向量,既有大小又有方向的量,
向量表示：
以 1M 为起点,2M 为终点的有向线段,
1M
2M
?
?
a? 21MM
模长为 1的向量, 21MM 00a
零向量,模长为 0的向量, 0?
||a? 21MM| |向量的模,向量的大小,
单位向量：
一、向量的概念
或
或
或
自由向量,不考虑起点位置的向量,
相等向量,大小相等且方向相同的向量,
负向量,大小相等但方向相反的向量, a??
向径：
a? b?
a?? a?
空间直角坐标系中任一点 与原点
构成的向量, OM
M
[1] 加法,cba ??? ??
a?
b? c?
（平行四边形法则）
特殊地：若 a?‖ b?
a? b
? c? |||||| bac ??? ??
分为同向和反向
b?
a? c
?
|||||| bac ??? ??
（平行四边形法则有时也称为三角形法则）
二、向量的加减法
向量的加法符合下列运算规律：
（ 1）交换律,.abba ???? ???
（ 2）结合律,cbacba ?????? ????? )( ).( cba ??? ???
（ 3）,0)( ??? ??? aa
[2] 减法 )( baba ???? ???? a?b
?
b?? b??c?
ba
bac
??
???
??
??? )(ba
???
ba ???a?
b?
设 ? 是一个数，向量 a? 与 ? 的乘积 a?? 规定为
,0)1( ?? a?? 与 a? 同向,|||| aa ?? ?? ?
,0)2( ?? 0?? ?a?
,0)3( ?? a?? 与 a? 反向,|||||| aa ?? ?? ??
a? a?2 a?
2
1?
三、向量与数的乘法
数与向量的乘积符合下列运算规律：
（ 1）结合律,)()( aa ?? ???? ? a?)(???
（ 2）分配律,aaa ??? ???? ??? )(
baba ???? ??? ??? )(
.
0
ab
aba
??
???
?? ?
?
，使一的实数分必要条件是：存在唯
的充平行于，那末向量设向量定理
两个向量的平行关系
证 充分性显然；
必要性 a?‖b?设,a
b
?
?
??取
取正值，同向时与当 ?ab ??
取负值，反向时与当 ?ab ??,ab ?? ??即有
.同向与此时 ab ??? ?aa ?? ?? ?且 aa
b ?
?
?
?,b??
.的唯一性?,设 ab ?? ??,又设 ab ?? ??
两式相减，得,0)( ?? ?? a??,即 0?? a???
，0?a??,故 0?? ??,?? ?即
同方向的单位向量，表示与非零向量设 aa ?? 0
按照向量与数的乘积的规定，
0|| aaa ??? ?,|| 0aa
a ??? ?
上式表明：一个非零向量除以它的模的结果是
一个与原向量同方向的单位向量,
例 1 化简 ??
??
?
? ?????
5
3
2
15 abbba ?
???
?
解 ?
?
??
?
? ?????
5
3
2
15 abbba ?
???
?
ba ?? ?????? ??????? 551251)31(
.252 ba ?? ???
例 2 试用向量方法证明：对角线互相平分的
四边形必是平行四边形,
证 AM MC?
BM MD?
AD ? AM ? MD MC? ? BM BC?
AD 与 平行且相等,BC 结论得证,
?
?
A B
CD
M
a?b?
向量的概念
向量的加减法
向量与数的乘法
（注意与标量的区别）
（平行四边形法则）
（注意数乘后的方向）
四、小结
思考题
已知平行四边形 ABCD的对角线
AC,a?? BD b??
试用 表示平行四边形四边上对应的向量,ba ??,
思考题解答
BC AD? ? AM ? MD ).(21 ba ?? ??
DC ? AB ? AM ? MB ).(21 ba
?? ??
A B
CD
M
a?b?
一,填空：
1, 向量是 __ __ __ __ _ 的量；
2, 向量的 __ __ __ __ __ _ 叫做向量的模；
3, __ __ __ __ __ _ 的向量叫做单位向量；
4, __ __ __ __ __ __ _ 的向量叫做零向量；
5, 与 __ __ _ 无关的向量称为自由向量；
6, 平行于同一直线的一组向量叫做 __ __ _ _ _ __,三
个或三个以上平行于同一平面的一组向量叫做 _ _ _
_ __ __ __ __ ；
7,两向量 _________ __,我们称这两个向量相等；
8,两个模相等,_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ 的向量互为逆向量；
9,把空间中一切单位向量归结到共同的始点，则终点
构成 __ ______ __ __ ；
练 习 题
10,把平行于某一直线的一切单位向量归结到共同的
始点，则终点构成 _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ ；
11,要使 baba
????
??? 成立，向量 ba
??
,应满足 _______
_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ ；
12,要使 baba
????
??? 成立，向量 ba
??
,应满足 _______
_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _,
二,用向量方法证明：对角线互相平分的四边形是平
行四边形,
三、把 ABC 的 BC 边 五 等 分, 设 分 点 依 次 为
4321,,,DDDD, 再 把 各 分 点 与 点 A 连 接, 试 以
aBCcAB ??,表示向量 ADADADAD
4321,,和,
练习题答案
一,1,既有大小,又有方向； 2,大小；
3,模等于 1 ； 4,模等于零； 5,起点；
6,共线向量,共面向量； 7,模相等且方向相同；
8,方向相反； 9,半径为 1 的球面；
10,距离等于 2 的两点；
11, a
?
垂直于 b
?； 12, a
?
与b
?
同向,
三,)
5
1
(
1
acAD ???,)
5
2
(
2
acAD ???,
).
5
4
(),
5
3
(
43
acADacAD ??????