问题 ? x d x2c o s,2s i n Cx ??
解决方法 利用复合函数，设置中间变量,
过程 令 xt 2?,21 dtdx ??
? x d x2c o s dtt?? c os21 Ct ?? s i n21,2s i n21 Cx ??
一、第一类换元法
在一般情况下：
设 ),()( ufuF ?? 则,)()(? ?? CuFduuf
如果 )( xu ?? （可微）
dxxxfxdF )()]([)]([ ??? ???
? ???? CxFdxxxf )]([)()]([ ???
? ?? )(])([ xuduuf ?由此可得换元法定理
设 )( uf 具有原函数，
? ?? dxxxf )()]([ ?? ? ? )(])([ xuduuf ?
第一类换元公式 （ 凑微分法 ）
说明 使用此公式的关键在于将
? dxxg )( 化为,)()]([? ? ?? dxxxf
观察重点不同，所得结论不同,
)( xu ?? 可导，
则有换元公式
定理 1
例 1 求,2si n? xdx
解 （一） ? x d x2s in ?? )2(2s i n21 xxd;2c os21 Cx ???
解 （二） ? x d x2s in ?? x d xx c o ss i n2
?? )( s i ns i n2 xxd? ? ;s i n 2 Cx ??
解 （三） ? x d x2s in ?? x d xx c o ss i n2
??? )( c o sc o s2 xxd? ?,c o s 2 Cx ???
例 2 求,23 1 dxx? ?
解,)23(23 12123 1 ??????? xxx
dxx? ? 23 1 dxxx )23(23 121 ????? ?
duu?? 121 Cu ?? ln21,)23l n(21 Cx ???
? ? dxbaxf )( ? ??? baxuduufa ])([1一般地
例 3 求,)ln21(
1 dx
xx? ?
解 dxxx? ? )ln21( 1 )( l n
ln21
1 xd
x? ??
)ln21(ln21 121 xdx ??? ?
xu ln21 ??
?? duu121 Cu ?? ln21,)ln21l n(21 Cx ???
例 4 求,)1( 3 dxxx? ?
解 dxxx? ? 3)1( dxx
x?
?
???
3)1(
11
)1(])1( 1)1( 1[ 32 xdxx ????? ?
221 )1(2
1
1
1 C
xCx ???????
.)1(2 11 1 2 Cxx ??????
例 5 求,1 22 dxxa? ?
解 dxxa? ? 22 1
dx
a
xa ?
?
? 2
2
2
1
11
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
??
? ?
a
x
d
a
xa
2
1
11
.ar c t an1 Caxa ??
例 6 求,25812 dxxx? ??
解 dxxx? ?? 25812 dxx? ??? 9)4(
1
2
dx
x
?
??
?
?
?
?
? ?
?
1
3
4
1
3
1
22 ??
?
?
?
? ?
??
?
?
?
?
? ?
? ?
3
4
1
3
4
1
3
1
2
x
d
x
.3 4a r c t a n31 Cx ???
例 7 求,1 1 dxe x? ?
解 dxe x? ?1 1 dxe
ee
x
xx
? ? ??? 11
dxee x
x
? ?????? ??? 11 dxeedx x
x
?? ??? 1
)1(1 1 xx ededx ???? ??
.)1l n ( Cex x ????
例 8 求,)11(
1
2 dxex
xx? ??
解,
111
2xxx ??
?
?????? ??
dxex xx? ???
1
2 )
11(
)1(
1
xxde
xx ?? ? ?,1 Ce xx ?? ?
例 9 求,1232 1 dxxx? ???
原式 ? ?? ?dxxxxx xx? ?????? ???? 12321232 1232
dxxdxx ?? ???? 12413241
)12(1281)32(3281 ?????? ?? xdxxdx
? ? ? ?,1212132121 33 Cxx ?????
例 10 求
解
.c os1 1? ? dxx
? ? dxxc os1 1 ? ?? ?? ??
?? dx
xx
x
c o s1c o s1
c o s1
? ??? dxxx2c os1 c os1 ? ?? dxx x2s i nc os1
?? ?? )( s i ns i n 1s i n 1 22 xdxdxx
.s i n1c ot Cxx ????
例 11 求
解
.coss i n 52? ? xdxx
? ? xdxx 52 c o ss i n ? ?? )( s i nco ss i n 42 xxdx
? ??? )( s i n)s i n1(s i n 222 xdxx
? ??? )( s i n)s i ns i n2( s i n 642 xdxxx
.s i n71s i n52s i n31 753 Cxxx ????
说明 当被积函数是三角函数相乘时，拆开奇
次项去凑微分,
例 12 求
解
.2co s3co s? xdxx
)],c o s ()[ c o s (21c o sc o s BABABA ????
),5c os( c o s212c os3c os xxxx ??
?? ?? dxxxxdxx )5c o s( c o s212c o s3c o s
.5s i n101s i n21 Cxx ???
例 13 求
解 （一） ?? dxxs in1
.csc? xdx
? xdxc sc
?? dxxx
2
c o s
2
s i n2
1
? ?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
2
2
cos
2
t an
1
2
x
d
xx? ??
?
?
?
??
2
t an
2
t an
1 x
d
x
Cx ?? 2t anln,)c o tl n ( c s c Cxx ???
（使用了三角函数恒等变形）
解 （二） ?? dxxs in1? xdxc sc ?? dxxx2s i ns i n
? ??? )( c osc os1 1 2 xdxxu c o s?
? ??? duu 21 1 ? ?????? ????? duuu 1 11 121
Cuu ???? 11ln21,c os1 c os1ln21 Cxx ????
类似地可推出,)t anl n ( s ecs ec? ??? Cxxxd x
解
例 14 设 求,,c o s)( s i n 22 xxf ?? )(f
令 xu 2s in?,1c o s 2 ux ???
,1)( uuf ???
? ?duuuf ? ?? 1)(,21 2 Cuu ???
.21)( 2 Cxxxf ???
例 15 求
解
.
2
a r c s i n4
1
2
dx
x
x
?
?
dx
x
x
?
?
2
a r c s i n4
1
2
2
2
arc s i n
2
1
1
2
x
d
xx
?
?
?
?
?
?
??
?
)
2
( ar c s i n
2
ar c s i n
1 x
d
x?
?
.2ar c s i nln Cx ??
问题?1 25 ??? dxxx
解决方法 改变中间变量的设置方法,
过程 令 tx sin?,c o s td tdx ??
??? dxxx 25 1 t d ttt c o ss i n1)( s i n 25? ?
td tt 25 c o ss i n?? ???
（应用“凑微分”即可求出结果）
二、第二类换元法
其中 )( x? 是 )( tx ?? 的反函数,
证 设 为 的原函数,)(t? )()]([ ttf ?? ?
令 )]([)( xxF ???
则 dxdtdtdxF ???? )( )()]([ ttf ?? ??,)(1t???
设 )( tx ?? 是单调的、可导的函数，
? ?
)(
)()]([)(
xt
dtttfdxxf
?
??
???
??则有换元公式
并且 0)( ?? t?,又设 )()]([ ttf ?? ? 具有原函数，
定理 2
第二类积分换元公式
? ??? CxFdxxf )()(,)]([ Cx ???? ? ?
)(
)()]([)(
xt
dtttfdxxf
?
??
???
??
)]([ tf ?? ).( xf?
说明 )( xF 为 )( xf 的原函数,
例 16 求
解
).0(1 22 ??? adxax
令 tax t a n? tdtadx 2s e c??
??? dxax 22 1 tdtata 2s e cs e c1 ??
?? tdts e c Ctt ??? )t a nl n ( s e c
t a
x22 ax ?,ln 22 C
a
ax
a
x ?
???
?
???
? ???
?????? ???? 2,2t
例 17 求
解
.4 23 dxxx? ?
令 tx s in2? tdtdx c os2? ?????? ???? 2,2t
dxxx? ? 23 4 ? ? t d ttt c o s2s i n44s i n2 23 ??? ?
td tt 23 c o ss i n32 ?? t d ttt 22 c o s)c o s1(s i n32 ? ??
tdtt c o s)c o s( c o s32 42 ??? ?
Ctt ???? )c o s51c o s31(32 53t2 x
24 x?? ? ? ?,45
14
3
4 5232 Cxx ??????
例 18 求
解
).0(1 22 ??? adxax
令 tax s e c? ?????? ?? 2,0t tdttadx t a ns e c?
??? dxax 22 1 dtta tta? ?t an t ans e c
?? tdts e c Ctt ??? )t a nl n ( s e c
t a
x 22 ax ?
.ln
22
C
a
ax
a
x ?
???
?
???
? ???
说明 (1) 以上几例所使用的均为 三角代换,
三角代换的 目的 是化掉根式,
一般规律如下：当被积函数中含有
22)1( xa ?可令 ;s in tax ?
22)2( xa ?可令 ;t a n tax ?
22)3( ax ?可令,s e c tax ?
说明 (2) 积分中为了化掉根式除采用三角代
换外还可用 双曲代换,
1s i n hco sh 22 ?? tt?
taxtax c o s h,s i n h ??? 也可以化掉根式
例 中,令 dxax? ? 221 tax s in h? td tadx c o sh?
dxax? ? 221 ?? dtta ta c os hc os h? ??? Ctdt
Caxar ?? s i nh,ln
22
C
a
ax
a
x ?
???
?
???
? ???
积分中为了化掉根式是否一定采用
三角代换（或双曲代换）并不是绝对的，需
根据被积函数的情况来定,
说明 (3)
例 19 求 dxx
x?
? 2
5
1 （三角代换很繁琐）
21 xt ??令,122 ??? tx,td txdx ?
dxxx? ? 2
5
1
? ? tdt
t
t? ?? 22 1 ? ?
dttt? ??? 12 24
Cttt ???? 35 3251,1)348(151 242 Cxxx ?????
解
例 20 求
解
.1 1 dxe x? ?
xet ?? 1令,12 ??? te x
,122 dtt tdx ??
dxe x? ?1 1 dt
t? ?? 1
2
2 dttt? ??
??
?
?
???? 1
1
1
1
Ctt ???? 11ln ? ?,11ln2 Cxe x ?????
? ?,1ln 2 ?? tx
说明 (4) 当分母的阶较高时,可采用 倒代换,1tx ?
例 21 求 dxxx? ? )2(
1
7
令 tx 1?,12 dttdx ???
dxxx? ? )2( 17
dt
t
t
t
?
?
?
?
?
? ??
??
?
?
?
?
?
? ? 27
1
2
1 ?
??? dtt
t
7
6
21
Ct ???? |21|ln141 7,||ln21|2|ln141 7 Cxx ?????
解
例 22 求
解
.11 24 dxxx? ?
dxxx? ? 11 24
令 tx 1?,12 dttdx ??? dx
t
tt
?
?
?
?
?
? ?
??
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
? ? 2
24
1
1
11
1
（分母的阶较高）
dttt? ??? 2
3
1
2
2
2
12
1 dt
t
t?
??? 2tu?
? ??? duuu121 ? ???? duuu1 1121
? ??????? ???? )1(11 121 uduu
? ? Cuu ?????? 1131 3
.11
3
1 2
32
C
x
x
x
x ???
???
?
???
? ?
??
说明 (5) 当被积函数含有两种或两种以上的
根式 时，可采用令
（其中 为各根指数的 最小公倍数 ）
lk xx,,? ntx ?
n
例 23 求,)1(
1
3 dxxx? ?
解 令 6tx ?,6 5 dttdx ??
dxxx? ? )1( 1 3? ?? dttt t )1( 6 23
5
? ?? dttt 2
2
1
6
? ? ??? dttt 2
2
1
116
? ?????? ??? dtt 21 116
Ctt ??? ]a r c t a n[6
.]a r c t a n[6 66 Cxx ???
基
本
积
分
表
?;coslnt an)16( ? ??? Cxxdx;s i nlncot)17( ? ?? Cxxd x;)t anl n ( s ecs ec)18( ? ??? Cxxxd x;)cotl n ( cs ccs c)19( ? ??? Cxxxdx;ar c t an11)20( 22 Caxadxxa ????;ln2 11)22( 22 Cxa xaadxxa ??????;arcs i n1)23( 22 Caxdxxa ????
.)l n (1)24( 2222 Caxxdxax ??????;ln2 11)21( 22 Cax axadxax ??????
三、小结
两类积分换元法：
??
?（一） 凑微分
（二） 三角代换、倒代换、根式代换
基本积分表 (2)
思考题
求积分,)1( l n)ln( dxxxx p ??
思考题解答
dxxxxd )ln1()ln( ???
dxxxx p )1( l n)ln( ?? ? )ln()ln( xxdxx p??
?
?
?
?
?
???
???
??
?
1,)lnl n (
1,
1
)ln( 1
pCxx
pC
p
xx p
一,填空题：
1, 若 CxFdxxf ??
?
)()( 而 )( xu ?? 则
?
?
duuf )( _ ____ ______ __ __ ；
2, 求 ? ?? )0(
22
adxax 时，可作变量代换 _ ______
_ ______ __ _____,然后再求积分；
3, 求 ?
?
dx
xx
2
1
1
时可先令 ?x ______ _ __ ；
4,
?dxx
____ _ )1(
2
xd ? ；
5, ?
?
dxe
x
2 ___ )1( 2
x
ed
?
? ；
6, ?
x
dx
____ )ln53( xd ? ；
练 习 题
7,
2
91 x
dx
?
= ___ _ )3a r c t a n( xd ；
8, ?
?
2
1 x
xdx
____ )1(
2
xd ? ；
9, ? ?dt
t
tsin
____ ________ _____ ；
10, ? ?
?
22
2
xa
dxx
____ ________ ___,
二,求下列不定积分,（第一类换元法）
1, ?
?
? dx
xa
xa ； 2, ?
)ln(lnln xxx
dx ；
3,
?
?
?
2
2
1
.1t a n
x
x d x
x ； 4,
? ?
?
xx
ee
dx；
5,
?
? dxxx
32
1 ； 6,
?
?
dx
x
xx
4
s i n1
co ss i n；
7,
?
?
?
dx
xx
xx
3
c o ss i n
c o ss i n； 8,
?
?
?
dx
x
x
2
49
1；
9, ?
?
dx
x
x
2
3
9； 10,
?
? )4(
6
xx
dx；
11, ?
?
dx
xx
x
)1(
a rcta n； 1 2,
?
?
?
dx
xex
x
x
)1(
1；
13, ?
?
dx
x
x
2
a r cc o s2
1
10； 14, ? dx
xx
x
s i nco s
ta nln
.
三,求下列不定积分,（第二类换元法）
1,
?
??
2
1 xx
dx；
2,
?
?
32
)1( x
dx；
3, ?
? x
dx
21；
4, ?
?
dx
xa
x
x
2；
5,设 ? x d x
n
ta n,求证：
2
1
ta n
1
1
?
?
?
?
?
n
n
n
Ix
n
I,并求
?
x d x
5
ta n
.
练习题答案
一,1, CuF ?)( ; ； 2, tax s e c? 或 tax c s c? ；
3,
t
1； 4,
2
1； 5, -2 ； 6,
5
1；
7,
3
1； 8, ? ； 9, Ct ?co s2 ；
10, Cxa
a
x
a
xa
??? )(a rc s i n
2
22
2
2
.
二,1, Cxa
a
x
a ???
22
a rcs i n ； 2, Cx ?lnlnln ；
3, Cx ??? )1l n (c o s
2； 4, Ce
x
?a r c t a n ；
5, Cx ??
2
3
3
)1(
9
2； 6, Cx ?)a rct a n(s i n
2
1
2；
7, Cxx ??
3
2
)co s(s i n
2
3；
8, C
xx
?
?
?
4
49
3
2
a rcs i n
2
1
2；
9, Cx
x
??? )9l n (
2
9
2
2
2；
10, C
x
x
?
? 4
ln
24
1
6
6；
11, Cx ?
2
)(a rcta n ；
12, Cxexe
xx
??? )1l n()l n( ；
13, C
x
?
10ln2
10
a r cco s2； 1 4, Cx ?
2
)ta n(l n
2
1
.
三,1, Cxxx ???? )]1l n([a rcs i n
2
1
2；
2, C
x
x
?
?
2
1；
3, Cxx ??? )21l n(2 ；
4, )2(2
2
a r c s i n3
2
xaxa
a
x
a ??
+ Cxax
xa
??
?
)2(
2
.