水桶的表面、台灯的罩子面等．
曲面在空间解析几何中被看成是点的几何轨迹．
曲面方程的定义：
如果曲面 S 与三元方程 0),,( ?zyxF 有下述关系：
（ 1 ） 曲面 S 上任一点的坐标都满足方程；
（ 2 ）不在曲面 S 上的点的坐标都不满足方程；
那么，方程 0),,( ?zyxF 就叫做曲面 S 的方程，
而曲面 S 就叫做方程的图形．
曲面的实例：
一、曲面方程的概念
以下给出几例常见的曲面,
例 1 建立球心在点 ),,( 0000 zyxM,半径为 R
的球面方程,
解 设 ),,( zyxM 是球面上任一点，
RMM ?|| 0根据题意有
? ? ? ? ? ? Rzzyyxx ?????? 202020
? ? ? ? ? ? 2202020 Rzzyyxx ??????所求方程为
特殊地：球心在原点时方程为 2222 Rzyx ???
例 2 求与原点 O 及 )4,3,2(0M 的距离之比为 2:1 的
点的全体所组成的曲面方程,
解 设 ),,( zyxM 是曲面上任一点，
,21|| ||
0
?MMMO根据题意有
? ? ? ? ? ?,2
1
432 222
222
?
?????
??
zyx
zyx
? ?,911 634132
2
2
2
??
?
??
?
? ?????
?
??
?
? ? zyx
所求方程为
例 3 已知 )3,2,1(A, )4,1,2( ?B,求线段 AB 的
垂直平分面的方程,
设 ),,( zyxM 是所求平面上任一点，
根据题意有 |,||| MBMA ?
? ? ? ? ? ? 222 321 ????? zyx
? ? ? ? ? ?,412 222 ?????? zyx
化简得所求方程,07262 ???? zyx
解
z
x
yo
例 4 方程 的图形是怎样的？ 1)2()1( 22 ????? yxz
根据题意有 1??z
用平面 cz ? 去截图形得圆：
)1(1)2()1( 22 ??????? ccyx
当平面 cz ? 上下移动时，
得到一系列圆
圆心在 ),2,1( c,半径为 c?1
半径随 c 的增大而增大,图形上不封顶，下封底．
解
c
以上几例表明研究空间曲面有 两个基本问题,
（ 2）已知坐标间的关系式，研究曲面形状．
（讨论旋转曲面）
（讨论柱面、二次曲面）
（ 1）已知曲面作为点的轨迹时，求曲面方程．
二、旋转曲面
定义 以一条平面
曲线绕其平面上的
一条直线旋转一周
所成的曲面称为旋
转曲面,
这条定直线叫旋转
曲面的 轴,播放
x
o
z
y
0),( ?zyf
),,0( 111 zyM??M),,,( zyxM设
1)1( zz ?
（ 2 ）点 M 到 z 轴的距离
|| 122 yyxd ???
旋转过程中的特征：
如图
将 代入 2211,yxyzz ????
0),( 11 ?zyf
d
将 代入 2211,yxyzz ???? 0),( 11 ?zyf
? ?,0,22 ??? zyxf
yo z 坐标面上的已知曲线 0),( ?zyf 绕 z 轴旋
转一周的 旋转曲面方程,
得方程
同理,yo z 坐标面上的已知曲线 0),( ?zyf
绕 y 轴旋转一周的 旋转曲面方程 为
? ?,0,22 ??? zxyf
例 5 直线 L 绕另一条与 L 相交的直线旋转一周，
所得旋转曲面叫 圆锥面,两直线的交点叫圆锥面的
顶点,两直线的夹角 ?
?
?
?
?
? ?
????
2
0 叫圆锥面的 半顶
角,试建立顶点在坐标原点，旋转轴为 z 轴，半顶
角为 ? 的圆锥面方程．
x
o
z
y
解 y o z 面上直线方程为
?c o tyz ? ),,0( 111 zyM?
),,( zyxM
圆锥面方程
?c o t22 yxz ???
?
例 6 将下列各曲线绕对应的轴旋转一周，求
生成的旋转曲面的方程．
（ 1 ）双曲线 12
2
2
2
??
c
z
a
x
分别绕 x 轴和 z 轴；
绕 x 轴旋转
绕 z 轴旋转
12
22
2
2
??? c zyax
12
2
2
22
??? cza yx
旋
转
双
曲
面
（ 2 ）椭圆
??
?
?
?
?
??
0
1
2
2
2
2
x
c
z
a
y
绕 y 轴和 z 轴；
绕 y 轴旋转
绕 z 轴旋转
12
22
2
2
??? c zxay
12
2
2
22
??? cza yx
旋
转
椭
球
面
（ 3 ）抛物线
?
?
?
?
?
0
22
x
pzy
绕 z 轴；
pzyx 222 ?? 旋转抛物面
播放
定义
三、柱面
观察柱面的形
成过程,
平行于定直线并沿定曲线 移动的直线
所形成的曲面称为柱面,
C L
这条定曲线
叫柱面的 准线
，动直线 叫
柱面的 母线,
C
L
柱面举例
x
o
z
y
x
o
z
y
xy 22 ?
抛物柱面
xy?
平面
从柱面方程看柱面的 特征,
只含 yx,而缺 z 的方程 0),( ?yxF,在
空间直角坐标系中 表示母线平行于 z 轴的柱
面，其准线为 x o y 面上曲线 C,（其他类推）
实
例
12
2
2
2
?? czby 椭圆柱面 // 轴x
12
2
2
2
?? byax 双曲柱面 // 轴z
pzx 22 ? 抛物柱面 // 轴y
曲面方程的概念
旋转曲面的概念及求法,
柱面的概念 (母线、准线 ).
.0),,( ?zyxF
四、小结
思考题
指出下列方程在平面解析几何中和空
间解析几何中分别表示什么图形？;2)1( ?x ;4)2( 22 ?? yx
.1)3( ?? xy
思考题解答
平面解析几何中 空间解析几何中
2?x
422 ?? yx
1?? xy
平行于 y 轴的直线平行于 y oz 面的平面
圆心在 )0,0(,
半径为 2 的圆
以 z 轴为中心轴的圆柱面
斜率为 1的直线 平行于 z 轴的平面
方程
一,填空题：
1, 与 Z 轴和点 )1,3,1( ?A 等距离的点的轨迹方程是
______ _____ __ ；
2, 以点 )1,2,2( ?O 为球心，且通过坐标原点的球面
方程是 ________ _____ __ ；
3, 球面,07442
222
??????? zyxzyx 的球心是
点 ________ ___,半径
?R
_______ ___ ；
4, 设曲面方程
2
2
a
x
+
2
2
b
y
+
2
2
c
z
=1,当
ba ?
时，曲面可由
xoz
面上以曲线 ______ _ _____ ____ 绕 ___ ____ 轴旋
转面成，或由
y oz
面上以曲线 ______ ___ __ ____
绕 _____ ___ 轴旋转面成 ;
练 习 题
5, 若柱面的母线平行于某条坐标轴，则柱面方程的特
点是 ______ ___ ；
6, 曲面 1
4
2
2
??? z
y
x 是由 _____ __ 绕 _____ ____ 轴放
置一周所形成的；
7, 曲面
222
)( yxaz ??? 是由 _____ _____ ____ 绕 ___ __
轴旋转一周所形成的；
8, 方程
2?x
在平面解析几何中表示 ________ ___ 在空
间解析几何中表示 ____ _____ ____ _____ _ ；
9, 方程 4
22
?? yx 在 平 面 解 析 几 何 中 表 示
______ _____ ____, 在 空 间 解 析 几 何 中 表 示
______ _____ ____.
二,画出下列各方程所表示的曲面：
1,
222
)
2
()
2
(
a
y
a
x ??? ；
2, 1
49
22
??
zx；
3,
2
2 xz ??,
练习题答案
一,1, 011262
2
????? zyxz ；
2, 0244
222
?????? zyxzyx ； 3, (1,- 2,2),4 ；
4,,,1,,1,,1
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
y
b
y
a
x
z
c
z
b
y
z
c
z
a
x
??????
y
c
z
b
y
,1
2
2
2
2
?? ； 5,不含与该坐标轴同名的变量；
6,
xoy
面上的双曲线 y
y
x,1
4
2
2
?? ；
7,
面y o z
上的直线 zayz,?? ；
8,平
y行于
轴的一条直线,与
面y o z
面平行的平面；
9,圆心在原点,半径为 2 的圆,轴为
轴z
,半径为 2
的圆柱面,