定理 假设
（ 1 ） )( xf 在 ],[ ba 上连续；
（ 2 ）函数 )( tx ?? 在 ],[ ?? 上是单值的且有连续
导数；（ 3 ）当 t 在区间 ],[ ?? 上变化时,)( tx ?? 的值
在 ],[ ba 上变化，且 a?)( ??, b?)( ??,
则 有 dtttfdxxfba ?? ?? ?? ?? )()]([)(,
一、换元公式
证 设 )( xF 是 )( xf 的一个原函数，
),()()( aFbFdxxfba ???
) ],([)( tFt ????
dt
dx
dx
dFt ??? ? )( )()( txf ? ?? ),()]([ ttf ? ???
),()()()]([ ??????? ??? ?? dtttf
)( t?? 是 )()]([ ttf ?? ? 的一个原函数,
a?)(??, b?)( ??,
)()( ?? ??? )]([)]([ ???? FF ??
),()( aFbF ??
)()()( aFbFdxxfba ??? )()( ?? ????
.)()]([ dtttf? ?? ?? ??
注意 当 ?? ? 时，换元公式仍成立,
应用换元公式时应注意,
（ 1）求出 )()]([ ttf ?? ? 的一个原函数 )( t? 后，不
必象计算不定积分那样再要把 )( t? 变换成原
变量 x 的函数，而只要把新变量 t 的上、下限
分别代入 )( t? 然后相减就行了,
（ 2）
用 )( tx ?? 把变量 x 换成新变量 t 时，积分限也
相应的改变,
例 1 计算,s i nco s20 5? ? xdxx
解 令,co s xt ?
2
??x,0?? t 0?x,1?? t
? ?20 5 s i nco s x d xx
??? 01 5dtt
1
0
6
6
t?
.61?
,s i n xdxdt ??
例 2 计算
解
.s i ns i n0 53? ? ? dxxx
xxxf 53 s i ns i n)( ??? ? ? 23s i nc o s xx?
? ? ?? 0 53 s i ns i n dxxx ? ?? ?? 0 23s inc o s dxxx
? ?? ?? 20 23s i nco s dxxx ? ?? ???
2
2
3
s i ncos dxx
? ?? ?? 20 23 s i ns i n xdx ? ?? ???
2
2
3
s i ns i n xdx
? ? 2
0
2
5
s in52
?
? x ? ?
?
?
?
2
2
5
s i n
5
2 x
.54?
例 3 计算
解
.
)ln1(ln
4
3
? ?e e xxx dx
原式 ? ??
4
3
)ln1(ln
)( l ne
e xx
xd
? ??
4
3
)ln1(ln
)( l ne
e xx
xd?
?
?
4
3
2)ln(1
ln2 e
e x
xd
? ? 43)lnar c s i n(2 e ex?,6??
例 4 计算
解
? ???a adxxax0 22 )0(.1
令,s in tax ?
ax?,2??? t 0?x,0?? t
,c o s td tadx ?
原式 ?
?
??
? 2
0 22 )s in1(s in
c os dt
tata
ta
?
?
??
2
0 co ss i n
co s dt
tt
t? ? ?
?
??
?
?
?
??? 2
0 c oss i n
s i nc os1
2
1 dt
tt
tt
? ? 20coss i nln21221 ?????? tt.4??
例 5 当 )( xf 在 ],[ aa? 上连续，且有
① )( xf 为偶函数，则
? ?
?
?
a
a
a
dxxfdxxf
0
)(2)( ；
② )( xf 为奇函数，则 ?
?
?
a
a
dxxf 0)(,
证,)()()(
0
0? ??
? ? ??
a
a
a
a dxxfdxxfdxxf
在 ??0 )(a dxxf 中令 tx ??,
?? ?0 )(a dxxf ? ??? 0 )(a dttf,)(0? ?a dttf
① )( xf 为偶函数，则 ),()( tftf ??
? ??? ? ??a a aa dxxfdxxfdxxf 00 )()()(;)(2 0?? a dttf
② )( xf 为奇函数，则 ),()( tftf ???
? ??? ? ??a a aa dxxfdxxfdxxf 00 )()()(,0?
奇函数
例 6 计算
解
.11 c o s21
1 2
2
?? ?? ? dxx xxx
原式 ?? ???
1
1 2
2
11
2 dx
x
x?
? ???
1
1 211
c o s dx
x
xx
偶函数
? ??? 10 2
2
114 dxx
x?
??
??? 1
0 2
22
)1(1
)11(4 dx
x
xx
? ??? 10 2 )11(4 dxx? ??? 10 2144 dxx
.4 ??? 单位圆的面积
例 7 若 )( xf 在 ]1,0[ 上连续，证明
（ 1 ） ??
??
?
22
00
)( co s)( s i n dxxfdxxf ;
（ 2 ） ??
?? ?
?
00
)( s i n
2
)( s i n dxxfdxxxf,
由此计算 ?
?
?0
2
co s1
s i n
dx
x
xx
.
证 （ 1）设 tx ??? 2,dtdx ???
0?x,2??? t 2??x,0?? t
? ?20 )( s in dxxf ?? ?????? ?????? ???? 02 2s in dttf
? ?? 20 )( co s dttf ;)( co s20? ?? dxxf
（ 2）设 tx ???,dtdx ???
0?x,??? t ??x,0?? t
? ?0 )( s i n dxxxf ?? ?????? 0 )][ s i n ()( dttft
,)( s i n)(0? ? ??? dttft
? ??? 0 )( s i n dttf ? ?? 0 )( s i n dtttf
? ??? 0 )( s i n dxxf,)( s i n0? ?? dxxxf
.)( s i n2)( s i n 00 ?? ?? ??? dxxfdxxxf
? ? ?0 2c os1 s in dxxxx ? ? ??? 0 2c o s1 s in2 dxxx
? ? ???? 0 2 )( c o sc os1 12 xdx? ????? 0)a r ct a n ( co s2 x
.4
2?
? )44(2 ???????
? ?0 )( s i n dxxxf
几个特殊积分、定积分的几个等式
定积分的换元法
dxxfba? )( dtttf? ?? ?? ?? )()]([
二、小结
思考题指出求 ? ?
? ?
2
2 2 1xx
dx
的解法中的错误，并写出正确
的解法,
解 令,se c tx ?,4332,???,s e ct a n td ttdx ?
? ?? ?22 2 1xx dx td tttt t a ns e ct a ns e c 143
3
2 ??? ?
?
?
dt? ??? 43
3
2,12
??
思考题解答
计算中第二步是错误的, tx s e c??
,43,32 ?????? ???t,0ta n ?t,t ant an12 ttx ???
正确解法是
? ?? ?22 2 1xx dx tx s ec? tdtttt t a ns e ct a ns e c 14
3
3
2 ???
?
?
dt? ???? 43
3
2,12
???
一,填空题：
1,
?
?
?
?
?
?
3
)
3
s i n ( dxx ___ __ ___ ___ _ ___ ___ _ ；
2,
?
??
?
??
0
3
)s i n1( d ___ __ ___ __ __ ___ _ ；
3, ???
2
0
2
2 dxx ___ __ ___ ___ _ _ ；
4, ?
?
?
?
2
1
2
1
2
2
1
)(a rc s i n
dx
x
x
___ __ ___ ___ ；
5, ?
?
?
??
5
5
24
23
12
s i n
dx
xx
xx
___ ___ ___ _ ___ _ ___ _ ___ _ __,,
练 习 题
二,计算下列定积分：
1,
?
2
0
3
co ss i n
?
??? d ； 2,
?
?
3
1 22
1 xx
dx；
3,
?
??
1
4
3
11 x
dx； 4,
?
?
?
?
?
2
2
3
co sco s dxxx ；
5,
?
?
?
0
2co s1 dxx ； 6,
?
?
2
2
4
co s4
?
?
? dx ；
7, ?
?
???
1
1
2322
)11( dxxxxx；
8,
?
2
0
3
},m a x { dxxx ；
9,
?
?
2
0
dxxx ? （
为参数?
）,
三,设
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
时，当
时，当
0,
1
1
0,
1
1
)(
x
e
x
x
xf
x
求
?
?
2
0
)1( dxxf,
四、设
? ?baxf,)( 在
上连续，
证明
? ?
???
b
a
b
a
dxxbafdxxf )()(,
五,证明：
? ?
???
1
0
1
`0
)1()1( dxxxdxxx
mnnm
.
六、证明：
? ?
?
???
a
a
a
dxxfxfdxxf
0
)]()([)(,
并求
?
?
?
? ?
4
4
s i n1 x
dx
.
七、设
? ?1,0)( 在xf
上连续，
证明
? ?
?
?
?
2
0
2
0
)co s(
4
1
)co s( dxxfdxxf,
练习题答案
一,1, 0 ； 2,
3
4
?? ； 3,
2
?； 4,
32
3
?； 5, 0,
二,1,
4
1； 2,
3
32
2 ? ； 3, 2ln21 ? ； 4,
3
4；
5, 22 ； 6, ?
2
3； 7,
4
?； 8,
8
?；
9,
4
17； 1 0,
时当 0??
,?2
3
8
? ； 当 20 ?? ?
时,
3
2
3
8
3
?
? ?? ； 当 2?? 时,?2
3
8
??,
三,
)1l n (1
1?
?? e
.
六,2,