x横轴
y 纵轴
z竖轴
?定点 o
空间直角坐标系
三个坐标轴的正方向
符合 右手系,
即以右手握住 z 轴，
当右手的四个手指
从正向 x 轴以
2
?
角
度转向正向 y 轴
时，大拇指的指向
就是
z
轴的正向,
一、空间点的直角坐标
Ⅶ x
yo
z
xoy 面
yoz 面
zox 面
空间直角坐标系共有 八个卦限
Ⅰ
Ⅱ
Ⅲ
Ⅳ
Ⅴ
Ⅵ
Ⅷ
空间的点 有序数组 ),,( zyx?? ?? ?? 11
特殊点的表示,
)0,0,0(O
),,( zyxM?
x
y
z
o
)0,0,(xP
)0,,0( yQ
),0,0( zR
)0,,( yxA
),,0( zyB
),,( zoxC
坐标轴上的点,P,Q,R
坐标面上的点,A,B,C
设 ),,( 1111 zyxM, ),,( 2222 zyxM 为空间两点
x
y
z
o
?1M
P N
Q
R ?
2M
21 ?? MMd
在直角 21 NMM?
及直角 PNM 1?
中，使用勾股定
理知
,222212 NMPNPMd ???
二、空间两点间的距离
,121 xxPM ???
,12 yyPN ??
,122 zzNM ??
22221 NMPNPMd ????
? ? ? ? ? ?,21221221221 zzyyxxMM ??????
空间两点间距离公式
特殊地：若两点分别为,),,( zyxM )0,0,0(O
OMd ?,222 zyx ???
x
y
z
o
?1M
P NQ
R ?
2M
例 1 求证以 )1,3,4(1M, )2,1,7(2M, )3,2,5(3M
三点为顶点的三角形是一个等腰三角形,
解 ?221 MM,14)12()31()47( 222 ??????
?232 MM,6)23()12()75( 222 ??????
?213 MM,6)31()23()54( 222 ??????
32 MM?,13 MM? 原结论成立,
例 2 设 P 在 x 轴上，它到 )3,2,0(1P 的距离为
到点 )1,1,0(2 ?P 的距离的两倍，求点 P 的坐标,
解 设 P点坐标为 ),0,0,(x因为 P 在 x 轴上，
?1PP ? ? 222 32 ??x,112 ?? x
?2PP ? ? 222 11 ???x,22 ?? x
?1PP?,2 2PP 112 ?? x 22 2 ?? x
,1??? x 所求点为 ).0,0,1(),0,0,1( ?
空间直角坐标系
空间两点间距离公式
（注意它与平面直角坐标系的 区别 ）
（轴、面、卦限）
三、小结
? ? ? ? ? ? 21221221221 zzyyxxMM ??????
思考题
在空间直角坐标系中，指出下列各
点在哪个卦限？
,)3,2,1( ?A,)4,3,2( ?B
,)4,3,2( ??C,)1,3,2( ??D
思考题解答
A:Ⅳ ; B:Ⅴ ; C:Ⅷ ; D:Ⅲ ;
1、下列各点所在象限分别是：
? ?
? ?
? ?
? ? _ _ _ _ _ _ _ ;1,3,2d
_ _ _ _ _ _ _ _4,3,2c
_ _ _ _ _ _ _ _4,3,2b
_ _ _ _ _ _ _ _ _3,2-,1 a
在、；在、；在、；在、
??
??
?；轴的对称点是，关于
轴的对称点是，关于的对称点是
轴，关于的对称点是关于平面
的对称点是，关于平面
的对称点是关于平面、点
_ _ _ _ _ _ _ _ __ _ _ _ _ _ _ _ _
_ _ _ _ _ _ _ _ _
_ _ _ _ _ _ _ _
_ _ _ _ _ _,_ _ _ _ _ _ _ _
)1,2,3(2
z
y
xz o x
yo z
xoyp ??一、填空题
练习题
3,点 )5,3,4( ?A 在 xoy 平面上的射影点为 _____
____ __,在 y o z 面上的射影点为 ____ ______,在
z o x 轴上的射影点为 ___ ______,在 轴上x 的射影
点为 ______ __,在 轴上x 的射影点为 ______,在
轴上z 的射影点为 __ _____ ;
4,已知空间直角坐标系下，立方体的 4 个顶点为
),,( aaaA ???, ),,( aaaB ??, ),,( aaaC ?? 和
),,( aaaD,则其余顶点分别为 ___ __ ___ _, ____
_ ___ ___ _ __, ___ ___ ___ _, ___ _ ___ __ ;
5,已知三角形的三个顶点 )4,1,2( ?A, )6,2,3( ?B,
)2,0,5( ?C 则 （ 1 ）过 A 点的中线长为 __________ ;
（ 2 ）过 点的B 中线长为 _ _ _ _ _ _ _ _ ； （ 3 ）过 点的B 中 线
长为 _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ ；
6,已知平行四边形 A B C D 的两个顶点 )5,3,2( ??A,
)2,3,1( ?B 的及它的对角线的交点 )7,1,4( ?E,则
顶点 的坐标D 为 _ _ _ _ _ _ _ _ _,顶点 的坐标D 为 _ _ _ _ _
_ _ _ _ _ _ ；7,若直线段落 AB 被点 )2,0,2(C 及点 )0,2,5( ?D 内
分为 3 等分，则 A端点 的坐标为 ___ _ ___ __, B端点
的坐标为 ___ ___ __ _,
二、在 y o z 面上，求与三个已知点 )2,1,3(A,
)2,2,4( ??B 和 )1,5,0(C 等距离的点,
一,1,Ⅳ,Ⅴ,Ⅷ,Ⅲ；
2, ( -3,2,1 ),(3,2,- 1),( -3,- 2,-1 ),
(- 3,-2,1 ),(3,2,1 ),(3,- 2,-1 ) ；
3, ( -4,3,0 ),(0,3,5 ),(- 4,0,5),
(- 4,0,0),( 0,3,0),( 0,0,5) ；
4, ),,,( aaa ? ),,(),,,(),,,( aaaaaaaaa ???? ；
5, 7,430
2
1
,262
2
1； 6, (6,1,19 ),(9,- 5,12 ) ；
7, ( -1,2,4 ),(8,- 4,-2 ) ；
8, ?
?
?
4
1
4
1
i
i
xx,?
?
?
4
1
4
1
i
i
yy,?
?
?
4
1
4
1
i
i
zz,
练习题答案
二,( 0,1,- 2 ),