一、向量在轴上的投影与投影定理
.上的有向线段是轴，设有一轴 uABu
u
A B
.ABAB
ABu
uAB
uABAB
?
?
?
?
??
??
，即
的值，记作上有向线段叫做轴那末数
是负的，轴反向时与是正的，当向时
轴同与，且当满足如果数
o u
A B
1
轴同方向的单位向量，是与设 ue?
.)( eABAB ??
的相互位置如何，
三点轴上任意三点，不论这是设 uCBA,,
eBCeABeAC ??? )()()( ??即,)( eBCAB ???
.BCABAC ???
,BCABAC ???
e?
证,1uOA ??
例 1 在 u 轴上取定一点 o 作为坐标原点．设 BA,,
是 u 轴上坐标依次为
1
u,
2
u 的两个点,e
?
是与 u 轴
同方向的单位向量，证明 euuAB
?
)(
12
??,
,1 euOA ??故
eueu ?? 12 ??,)( 12 euu ???
o u
A B
1
e?
1u 2u
,2 euOB ??同理，
OAOBAB ??
于是
空间两向量的夹角的概念：
,0???a,0???b
a?
b??
向量 a? 与向量 b? 的夹角
),( ba ???? ),( ab ???
类似地，可定义 向量与一轴 或 空间两轴 的夹角,
特殊地，当两个向量中有一个零向量时，规定
它们的夹角可在 0与 之间任意取值,?
?? ?0( )?
空间一点在轴上的投影
u
?A
A?
过点 A 作轴 u 的垂直
平面，交点 A ? 即为点
A 在轴 u 上的投影,
空间一向量在轴上的投影
u
A
A?
B
B?
已知向量的起点 A 和终点 B 在
轴 u 上的投影分别为 BA ??,那
么轴 u 上的有向线段 BA ?? 的
值，称为向量在轴 u 上的投影,
ABjuPr,BA ???向量 AB 在轴 u 上的投影记为
关于向量的 投影定理（ 1）
向量 AB 在轴 u 上的投影等于向量的模乘以
轴与向量的夹角的余弦,ABjuPr ?c o s|| AB?
证
u
A B
A? B?
B??
ABjuPr ABju?Pr?
?c o s|| AB?u?
定理 1的说明：
投影为正；
投影为负；
投影为零；
u
a?b?
c?
(4) 相等向量在同一轴上投影相等；
?? ?0)1(,2?
?? ??2)2(,?
??)3(,2?
关于向量的 投影定理（ 2）
两个向量的和在轴上的投影等于两个向量在
该轴上的投影之和,
.PrPr)(Pr 2121 ajajaaj ???? ???
A
A?
B
B?
C
C?
（可推广到有限多个）
u1a? 2a
?
二、向量在坐标轴上的分向量与向量
的坐标
1M
1P
2M
2P
．上的投影分别为点在轴点
为一条数轴．为一向量，设
2121
21
,,PPuMM
uMMa ??
．上的坐标依次为在轴又设 2121,,uuuPP
uo
,Pr 21 uu aMMj ??
1221 OPOPPP ??
,12 uu ??
.12 uua u ???
如果 e? 是与 u 轴正向一致的单位向量，
.)( 12 euu ???
设 a? 是以 ),,( 1111 zyxM 为起点,),,( 2222 zyxM
为终点的向量，
过 21,MM 各作垂直于三个坐标轴的平面,
这六个平面围成一个以线段 21 MM 为对角线的
长方体,
由例 1知
eaPP u ??21
x
y
z
o
?1M
P N Q
R ?
2M
以 kji ???,,分别表示沿 zyx,,轴正向的单位向量,
i? j
?
k?
kajaiaa zyx ???? ???
向
量
在
轴
上
的
投
影
x
向
量
在
轴
上
的
投
影
y
向
量
在
轴
上
的
投
影
z
12 xxa x ??
12 yya y ?? 12 zza z ??
kzzjyyixxMM ??? )()()( 12121221 ??????
kzzjyyixxMM ??? )()()( 12121221 ??????
按基本单位向量的 坐标分解式,
在三个坐标轴上的 分向量,,,,kajaia zyx ???
向量的 坐标,,,,zyx aaa
向量的 坐标表达式, },,{ zyx aaaa ??
},,{ 12121221 zzyyxxMM ????
特殊地,},,{ zyxOM ?
向量的加减法、向量与数的乘法运算的坐标表达式
},,,{ zyx aaaa ?? },,,{ zyx bbbb ??
},,{ zzyyxx babababa ????? ??
},,{ zzyyxx babababa ????? ??
},,{ zyx aaaa ???? ??;)()()( kbajbaiba zzyyxx ??? ??????;)()()( kbajbaiba zzyyxx ??? ??????
.)()()( kajaia zyx ??? ??????
解
},,{ 111 zzyyxxAM ????
},,{ 222 zzyyxxMB ????
设 ),,( zyxM 为直线上的点，
例 2 设 ),,(
111
zyxA 和 ),,(
222
zyxB 为两已知
点，而在 AB 直线上的点 M 分有向线段 AB 为
两部分 AM, MB,使它们的值的比等于某数
)1( ????,即 ??
MB
AM
，求分点的坐标,
A
B
M
x
y
z
o
由题意知,MBAM ??
},,{ 111 zzyyxx ??? },,,{ 222 zzyyxx ???? ?
1xx ? )( 2 xx ?? ?
1yy ? )( 2 yy ?? ?
1zz? )( 2 zz ?? ?
,1 21 ?????? xxx
,1 21 ?????? yyy
,1 21 ?????? zzz
M 为有向线段 AB 的 定比分点,M 为中点时，
,2 21 xxx ??,2 21 yyy ??,2 21 zzz ??
非零向量 的 方向角,a?
非零向量与三条坐标轴的正向的夹角称为方向角,
?, ?, ?
,0 ????
,0 ????
.0 ????
x
y
z
o
?1M
? 2M?
??
三、向量的模与方向余弦的坐标表示式
x
y
z
o
?1M
? 2M?
??
由图分析可知
?c o s|| aa x ??
?c o s|| aa y ??
?c o s|| aa z ??
向
量
的
方
向
余
弦方向余弦通常用来表示向量的方向,
222||
zyx aaaa ???
?
P Q
R
向量模长的坐标表示式
2
1
2
1
2
121 RMQMPMMM ???
0222 ??? zyx aaa当 时，
,co s 222
zyx
x
aaa
a
??
??
,cos 222
zyx
y
aaa
a
??
??
.cos 222
zyx
z
aaa
a
??
??
向量方向余弦的坐标表示式
1co sco sco s 222 ??? ???
方向余弦的特征
0a
||a
a???
}.c o s,c o s,{ c o s ????
特殊地：单位向量的方向余弦为
例 3 求平行于向量 kjia
????
676 ??? 的单位向
量的分解式,
解 所求向量有两个，一个与 同向，一个反向a?
222 )6(76|| ????a??,11?
||a
a???
0a?,
11
6
11
7
11
6 kji ??? ???
或 0a || aa?
?
??,116117116 kji ??? ????
例 4 设有向量
21
PP,已知 2
21
?PP,它与 x 轴
和 y 轴的夹角分别为
3
?
和
4
?
，如果 1P 的坐标为
)3,0,1(,求
2
P 的坐标,
解 设向量 21 PP 的方向角为?, ?, ?
,3???,4???
,1c o sc o sc o s 222 ???????,21c os ????
,21cos ??,22cos ??
.32,3 ??????? 设 2P 的坐标为 ),,( zyx,
1c os ?? x?
21PP 2
1?? x
2?,2?? x
0c os ?? y?
21PP 2
0?? y
2
2?,2?? y
3c o s ?? z?
21PP 2
?? z,2,4 ??? zz
2P 的坐标为 ).2,2,2(),4,2,2(
2
1??
例 5 设 kjim
????
853 ???, kjin
????
742 ???,
kjip
????
45 ???,求向量 pnma
????
??? 34 在 x 轴
上的投影及在 y 轴上的分向量,
解 pnma ????? ??? 34
)853(4 kji ??? ??? )742(3 kji ??? ???
)45( kji ??? ???,15713 kji ??? ???
? 在 x 轴上的投影为 13?xa,
在 y 轴上的分向量为 j?7,
向量在轴上的投影与投影定理,
向量在坐标轴上的分向量与向量的坐标,
向量的模与方向余弦的坐标表示式,
四、小结
（注意分向量与向量的坐标的 区别 ）
思考题
设 jim
???
??, kjn
???
??? 2,求以向量
nm ??,为边的平行四边形的对角线的长度,
思考题解答
对角线的长为 |,||,| nmnm ???? ??
},1,1,1{ ??? nm ??? }1,3,1{ ??? nm ??
,3|| ??? nm ??,11|| ?? nm ?
平行四边形的对角线的长度各为 11,3,
m?
n?
练 习 题
一,填空题：
1, 已知 rr
??
,4? 与轴 u 的夹角是
?
60,则 rj
u
?
Pr =__ __
___ ___ ____ ___ ；
2, 已知两点
1
M )2,1,0( 和
2
M )0,1,1( ? 则 ?
21
MM
_____ ___ ； -2
21
MM = _____ ____ ；
3, 已知两点 1M )1,2,4( 和 )2,0,3(2M,则向量
?21 MM _____ ___, 21 MM =___ ___ ___,方向
余弦
?c o s
=___ __ ； ?c o s = ____ ； ?c o s = ____ _ ；
方向
??角
____ _,?? ____ _,?? ____ __ ；
4, 已知向量 kjia
????
???,kjib
????
532 ??? 及
kjic
????
22 ????,?0a?则 _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ ；
0
b
?
= ___ ____ ___ ；
0
c
?
= __ ____ ___ ___ ；
5,一向量与 z o xy o zx o y,,三个坐标平面的夹角 ???,,
满足 ?
2
c o s + ?
2
c o s + ?
2
c o s = ___ ____ ___ __,
二,一向量的终点在点 )7,1,2( ?B,它在 轴X, 轴Y
和 轴Z 上的投影依次为 74,4 和?,求这向量的
起点 的坐标A,
三,求平行于向量 ? ?6,7,6 ??a? 的单位向
量,
练习题答案
一,1, 2 ； 2, ? ? ? ?4,4,2,2,2,1 ??? ；
3, ? ? ;
3
,
4
3
,
3
2
,
2
1
,
2
2
,
2
1
,2,1,2,1
???
????
4,
?
?
?
?
?
?
??
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
3
2
,
3
1
,
3
2
,
38
5
,
38
3
,
38
2
,
3
1
,
3
1
,
3
1；
5, 2,
二,
A
(-2,3,0),
三,
?
?
?
?
?
?
??
?
?
?
?
?
?
?
11
6
,
11
7
,
11
6
11
6
,
11
7
,
11
6
或,