x
y
z
o
0M M如果一非零向量垂直
于一平面，这向量就叫做
该平面的 法线向量,
法线向量的 特征, 垂直于平面内的任一向量．
已知 },,,{ CBAn ?? ),,,( 0000 zyxM
设平面上的任一点为 ),,( zyxM
nMM ??0必有 ? 00 ??nMM ?
一、平面的点法式方程 n?
},,{ 0000 zzyyxxMM ?????
0)()()( 000 ??????? zzCyyBxxA
平面的点法式方程
平面上的点都满足上方程，不在平面上的
点都不满足上方程，上方程称为平面的方程，
平面称为方程的图形．
其中法向量 },,,{ CBAn ?? 已知点 ).,,( 000 zyx
例 1 求过三点 )4,1,2( ?A, )2,3,1( ??B 和
)3,2,0(C 的平面方程,
解 }6,4,3{ ???AB
}1,3,2{ ???AC
取 ACABn ??? },1,9,14{ ??
所求平面方程为,0)4()1(9)2(14 ?????? zyx
化简得,015914 ???? zyx
例 2 求过点 )1,1,1(,且垂直于平面 7??? zyx 和
051223 ???? zyx 的平面方程,
},1,1,1{1 ??n? }12,2,3{2 ??n?
取法向量 21 nnn ??? ?? },5,15,10{?
,0)1(5)1(15)1(10 ?????? zyx
化简得,0632 ???? zyx
所求平面方程为
解
由平面的点法式方程
0)()()( 000 ?????? zzCyyBxxA
0)( 000 ??????? CzByAxCzByAx D?
0???? DCzByAx 平面的一般方程
法向量 }.,,{ CBAn ??
二、平面的一般方程
平面一般方程的几种特殊情况：
,0)1( ?D 平面通过坐标原点；
,0)2( ?A ??
?
?
?
,0
,0
D
D 平面通过 轴；x
平面平行于 轴；x
,0)3( ?? BA 平面平行于 坐标面；xoy
类似地可讨论 情形, 0,0 ???? CBCA
0,0 ?? CB类似地可讨论 情形,
例 3 设平面过原点及点 )2,3,6( ?,且与平面
824 ??? zyx 垂直，求此平面方程,
设平面为,0???? DCzByAx
由平面过原点知,0?D
由平面过点 )2,3,6( ? 知0236 ??? CBA
},2,1,4{ ??n?? 024 ???? CBA
,32 CBA ????
.0322 ??? zyx所求平面方程为
解
例 4 设平面与 zyx,,三轴分别交于 )0,0,( aP,
)0,,0( bQ, ),0,0( cR （其中 0?a, 0?b, 0?c ），
求此平面方程,
设平面为,0???? DCzByAx
将三点坐标代入得 ?
?
?
?
?
??
??
??
,0
,0
,0
DcC
DbB
DaA
?,aDA ??,bDB ??,cDC ??
解
,aDA ??,bDB ??,cDC ??将
代入所设方程得
1??? czbyax 平面的截距式方程
x 轴上截距 y 轴上截距 z 轴上截距
例 5 求平行于平面 0566 ???? zyx 而与三个坐
标面所围成的四面体体积为一个单位的平面方程,
设平面为,1??? czbyax
x
y
z
o,1?V?,12131 ??? abc
由所求平面与已知平面平行得
,6
1
1
1
6
1
cba ??（向量平行的充要条件）
解
,61161 cba ??化简得 令 tcba ??? 61161
,61ta ??,1tb?,61tc ?
ttt 6
11
6
1
6
11 ?????
代入体积式
,61?? t
,1,6,1 ???? cba
.666 ??? zyx所求平面方程为
定义
（通常取锐角）
1?
1n?
2?
2n? ?
两平面法向量之间的夹角称为两平面的
夹角,
,0,11111 ????? DzCyBxA
,0,22222 ????? DzCyBxA
},,,{ 1111 CBAn ??
},,,{ 2222 CBAn ??
三、两平面的夹角
按照两向量夹角余弦公式有
2
2
2
2
2
2
2
1
2
1
2
1
212121 ||co s
CBACBA
CCBBAA
?????
????
两平面夹角余弦公式
两平面位置特征：
21)1( ??? ;0212121 ????? CCBBAA
21)2( ??//,
2
1
2
1
2
1
C
C
B
B
A
A ????
例 6 研究以下各组里两平面的位置关系：
013,012)1( ???????? zyzyx
01224,012)2( ????????? zyxzyx
02224,012)3( ????????? zyxzyx
解 )1( 22222 31)1(2)1( |311201|cos ?????? ????????
60
1cos ?? 两平面相交，夹角
.601ar c c os??
)2( },1,1,2{1 ??n? }2,2,4{2 ???n?
,212 142 ?????? 两平面平行
21 )0,1,1()0,1,1( ???? MM?
两平面平行但不重合．
)3(,2 12 142 ??????
21 )0,1,1()0,1,1( ???? MM?
两平面平行
两平面重合,?
例 7 设 ),,( 0000 zyxP 是平面 ByAx ? 0??? DCz
外一点，求 0P 到平面的距离,
??? ),,( 1111 zyxP
|Pr| 01 PPjd n?
?1P N
n?
0P?
00101Pr nPPPPj n ??
},,{ 10101001 zzyyxxPP ????
解
??
?
??
?
??????? 222222222
0,,
CBA
C
CBA
B
CBA
An
00101Pr nPPPPj n ???
222
10
222
10
222
10 )()()(
CBA
zzC
CBA
yyB
CBA
xxA
??
??
??
??
??
??
,)( 222 111000 CBA CzByAxCzByAx ?? ??????
0111 ???? DCzByAx? )( 1 ??P
?01Pr PPjn?,222 000 CBA DCzByAx ?? ???
.|| 222 000 CBA DCzByAxd ?? ?????
点到平面距离公式
平面的方程
（熟记平面的几种特殊位置的方程）
两平面的夹角,
点到平面的距离公式,
点法式方程,
一般方程,
截距式方程,
?
?
?
?
?
（注意两平面的 位置 特征）
四、小结
思考题 若平面 02 ??? zkyx 与平面
032 ??? zyx 的夹角为
4
?
，求??k
思考题解答
,
1)3(2)2(1
12)3(21
4c os 222222 ???????
????????
k
k
,145 321 2 ???? k k,
2
70??? k
一,填空题：
1, 平面 0??? CzByAx 必通过 _______, （其中
CBA,,不全为零）；
2,平面 0??? DCzBy ______ _ ___ x 轴；
3,平面 0?? CzBy _______ x 轴；
4,通过点 )1,0,3( ? 且与平面 012573 ???? zyx 平
行的平面方程为 _____ _ ___ ；
5,通过 ),0,0()0,,0()0,0,( cba,,三点的平面方
______ _ _____ ___ ；6, 平面 0522 ???? zyx 与 xoy 面的夹角余弦为 ___
_ _ _ _ _ _ _ _,与 y o z 面的夹角余弦为 _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _,
与 z o x 面的夹角的余弦为 _ _ _ _ _ _ _ _ _ ；
练 习 题
二,指出下列各平面的特殊位置，并画出各平面：
1, 0632 ??? yx ；
2, 1?? zy ；
3, 056 ??? zyx,
三,求过点 )2,2,2(,)1,1,1( ??? 和 )2,1,1( ? 三点的
平面方程,
四,点
)1,0,1( ?
且平行于向量 ? ?1,1,2?a 和
? ?0,1,1 ??b 的平面方程,
五,求通过 Z 轴和点 )2,1,3( ?? 的平面方程,
六,求与已知平面 0522 ???? zyx 平行且与三
坐标面所构成的四面体体积为 1 的平面方程,
一,1, (0,0,0) ； 2,平行于； 3,通过；
4, 04573 ???? zyx ； 5, 1???
c
z
b
y
a
x；
6,
3
2
,
3
2
,
3
1
?,
二,1,平行于 轴z 的平面； 2,平行于 轴x 的平面；
3,通过原点的平面,
三,023 ??? zyx, 四,43 ??? zyx,
五、
03 ?? yx
,六、
3
3222 ??? zyx,
练习题答案