旋转体 就是由一个平面图形饶这平面内
一条直线旋转一周而成的立体．这直线叫做
旋转轴,
圆柱 圆锥 圆台
一、旋转体的体积
一般地，如果旋转体是由连续曲线 )( xfy ?,
直线 ax ?, bx ? 及 x 轴所围成的曲边梯形绕
x 轴旋转一周而成的立体，体积为多少？
取积分变量为 x,
],[ bax ?
在 ],[ ba 上任取小区
间 ],[ dxxx ?,
取以 dx 为底的窄边梯形绕 x 轴旋转而成的薄
片的体积为体积元素,dxxfdV 2)]([??
x dxx? x
y
o
旋转体的体积为 dxxfV b
a
2)]([? ??
)(xfy ?
y
例 1 连接坐标原点 O 及点 ),( rhP 的直线、直线
hx ? 及 x 轴围成一个直角三角形．将它绕 x 轴旋
转构成一个底半径为 r,高为 h 的圆锥体，计算
圆锥体的体积．
r解
h
P
xhry ?
取积分变量为 x,],0[ hx ?
在 ],0[ h 上任取小区间 ],[ dxxx ?,
xo
直线 方程为OP
以 dx 为底的窄边梯形绕 x 轴旋转而成的薄片的
体积为
dxxhrdV
2
??
?
??
???
圆锥体的体积
dxxhrV h
2
0 ??
??
?
??? ?
hx
h
r
0
3
2
2
3 ??
?
??
???
.3
2hr?
?
y
r
h
P
xo
a? ao
y
x
例 2 求星形线 3
2
3
2
3
2
ayx ?? )0( ?a 绕 x 轴旋转
构成旋转体的体积,
解,3
2
3
2
3
2 xay ???
3
3
2
3
2
2
???
?
???
? ??? xay
],[ aax ??
旋转体的体积
dxxaV
a
a
3
3
2
3
2
???
?
???
?
??? ?
?,105
32 3a??
类似地，如果旋转体是由连续曲线
)( yx ??,直线 cy ?, dy ? 及 y 轴所围
成的曲边梯形绕 y 轴旋转一周而成的立体，
体积为
x
y
o
)( yx ??c
d
dyy 2)]([?? ??
d
c
V
例 3 求摆线 )s i n( ttax ??, )cos1( tay ??
的一拱与 0?y 所围成的图形分别绕 x 轴,y 轴
旋转构成旋转体的体积,
解 绕 x 轴旋转的旋转体体积
dxxyV ax )(220? ? ??
? ? ????? 20 22 )c os1()c os1( dttata
? ? ????? 20 323 )c osc os3c os31( dtttta,5 32a??
a?2a?
)(xy
绕 y 轴旋转的旋转体体积
可看作平面图 O A B C 与 O B C
分别绕 y 轴旋转构成旋转体的体积之差,
dtyxV ay )(220 2? ?? dtyxa )(220 1? ??
o
y
xa?2 A
BCa2 )(2 yxx ?
)(1 yxx ?
? ?? ???? 2 22 s i n)s i n( tdtatta
? ? ???? 0 22 s i n)s i n( tdtatta
? ? ??? 20 23 s i n)s i n( tdttta,6 33a??
补充
如果旋转体是由连续曲线 )( xfy ?,
直线 ax ?, bx ? 及 x 轴所围成的曲边梯形绕
y 轴旋转一周而成的立体，体积为
dxxfxV bay |)(|2 ???
利用这个公式，可知上例中
dxxfxV ay |)(|2 20? ???
? ? ?????? 20 )]s i n([)c os1()s i n(2 ttadtatta
? ? ???? 20 23 )c os1)(s i n(2 dtttta,6 33a??
例 4 求由曲线 24 xy ?? 及 0?y 所围成的图形
绕直线 3?x 旋转构成旋转体的体积,
解 取积分变量为 y,]4,0[?y
体积元素为
dyQMPMdV ][ 22 ????
dyyy ])43()43([ 22 ????????
,412 dyy???
dyyV ? ???? 40 412,64??
3
dyP Q M
xo a b
二、平行截面面积为已知的立体的体积
x dxx?
如果一个立体不是旋转体，但却知道该立
体上垂直于一定轴的各个截面面积，那么，这
个立体的体积也可用定积分来计算,
)( xA 表示过点
x 且垂直于 x 轴
的截面面积,)( xA 为 x 的已知连续函数
,)( dxxAdV ?,)(?? ba dxxAV立体体积
例 5 一平面经过半径为 R 的圆柱体的底圆中心，
并与底面交成角 ?,计算这平面截圆柱体所得立体
的体积,
R
R?
x
yo
解
?
取坐标系如图
底圆方程为
222 Ryx ??
垂直于 x 轴的截面为直角三角形
x
截面面积,t a n)(21)( 22 ?xRxA ??
立体体积 dxxRV R
R ?t a n)(2
1 22 ?? ?
?,t a n3
2 3 ?R?
例 6 求以半径为 R 的圆为底、平行且等于底圆
半径的线段为顶、高为 h 的正劈锥体的体积,
解 取坐标系如图
底圆方程为
,222 Ryx ?? x
y
o Rx
垂直于 x 轴的截面为等腰三角形
截面面积 22)( xRhyhxA ????
立体体积 dxxRhV RR?? ?? 22.21 2 hR??
旋转体的体积
平行截面面积为已知的立体的体积
?
?
?
?
?
绕 轴旋转一周x
绕 轴旋转一周y
绕非轴直线旋转一周
三、小结
思考题
求曲线 4?xy, 1?y, 0?x 所围成
的图形绕 y 轴旋转构成旋转体的体积,
思考题解答
x
y
o??
?
?
?
1
4
y
xy
交点 ),1,4(
立体体积 dyxV y ? ????
1
2
dyy? ????
1 2
16
??
??
?
??
????
1
16
y,16??
1?y
一,填空题：
1, 连续曲线,)( xfy ? 直线 ax ?, bx ? 轴及 x 所
围图形 轴绕 x 旋 转 一周 而成的 立体的体 积
?v ______ ____, 轴绕 y 旋转一周而成的立体的
体
?v积
________ ____ ；
2,
?
?
b
a
dxxfv )( 常用来表示 _______ _____ _____ _ 立
体的体积；
3, 抛物线 axy 4
2
? 及直线
)0(
00
?? xxx
所围成的图
形
轴绕 x
旋转而成的立体的体积 ______ ；
4, 0,,0,co s h ???? yaxx
a
x
ay 所围成的图
x形绕
轴旋转而成的立体的
?v体积
______ ___ ；
练 习 题
二,有一铁铸件，它是由抛物线,
2
10
1
xy ?
1
10
1
2
?? xy 与直线 10?y 围成的图形,轴绕 y 旋
转而成的旋转体，算出它的质量 （长度单位是厘
米，铁的密度是
3
8.7 厘米克 ）,
三,把星形线
3
2
3
2
3
2
ayx ?? 轴绕 x 旋转，计算所得旋转
体的体积,四,求摆线 )s i n( ttax ??, )c o s1( tay ?? 的一拱，
0?y,绕直线 ay 2? 旋转所成旋转体的体积,
五,求
222
ayx ?? 绕 )0( ???? abbx 旋转所成旋转
体的体积,
六,设有一截锥体，其上，下底均为椭圆，椭圆的轴
长分别为 和BA 2,2 ba 2,2,h高为,求这截锥体
的体积,
七,设直线
baxy ??
与直线
0?x
，
1?x
及
0?y
所围
成梯形面积等于
A
，试求
ba,
使这个梯形
轴绕 y
旋转所得体积最小,
一,1,
?
?
b
a
dxxf )(
2
,
?
?
b
a
dxxxf )(2 ；
2,已知平行截面面积的； 3,
2
0
2 ax? ；
4, ]22[
4
3
sh
a
?
?
.
二,? ( 克 ), 三、
3
1 0 5
32
a?, 四、
32
7 a?,
五,ba
22
2 ?, 六,])(2[
6
1
bAaBABabh ????,
七、
Aba ??,0
.
练习题答案