ??,都有 )()( xfxF ??,
(2) 若不唯一它们之间有什么联系？
关于原函数的说明：
（ 1）若,则对于任意常数,)()( xfxF ?? C
CxF ?)( 都是 )( xf 的原函数,
（ 2）若 和 都是 的原函数，)(xF )(xG )(xf
则 CxGxF ?? )()( （ 为任意常数）C
证 ? ? )()()()( xGxFxGxF ???????
0)()( ??? xfxf
CxGxF ??? )()( （ 为任意常数）C
任
意
常
数
积
分
号
被
积
函
数
不定积分的定义：
在区间 I 内，
CxFdxxf ??? )()(
被
积
表
达
式
积
分
变
量
函数 )( xf 的带有任意
常数项的原函数 称为 )( xf 在区间 I 内的
不定积分,记为 ? dxxf )(,
例 1 求,5dxx?
解,6
5
6
xx ?
?
?
?
??
?
??
.6
6
5 Cxdxx ??? ?
解
例 2 求,1 1 2? ? dxx
? ?,1 1a r c t an 2xx ????
.a r c t an1 1 2? ???? Cxdxx
例 3 设曲线通过点（ 1,2），且其上任一点处的
切线斜率等于这点横坐标的两倍，求此曲线方程,
解 设曲线方程为 ),( xfy ?
根据题意知,2 xdxdy ?
即 )( xf 是 x2 的一个原函数,
,2 2? ?? Cxxdx?,)( 2 Cxxf ???
由曲线通过点（ 1,2）,1?? C
所求曲线方程为,12 ?? xy
函数 )( xf 的原函数的图形称为 )( xf 的 积分曲线,
显然，求不定积分得到一积分曲线族,
由不定积分的定义，可知
? ? ),()( xfdxxfdxd ??,)(])([ dxxfdxxfd ??
,)()(? ??? CxFdxxF,)()(? ?? CxFxdF
结论,微分运算与求不定积分的运算是 互逆 的,
实例
?
?
?
xx ?
?
?
?
??
?
?
?
?
1
1
.1
1
Cxdxx ?????
??
??
启示 能否根据求导公式得出积分公式？
结论 既然积分运算和微分运算是互逆的，
因此可以根据求导公式得出积分公式,
)1( ???
二,基本积分表
基
本
积
分
表
?
? ?? kCkxkdx ()1( 是常数 );
);1(1)2(
1
???????
??
?? Cxdxx;ln)3( ? ?? Cxxdx
说明,??,0x,ln? ?? Cxxdx
???? ])[ l n(,0 xx,1)(1 xxx ????
,)l n(? ???? Cxxdx,||ln? ??? Cxxdx
简写为,ln? ?? Cxxdx
??? dxx 21 1)4( ;a r c t a n Cx ?
??? dxx 21 1)5( ;a r c s i n Cx ?
? ?xdxc o s)6( ;s in Cx ?
? ?x d xs i n)7( ;c o s C??
?? xdx 2c os)8( ? ?x d x2s e c ;ta n Cx ?
?? xdx 2s i n)9( ? ?x d x2c s c ;c o t Cx ??
? ?x d xx t a ns e c)10( ;s e c Cx ?
? ?x d xx c o tc s c)11( ;c s c Cx ??
?? dxe x)12( ;Ce x ?
?? dxa x)13( ;ln Caa
x
?
? ?x d xs i n h)14( ;c o s h Cx ?
? ?xdxc o s h)15( ;s in h Cx ?
例 4 求积分,2 dxxx?
解 dxxx? 2 dxx?? 2
5
C
x
?
?
?
?
1
2
5
1
2
5
.72 2
7
Cx ??
根据积分公式（ 2） C
xdxx ?
??
?
? 1
1
?
?
?
? ?? dxxgxf )]()([)1( ;)()(? ?? dxxgdxx
证 ? ???? ? dxxgdxxf )()(?
? ? ? ????? ?? dxxgdxxf )()( ).()( xgxf ??
? 等式成立,
（此性质可推广到有限多个函数之和的情况）
三,不定积分的性质
? ?dxxkf )()2(,)? dxxfk
（ k 是常数,)0?k
例 5 求积分
解
.)
1
2
1
3(
22 dxxx? ???
dxxx )1 21 3( 22? ???
dxxdxx? ? ???? 22 1 121 13
xa r c t a n3? xa r c s in2? C?
例 6 求积分
解
.
)1(
1
2
2
dx
xx
xx?
?
??
dxxx xx? ??? )1(1 2
2
dxxx xx? ???? )1( )1( 2
2
dxxx? ?????? ??? 11 1 2 dxxdxx? ???? 11 1 2
.lna r c t a n Cxx ???
例 7 求积分
解
.
)1(
21
22
2
dx
xx
x?
?
?
dxxx x? ?? )1( 21 22
2
dxxx xx? ???? )1(1 22
22
dxxdxx ?? ??? 22 1 11
.a r c t a n1 Cxx ????
例 8 求积分
解
.2c os1 1? ? dxx
? ? dxx2c os1 1 ? ??? dxx 1c o s21 1 2
?? dxx2c os 121,t an21 Cx ??
说明,以上几例中的被积函数都需要进行
恒等变形，才能使用基本积分表,
例 9 已知一曲线 )( xfy ? 在点 ))(,( xfx 处的
切线斜率为 xx si nsec
2
?,且此曲线与 y 轴的交
点为 )5,0(,求此曲线的方程,
解,s i ns e c 2 xxdxdy ???
? ? dxxxy ? ??? s i ns e c 2
,c o st a n Cxx ???
,5)0( ?y?,6?? C
所求曲线方程为,6c o st a n ??? xxy
基本积分表 (1)
不定积分的性质
原函数的概念,)()( xfxF ??
不定积分的概念,? ?? CxFdxxf )()(
求微分与求积分的互逆关系
四,小结
思考题
符号函数 ?
?
?
?
?
??
?
?
??
0,1
0,0
0,1
s gn)(
x
x
x
xxf
在 内是否存在原函数？为什么？ ),( ????
思考题解答
不存在,
假设有原函数 )(xF ?
?
?
?
?
???
?
??
?
0,
0,
0,
)(
xCx
xC
xCx
xF
但 )( xF 在 0?x 处不可微，故假设错误
所以 在 内不存在原函数,),( ????)(xf
结论 每一个含有 第一类间断点 的函数都
没有原函数,
一,填空题：
1, 一个已知的函数，有 ______ 个原函数，其中任意
两个的差是一个 ______ ；
2, )( xf 的 ________ 称为 )( xf 的不定积分；
3, 把 )( xf 的一个原函数 )( xF 的图形叫做函数 )( xf
的 ________,它的方程是 )( xFy ?,这样不定积
?
dxxf )( 在几何上就表示 __ __ __ __,它的方程是
CxFy ?? )(；
4, 由 )()(
'
xfxF ? 可 知, 在 积 分 曲 线 族
CxFy ?? )(
)( 是任意常数C
上横坐标相同的点
处作切线，这些切线彼此是 ______ 的；
5, 若
)( xf
在某区间上 __ __ _ _,则在该区间上
)( xf
的
原函数一定存在；
练习题
6, ?
?
dxxx __ __ __ __ __ _ __ __ _ __ __ _ _ ；
7, ?
?
xx
dx
2
__ __ __ __ __ _ __ __ _ __ __ __ _ ；
8, ???? dxxx )23(
2
__ __ __ __ __ _ __ __ _ _ ；
9, ???? dxxx )1)(1(
3
_____ _ __ __ _ __ ；
10, ?
?
?
dx
x
x
2
)1(
=_ __ __ __ __ _ __ __ _ __ __ _,
二,求下列不定积分：
1, ?
?
dx
x
x
2
2
1
2, ?
???
dx
x
xx
3
2532
3, ? dx
x
2
co s
2
4, ? dx
xx
x
22
s i nco s
2co s
5, ? ? dxxx
x
)
1
1(
2
6, ?
?
?
xdx
x
xx
2
2
22
s e c
1
s i n
三、一曲线通过点 )3,(
2
e,且在任一点处的切线的斜
率等于该点横坐标的倒数，求该曲线的方程,
四、证明函数
xx
e
xexee
x
xxx
s i nhco s h
co s hs i nh,
2
1
2
?
都是和
的原函数,
一,1,无穷多,常数； 2,全体原函数；
3,积分曲线,积分曲线族； 4,平行； 5,连续；
6, Cx ?
2
5
5
2； 7, Cx ??
?
2
3
3
2；
8, Cxx
x
??? 2
2
3
3
2
3；
9, Cxxx
x
????
2
3
2
53
3
2
5
2
3
,
10, Cxxx ???
2
5
2
3
5
2
3
4
2,
练习题答案
二,1, Cxx ?? a r c t a n ； 2, Cx
x
?
?
?
3ln2ln
)
3
2
(5
2 ；
3, C
xx
?
?
2
sin； Cxx ??? )t a n( c o t.4 ；
5, C
x
x
?
?
4
2
7
)7(4； 6,
Cxa r cx ?? c o tt a n
.
三、
Cxy ?? ln
.