x
y
z
o
1?
2?
定义 空间直线可看成两平面的交线．
0,11111 ????? DzCyBxA
0,22222 ????? DzCyBxA
?
?
?
????
????
0
0
2222
1111
DzCBxA
DzCyBxA
空间直线的一般方程
L
一、空间直线的一般方程
x
y
z
o
方向向量的定义：
如果一非零向量平行于
一条已知直线，这个向量称
为这条直线的 方向向量,
s? L
),,,( 0000 zyxM
0M?
M?
,LM ??
),,,( zyxM
sMM ?0 //
},,,{ pnms ?? },,{ 0000 zzyyxxMM ????
二、空间直线的对称式方程与参数方程
p
zz
n
yy
m
xx 000 ?????
直线的对称式方程
tp zzn yym xx ?????? 000令
?
?
?
?
?
??
??
??
ptzz
ntyy
mtxx
0
0
0
直线的一组 方向数
方向向量的余弦称为
直线的 方向余弦,
直线的参数方程
例 1 用对称式方程及参数方程表示直线
.0432 01
??
?
????
????
zyx
zyx
解 在直线上任取一点 ),,( 000 zyx
取 10 ?x,063
02
00
00
?
?
?
???
???
? zy
zy
解得 2,0 00 ??? zy
点坐标 ),2,0,1( ?
因所求直线与两平面的法向量都垂直
取 21 nns ??? ?? },3,1,4{ ???
对称式方程,3 21 04 1 ??????? zyx
参数方程
.
32
41
?
?
?
?
?
???
??
??
tz
ty
tx
例 2 一直线过点 )4,3,2( ?A,且和 y 轴垂直相
交，求其方程,
解 因为直线和 y 轴垂直相交,
所以交点为 ),0,3,0( ?B
取 BAs ?? },4,0,2{?
所求直线方程,4 40 32 2 ????? zyx
定义
直线,1L,
1
1
1
1
1
1
p
zz
n
yy
m
xx ?????
直线,2L,
2
2
2
2
2
2
p
zz
n
yy
m
xx ?????
2
2
2
2
2
2
2
1
2
1
2
1
212121
21
||),c o s (
pnmpnm
ppnnmmLL
?????
???^
两直线的方向向量的夹角称之,（锐角）
两直线的夹角公式
三、两直线的夹角
两直线的位置关系：
21)1( LL ?,0212121 ????? ppnnmm
21)2( LL//
,
2
1
2
1
2
1
p
p
n
n
m
m ????
直线,1L
直线,2L
},0,4,1{1 ??s?
},1,0,0{2 ?s?
,021 ?? ss ???,21 ss ?? ??
例如，
.21 LL ?即
例 3 求过点 )5,2,3( ? 且与两平面 34 ?? zx 和
152 ??? zyx 的交线平行的直线方程,
解 设所求直线的方向向量为 },,,{ pnms ??
根据题意知,1ns ???,2ns ???
取 21 nns ??? ?? },1,3,4{ ????
.1 53 24 3 ????? zyx所求直线的方程
例 4 求过点 )3,1,2(M 且与直线
12
1
3
1
?
?
?
?
? zyx
垂直相交的直线方程,
解 先作一过点 M且与已知直线垂直的平面 ?
0)3()1(2)2(3 ?????? zyx
再求已知直线与该平面的交点 N,
令 tzyx ?????? 12 13 1
.12
13
?
?
?
?
?
??
??
??
?
tz
ty
tx
代入平面方程得,73?t 交点 )73,713,72( ?N
取所求直线的方向向量为 MN
MN }373,1713,272{ ????? },724,76,12{ ???
所求直线方程为,4 31 12 2 ?????? zyx
定义 直线和它在平面上的投影直线的夹
角 称为直线与平面的夹角．?
,,000 p zzn yym xxL ?????
,0,????? DCzByAx
},,,{ pnms ??
},,,{ CBAn ??
?
?? ?? 2),( ns ??^ ?? ?? 2),( ns ??^
四、直线与平面的夹角
???0,2?
222222
||s i n
pnmCBA
CpBnAm
?????
????
直线与平面的夹角公式
直线与平面的 位置关系：
??L)1(,p
C
n
B
m
A ????
?L)2( //,0????? CpBnAm
? ?,c o s ??? 2? ? ??? ?? c o ss i n 2?
例 5 设直线,L
2
1
12
1 ?
?
?
?
? zyx
，平面
:? 32 ??? zyx,求直线与平面的夹角,
解 },2,1,1{ ??n? },2,1,2{ ??s?
222222
||s i n
pnmCBA
CpBnAm
?????
????
96
|22)1()1(21|
?
????????,
63
7?
63
7a r c s in?? ? 为所求夹角．
空间直线的一般方程,
空间直线的对称式方程与参数方程,
两直线的夹角,
直线与平面的夹角,
（注意两直线的位置关系）
（注意直线与平面的位置关系）
五、小结
思考题
在直线方程
p
z
n
y
m
x
?
?
??
?
6
2
2
4
中,m,
n, p 各怎样取值时，直线与坐标面 x o y,
y o z 都平行,
思考题解答
},6,,2{ pnms ??? 且有,0?? ?s
,0?? ks ???,0?? is ??
??
?
?
???
02
06
m
p
,0,6 ???? mp
,0??? ?s,0?? n
故当 时结论成立．,0?m 6??p,0?n
一,填空题：
1, 通过点 )3,1,4( ? 且平行于直线
5
1
2
3 ?
??
? z
y
x
的直线方程为 ____ ___ __ __ ___ ；
2, 直线
?
?
?
????
????
0123
09335
zyx
zyx
与直线
?
?
?
????
????
01883
02322
zyx
zyx
的夹角的余弦为 _____ ___ __ ；
3, 直线
?
?
?
???
???
0
03
zyx
zyx
和平面
01 ???? zyx
在平
面
012 ???? zyx
上的夹角为 ____ __ __ _ __ ；
4,点 )0,2,1( ? 在平面 012 ???? zyx 上的投影为
_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ ；
练 习 题
5, 直线
723
zyx
?
?
? 和平面 8723 ??? zyx 的关系是
___ __ ___ __ __ ；
6, 直线
4
3
1
2
3
2
?
?
?
?
?
? zyx
和平面 3??? zyx 的关
系是 _____ __ __,
二,用对称式方程及参数方程表示直线 L,
?
?
?
???
???
42
1
zyx
zyx
,
三,求过点 )2,1,3( ? 且通过直线
12
3
5
4 zyx
?
?
?
?
的
平面方程,
四,求直线
?
?
?
????
???
0923
042
zyx
zyx
在平面 14 ??? zyx 上
的投影直线的方程,
五,求与已知直线 1
L
：
13
5
2
3 zyx
?
?
?
?
及 2
L
：
14
7
5
10 zyx
?
?
?
?
都相交且和 3
L
：
1
3
7
1
8
2 ?
?
?
?
? zyx
平行的直线
L
,
六、设一平面垂直于平面 0?z,并通过从点
)1,1,1( ?A
到直线
L
：
?
?
?
?
???
0
01
x
zy
的垂线，求此平面的方程,
七,求两直线
1
L,
110
1 zyx
??
?
和
2
L,
0
2
12
?
?
?
?
zyx
的公垂线 L 的方程，及公垂线段的长,
八、求过点 )4,0,1( ? 且平行于平面
01043 ???? zyx 又与直线
31
3
1
1 zyx
?
?
?
?
相交
的直线方程,
九,求点
)2,1,3( ?P
到直线
?
?
?
????
????
042
01
zyx
zyx
的距
离,
一,1,
5
3
1
1
2
4 ?
?
?
?
? zyx； 2, 0 ； 3, 0 ；
4, )
3
2
,
3
2
,
3
5
( ? ； 5,垂直； 6,直线在平面上,
二、
3
1
1
1
2
1 ?
?
?
?
?
? zyx
,
?
?
?
?
?
??
??
??
tz
ty
tx
31
1
21
.
三、
592298 ??? zyx
.
四、
?
?
?
????
???
014
117373117
zyx
zyx
.
练习题答案
五、
2
25
7
2
65
8
28
??
?
?
?
z
y
x
或
17
55
8
72 zyx
?
?
?
?
.
六,012 ??? yx,
七,?
?
1
1x
2
3
4
2
3
4
?
?
?
? zy
或
?
?
?
????
????
010542
044
zyx
zyx
,
1?d
.
八、
28
4
1916
1 ?
??
? zyx
.
九、
2
23
.