a b x
y
o
?A
曲边梯形由连续曲线
实例 1 （求曲边梯形的面积）
)( xfy ? )0)(( ?xf,
x 轴与两条直线 ax ?,
bx ? 所围成,
一、问题的提出
)( xfy ?
a b x
y
oa b x
y
o
用矩形面积近似取代曲边梯形面积
显然，小矩形越多，矩形总面积越接近
曲边梯形面积．
（四个小矩形） （九个小矩形）
观察下列演示过程，注意当分割加细时，
矩形面积和与曲边梯形面积的关系．
播放
曲边梯形如图所示，
,
],[
1210 bxxxxxa
ba
nn ??????? ??个分点，
内插入若干在区间
a b x
y
o i? ix1x 1?ix 1?nx;
],[
],[
1
1
?
?
??? iii
ii
xxx
xx
nba
长度为
，个小区间
分成把区间
，上任取一点
在每个小区间
i
ii xx
?
],[ 1?
iii xfA ?? )(?
为高的小矩形面积为为底，以 )(],[ 1 iii fxx ??
i
n
i
i xfA ?? ?
?
)(
1
?
曲边梯形面积的近似值为
i
n
i
i xfA ?? ?
??
)(l i m
10
?
?
时，趋近于零
即小区间的最大长度当分割无限加细
)0(
},,m a x {
,
21
?
????
?
? nxxx ?
曲边梯形面积为
实例 2 （求变速直线运动的路程）
设某物体作直线运动，已知速度 )( tvv ? 是
时间间隔 ],[ 21 TT 上 t 的一个连续函数，且
0)( ?tv,求物体在这段时间内所经过的路程,
思路,把整段时间分割成若干小段，每小段上
速度看作不变，求出各小段的路程再相加，便
得到路程的近似值，最后通过对时间的无限细
分过程求得路程的精确值．
（ 1）分割 212101 TtttttT nn ??????? ??
1???? iii ttt iii tvs ??? )(?
部分路程值 某时刻的速度
（ 2）求和 ii
n
i
tvs ?? ?
?
)(
1
?
（ 3）取极限 },,,m a x { 21 nttt ???? ??
i
n
i
i tvs ?? ?
??
)(l i m
10
?
?
路程的精确值
设函数 )( xf 在 ],[ ba 上有界，
记 },,,m a x { 21 nxxx ???? ??,如果不论对 ],[ ba
在 ],[ ba 中任意插入
若干个分点 bxxxxxa nn ??????? ? 1210 ?
把区间 ],[ ba 分成 n 个小区间，各小区间的长度依次为
1???? iii xxx, ),2,1( ??i,在各小区间上任取
一点 i? （ ii x??? ），作乘积 ii xf ?)( ? ),2,1( ??i
并作和 ii
n
i
xfS ?? ?
?
)(
1
?,
二、定积分的定义
定义
怎样的分法，
? ??ba Idxxf )( ii
n
i
xf ??
??
)(lim
10
?
?
被
积
函
数
被
积
表
达
式
积
分
变
量
积分区间],[ ba
也不论在小区间 ],[ 1 ii xx ? 上
点 i? 怎样的取法,只要当 0?? 时，和 S 总趋于
确定的极限 I,我们称这个极限 I 为函数 )( xf
在区间 ],[ ba 上的 定积分,记为
积分上限
积分下限
积分和
注意：
（ 1 ） 积分值仅与被积函数及积分区间有关,
?ba dxxf )( ?? ba dttf )( ?? ba duuf )(
（ 2 ）定义中区间的分法和 i? 的取法是任意的,
（ 3 ）当函数 )( xf 在区间 ],[ ba 上的定积分存在时，
而与积分变量的字母无关,
称 )( xf 在区间 ],[ ba 上 可积,
当函数 )( xf 在区间 ],[ ba 上连续时，定理 1
定理 2 设函数 )( xf 在区间 ],[ ba 上有界，
称 )( xf 在区间 ],[ ba 上可积,
且只有有限个间断点,则 )( xf 在
三、存在定理
区间 ],[ ba 上可积,
,0)( ?xf ? ?ba Adxxf )( 曲边梯形的面积
,0)( ?xf ? ??ba Adxxf )( 曲边梯形的面积的负值
1A
2A
3A
4A
4321)( AAAAdxxf
b
a? ?
? ? ?
四、定积分的几何意义
几何意义：
积取负号．
轴下方的面在轴上方的面积取正号；在
数和．之间的各部分面积的代直线
的图形及两条轴、函数它是介于
xx
bxax
xfx
??,
)(
?? ?
?
例 1 利用定义计算定积分,10 2dxx?
解 将 ]1,0[ n 等分，分点为 n
ix
i ?, ( ni,,2,1 ?? )
小区间 ],[ 1 ii xx ? 的长度 nx i 1??, ( ni,,2,1 ?? )
取 ii x??, ( ni,,2,1 ?? )
ii
n
i
xf ??
?
)(
1
? ii
n
i
x?? ?
?
2
1
?,
1
2
i
n
i
i xx ?? ?
?
nn
in
i
12
1
??
?
??
?
?? ?
?
?
?
?
n
i
in
1
2
3
1
6
)12)(1(1
3
???? nnn
n
,121161 ?????? ??????? ?? nn ???? n0?
dxx?10 2 ii
n
i
x?? ?
??
2
10
l i m ?
?
?????? ??????? ?? ?? nnn 121161l i m,31?
例 2 利用定义计算定积分,121 dxx?
解 在 ]2,1[ 中插入分点 12,,,?nqqq ?,
典型小区间为 ],[ 1 ii qq ?, （ ni,,2,1 ?? ）
小区间的长度 )1(11 ????? ?? qqqqx iiii,
取 1?? ii q?, （ ni,,2,1 ?? ）
ii
n
i
xf ??
?
)(
1
? i
n
i i
x?? ?
? 1
1
? )1(
1 1
1
1 ??
?
?
?? qqq
i
n
i
i
?
?
??
n
i
q
1
)1( )1( ?? qn 取 2?nq 即 nq 12?
),12( 1 ?? nn
)12(l i m 1 ???? xxx?
x
x
x 1
12
l i m
1
?
?
???,2ln?
)12(l i m
1
??
??
n
n
n,2ln?
dxx?21 1 i
n
i i
x?? ?
?? 10
1lim
?? )12(l i m
1
??
??
n
n
n,2ln?
ii
n
i
xf ??
?
)(
1
?
例 3 设函数 )( xf 在区间 ]1,0[ 上连续，且取正值,
证明
n
n n
nf
nfnf ??
??
?
??
?
??
?
???
?
??
?
?
??
?21lim
?
?
??
?
? ?
?
??
?
??
?
??
?
???
?
??
?
?
???
n
n n
nf
nfnfe ?
21l i mln
n
n n
nf
nfnf ??
??
?
??
?
??
?
???
?
??
?
?
??
?21lim试证,
1
0
)(ln?? dxxfe
利用对数的性质得
???????
? ??? n
if
n
n
ine 1
ln1l i m nnif
n
ine
1lnl i m
1
??
?
??
?
??
? ???
指数上可理解为,)(ln xf 在 ]1,0[ 区间
上的一个积分和,分割是将 ]1,0[ n 等分
分点为 nix i ?, （ ni,,2,1 ?? ）
?
?
??
?
? ?
?
??
?
??
?
??
?
???
?
??
?
?
???
n
n n
nf
nfnfe ?
21lnlim
极限运算与对数运算换序得
nn
ifn
in
1lnl i m
1
??
?
??
?
??
??? ?
? 10 )(ln dxxf
故 nn n
nf
nfnf ??
??
?
??
?
??
?
???
?
??
?
?
??
?21lim
.
1
0
)(ln?? dxxfe
因为 )( xf 在区间 ]1,0[ 上连续，且 0)( ?xf
所以 )(ln xf 在 ]1,0[ 上有意义且可积,
五、小结
１．定积分的实质,特殊和式的极限．
２．定积分的思想和方法：
分割 化整为零
求和 积零为整
取极限 精确值 —— 定积分
求近似以直（不变）代曲（变）
取极限
思考题
将和式极限：
??
?
??
? ???????
?? n
n
nnnn
)1(s i n2s i ns i n1lim ?
表示成定积分,
思考题解答
原式
??
?
??
? ??????????
?? n
n
n
n
nnnn s i n
)1(s i n2s i ns i n1lim ?
?? ?
???
n
in n
i
n 1 s i n
1lim
nn
in
in
???
?
??
?
? ?
?? ???? 1 s inlim
1
.s i n1 0? ??? xdx
ix?i?
一,填空题：
1, 函数 )( xf 在 ? ?ba,上的定积分是积分和的极限，
即 ?
?
b
a
dxxf )( ____ ______ ___ ____,
2, 定积分的值只与 ______ 及 ___ ____ 有关，而与
____ _____ 的记法无关,
3, 定积分的几何意义是 _ ______ ___ ______ ______ _,
4, 区间
? ?ba,
长度的定积分表示是 ___ ______ __ _ _,
二,利用定积分的定义计算由抛物线,1
2
?? xy 两直线
)(,abbxax ??? 及横轴所围成的图形的面积,
三,利用定积分的定义计算积分 ?
b
a
xdx, )( ba ?,
练 习 题
四,利用定积分的几何意义，说明下列等式：
1,
4
1
1
0
2
?
??
?
dxx ;
2,
??
??
?
?
?
2
0
2
2
co s2co s xdxxdx ;
五,水利工程中要计算拦水闸门所受的水压力，已知
闸门上水的
是压强 P 的水深 h
函数，且有
)(8.9
2
米千米hp ?,若闸门高 米3?H,宽
米2?L
，求水面与闸门顶相齐时闸门所受的水
压力
P
（见教材图 5-3 ）,
一,1, ?
?
?
?
n
i
ii
xf
1
0
)(lim ?
?；
2,被积函数,积分区间,积分变量；
3,介于曲线 )( xfy ?,轴x,直线 bxax ??,之间
各部分面积的代数和；
4,
?
b
a
dx,
二,abab ??? )(
3
1
33
.
三,)(
2
1
22
ab ?,
五,88.2( 千牛 ).
练习题答案