x
y
o
)( xfy ?
a b x
y
o )(1 xfy ?
)(2 xfy ?
a b
曲边梯形的面积
?? ba dxxfA )(
曲边梯形的面积
? ?? ba dxxfxfA )]()([ 12
一、直角坐标系情形
x xxx ?? x?
例 1 计算由两条抛物线 xy ?2 和 2xy ? 所围成的
图形的面积,
解 两曲线的交点
)1,1()0,0(
面积元素 dxxxdA )( 2??
选 为积分变量x ]1,0[?x
dxxxA )( 210 ?? ?
1
0
3
33
2
2
3
??
?
??
? ?? xx
.31?
2xy ?
2yx ?
例 2 计算由曲线 xxy 63 ?? 和 2xy ? 所围成
的图形的面积,
解 两曲线的交点
).9,3(),4,2(),0,0( ??
?
?
?
?
??
2
3 6
xy
xxy
选 为积分变量x ]3,2[??x
],0,2[)1( ??x dxxxxdA )6( 231 ???
],3,0[)2( ?x dxxxxdA )6( 322 ???
2xy?
xxy 63 ??
于是所求面积 21 AAA ??
dxxxxA )6( 20 2 3 ??? ?? dxxxx )6( 3230 ??? ?
.12253?
说明：注意各积分区间上被积函数的形式．
问题,积分变量只能选 吗？x
例 3 计算由曲线 xy 22 ? 和直线 4?? xy 所围
成的图形的面积,
解 两曲线的交点
).4,8(),2,2( ??
?
?
?
??
?
4
22
xy
xy
选 为积分变量y
]4,2[??y dy
yydA ?
?
??
?
? ???
24
2
.184 2 ?? ??dAA
xy 22?
4??xy
如果曲边梯形的曲边为参数方程
??
?
?
?
)(
)(
ty
tx
?
?
曲边梯形的面积,)()(2
1?
?? tt dtttA ??
（其中 1t 和 2t 对应曲线起点与终点的参数值）
在 [ 1t,2t ] （或 [ 2t,1t ] ）上 )( tx ?? 具有连续导数，
)( ty ?? 连续,
例 4 求椭圆 12
2
2
2
?? byax 的面积,
解 椭圆的参数方程
??
?
?
?
tby
tax
s in
c o s
由对称性知总面积等于 4倍第一象限部分面积．
?? a y d xA 04 ??? 0
2
)c os(s i n4 tatdb
dttab ? ?? 20 2s i n4,ab??
设由曲线 )( ???r 及射线
?? ?, ?? ? 围成一曲边扇
形，求其面积．这里,)(??
在 ],[ ?? 上连续，且 0)( ???,
xo
?? ?
?d
?? ? ?
?? d?
面积元素 ??? ddA 2)]([21?
曲边扇形的面积,)]([21 2 ????
? dA ??
二、极坐标系情形
)(???r
例 5 求双纽线 ?? 2c o s22 a? 所围平面图形
的面积,
解 由对称性知总面积 =4倍第
一象限部分面积
14 AA ?
??? daA 2c os214 40 2??,2a? ?? 2cos22 a?
1A
例 6 求心形线 )cos1( ??? ar 所围平面图形的
面积 )0( ?a,
解 ?? dadA 22 )c os1(21 ??
利用对称性知
.23 2a??
?d
?? d2)c o s1( ? ? ??? 02212 aA
??? d)c o sc o s21( 2????? 02a
??
?
??
? ??? ??? 2s i n
4
1s i n2
2
32a ?
0
求在直角坐标系下、参数方程形式
下、极坐标系下平面图形的面积,
（注意恰当的 选择积分变量 有助于简化
积分运算）
三、小结
思考题
设曲线 )( xfy ? 过原点及点 )3,2(,且 )( xf
为单调函数，并具有连续导数，今在曲线上任
取一点作两坐标轴的平行线，其中一条平行线
与 x 轴和曲线 )( xfy ? 围成的面积是另一条平
行线与 y 轴和曲线 )( xfy ? 围成的面积的两
倍，求曲线方程,
思考题解答
1S
2S
x
y
o
)( xfy ?
),( yx12 2 SS ?
?? x dxxfS 02 )(?
????? x dxxfxySxyS 021 )(
])([2)( 00 ?? ??? xx dxxfxydxxf
,2)(3 0 xydxxfx ?? ? 两边同时对 求导
yxyxf ??? 22)(3 yyx ??? 2
积分得,2 cxy ?
因为曲线 )( xfy ? 过点 )3,2(29?? c
,292 xy ?? 因为 )( xf 为单调函数
所以所求曲线为,223 xy ?
一,填空题：
1, 由曲线 eyey
x
??,及 y 轴所围成平面区域的面积
是 __ __ __ __ __ __ _ _,
2, 由曲线
2
3 xy ?? 及直线 xy 2? 所围成平面区域的
面积是 __ __ _,
3, 由曲线 1,1,1,1
2
?????? xxyxxy 所围成
平面区域的面积是 _ __ __ __,
4, 计算 xy 2
2
? 与 4?? xy 所围的区域面积时，选用
____ 作变量较为简捷,
5, 由曲线
xx
eyey
?
??,与直线 1?x 所围成平面区
域的面积是 _ _ _ _ _ _ _ _ _,
练 习 题
6 曲线 2xy ? 与它两条相互垂直的切线所围成平面图
形的面积 S,其中一条切线与曲线相切于点
),( 2aaA, 0?a,则当 ?a __ 时，面积 S 最小,
二,求由下列各曲线所围成的图形的面积：
1,
x
y
1
? 与直线 xy ? 及 2?x ；
2, ?y
2
x 与直线 xy ? 及 xy 2? ；
3, )c o s2(2 ??? ar ；
4,摆线 )c o s1(,)s i n( tayttax ???? )20( ??? t 及
x 轴；
5, ?c o s3?r 及 ?c o s1 ??r 的公共部分；
6,笛卡尔叶形线 axyyx 3
33
??,
三,求抛物线 34
2
???? xxy 及其在点 )3,0( ? 和
)0,3( 处的切线所围成的图形的面积,
四,求位于曲线
x
ey ? 下方，该曲线过原点的切线的
左方以 轴及 x 上方之间的图形的面积,
五,求由抛物线 axy 4
2
? 与过焦点的弦所围成的图形
面积的最小值,
一,1, 1 ； 2,
3
32； 3, 2 ；
4, y ； 5, 2
1
??
e
e ； 6,
2
1
.
二,1, 2ln
2
3
? ； 2,
6
7； 3,
2
a? ；
4,
2
3 a? ； 5, ?
4
5； 6,
2
2
3
a,
三、
4
9
,四、
2
e
,五、
2
3
8
a,练习题答案