一、无穷限的广义积分的审敛法
收敛．上有界，则广义积分在
．若函数且
上连续，在区间定理１　设函数
?
?
??
??
??
??
a
x
a
dxxfa
dttfxFxf
axf
)(),[
)()(0)(
),[)(
不通过被积函数的原函数判定广义积分收
敛性的判定方法,
由定理 1，对于非负函数的无穷限的广义积
分有以下比较收敛原理．
也发散．发散，则且
并也收敛；如果
收敛，则并且
上连续，如果区间
在、设函数比较审敛原理　定理
??
??
????
????
??????
???
?????
aa
aa
dxxfdxxg
xaxfxg
dxxfdxxgx
axgxfa
xgxf
)()(
),()()(0
)()(),
()()(0),[
)()()(2
证
.)()()(
)()()(0
???
?
??
??
??
??????
a
b
a
b
a
a
dxxgdxxgdxxf
dxxgxgxfba
收敛，得
及，由设
上有上界．在即 ),[)()( ??? ? adxxfbF ba
由定理１知 收敛．? ??
a dxxf )(
.)(
,)(),()(0
必定发散则
发散且如果
?
?
??
??
??
a
a
dxxf
dxxgxfxg
也收，这与假设矛盾．
收敛，由第一部分知如果
?
?
??
??
a
a
dxxg
dxxf
)(
)(?
例如，
?
?
?
?
??? ??
时发散．当
时收敛；当广义积分
1
1)0(
P
pa
x
dx
a p
发散．则
，，使得常数
收敛；如果存在则
，使得及存在常数
如果上连续，且
在区间设函数比较审敛法１　定理
?
?
??
??
??????
????
???
????
a
a
p
dxxf
xa
x
N
xfN
dxxfxa
x
M
xfpM
xfaa
xf
)(
)()(0
)(),(
)(10
.0)()0(),[
)()(3
例１,1
1 3 4
的收敛性判别广义积分 ? ?? ?xdx
解,11
1
10
3/43 43 4 xxx ?????,13
4 ??p
根据比较审敛法１，
.1
1 3 4
收敛广义积分 ? ?? ?xdx
发散．
则或如果
收敛；存在，则使得
，如果存在常数上连续，且
在区间设函数极限审敛法１　定理
?
?
??
??????
??
???
?????
???
??
a
xx
a
p
x
dxxf
xxfdxxf
dxxfxfx
pxfa
axf
)(
),)(lim(0)(lim
)()(lim
1.0)()0(
),[)()(4
例２,1
1 2
的收敛性判别广义积分 ? ?? ? xx dx
解,11 1lim 22 ???
??? xx
x
x
? 所给广义积分收敛．
例３,11 2
2/3
的收敛性判别广义积分 dxxx? ?? ?
解 2
2
2
2/3
1lim1lim x
xx
x
xx
xx ?
??
??????
?,???
根据极限审敛法１，所给广义积分发散．
例４,a r ct a n1 的收敛性判别广义积分 dxx x? ??
解 xx xx xx a r ct a nlima r ct a nlim ?????? ?,2??
根据极限审敛法１，所给广义积分发散．
也收敛．收敛；则如果
上连续，在区间　设函数定理
??
????
??
aa
dxxfdxxf
axf
)()(
),[)(5
证 ).)()((21)( xfxfx ???令
,)()(0)( xfxx ?? ??,且?,)( 收敛dxxfa? ??
.)( 也收敛dxxa? ??? ?,)()(2)( xfxxf ?? ?但
,)()(2)( ??? ??? bababa dxxfdxxdxxf ?
.)()(2)( ??? ?????? ?? aaa dxxfdxxdxxf ?即 收敛,
.
)(5
称为绝对收敛
条件的广义积分满足定理定义 ?
??
a
dxxf
必定收敛．绝对收敛的广义积分 ? ??a dxxf )(
例 5
.)0
,(s i n
0
的收敛性常数
都是判别广义积分
?
?
?? ?
a
badxbxe ax
解,,s i n 0 收敛而 ? ?? ??? ? dxeebxe axaxax?
.s i n0 收敛? ?? ?? dxbxe ax所以所给广义积分收敛,
二、无界函数的广义积分的审敛法
.)(
),(
)(
)(10
)(),
(
)(
)(10
.)(lim,0)(
],()()2(6
0
发散则广义积分
，使得及
收敛；如果存在常数则广义积分
，使得及常数
如果存在上连续，且
在区间设函数比较审敛法　定理
?
?
??
?
???
?
?
?
???
????
??
b
a
q
b
a
q
ax
dxxf
bxa
ax
N
xfqN
dxxfb
xa
ax
M
xfqM
xfxf
baxf
发散．分
则广义积或
，使得如果存在常数
收敛；则广义积分存在
，使得如果存在常数
上连续，且
在区间　设函数极限审敛法定理７
?
?
??????
??
???
????
??
??
??
??
b
a
q
ax
q
ax
b
a
q
ax
ax
dxxf
xfaxd
xfaxq
dxxf
xfaxq
xfxfba
xf
)(
),)()(l i m(0
)()(l i m1
)(,
)()(l i m10
.)(l i m,0)(],(
)()2(
0
0
0
0
例 6,ln31 的收敛性判别广义积分 ? xdx
解 的左邻域内无界．被积函数在点 1?x?
由洛必达法则知
x
x
x
xx 1
1lim
ln
1)1(lim
0101 ????
??,01 ??
根据极限审敛法 2,所给广义积分发散,
例 7,
1s i n
3
1
的收敛性判别广义积分 dx
x
x?
解
也收敛．从而 dx
x
x? 1
0
1s in
收敛，而
０?
?
1
,
1
1
s i n
x
dx
xx
x?
收敛，dx
x
x? 1
0
1
s i n
根据比较审敛原理,
)0()( 0 1 ??? ? ?? ?? sdxxes sx定义
特点, 1.积分区间为无穷 ;
.
001.2
右领域内无界
的时被积函数在点当 ??? xs
,,1 1210 11 ?? ?? ???? ?? dxxeIdxxeI sxsx设;,1)1( 1 是常义积分时当 Is ? 10 时当 ?? s
函数三,??
,111 111 sxssx xexxe ???? ?????
.,2,11 1 收敛根据比较审敛法而 Is ??
,0lim)(lim)2(
1
12 ???
?
???
??
??? x
s
x
sx
x e
xxex?
.,1 2 也收敛根据极限审敛法 I
.0
)2(),1(
0
1 均收敛对
知由
??
?? ??
sdxxe sx
s
)(s?
o
－函数的几个重要性质：
).0()()1( ????? ssss１．递推公式
.)(0 ?????? ss 时，２．当
).10(s i n)1()(3 ???????? ssss．余元公式
.2)(
)(
0
12
2
0
1
2
?
?
??
??
??
??
??
???
duues
uxdxxes
su
sx
有
，中，作代换４．在
?
四、小结
比较审敛法１ 极限审敛法１
无穷限的广义积分审敛法
比较审敛法２ 极限审敛法２
无界函数的广义积分审敛法
广义积分审敛法
绝 对 收 敛
练 习 题;
23
.4;
)(l n
.3;
1
s i n.2;
1
.1
2
1 3 2
2
1
3
1
2
0
24
2
??
??
??
??
????
xx
dx
x
dx
dx
x
dx
xx
x
的收敛性：一、判别下列广义积分
.)
1
( l n.2);0(.1
1
00 ??
?
??
??
? dx
x
ndxe px
n
收敛范围：
指出这些积分的函数表示下列积分，并二、用
).
2
1()(2)2(
:
12 ????? ? nnn
n
n?
为自然数）三、证明（其中
练习题答案
一,1、收敛； 2、收敛； 3、发散； 4、收敛；
.1),1(2;0),1(11
????
??
pp
n
nn
、
、二、