回顾 曲边梯形求面积的问题
?? ba dxxfA )(
一、问题的提出
曲边梯形 由连续曲 线
)( xfy ? )0)(( ?xf,
x 轴与两条直线 ax ?,
bx ? 所围成。 a
b x
y
o
)(xfy ?
面积表示为定积分的步骤如下
（ 1 ）把区间 ],[ ba 分成 n 个长度为
i
x? 的小区间，
相应的曲边梯形被分为 n 个小窄曲边梯形，第 i
小窄曲边梯形的面积为 iA?,则 ?
?
??
n
i
i
AA
1
.
（ 2 ）计算 iA? 的近似值
iii xfA ??? )(? ii x???
（ 3） 求和，得 A的近似值,)(
1
ii
n
i
xfA ?? ?
?
?
a b x
y
o
)(xfy?
（ 4） 求极限，得 A的精确值
ii
n
i
xfA ?? ?
??
)(l i m
10
?
? ??
b
a dxxf )(
提示
若用 A? 表示任一小区间
],[ xxx ?? 上的窄曲边梯形的面积，
则 ? ?? AA,并取 dxxfA )(??,
于是 ?? dxxfA )(
?? dxxfA )(l i m,)(?? ba dxxf x dxx ?
dA
面
积
元
素
当所求量 U 符合下列条件：
（ 1 ） U 是与一个变量 x 的变化区间 ? ?ba,有关
的量；
（ 2 ） U 对于区间 ? ?ba,具有可加性，就是说，
如果把区间 ? ?ba,分成许多部分区间，则 U 相
应地分成许多部分量，而 U 等于所有部分量之
和；
（ 3 ）部分量 iU? 的近似值可表示为 ii xf ?)( ? ；
就可以考虑用定积分来表达这个量 U
元素法的一般步骤：
1 ）根据问题的具体情况，选取一个变量例如 x 为
积分变量，并确定它的变化区间 ],[ ba ；
2 ）设想把区间 ],[ ba 分成 n 个小区间，取其中任
一小区间并记为 ],[ dxxx ?,求出相应于这小区
间的部分量 U? 的近似值, 如果 U? 能近似地表示
为 ],[ ba 上的一个连续函数在 x 处的值 )( xf 与 dx
的乘积，就把 dxxf )( 称为量 U 的元素且记作
dU,即 dxxfdU )(? ；
3 ）以所求量 U 的元素 dxxf )( 为被积表达式，在
区间 ],[ ba 上作定积分，得 ??
b
a
dxxfU )(,
即为所求量 U 的积分表达式,
这个方法通常叫做 元素法,
应用方向：
平面图形的面积；体积；平面曲线的弧长；
功；水压力；引力和平均值等．
元素法的提出、思想、步骤,
（注意微元法的本质）
二、小结
思考题
微元法的实质是什么？
思考题解答
微元法的实质仍是“和式”的极限,
