变速直线运动中位置函数与速度函数的联系
变速直线运动中路程为 ? 2
1
)(TT dttv
设某物体作直线运动，已知速度 )( tvv ? 是时
间间隔 ],[ 21 TT 上 t 的一个连续函数，且 0)( ?tv,
求物体在这段时间内所经过的路程,
另一方面这段路程可表示为 )()( 12 TsTs ?
一、问题的提出
).()()( 122
1
TsTsdttvTT ??? ? ).()( tvts ??其中
设函数 )( xf 在区间 ],[ ba 上连续，并且设 x
为 ],[ ba 上的一点，
? xa dxxf )(
考察定积分
?? xa dttf )(
记,)()( ??? xa dttfx 积分上限函数
如果上限 x 在区间 ],[ ba 上任意变动，则对于
每一个取定的 x 值，定积分有一个对应值，所以
它在 ],[ ba 上定义了一个函数，
二、积分上限函数及其导数
a b x
y
o
定理１ 如果 )( xf 在 ],[ ba 上连续，则积分上限的函
数 dttfx
x
a?
?? )()( 在 ],[ ba 上具有导数，且它的导
数是 )()()( xfdttf
dx
d
x
x
a
??? ? ? )( bxa ??
积分上限函数的性质
xx ??
证 dttfxx xx
a?
?????? )()(
)()( xxx ????????
dttfdttf xaxxa ?? ?? ?? )()(
)(x?
x
?
dttfdttfdttf xaxxxxa ??? ??? ?? )()()(
,)(? ??? xxx dttf
由积分中值定理得
xf ???? )(? ],,[ xxx ????
xx ??? ?,0
),(?fx ???? )(limlim 00 ?fx xx ???? ????
).()( xfx ?? ??
a b x
y
o xx ??
)(x?
x
如果 )( tf 连续,)( xa, )( xb 可导，
则 dttfxF
xb
xa?
? )(
)(
)()( 的导数 )( xF ? 为
补充
? ? ? ? )()()()( xaxafxbxbf ????
证 ? ? dttfxF xa xb )()( 0 )( )(0? ???
dttfxb?? )(0 )(,)()(0 dttfxa??
? ? ? ? )()()()()( xaxafxbxbfxF ?????
??? )( )( )()( xb xa dttfdxdxF
例 1 求,lim 2
1
c o s
0
2
x
dte
x
t
x
? ?
?
解 ? ?1c o s 2x t dtedxd,c o s
1
2? ??? x t dte
dx
d
)( c o s2c o s ???? ? xe x,s i n 2c o s xex ???
2
1
c o s
0
2
l i m x
dte
x
t
x
? ?
? x
ex x
x 2
s i nl i m 2c os
0
?
?
??,
2
1
e?
0
0
分析,这是 型不定式，应用洛必达法则,
例 2 设 )( xf 在 ),( ???? 内连续，且 0)( ?xf,
证明函数
?
?
?
x
x
dttf
dtttf
xF
0
0
)(
)(
)( 在 ),0( ?? 内为单调增
加函数,
证 ? x dtttfdxd 0 )( ),( xxf? ? x dttfdxd 0 )( ),( xf?
? ? 2
0
00
)(
)()()()(
)(
?
?? ???
x
xx
dttf
dtttfxfdttfxxf
xF
? ?
,
)(
)()()(
)( 2
0
0
?
? ???
x
x
dttf
dttftxxf
xF
)0(,0)( ?? xxf?,0)(0? ?? x dttf
,0)()( ?? tftx?,0)()(0? ??? x dttftx
).0(0)( ???? xxF
故 )( xF 在 ),0( ?? 内为单调增加函数,
例 3 设 )( xf 在 ]1,0[ 上连续，且 1)( ?xf, 证明
1)(2
0
?? ? dttfx
x
在 ]1,0[ 上只有一个解,
证,1)(2)( 0 ??? ? dttfxxF x
,0)(2)( ????? xfxF,1)( ?xf?
)( xF 在 ]1,0[ 上为单调增加函数,,01)0( ???F
??? 10 )(1)1( dttfF ? ?? 10 )](1[ dttf,0?
所以 0)( ?xF 即原方程在 ]1,0[ 上只有一个解,
令
定理 2（原函数存在定理）
如果 )( xf 在 ],[ ba 上连续，则积分上限的函
数 dttfx
x
a?
?? )()( 就是 )( xf 在 ],[ ba 上的一个
原函数,
定理的重要意义：
（ 1）肯定了连续函数的原函数是存在的,
（ 2）初步揭示了积分学中的定积分与原函数之
间的联系,
定理 3（微积分基本公式）
如果 )( xF 是连续函数 )( xf 在区间 ],[ ba 上
的一个原函数，则 )()()( aFbFdxxf
b
a
???,
又 ? dttfx xa??? )()( 也是 )( xf 的一个原函数,
? 已知 )( xF 是 )( xf 的一个原函数，
CxxF ???? )()( ],[ bax ?
证
三、牛顿 — 莱布尼茨公式
令 ax?,)()( CaaF ????
0)()( ??? ? dttfa aa?,)( CaF ??
),()()( aFxFdttfxa ??? ?
,)()( CdttfxF xa ?? ??
令 ?? bx ).()()( aFbFdxxfba ???
牛顿 — 莱布尼茨公式
)()()( aFbFdxxfba ???
微积分基本公式表明：
? ?baxF )(?
一个连续函数在区间 ],[ ba 上的定积分等于
它的任意一个原函数在区间 ],[ ba 上的增量,
注意 当 ba ? 时,)()()( aFbFdxxfba ??? 仍成立,
求定积分问题转化为求原函数的问题,
例 4 求,)1s i nc os2(20? ? ?? dxxx
原式 ? ? 20c o ss i n2 ?xxx ???,23 ???
例 5 设,求, ??
?
??
???
215
102)(
x
xxxf
?20 )( dxxf
解
解 ? ?? ?? 10 2120 )()()( dxxfdxxfdxxf
在 ]2,1[ 上规定当 1?x 时,5)( ?xf,
? ??? 10 21 52 dxxdx原式,6? x
y
o 1 2
例 6 求,},m a x {2 2 2?? dxxx
解 由图形可知
},m a x {)( 2xxxf ?
,
21
10
02
2
2
?
?
?
?
?
??
??
???
?
xx
xx
xx
??? ???? ? 21 2100 2 2 dxxxdxdxx原式,211?
x
y
o
2xy?
xy?
1 22?
例 7 求
解
.112 dxx???
当 0?x 时,x1 的一个原函数是 ||ln x,
dxx??? 12 1 ? ? 12||ln ??? x,2ln2ln1ln ????
例 8 计算曲线 xy s i n? 在 ],0[ ? 上与 x 轴所围
成的平面图形的面积,
解 面积
x
y
o ?
? ?? 0 s i n x dxA
? ???? 0co s x.2?
3.微积分基本公式
1.积分上限函数 ??? x
a dttfx )()(
2.积分上限函数的导数 )()( xfx ?? ?
)()()( aFbFdxxfba ???
四、小结
牛顿－莱布尼茨公式沟通了微分学与积分学
之间的关系．
思考题
设 )( xf 在 ],[ ba 上连续，则 dttf
x
a?
)( 与
duuf
b
x?
)( 是 x 的函数还是 t 与 u 的函数？它们
的导数存在吗？如存在等于什么？
思考题解答
dttfxa? )( 与 duufbx? )( 都是 x 的函数
)()( xfdttfdxd xa ??
)()( xfduufdxd bx ???
一,填空题：
1,
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?b
a
x
dxe
dx
d
2
2
= ___ ___ _,
2, ? ?
x
a
dxxf
dx
d
))(( ___ ___ ___ _,
3, ???
? 2
23
)1l n(
x
dttt
dx
d
___ ___ _,
4, ? ?
2
0
)( dxxf ___ _,其中
?
?
?
???
??
?
21,2
10,
)(
2
xx
xx
xf,
5,设 ?
?
??
??,co sco s1 n x d xmxI
dxnxmx?
?
??
? s i ns i n,
练 习 题
（ 1 ）、当 nm ? 时,
1
I = __,
2
I = ___ __,
（ 2 ）、当 nm ? 时，
1
I = __ _,
2
I = ____ _,
6,设,s i nco s
?
?
??
? n x d xmx
（ 1 ）、当
nm ?
时,3I = ___ _,
（ 2 ）、当 nm ? 时,3
I
= ___ __,
7, ???
9
4
)1( dxxx _____,
8, ?
?
?
3
3
1
2
1 x
dx
_____,
9, ?
?
?
x
dtt
x
x
0
2
0
c o s
lim ______ __,
二,求导数：
1, 设函数 )( xyy ? 由方程 0co s
00
??
??
xy
t
t d tdte 所确
定，求
dx
dy；
2, 设
?
?
?
?
?
?
?
?
?
1
2
1
2
2
,ln
,ln
t
t
ud uuy
ud uux
)1( ?t,求
2
2
dx
yd；
3,
?
?
x
x
dtt
dx
d c o s
s i n
2
)co s ( ；
4,设
?
?
?
2
0
3
1
)(
x
x
dx
xg,求 )1(g ??,
三,计算下列各定积分：
1, ? ?
2
1 2
2
)
1
( dx
x
x ; 2, ?
? ?
2
1
2
1 2
1 x
dx;
3, ?
? ?
??0
1 2
24
1
133
dx
x
xx; 4, ?
?2
0
s i n dxx,
四,求下列极限：
、
?
?
???
x
t
x
t
x
dte
dte
0
2
2
0
2
2
)(
l i m ; 2,
2
5
0
2
0
2
1
)co s1(
l i m
x
dtt
x
x
? ?
??
.
五,设 )( xf 为连续函数，证明,
? ? ?
??
x x t
dtduufdttxtf
0 0 0
))(())((,
六,求函数 ?
??
?
?
x
dt
tt
t
xf
0
2
1
13
)( 在区间 ? ?1,0 上的最
大值与最小值,
七,设
?
?
?
?
?
??
??
?
时，或，当
时，当
?
?
xx
xx
xf
00
0,sin
2
1
)(
求
?
?
x
dttfx
0
)()（? 在
),( ????
内的表达式,
八,设 ? ?baxf,)( 在 上连续且,0)( ?xf
? ???
x
a
x
b tf
dt
dttfxF
)(
)()(,证明：
（ 1 ）,2)(
'
?xF ;
（ 2 ）、方程 0)( ?xF 在 ),( ba 内有且仅有一个根,
一,1, 0 ； 2, )()( afxf ? ； 3, )1l n (
23
?? xx ；
4,
6
5； 5, ( 1) ??,； (2) 0,0 ；
7, ;
6
1
45 8,
6
?； 9, 1.
二,1,
1s i n
co s
?x
x； 2,
tt ln2
1
2
? ；
3, )s i nc o s ()c o s( si n
2
xxx ??? ； 4, 2?,
三,1,
8
5
2 ； 2,
3
?； 3, 1
4
?
?； 4, 4.
练习题答案
四,1, 0 ； 2,
10
1
.
六、
33
5 ?
,0.
七、
?
?
?
?
?
?
?
??
????
?
??
x
xx
x
x
,1
0,)co s1(
2
1
0,0
)(,