对定积分的 补充规定,
（ 1 ）当 ba ? 时,0)( ?? ba dxxf ；
（ 2 ）当 ba ? 时,?? ?? abba dxxfdxxf )()(,
说明 在下面的性质中，假定定积分都存
在，且不考虑积分上下限的大小．
一、基本内容
证 ? ?ba dxxgxf )]()([
iii
n
i
xgf ??? ?
??
)]()([l i m
10
??
?
ii
n
i
xf ?? ?
??
)(l i m
10
?
? ii
n
i
xg ?? ?
??
)(lim
10
?
?
?? ba dxxf )(,)(?? ba dxxg
? ?ba dxxgxf )]()([ ?? ba dxxf )( ?? ba dxxg )(,
（此性质可以推广到有限多个函数作和的情况）
性质 1
?? ? baba dxxfkdxxkf )()( ( k 为常数 ).
证 ?ba dxxkf )( ii
n
i
xkf ?? ?
??
)(lim
10
?
?
ii
n
i
xfk ?? ?
??
)(lim
10
?
? ii
n
i
xfk ?? ?
??
)(l i m
10
?
?
.)(?? ba dxxfk
性质 2
? ba dxxf )( ?? ?? bcca dxxfdxxf )()(,
补充,不论 的相对位置如何,上式总成立,cba,,
例 若,cba ??
?ca dxxf )( ?? ?? cbba dxxfdxxf )()(
?ba dxxf )( ?? ?? cbca dxxfdxxf )()(
.)()( ?? ?? bcca dxxfdxxf
（定积分对于积分区间具有可加性）
则
假设 bca ??性质 3
dxba ?? 1 dxba?? ab ??,
则 0)( ?? dxxfba, )( ba ?
证,0)( ?xf?,0)( ??? if ),,2,1( ni ??
,0?? ix?,0)(
1
???? ?
?
ii
n
i
xf
},,,m a x { 21 nxxx ???? ??
ii
n
i
xf ?? ?
??
)(l i m
10
?
?,0)(? ??
b
a dxxf
性质 4
性质 5如果在区间 ],[ ba 上 0)( ?xf,
例 1 比较积分值 dxe x? ? 20 和 dxx? ? 20 的大小,
解 令,)( xexf x ?? ]0,2[??x
,0)( ?xf?,0)(0 2 ??? ?? dxxe x
dxe x??? 02,02 dxx???
于是 dxe x?? 20,20 dxx???
性质 5的推论：
证 ),()( xgxf ??,0)()( ??? xfx
,0)]()([ ??? ? dxxfxgba
,0)()( ?? ?? baba dxxfdxxg
于是 dxxfba? )( dxxgba?? )(,
则 dxxfba? )( dxxgba?? )(, )( ba ?
如果在区间 ],[ ba 上 )()( xgxf ?,（ 1）
dxxfba? )( dxxfba?? )(,)( ba ?
证,)()()( xfxfxf ????
,)()()( dxxfdxxfdxxf bababa ??? ????
即 dxxfba? )( dxxfba?? )(,
说明,可积性是显然的,| )( xf | 在区间 ],[ ba 上的
性质 5的推论：
（ 2）
设 M 及 m 分别是函数
证,)( Mxfm ???
,)( ??? ??? bababa M d xdxxfdxm
).()()( abMdxxfabm ba ???? ?
（此性质可用于估计积分值的大致范围）
则 )()()( abMdxxfabm ba ???? ?,
)( xf 在区间 ],[ ba 上的最大值及最小值，
性质 6
例 2 估计积分 dxx? ? ?
0 3s i n3
1 的值,
解,s i n3 1)( 3 xxf ?? ],,0[ ??? x
,1s i n0 3 ?? x,31s i n3 141 3 ??? x
,31s in3 141 00 30 dxdxxdx ??? ??? ???
.3s in3 14 0 3 ?????? ? ? dxx
例 3 估计积分 dx
x
x
?
?
?
2
4
s i n
的值,
解,s i n)( x xxf ?
2
s i nc o s)(
x
xxxxf ???
2
)t an(c os
x
xxx ??
]2,4[ ???x
,0?
)( xf 在 ]2,4[ ?? 上单调下降,
故 4??x 为极大点,2??x 为极小点,
,22)4( ???? fM,2)2( ???? fm
,442 ??????? ab?
,422s i n42 2
4
??
???
??
?? ?
?
? dxx
x
.2 2s i n21 2
4
??? ?
?
? dxx
x
如果函数 )( xf 在闭区间 ],[ ba 上连续，
证
Mdxxfabm ba ???? ? )(1
)()()( abMdxxfabm ba ???? ??
由闭区间上连续函数的介值定理知
则在积分区间 ],[ ba 上至少存在一个点 ?,
使 dxxfba? )( ))(( abf ?? ?, )( ba ?? ?
性质 7（定积分中值定理）
积分中值公式
在区间 ],[ ba 上至少存在一个点 ?,
使,)(1)( ???? ba dxxfabf
dxxfba? )( ))(( abf ?? ?,)( ba ?? ?
在区间 ],[ ba 上至少存在一
个点 ?,
即
积分中值公式的几何解释：
x
y
o a b?
)(?f 使得以区间 ],[ ba 为以曲线 )( xfy ?底边，
为曲边的曲边梯形的面积
等于同一底边而高为 )( ?f
的一个矩形的面积。
例 4 设 )( xf 可导，且 1)(l i m ?
???
xf
x
，
求 dttf
t
t
x
xx ?
?
???
2
)(
3
si nl i m,
解 由积分中值定理知有 ],2,[ ??? xx
使 dttfttxx? ? 2 )(3s i n ),2)((3s i n xxf ??????
dttfttxx
x ?
?
???
2 )(3s i nl i m )(3s i nl i m2 ?
??? f????
)(3l i m2 ?? f????,6?
１．定积分的性质
（注意估值性质、积分中值定理的应用）
２．典型问题
（１）估计积分值；
（２）不计算定积分比较积分大小．
二、小结
思考题
定积分性质中指出，若 )(),( xgxf 在 ],[ ba
上都可积，则 )()( xgxf ? 或 )()( xgxf 在 ],[ ba
上也可积。这一性质之逆成立吗？为什么？
思考题解答
由 )()( xgxf ? 或 )()( xgxf 在 ],[ ba 上可
积，不能断言 )(),( xgxf 在 ],[ ba 上都可积。
??
??
为无理数，
为有理数
x
xxf
0
,1)(
??
??
为无理数，
为有理数
x
xxg
1
,0)(
显然 )()( xgxf ? 和 )()( xgxf 在 ]1,0[ 上可积，但
)(),( xgxf 在 ]1,0[ 上都不可积。
例
一,填空题：
1, 如果积分区间 ? ?ba,被点 c 分成 ? ? ? ?bcca,,与,则
定积分的可加性为
?
?
b
a
dxxf )( _ __ __ __ __ _ ；
2, 如果
? ?baxf,)( 在
上的最大值与最小值分别 为
M m与
，则
?
a
b
dxxf )( 有如下估计式,_ __ __ __ __
_ __ __ __ __ _ __ __ __ __ __ __ _ ；
3,
时当 ba ?
，我们规定
?
b
a
dxxf )( 与
?
a
b
dxxf )( 的关
系是 __ __ _ __ __ __ __ __ __ __ __ _ ；
4, 积分中值公式
?
?
b
a
dxxf )(
)(,))(( baabf ??? ??
的几何意义是
_ __ __ __ __ _ __ __ _ ；
练 习 题
5, 下列两积分的大小关系是：
（ 1 ） ?
1
0
2
dxx ____ _ ?
1
0
3
dxx
（ 2 ） ?
2
1
ln xdx ____ __ _ ?
2
1
2
)(l n dxx
（ 3 ） dxe
x
?
1
0
____ __ _ ? ?
1
0
)1( dxx
二,证明,? ??
b
a
b
a
dxxfkdxxkf )()( （ 是常数k ）,
三,估计下列积分 ?
3
3
3 co t x d xx a r c 的值,
四、证明不等式,? ??
2
1
21 dxx,
六、用定积分定义和性质求极限,
1, )
2
1
...
2
1
1
1
(l i m
nnn
n
??
?
?
?
??;
2.,
?
??
4
0
s i nlim
?
x d x
n
n
.
七、设
)( xf
及
? ?baxg,)( 在
上连续，证明：
1, 若在
? ?ba,
上
0)( ?xf
,且
?
?
b
a
dxxf 0)(,则在
? ?ba,
上
0)( ?xf；
2,若在
? ?ba,
上，
0)( ?xf
,且
)( xf
不
0恒等于
，则
?
?
b
a
dxxf 0)( ；
3, 若在
? ?ba,
上
)()( xgxf ?
,且
? ?
?
b
a
b
a
dxxgdxxf )()(,则在
? ? )()(,xgxfba ?上
,
一,1,
??
?
b
c
c
a
dxxfdxxf )()( ；
2, baabMdxxfabm
b
a
?????
?
,)()()( ；
3,
?
b
a
dxxf )(
?
??
a
b
dxxf )( ；
4,曲边梯形各部分面积的代数和等于
为邻与 abf ?)( ?
边的矩形面积；
5, (1)> ； (2 )> ； ( 3) >.
三,1, ?
?
3
2
a rcta n
9
3
3
1
??
?
xdxx ；
2,
5
3
a rc s i n
242
1
32
1
0
?
???
?
?
xxx
dx
.
练习题答案